空间几何体的结构特征、表面积（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第46讲空间几何体的结构特征、表面积

与体积

知识梳理

知识点一：构成空间几何体的基本元素一点、线、面

(1)空间中，点动成线，线动成面，面动成体.

(2)空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四

点确定一个空间图形或几何体(空间四边形、四面体或三棱锥).

知识点二：简单凸多面体一棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.

(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

(4)平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

(5)直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

(6)长方体：底面是矩形的直平行六面体；

(7)正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成

的多面体叫做棱锥.

(1)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

(2)正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，

由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

1

正

斜棱柱四

按例粳与底面是否喜立分类

棱柱棱

按底面多边形分类直棱柱正棱柱柱

凸

多

面长方体

体

正

方

正多面体体

知识点三：简单旋转体一圆柱、圆锥、圆台、球

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体

叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所

围成的几何体叫做圆锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，

简称为球(球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度).

知识点四：组合体

由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

知识点五：表面积与体积计算公式

表面积公式

S直棱柱=+2s底

~~A

S斜棱柱=c,/+2S底G为直截面

柱

周长)

表体

S圆锥=?冗丫2+271rl=2nr(r+/)

面JE

积

锥s正棱锥底

体

s圆锥=»尸之+〃〃=»〃&+/)43

2

=

台S「舫A-n(ci+。+S卜+8于

止校口2''上「

体=欣+r2++r/)

圆台r'2r'l/

球S=4?rR2©

体积公式

柱体%=Sh

锥体曝

体

积

腺(7,)

台体=^s+Vss+s/i

4.

球V=-7iR3

3©

知识点六：空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直

角坐标系.

3

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x

轴的线段，在直观图中画成平行于O'x',O'y',使Zx'O3'=45。（或135。），它们确定的平

面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴的线

段，且长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于V轴，且长

度变为原来的一般.可简化为“横不变，纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、V轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被

挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为收:4.

2、平行投影与中心投影

平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.

必考题型全归纳

题型一：空间几何体的结构特征

例1.（2024•安徽•高三校联考阶段练习）已知几何体，“有两个面平行，其余各面都是平

行四边形”是“几何体为棱柱”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例2.（2024•全国•高三对口高考）设有三个命题；甲：底面是平行四边形的四棱柱是平

行六面体；乙：底面是矩形的平行六面体是长方体；丙：直四棱柱是平行六面体.以上命题

中真命题的个数为（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

例3.（2024,全国•高三专题练习）下列命题：

①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；

②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；

③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；

④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.

4

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

变式1.（2024•新疆•统考模拟预测）下列命题中正确的是（）

A.有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.

B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥.

C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.

D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.

变式2.（2024•全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.三角形的直观图是三角形B.直四棱柱是长方体

C.平行六面体不是棱柱D.两个平面平行，其余各面是梯形的多面体

是棱台

变式3.（2024•全国•高三专题练习）给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

变式4.（2024•全国•高三专题练习）如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（）

A.—\\是棱台B./P\\是圆台

L_x/

c.4不是棱柱D.是棱锥

5

【解题方法总结】

空间几何体结构特征的判断技巧

（1）紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变

换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.

（2）说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.

题型二：空间几何体的表面积

例4.（2024•湖北武汉•统考模拟预测）已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的

半径，则球与圆锥的表面积之比为（）

例5.（2024•河南郑州•统考模拟预测）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几

何体如图所示.已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm,高为4cm,内孔半径为1cm,则

此几何体的表面积是（）cm,.

27

A.72+万6+6兀B.72+276+8兀

C.72+2773+6TID.60+27百+6兀

例6.（2024•安徽安庆•安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在

山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知，底面圆的直径

/B=12cm,圆柱体部分的高5C=6cm,圆锥体部分的高CZ>=4cm,则这个陀螺的表面积

（单位：cn?）是（）

(144+12而卜(144+24疝)兀

(108+12而卜(108+24而)兀

6

变式5.（2024•西藏拉萨•统考一模）位于徐州园博园中心位置的国际馆（一云落雨），使

用现代科技雾化“造云”，打造温室客厅，如图，这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱

锥这种经典几何形式，表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆，

其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m,高为9m,则该正四棱锥的侧面面积与底面面

积之比约为（）（参考数据：V173,16«13.16）

变式6.（2024•湖南长沙•高三校联考阶段练习）为了给热爱朗读的师生提供一个安静独

立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六

棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥的高与底面边长

的比为2:3,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（）

变式7.（2024•河北•统考模拟预测）《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载:

“正四面形棱台（即正四棱台）建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台，其主体部分为一方

亭，将它的主体部分抽象成"co-44的正四棱台（如图所示），其中上底面与下底面

的面积之比为1:16,方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为567m3,则该方

7

亭的表面积约为（）（V5-2.2,73®1.7,V2®1.4）

D.480m2

变式8.（2024•甘肃张掖•高台县第中学校考模拟预测）仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京

故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇，弧腹，圈足.足底切削整齐.通

体施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱

的组合体，其口径为15.5cm,足径为9.2cm,顶部到底部的高为4.1cm,底部圆柱高为0.7cm,

则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为（）（参考数据：兀的值取3,J21.4825-4.6）

A.143.1cm2B.151.53cm2C.155.42cm2D.170.43cm2

【解题方法总结】

（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.

（2）旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.

（3）组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.

题型三：空间几何体的体积

例7.（2024•广东梅州•统考三模）在马致远的《汉宫秋》楔子中写道：“毡帐秋风迷宿草,

穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示，某毡帐可视作一

个圆锥与圆柱的组合体，圆锥的高为4,侧面积为15万，圆柱的侧面积为18万，则该毡帐的

体积为（）

8

C.38兀D.45兀

例8.（2024•重庆沙坪坝♦高三重庆一中校考阶段练习）若某圆锥的侧面展开图是一个半

径为2的半圆面，其内接正四棱柱的高为苴，则此正四棱柱的体积是（）

3

976Bl8月

A.8n

~T~27

例9.（2024•山东青岛•高三统考期中）已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的

体积为36兀，则该正四棱锥的体积最大值为（）

64

A.18B「.—D.27

3

变式9.（2024•湖北武汉•高三统考开学考试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形

式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单

檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的

轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为3亚米，侧棱长为5米，则其体

积为（）立方米.

A.2472B.24C.72cD.72

变式10.（2024•广东河源•高三校联考开学考试）最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九

韶所著的《数书九章》（1247年）.该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例

9

子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时

用一个圆台形的器皿收集雪量（平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积），已知数

据如图（注意：单位cm）,则平地降雪厚度的近似值为（）

95D.红cm

C.—cm

1212

变式11.（2024•浙江•校联考模拟预测）如图是我国古代量粮食的器具“升”，其形状是正

四棱台，上、下底面边长分别为20cm和10cm,侧棱长为cm.“升”装满后用手指或筷

子沿升口刮平，这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装（1000cn?=lL）（）

升：量粮食的器具

A.1.5LB.1.7LC.2.3LD.2.7L

【解题方法总结】

求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则

割补法

的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

题型四：直观图

例10.（2024•辽宁锦州•渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知用斜二测画法画梯形

O/8C的直观图O'/'B'C'如图所示，O'A'=3C'B',C'E'1O'A',SOABC=^,C'D'//y'轴,

10

CE=%搦为。'4的三等分点，则四边形33C绕y轴旋转一周形成的空间几何体的体

积为.

例11.（2024•全国•高三对口高考）若正AABC用斜二测画法画出的水平放置图形的直观

图为当的面积为百时，AA8C的面积为.

例12.（2024•四川成都•高三统考阶段练习）用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如

图所示，边与C力’平行于/轴.已知四边形NBC7/的面积为Icn?,则原平面图形的面

积为cm2.

变式12.（2024•全国•高三专题练习）如图，A/'OS是用斜二测画法得到的△/03的直

观图，其中。'4=2,O®=3,则的长度为.

变式13.（2024•上海浦东新•高三上海市川沙中学校考期末）有一块多边形的菜地，它的

水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所

示）.ZABC=45°,4B=4D=1,DC工BC,则这块菜地的面积为

11

变式14.（2024•上海宝山•高三上海交大附中校考开学考试）我们知道一条线段在“斜二

测”画法中它的长度可能会发生变化的，现直角坐标系平面上一条长为4cm线段按“斜二

测”画法在水平放置的平面上画出为4®,则最短长度为cm（结果用精确

值表示）

变式15.（2024•陕西延安•校考一模）如图，梯形N3C®是水平放置的一个平面图形的直

观图，其中/ABC=45°，AB=AD=\,DC1BC,则原图形的面积为

变式16.（2024•全国•高三专题练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的

直观图为一个正方形，则原来图形的面积是.

【解题方法总结】

斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：S直=亨5原.

12

题型五：展开图

例13.（2024•山东青岛•统考三模）已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图为半圆，则该

圆锥内半径最大的球的表面积为.

例14.（2024•全国•高三专题练习）如图，在直三棱柱48C-451G的侧面展开图中，B,

C是线段的三等分点，且/。=3上.若该三棱柱的外接球。的表面积为12兀，则

AAX=______________.

4Blc1

ABCD（A）

例15.（2024•上海普陀•高三统考期中）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱

在东风着陆场预定区域成果着陆.如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200

平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为―

米（精确到整数）

变式17.（2024•山东淄博•统考一模）已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半

圆，则该圆锥的体积为.

变式18.（2024•安徽•蚌埠二中校联考模拟预测）如图，在三棱锥尸的平面展开图

中，CD//AB,AB1AC,AB=2AC=2,。。=屈，cos/BCF,贝!|三棱锥P-/BC

65

外接球表面积为.

13

F(P)

D(P)

E(尸)

变式19.（2024•全国•高三专题练习）已知三棱锥P一42C的底面/2C为等边三角形.如

图，在三棱锥尸一48C的平面展开图中,PKE三点共线,8,。,£三点共线，cosZPCF=^~,

变式20.（2024•安徽黄山•统考一模）如图，在四棱锥P4BCD的平面展开图中，正方形

/BCD的边长为4,VNOE是以为斜边的等腰直角三角形，ZHDC=ZFAB=90°,则该四

棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为.

”(P)

E(P)

F（P）

变式21.（2024•山西大同•高三统考阶段练习）如图，在三棱锥P-/2C的平面展开图中，

AC=\,AB=AD=6,ABIAC,ABVAD,ZCAE=30°,则三棱锥尸-/3C的外接球

的表面积为.

14

D(P)

F(P)

【解题方法总结】

多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开

图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状.

题型六：最短路径问题

例16.（2024•福建福州•高一福建省福州屏东中学校考期末）如图，一竖立在地面上的圆

锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发，绕圆锥爬行一周后回到点

尸处，若该小虫爬行的最短路程为46，则这个圆锥的体积为（）.

V15032屈/„1280万c8百

-----------D.-------------C.-------------JJ.-------

327813

例17,（2024•陕西宝鸡•高一统考期末）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂

商要为棱长为2cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装

盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为（）

A.V6cmB.2&cmC.4j^cmD.6cm

15

例18.（2024•全国•高