几何法求空间角与空间距离-2025年高中数学一轮复习

第06讲几何法求空间角与空间距离

（5类核心考点精讲精练）

12.考情探究・

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等偏难，分值为5-15分

【备考策略】1.掌握等体积转化求点面距

2.掌握等几何法求异面直线所成角

3.掌握等几何法求线面角

4.掌握几何法求二面角

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般在解答题中考查空间距离和空间角的求解，需强化巩

固复习.

GN.考点梳理。

考点5范围与最值问题

知识讲解

一、异面直线所成角

1.定义：已知两条异面直线a,h经过空间任意一点。作直线以/a,b'〃b,我们把a'与b'所成的锐角（或直角）叫

做异面直线a与6所成的角（或夹角）

2.范围：（0,,.

3.平移两异面直线使它们相交，转化为相交直线所成角；

二、直线与平面所成角

1.定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条直线和这个平面所成的角。

1

2.范围：［0，T

3.求法：

（1）由定义作出线面角的平面角，再求解：

（2）在斜线上异于斜足取一点，求出该点到斜足的距离（设为I）和到平面的距离（设为d）,则sin。=

式p为线面角y,

二、二'^角

1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足,

分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则两射线所成的角为二面角的平面角。

2.范围：［0,7r］.

3.求法：

（1）定义法：

利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两

射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要

特征”来找出平面角。

（2）三垂线法：

已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。

（3）垂面法：

已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可

知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。

（4）射影面积法：

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

式（cose=兽=沁匕如图）求出二面角的大小

5斜SAABC

2

A

四、空间距离

点面距可转化为三棱锥等体积求解

考点一、几何法求点面距

中典例引领

1.（2024高三•全国•专题练习）如图所示，在正三棱柱/8C-48c中，所有棱长均为1,则点与到平面/3G

【答案】上

7

【分析】

解法一：根据等体积法，即七列出方程解出距离即可；解法二：通过面面垂直的性质定理

得CD,平面/8G，最后计算CD长即可；解法三：建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面

距离.

【详解】

解法一：设点用到平面43G的距离为d.在△々G中，4?]=亚，边上的高为也，点4到平面BCG4

2

51

的距离为三，△BBC1的面积为].

~—5-<7=-X—X^-,因止匕1,

3,3227

故点Bx到平面ABC,的距离为立1.

7

解法二：如图所示，取N3的中点连接CMCXM,过点。作COJ_CM，垂足为D

；C/=C|B,M为N2的中点，，6加上/瓦•.•C4=C5,M为的中点，.J,四.

3

•：CXMoCM=M,C|M,CNu平面CjCM,,平面C|CM,

又/8u平面/8G，故平面平面C]CM.

•••平面ABCXI平面CXCM=C\M,CD1CXM,CDu平面QCM,/.CD±平面ABC,.

因此CD的长度即为点C到平面Z8G的距离，也即点用到平面43G的距离.

在RIAGCM中，QC=1,C1M=[，因此CO=卓.

故点A到平面/Bq的距离为叵.

7

----------涡

A

解法三：如图所示，取8c的中点O,连接NO.；48=/C,NOL8C.

以。为原点，OC,04所在直线分别为x轴和y轴，过点。且与CCj平行的直线为z轴建立如图所示的空

间直角坐标系，

8-”。，

从而西=(0,0,1),AB=-,0,西=(1,0,1).

/、n-AB=0,—X----=

设后=(x/,z)为平面N3G的一个法向量，贝"——即22

"g=0,[x+z=o

令x=6,得y=-l,z=-6,贝!]力=(百,一1,-6).

|函.万|、反、研

故点发到平面ABC,的距离为=卑=旦.

1二"=力

故答案为:

A\

y

4

2.（23-24高三上•河北•期末）已知正方体/BCD-44G〃的棱长为2,G为线段与，上的动点，则点B到平

面G/D距离的最小值为（）

A.1B.s/^2,C.5/3D.2

【答案】B

4

【分析】根据棱锥的体积公式求得％一9=§,再根据等体积转化法/TGD=兀TBD，确定灵MG的最大值，

即可求得点B到平面GZD距离的最小值.

1114

【详解】由题意得七_"m=§'邑'加"4=§义5、2*2义2=^，

14

设点B到平面GAD的距离为h,则由等体积转化法为VB_AOD=]XS.-h=VG_ABD=-,

当G与四重合时，最大，最大为gx2x20=2后,

4

此时万最小，为公方=A/2.

故选：B.

3.（2024•辽宁丹东•一模）已知球。的直径为48,C,。为球面上的两点，点M在AB上，且

48,平面MCD,若是边长为名的等边三角形，则球心。到平面8。的距离为.

【答案】警

【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为2,将球心O到平面8CO的距离转化为为M到平面BCD的距

离的2倍，进而根据等体积变换可得.

【详解】因为45为球。的直径，所以

故球心0到平面BCD的距离即为M到平面5CZ）的距离的2倍,

如图

设球的半径为R,由题意可知OD=2OM=R,

由。刀2=O”+〃o2,MD=4i,可得8=2(W=2,故现f=l

5

如图,

B

BELCD,S.BE=yjBD2-DE2=

设M到平面BCD的距离为〃，则由VB_MCD=VM_BCD可得,

-x-xMCxMDxsin-xBM=-x-xCDxBExd,

32332

得LLgxGx立xl，、6x巫xd,得公噜

322322

则球心。到平面BCD的距离为Ml,

13

故答案为：小叵

13

4.（2024高三•全国・专题练习）在长方体48。"同。2中，AB=4Ai=2BC=2,则异面直线以。/与CD

的距离为;异面直线BDi与CD的距离为.

【答案】2辛

【详解】解析：（定义法）由正方体得DDL平面所以DDdBQi.又DDdCD,所以。D是异

面直线瓦。/与CD的公垂线段.又DDi=2,所以异面直线氏D与CO的距离为2；

（转化法）因为CD〃/瓦ABDi,ABc^ABDi,所以CD〃平面48。/,所以CD到平面

的距离就是异面直线3a与CD的距离，即点。到平面/2D的距离就是异面直线3n与CD的距离.设

距离为〃，由题得4D/=\/2；'+P=Jj.因为VDiABD=PTM&D/,所以;x|x2xlx2=；x!x2x5x/?,所以〃=今£,

所以异面直线2。与CD的距离为班.

【考查意图】定义法、等积法求点到平面的距离，定义法、转化法求异面直线间的距离.

即网投文

1.（23-24高三上•全国•阶段练习）在直三棱柱N3C-4月G中，所有棱长均为1,则点4到平面AS,的距

离为（）

6

7

C叵

*~6~

【答案】A

【分析】取的中点“，连接CM,可证CM,平面48四4,利用等体积法求点到面的距离.

连接CM,

因为V48c为等边三角形，则

又因为叫，平面/BC,且CMu平面/BC,则CW_L44],

且48c/4=Z,u平面,可得CM_L平面/SB/1,

由题意可知：AB,=CB,=叵CM=—

2

设点4到平面AB,C的距离为d,

因为〃.第C=%-AAiBi,即Lxdx'xlx△xAxlxl,

32322

解得4=亘

7

所以点4到平面43c的距离为理.

故选：A.

2.（2024•浙江宁波•模拟预测）已知棱长为1的正方体/8CD-4B£A，M,N分别是和8C的中点，则

到平面4G。的距离为（

nV6

A百rV3

A.------D.-----

332

【答案】c

【分析】延长龙w交DC延长线于点。，连接40，G。，由几何关系证明九w到平面45。的距离即点。到

平面4CQ的距离，再由等体积法%TQG=七一8G求出结果即可;

【详解】

7

DiG

4

D\-Q

延长MN交DC延长线于点。，连接40，CQ,AC,

因为M,N分别是和3c的中点，则MN〃/C,

由正方体的性质可得/C//4C，所以〃N〃4G，

又4Gu平面4。。，血wa平面所以MN//平面4G。，

所以九w到平面的距离即点。到平面4G。的距离，设为人，

则=叱「eg‘

因为正方体的棱长为1,

所以。。=5，4D=Dq=AG=亚，,

所以'=§S”G,即gx'x（0）x〃=gx；x[xlxln〃=g,

故选：C.

3.（2024•河南•一模）如图是棱长均为2的柏拉图多面体尸/BCD。，已知该多面体为正八面体，四边形/BCD

为正方形，分别为P。、。。的中点，则点A到平面OEB的距离为（）

Q

,二11

A.A/2B.1C.—D.—

〜24

【答案】B

【分析】由三棱锥等体积法，可得嗫一。仍=/一.8,运算得解.

【详解】连接/OME.由已知得OE为△尸C0的中位线，所以OE=1,

£8为正三角形CB。的中线，所以EB=K，又OB=y/i，

所以£笈=0炉+。炉，所以△。2£为直角三角形，

16

所以sOEB=—OE,OB=J.

△UE822

8

因为Q£=C£,所以£到平面/O8的距离为=g厅［百=*

设A到平面OE8的距离为d,

因为匕-OEB=^E-OAB,所以！S“OBE'd=-S'，

3AC/OC3AL0/ZAIOB2

4.（2024•陕西西安•三模）在四棱锥尸-/BCD中，平面尸_L平面ZBCD,〃CD,48_L8C,DC=3C=2,

AB=4.

⑴证明：BDLAP.

⑵若△尸/。为等边三角形，求点C到平面P5Z）的距离.

【答案】⑴证明见解析

⑵更

2

【分析】（1）先证明再由面面垂直的性质定理求解；

（2）过点尸作所以P。，平面/BCD,由体积法求解.

AR■rr

【详解】（1）因为/BLBC,DC=BC=w=2,所以助=2百，ZDBA=^,

2

由余弦定理可得40=，,肝+阳）『一2米司即［cos］=$6+8-2x4x2宓/2也，所以AD?+BD=

AB2,则4D_LAD.

因为平面尸/D_L平面/BCD，且平面上4Z>C平面4BCD=4D,/。u平面尸/。，

9

所以1平面PAD.

因为/Pu平面E4D,所以AD_L4P.

（2）过点尸作尸。_L4D,因为平面尸/D_L平面/BCD,且平面上40c平面/BCD=/。，所以尸O_L平面

ABCD.

因为忸H=|/必=\PD\=2V2,\P0|=J（2逝『-（乃了=6,

在RtZ^BO中’名""亚X2后=4,而％6=92义2=2'

POSXX2

yPBCD=--\\-BCD=-^=--

r—DL,U3IIAZ>C£/3'3

设点C到平面PBD的距离为h,VP_BCD=VC_PBD,

则，x4〃=，解得〃

323"2

所以点C到平面PAD的距离为好.

2

考点二、几何法求异面直线所成角

♦典例引领

1.（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在正四棱柱/BCD-44GA中，"4=3/3,则异面直线为8与所

成角的余弦值为（）

【答案】B

10

【分析】平行移动/。与48相交构成三角形，指明乙4Hq或其补角就是异面直线4B与/。所成的角，在

三角形中由余弦定理解出即可.

【详解】

如图连接2G，4G,因为N8CD-44G。为正四棱柱，

所以AB//GA且=G。，所以四边形ABCXDX为平行四边形，

所以,则443G或其补角就是异面直线4B与ADt所成的角,

设AB=1.则A1B=V10,BQ=Vw,AtCt=V2,

10+10-29

由余弦定理得：|cos/48G|=

2x1010

故选：B.

2.（2024・四川绵阳三模）在梯形48co中，AB//CD,ABLBD,且|/同=忸。|=4,忸4=26,沿对角线2D

将三角形48。折起，所得四面体4-3CD外接球的表面积为32兀，则异面直线48与CD所成角为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥/-BCD补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.

【详解】如下图，将梯形/BCD补成长方形NECF,折后得到直三棱柱

因为以同=\BD\=4,\BC\=245,所以忸E|=|DC|=2,

异面直线AB与CD所成角即为与BE所成角，即/ABE或其补角,

又该三棱柱的外接球即为三棱锥的外接球，设外接球半径为A,则4兀及2=32兀，

所以及2=8，设外接圆半径为心圆心为a，△EDC外接圆圆心为外，

则三棱柱的外接球的球心为。。2的中点O,连接/。，则以。|=民以。||=『，

所以r=|/Oj=幅二函F=2,又2r=s：%E=4,即|/闵=4sin乙48E,

又AABE中，|N£「=向「+［时-2\AB\-\BE\cosZABE,

BPi6sm2ZABE=16+4-2x4x2cos//8E，

,i

化简得（2cosN48£-l）-=0,即cosNA8E=5，所以乙4BE=60°,

故选：C.

11

3.（2024・陕西安康•模拟预测）如图，在底面为等边三角形的直三棱柱4G中，BB、=e,D,E济别

为棱8c的中点，尸为棱N3上的动点，且线段G尸的长度最小值为石，则异面直线/C与。E所成角

V30

rD.叵

665

【答案】A

【分析】根据C/MJCC'+CF，=，2+LC2即可求解最小值时CF=JL即可求解”=2,利用平移可得

ZEDF为其补角即为异面直线AC与DE所成角，由余弦定理即可求解.

【详解】由于三棱柱/8C-4月。为直三棱柱，所以C/_L底面/BC,。尸（=底面28。,所以。尸，。?"

故CF=7GC2+CF2=>J2+FC2,

故当CF,48时，此时CF最小，线段C7的长度最小值，

由于线段£户的最小值为石，故此时。尸=6，尸为45中点，故48=2,

连接。尸，则DF//AC,故NEDF为其补角即为异面直线/C与DE所成角，

DE=yjBD2+BE2=—J）F=1尸E=yjBF2+BE2=—,

22

DE?+DF?-EF?

cosZEDF=

2DEDF

故异面直线AC与DE所成角的余弦值为逅

6

故选：A

12

即时检测

（________________________________

1.（2024•广西桂林•三模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在鳖席P-/8C

中，平面NBC,BC1CA,S.PB=BC=CA=2,W为尸4的中点，则异面直线AM'与ZC所成角的

余弦值为（）

A.变B."C.BD.旦

3434

【答案】C

【分析】如图取尸C的中点N,可得MN//CA,即异面直线3M与/C所成的角为N&W,然后利用尸8_L

平面/8C,可得两直角三角形的斜边中线长，从而得到求解.

【详解】取PC的中点N,连接跖V、BN,如图所示：

VM.N分别为刃、PC的中点，则〃。/且〃N=；C/=1,

.♦.异面直线与/C所成的角为或其补角.

平面NBC,8Cu平面/8C,PB1BC,PC=^PB2+BC2=272-

：.BN=-PC=42,同理可得而=!尸/=石，BN2+MN2=BM2,

22

/.BNLMN,则cosZBMN=—=—,

BM3

故选:C.

2.（2024・全国•模拟预测）如图，矩形是圆柱QU的轴截面，点E在圆。2上，若

AD=2A/2,AB=273,ZBAE=60°,则异面直线BO与NE所成角的余弦值为（）

13

V5Dy/5rV15nV15

105105

【答案】C

【分析】过点8作2尸||/£,得到/D2尸为异面直线3。与4E所成的角或其补角，根据题意，证得砂，平

面40尸，得到再求得BD=2布,结合cos/DBF=独,即可求解.

BD

【详解】如图所示，过点8作8尸||/E,与圆Q交于点尸，

连接N尸,。尸，则NA8厂为异面直线8。与/£所成的角或其补角.

而两直线所成角在0,|内，故异面直线8。与NE所成角的余弦值为|cos/DB刊.

由矩形48CZ)是圆柱。。2的轴截面，结合圆柱的几何结构特征，可得/O_L平面N5尸，且BFu平面尸，

所以5尸_1_40,

又由48经过底面圆心。2，知48是底面直径，从而

而/。口/尸=/,4D,/尸u平面/。尸，所以8尸_L平面尸，

因为DFu平面4D尸，所以

由/。=2皿，AB=26，NBAE=60°,可得N4Bb=60°,所以8b=；48=6.

又由BDVAD'AB?=2右，所以cosNDBF=三=虚==黑.

BD27510

从而异面直线BD与AE所成角的余弦值为|cos/Z)2F|=—，C正确.

1110

考点三、几何法求线面角

典例引领

14

L（2024・全国•高考真题）已知正三棱台/BC-44cl的体积为7，AB=6,AXBX=2,则4/与平面45C

所成角的正切值为（）

1

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高力=迪，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得

3

AM=型,进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台N3C-44cl补成正三棱锥尸-

3

4/与平面/2C所成角即为尸N与平面/2C所成角，根据比例关系可得/TBC=18,进而可求正三棱锥

尸-48c的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取8C,与G的中点。,2,则AD=3和AR=6,

可知S"BC=gx6x6x¥=9G，色=；X2XG=。，

设正三棱台A8C-44G的为〃，

则入/=；卜省+6+19d）A=y,解得人竽，

如图，分别过4,2作底面垂线，垂足为M,N,设//=x,

2

则+4M2='X+y,DN=AD-AM-MN=2s/3-x，

22

可得DD[=^DN+D1N=«2艮J+y,

结合等腰梯形8CC4可得BB；=（与2；+DD；,

即/+1=（2如一》）2+?+4,解得》=¥，

所以AXA与平面ABC所成角的正切值为tanD//。=H"=1：

AM

解法二：将正三棱台NBC-48c补成正三棱锥

15

则A{A与平面ABC所成角即为PA与平面ABC所成角,

因为d=0A=J_,则生型L=J_,

PAAB3VP_MCT1

2652

可知％C-=枳Vp-ABC=9则^P-ABC=18,

设正三棱锥尸-4BC的高为d,则%"Re=9x；x6x6x/=18,解得d=2百，

取底面/BC的中心为。，则P。，底面N8C,且/0=26，

P0

所以尸/与平面ABC所成角的正切值tan/PAO=—=l.

AO

故选：B.

2.（23-24高三下•辽宁•阶段练习）已知正四棱台ABCD-4月。田的上、下底面边长分别为2,4,体积为羽।,

3

则此四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为（）

Mn

VioD「岳

5544

【答案】B

【分析】根据正四棱台的体积求出高，再求出侧棱长，最后由锐角三角函数计算可得.

【详解】在正四棱台ABCD-44CQ中，4吕=2,=4,令上下底面中心分别为Q、O,连接4Q,AO,

如图,

则棱台的高为由%34Bm=122+42+2x4）OQ=q，解得0。|=百，

在直角梯形/。。/1中，/。=2收，4。1=0,。。=6,

取“。中点E,连接4E,有4E//OQ,则4E_L平面48C。，/。匚平面/3。。，所以4E_L/。，

所以4E=OOi=右，AA}=JZE，+AE=J（亚『N百J=6，

16

又A.E1平面ABCD,则AAXAE是AA,与平面ABCD所成的角,

所以sin/4/£=e^=P=①，即四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为姮.

MV555

故选：B

3.（2024高一下•全国・专题练习）如图，底面48。是边长为2的正方形，半圆面/尸。，底面4BCZ）,点P

为圆弧月。上的动点.当三棱锥尸-BCD的体积最大时，PC与半圆面APD所成角的余弦值为.

BC

【答案】立心旧

33

【分析】过点尸作OPL4D于点O,易得点尸位于圆弧4D的中点时，JD最大,证明CD，面尸4D，则

ZCPD即为尸C与半圆面APD所成角的平面角，再解RtAPCD即可.

【详解】过点尸作OF，/。于点O,

因为面4PO_L底面48CD,面/POP）底面=OPu面「4D,

所以O尸_L平面4BCD,

11?2

贝U限口=§><5乂2乂2-|。以=/。产区鼠

当且仅当|。尸|=1,即点P位于圆弧/。的中点时，匕力CD最大,此时。为NO的中点,

因为面APD_L底面ABCD,面APDCl底面ABCD=AD,CD_L4D,CDu面ABCD,

所以CD_L面尸又PDu面尸NO,所以pr»_L。，

所以/CPD即为尸C与半圆面/PD所成角的平面角，

在RSPCD中，\CD\=2,\PD\=y/1+l=|=^+2=£,

PDV3

所以cos/CPD=——=—,

4.（2024・辽宁大连•二模）已知一圆形纸片的圆心为O,直径NB=2,圆周上有两点.如图：OC工AB,

TT

乙4。。=:，点尸是防上的动点.沿A8将纸片折为直二面角，并连接尸O,PD,PC,CD.

6

17

pp

A

⑴当45〃平面PC。时，求尸。的长;

（2）若OP，。。，求。尸与平面尸CD所成角的正弦值.

【答案】⑴5

(2)T

【分析】（1）利用线面平行的性质定理得力8〃尸D,利用平行线的性质及三角形性质求解即可；

（2）方法一：利用面面垂直性质定理得OC_L平面。OP,从而利用线面垂直的性质定理得OC_L0D,

OCLOP,可求得CD=CP=PO=血，利用等体积法求得。到平面PCD的距离，利用线面角的正弦值求

解即可；

方法二：建立空间直角坐标系，求出平面尸8的一个法向量，然后利用向量法求解线面角即可.

【详解】（1）:48〃平面PCD,48u平面POD,平面尸CAP!平面尸。。=尸。，

JT

则有AB//PD.所以NPDO=ZAOD=-,

6

又OD=OP=1,则尸D=20。cos/尸£>。=2cos工=G.

6

(2)方法一：因为平面/OC_L平面OOP,平面NOCI平面。O尸=/3,

OCu平面/OC,OC1AB,所以OC_L平面D0P.

又OD,OPu平面。OP,则OC_LO。，OCLOP,

又OPLOD,由OC=。尸=OZ>=1,可得CD=CP=PD=G^

设。到平面PCD的距离为力因为七一.⑦=兀―。心，所以S/coXd=Sso加xC。,

所以拒d=Lxlxlxl,所以

2223

设。尸与平面s所成的角为。，则si“，二二回

OP13

故OP与平面PCD所成角的正弦值为力.

3

JTTT

方法二：VOPVOD,ZAOD=-,:.NPOB=—.

63

如图，过点。作平面4BC的垂线OG,

以。为坐标原点，OC,OB,OG所在的直线分别为x,y,z轴,

18

建立如图所示的空间直角坐标系,

(万］、

则。(1,0,0),D0,-^-,-

易知云二(1,0,0)是平面POD的一个法向量，

PCn=0

设平面尸CD的一个法向量为〃=(xj,z),则＜—,

C。•方=0

x——y-----z=0

日口22人o

即〈L>令了=-2得X=2+25Z=4+25

V31

-x------y+—z=0n

I22

则万=(2+2退,一2,4+26)，

设OP与平面PCD所成角的为。，

同sin3=|cos(O?,博卜一2+邸-2+2^

'lx“2+26'+(-2.+(4+2a16+2行3-

故OP与平面PCD所成角的正弦值为旦.

3

5.(2024•山西•三模)如图三棱锥/-5CO,48=CZ)=3,/B，Cr>,E,F分别在线段CD上,且满足

AE=2EB,CF=2FD,EF=亚AB1EF,CD1EF.

(1)求证:平面ABCI平面ADB;

(2)求AD与平面BCD所成角的正弦值.

【答案】⑴证明见解析

19

（吟

【分析】（1）根据垂直关系，结合勾股定理可得区>=百,EC=〃，即可求证四，EC,根据线线垂直可得

平面CED,进而可得48、CE,进而可得C£_L平面403,即可求证面面垂直，

（2）根据勾股定理以及线线垂直可证明平面BCD,即可得N/D厂为直线AD与平面8C。所成的角，即

可求解.

【详解】（1）连接EREC,

由于AB=CD=3,AE=2EB,CF=2FD,所以4E=2,EB=1,CF=2,DF=1,

由于EF=C,4B工EF,CD工EF,所以

ED=>JEF、DF2="拒不+」=也巨C=^F2+CF2=j+艺=6

故EZ）2+EC2=CZ）2,即ED_LEC,

又ABLEF,ABLCD,E/flC。=尸,u平面CED,

故48_L平面CEO,CEu平面CED,故48'CE,

EDc4B=E,4B,EDu平面4DB,

所以CEL平面/£>8,CEu平面4BC,

故平面ABC1平面ADB

(2)由于/3=CD=3,AE=2EB,CF=2FD,所以AE=2,EB=1,CF=2,DF=1,

由于EF=C,4B工EF,CD工EF,所以

AF=lEF2+/£2=J(亚『+2?=&FB=也F'BE。=f=加

故//2+B尸=452,即/尸

又CDLEF,ABLCD,EFPlCD=己EF,CZ)u平面CEO,

故CD_L平面月，工厂匚平面/^/^故⑺工/尸，

CDcBF=F,CD,BFu平面BCD,

故E4_L平面BC。,故ZADF即为直线AD与平面BCD所成的角,

I一；------rr-./…AFy/6V42

AD=\AD2+DF2=V7,smZADF=~^—,

20

A

6.（22-23高一下•辽宁大连•期末）在正三棱台N8C-Z£G中，AB=6,44=自=3,。为4G中点，E

（1）请作出44与平面的交点”，并写出4M与河石的比值（在图中保留作图痕迹，不必写出画法和理

由）；

⑵求直线BM与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】⑴答案见解析，2

【分析】（1）根据直线与平面的公理，延长线段，延展平面，结合相似三角形，可得答案；

（2）根据线面角的定义，作图，求其所在三角形的边长，利用三棱台的几何性质，在其侧面，结合等腰梯

形以及余弦定理，可得答案.

【详解】（1）①作图步骤：延长CE,C4,使其相交于N,连接DN,则可得

作图如下：

作图理由：在平面中，显然CE与。鸟不平行，延长相交于N,

由NeCE,则Ne平面CED,由。e平面CED,则ONu平面CED,

由Ne8C，DeAXCX,则。Nu平面4月G，可得NDI&禺=^

21

故481n平面CDE=M.

②连接£>4,4N,如下图所示:

在正三棱台ABC-48c中，BCHB.C,,即BtN//BC,易知VBCE:VB、NE,

RNRE口包UUU

则要=%,由3E=2E⑸，且8c=6,则耳N=3,显然8c=^N=3,

BCBE

由综。分别为GN,的中点，则。鸟=；/小，豆B、D//NA，

AMA.N.

易知NB、DMA、NM,故黄=金=2.

(2)由题意，过M作平面N8C的垂线，垂足为阴\,并连接引明,如下图所示:

由(1)可知：3=2且4及=4。1=3,则用/=1,由ZB=6,AAX-AXBX=3,

在侧面用片5中，过片,&分别作的垂线，垂足分别为坊,4,如下图所示：

易知3层=:（48_4与）=:（48_4与）=R,cosNB\B4=^=g,所以cos/5月4,

222力力i/2

在ABB、M中，BM2=BB；+3“_2xBB\XB、MxcosZBB^=13,贝U=布，

棱台的高=,32-46x^--3x—=«,

1区22JJ

由图可知直线BM与平面NBC所成角为/回2峪，

22

因为跖％，平面48C,且平面/8C,所以跖％,

MM、_V6_V78

所以sin/AffiM]=

BM-V13-13

【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键在于利用余弦定理求得9=而，利用勾股定理求得

MMX=^6,从而得解.

.即_时__检__测___

1.（2024•陕西榆林•三模）己知正三棱锥P-N8C的侧棱与底面边长的比值为百，则三棱锥尸-/BC的侧棱

与底面所成角的正弦值为（）

A.1B.迪C.内D.克

3384

【答案】B

【分析】利用正棱锥的性质，先过顶点尸作底面的垂线，由线面角的定义和题干数据进行求解.

【详解】如图，V4BC为等边三角形，。为2C中点，作9,面48c垂足为

设/5=。（°>0）,则尸/=百0,根据正棱锥性质，耻AH=3,PH=3LI,

33

根据线面角的定义,三棱锥尸-48c的侧棱与底面所成角为NP/H,

2A/6

------a

则sin/P/H="32A/2.

PAGQ~~T

故选：B

2.（2024・北京•模拟预测）如图，正四面体的顶点。在平面。内，且直线与平面。所成的角为30。，

顶点B在平面a内的射影为O,当顶点A与点。的距离最大时，直线CD与平面。所成角的正弦值等于（）

23

AV6+3^RV2rV6+V201

12242

【答案】D

【分析】分析可得当四边形/80C为平面四边形时，点A到点。的距离最大，。作。N工平面N30C,垂足

为N,点。作DM_L平面a,垂足为则可求DW,进而可求解.

【详解】取中点P,连接CP,

当四边形ABOC为平面四边形时，点A到点O的距离最大，

此时，因为50,平面8Ou平面/BOC,

所以平面ABOC±平面a,

过。作