江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高二年级上册12月学情调研数学试题（含答案解析）

江苏省无锡市江阴市某校2024-2025学年高二上学期12月学情

调研数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、未知

1.已知复数Z满足匕=3+2i,则|z|=()

A.V13B.5C.1D.13

2.抛物线f=6y的焦点到其准线的距离等于()

A.-B.3C.6D.8

2

二、单选题

3.已知"=(3M+b,a-b)(a,Z?£R)是直线/的方向向量，〃=(1,2,3)是平面。的法向量，若

/_La,则。+2)=()

1539

A.—B.—C.6D.一

222

三、未知

4.已知｛%｝为递增的等差数列，/4=15,%+%=8,若4,=21,贝吐=()

A.9B.10C.11D.12

5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复

进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1T4-2-1.这就是数学史上著名

的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数加=6,根据上述运算法则得出

6T3T075T6T—4―2T174—2—17.........

现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列｛《｝满足：4=?〃(相为正整数)，

。向，子当巴为偶数时.当加=23时，使得。“=1的最小正整数"值是()

3%+1,当%为奇数时

A.17B.16C.15D.10

6.P为直线>=依-2上一点，过?总能作圆x2+y2=i的切线，则上的最小值（）

A.6B.也「73

D.Y

33

四、单选题

7.在三棱锥尸—ABC中，G为VABC的重心，PD=2PA,PE=〃PB,PF=gPC,九〃w（0,1）,

若尸G交平面DEF于点且则2+〃的最小值为（）

五、未知

22

8.已知我瑞分别为双曲线C：与-斗=1（。>0,6>0）左、右焦点，过点耳的直线与双曲

cib

sinZNF.F,2（.

线。的左、右两支分别交于M,N两点，且./入//=鼻，（MF2+MN\NF2=Q,则双曲

sin2_1VxQr1J

线C的离心率是（）

A.75B.@C.不D.立

22

六、多选题

9.已知复数z,下列命题正确的是（

A.若z+l^R,则z^RB.若z+i^R,贝iJz的虚部为T

C.若|z|=1,则z=±1D.若Z2WR,贝IJzcR

七、未知

10.下列结论正确的是（）

3

2

A.4:x+（2a-l）y+26i-3=0,/2:av+3y+a+4=0,若/J/*贝=或

试卷第2页，共4页

13

B-直线区7一J=°和以"TONS)为端点的线段相交，则心一万或％.

C.直线x+y-l=o与直线2无+2y+l=0之间的距离是夜

D.与点A(T,2)的距离为1,且与点3(3,-1)的距离为4的直线共有3条

11.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为P为其上一动点，当尸运动到(2,。时，|/间=4,

直线/与抛物线相交于A,B两点,点"(4,1),下列结论正确的是()

A.抛物线的方程为V=8x

B.存在直线/,使得A、8两点关于x+y-6=0对称

C.|尸网+|尸口的最小值为6

D.当直线/过焦点厂时，以为直径的圆与y轴相切

八、填空题

12.已知椭圆的方程为25/+4;/=100,则它的焦点坐标为.

13.已知点A(2,0),0(0,0),3(0,Y),则VA03的外接圆的标准方程为.

14.如图，两条异面直线a,b所成角为60。，在直线上a,6分别取点H,E和点A,F,使

AA'_La且A4'_L6.已知AE=2,AF=3,£F=A/23.则线段A4'的长为.

九、解答题

15.已知AQ,2),BRI),C(2,3),D(-l,b),(a,beR)是复平面上的四个点，且向量相,

CO对应的复数分别为Zi,z2.

(1)Z[+z?=1+i,求Z],22;

(2)若％+22|=2,Z-Z2为实数，求a,6的值.

16.已知圆C:/+y2一八-6>4=0,过点尸(4,2)的直线/与C交于点M,N,J.|w|=4.

(1)求圆的圆心坐标和半径：

⑵求/的方程；

(3)设。为坐标原点，求ON的值.

17.已知等差数列｛4｝的公差为正数,a2与a8的等差中项为8，且％%=28.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)从｛%｝中依次取出第3项，第6项，第9项,L,第3〃项，按照原来的顺序组成一个新数列

也｝，判断938是不是数列出｝中的项？并说明理由.

18.在三棱锥尸-ABC中，平面PACL平面ABC,AR4C为等腰直角三角形，PA1PC,

AC±BC,BC=2AC=4,M为AB的中点.

⑴求证：ACLPM.

(2)求PC与平面PAB所成角的正弦值.

PN

(3)在线段网上是否存在点N,使得平面。VM_L平面B48?若存在，求出而的值；若不

存在，说明理由.

22

19.已知椭圆=+[=1的短轴长与焦距相等，且椭圆过点尸-1,,斜率

a2b2\

为左的直线/过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A,8两点，M是线段的中点，射线OM与

椭圆于点C.

(1)求椭圆方程；

(2)若直线左=-；，求点C的坐标；

(3)是否存在正数上使四边形OACB是平行四边形？若存在，求出直线AB的方程，若不存

在，请说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号379

答案DCAB

1.A

【分析】由复数除法运算可得z,由此可求得复数的模长.

【详解】2=源=(3+怨-1)=2-31,*|=万+(-3)2=屈・

1—1

故选：A.

2.B

【分析】由抛物线方程直接得焦点坐标，准线方程即可求解.

【详解】由题意抛物线V=6y的焦点坐标、准线方程分别为(o,|),y=-|,

所以抛物线Y=6y的焦点到其准线的距离等于3.

故选：B.

3.D

【分析】分析可知，u//n，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于。、6的方程组，解出

这两个未知数的值，即可得出a+2Z＞的值.

【详解】因为〃=(3,a+6,a-6Xa,beR)是直线/的方向向量，W=(1,2,3)是平面。的法向量,

且/_La,

3a+bci—bftz+Z?=6153

则M//W，则;=詈=寸，所以，j=9'解得。*，b=_?

因止匕，a+2&=y+2x^-|^=|.

故选：D.

4.D

4q=15,、

【分析】根据等差数列的性质列出方程组广。，从而求出q和公差d,写出｛%｝的通

।+—y

项公式即可求出答案.

【详解】因为｛g｝为等差数列，的+为=8,所以。3+%=8,

〃3=15

由(舍)，所以

%+%=8

答案第1页，共13页

所以氏=2"-3.

42/1-3=21,得〃=12.

故选：D.

5.B

【分析】利用定义依次计算即可.

【详解】加=23时即Q[=23=>%=23x3+1=70=>?=35=>%=106=>%=53n%=160

Oj=80n〃8=40=>[9=2°=1°nQ”=5=>an—16=>6z13=8n44=4

%5=2=>《6=1.

故选：B

6.D

【分析】根据题意，得到直线丫=履-2与圆尤2+y2=l相切或相离，结合直线与圆的位置关

系，即可求解.

【详解】由题意，点P为直线y=履-2上一点，过产总能作圆f+y2=l的切线，

可得直线、=履-2与圆f+y2=1相切或相离，

则满足圆心到直线的距离解得左2<3,即-gV左(6，

所以上的最小值为-JL

故选：D.

7.C

【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值.

Q11

【详解】■/PG=PA+AG=PA+-x-^AB+AC^=PA+-^AP+PB+AP+PCj=

-PA+-PB+-PC,

333

PM=~PG=~(PA+PB+PC\.

26、>

,：PD=APA,PE=LIPB,PF=-PC,

2

：.PM=-^PD+-PE+-PF

626〃3

答案第2页，共13页

瓦尸四点共面,

>1,当且仅当时，等号成立,

N）

.•・X+4的最小值为1.

故选：C

8.C

【分析】由正弦定理和双曲线的定义可得是正三角形，从而/耳”耳=120。.在

△町工中，由余弦定理即可得到答案.

sinZNFF2

【详解】由./总；=&，结合正弦定理得2|八有|=3|八5|,

olllZ—LVXX1J

因为日叫|=2〃，所以|NK|=6a,|N闾=4°.

又（ME+MNJ.NFL。,gp（MF2+MN^-（MF2-MN^=0,

则M/f-初/=0,所以

设|叫|=|A«V|=〃z,则|岫|=6<7—〃z,

又=2a,则a—（6a—/〃）=2a,解得m=4a,

所以|A^|=|AlM=4a,\MFY\=2a,

所以炳N是正三角形，从而乙甲明=120。.

在△西心中，由但月「=|岫「+|磔「一2x|孙卜NE|XCOS120。，

得（Ze）?=（2a）~+（4a）2-2x2ox4axcosl20。，得/=7〃，所以e=>/7.

故选：C.

9.AB

【分析】根据复数的运算及概念，直接判断AB,举例判断CD.

【详解】A.设z=。+历，由z+l=（a+l）+6ieR得匕=0,那么z=。+历也是实数，正确;

B.i§：z=a+bi,由z+i=a+（6+l）iwR得6=-1,那么z的虚部为一1,正确；

仁若2=1,则|Z|=1,此时ZW±1,错误；

答案第3页，共13页

口.若2=：1,z2=r=-l为实数，所以Z不一定是实数，错误.

故选：AB

10.BD

【分析】利用两直线平行求出实数。的值，可判断A选项；对于B,由于直线质-yf-l=O

过定点所以求出心.，%v可得答案，利用平行线间的距离公式可判断C选项；利

用圆与圆的位置关系可判断D选项.

【详解】对于A,若4//%则3—。(2。-1)=0,贝U-2/+a+3=0,

3

角军得a=—1或〃=Q,

当〃=_］时，4:x—3y—5=012：—x+3y+5=0,则4，4重合；

33253

当〃时，\-x+2y=0,Z2:—x+3y+—^-=0,贝!J/"/"，故4=5,故A错误；

对于B,由版_>_左_1=0,得左(x-l)_(y+l)=0,

所以直线依-y-左-1=0过定点

因为心M=T?=-；，%V=U^=］，所发V-1或左n］,故B正确；

—J—123-1Z2Z

对于C,将直线x+y-l=0化为2尤+2y-2=0,所以两直线间的距离1=上廿=史1,故

V4+44

C错误；

记以4(-1,2)为圆心，1为半径的圆为以8(3,-1)为圆心，4为半径的圆为。2，

因为两圆的圆心距"=1-3)~+(2+1)~=5,且两圆的半径之和a+2=5,

所以d=/1+4,所以两圆外切，所以两圆有三条公切线，

这三条公切线满足与点人(-1,2)距离为1,且与点3(3,-1)距离为4,故D正确.

故选：BD.

答案第4页，共13页

11.ACD

【分析】根据|PF|=2+g=4得到故y2=8x,A正确，AB中点以2,4）在抛物线上，B错误,

|PM|+|PF|=|PM|+|PE|＞6,C正确，计算DG=gA£D正确，得到答案.

P

【详解】丁=2夕彳（0＞。）,故|尸刊=2+3=4,p=4,故V=8x,A正确；

设4（占，%）,3（/，%）,设A8中点。（％,%），则＜“2一?，相减得到

%=8%

（%+%）（%-%）=8（石-%2），即2%-38=8,因为4、8两点关于尤+〉-6=0对称，所以勤=1,

故为=4,故分=2,点（2,4）在抛物线上，不成立，故不存在，B错误；

过尸作PE垂直于准线于E,则|加|+|尸尸|=|加|+|尸耳之6,当尸，及M共线时等号成立，故C

正确；

如图所示：G为,中点，故。G=g（O尸+AQ）=gAC=：A尸，故AF为直径的圆与,轴相切,

故D正确；

故选：ACD.

12.（0,-0T）,（O,0T）

【分析】化椭圆方程为标准形式，求出长短半轴长，进而求出半焦距即得.

丫2V2

【详解】椭圆25/+4/=100,即L+工=1,长半轴长。=5,短半轴长》=2,

425

则半焦距0=行万=石，显然椭圆焦点在y轴上，

答案第5页，共13页

所以它的焦点坐标为(O,-01),(O,0T).

故答案为：(0,-01),(0,6)

13.(x-l)2+(y+2)2=5

【分析】对于本题，我们先求出线段A3,A。的垂直平分线方程，然后联立求出圆心坐标,

再根据圆心到顶点的距离求出半径，最后写出外接圆的标准方程.

【详解】对于A(2,0)和3(0,-4),中点坐标2为+0匕0-4?)=(1,一2).

再求线段AB的斜率kAB=""==2-

xB-xA0-2

那么A8垂直平分线的斜率为(因为两条垂直直线的斜率乘积为-1).

2

利用点斜式，可得线段垂直平分线方程为y+2=-g(尤-1),即x+2y+3=0.

线段AO的中点坐标为(专,空9)=(1,0).

线段AO在％轴上，其垂直平分线为X=1.

jx=]

联立c。C，把x=l代入龙+2y+3=o,

[x+2y+3=0

得l+2y+3=0,解得y=-2.

所以圆心坐标为(1,-2).

根据两点间距离公式，圆心(1,-2)到A(2,0)的距离就是半径r.

r=J(2-1)?+(0+2>=B

根据圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,可得Q-1)?+(y+2)?=5.

则VAOB的外接圆的标准方程为(x-1)?+(y+2)2=5.

故答案为：(x-l)2+(y+2)2=5.

14.4或2

【分析】根据向量的线性运算可得尸E=E4+4V+AE，两边平方，利用向量的数量积运算,

结合题意已知可得结果.

【详解】由题意知，FE=FA+AA'+A'E>所以式E?=("+AA'+A'Ep，

展开得FE2=FA+AAr"+A'E2+2FA-AA'+2FA-A'E+2AA'-A'E

答案第6页，共13页

:异面直线a,6所成角为60°,代入23=9+A4'2+4+0±2X2X3COS60°+0，

所以河|=4或向[=2,

故答案为：4或2

..=4

15.(1)Z]=4-，，z2=—3+2i(2){

[b=2

[a—4=1

【分析】⑴求出Z]=(〃-l)-i,Z2=-3+(b-3)i,由题得//I，解方程组即得解；

[/?-4=1

[(a-4)2+(h-=4

(2)由题得'cc，解方程组即得解.

[2-6=0

【详解】(1)VAB=(«,1)-(1,2)=(«-1,-1),8=(-1,6)-(2,3)=(-3,6-3),

所以Z]=(a—1)—i,z2=-3+(Z>—3)z,

所以4+z?=(a-4)+(Z?-4)z,

又Z]+z?=1+i,

.4=1.ja=5

，，[b-4=l，F=5，

Z]=4—z,z?=—3+万.

(2)由(1)得Z]+z?=(a—4)+(A—4)i,zx-z2=(a+2)+(2—b)i,

•.[Z]+Z2|=2,Z]-z?为实数，

.r(a-4)2+(&-4)2=4Ja=4

•J2-6=0，"[b=2'

【点睛】本题主要考查复数的概念和计算，考查复数的模的计算，考查向量对应的复数的计

算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

16.(1)圆心C(2,3),半径r=3

(2)2x-y-6=0

⑶16

【分析】(1)将圆的方程化为标准方程即可得解；

答案第7页，共13页

（2）分直线得斜率是否存在讨论，结合圆的弦长公式即可得解;

（3）设知（石,乂）,?/（彳2，%），联立方程，利用韦达定理求出占+尤2，%%，再根据数量积得坐

标公式即可得解.

【详解】（1）将圆C:d+y2-4x-6y+4=0化为标准方程：（x-2）2+（y-3）2=9,

则圆心C（2,3）,半径r=3；

（2）当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=4,

在圆（?：了2+/-4%-6〉+4=0中，

令x=4,得旷-6y+4=0,解得,=3±石，

此时|MN|=2正，与题意矛盾，

所以直线/的斜率存在，设斜率为左，

贝IJ直线/的方程为y—2=左（x—4）,即依_y_4左+2=0,

因为|M2V|=4,

所以圆心C（2,3）到直线/的距离/=J]'"=囱==石,

|2左一3-4左+2|广

所以一/,'=出,解得左=2,

所以直线/的方程为2x-y-6=0,

综上所述，直线/的方程为2x-y-6=0；

（3）设M（石,乂）川（々,力），

2x-y-6=0t,

联立22A乙An»消>得5%2—40%+76=0,

X+y-4x-6y+4=0

76

贝|J玉+%=8,石马=i

4

故=（2%一6）（2%-6）=4%x2—12（玉+x2）+36=—,

一764

所以OAf-ON=xix2+yly2=—+—=16.

答案第8页，共13页

17.⑴4=3〃-7（〃eN*）；（2）938是数列也｝中的项，理由见解析.

【分析】（1）设等差数列｛q｝的公差为“，由题意可知出与。8的等差中项为与，利用等差数

列的定义列出式子求出公差为d,4,进而列出｛%｝的通项公式；

（2）写出a=%,=9"-7（〃eN*）,将938代入验证即可.

【详解】解：（1）设等差数列｛5｝的公差为d,根据等差中项的性质可得出与网的等差中项

为。5，

所以%=8,又因为〃3%=28,即（%-2d）（q+2d）=28.

所以/=9,d=±3,因为公差为正数，所以d=3.

则%=4+4d=8,贝I%二-4.

.二｛。〃｝的通项公式%l）d=—4+3（〃—1）=3〃—7（〃£N*）.

⑵结合⑴可知乙=%=2,仇=。6=11，4=%=20,L,a二%"=9〃-7（〃£N*）.

令938=9〃一7,BPn=105eN*,符合题意，Bp^105=938,

所以938是数列也｝中的项.

【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.

18.（1）证明见解析

⑵手

⑶存在‘^4

【分析】（1）。为AC中点，连接ME＞、PO,由中位线、等腰直角三角形的性质易得MDLAC、

PD1AC,再根据线面垂直的判定及性质可证结论.

（2）构建空间直角坐标系，由已知确定相关点坐标，分别求PC与平面B43的方向向量、

答案第9页，共13页

法向量，应用空间向量夹角的坐标表示求PC与平面PAB所成角的正弦值.

（3）假设存在N使面面且——=4,0W/W1,由（2）易得阳-九版/-彳），

PB

进而求面CW的法向量，由面面垂直易得根."=0求参数彳，即可确定存在性.

【详解】（1）若。为AC中点，连接MD、PD,又M为的中点.

MD//BC,由AC_L3C,则MD_LAC,

又KPAC为等腰直角三角形，PA1PC,易知：PDJ_AC,

由MDcPD=D,则AC_L面

：PMu面尸MD,

，AC1PM.

（2）由（1）可构建以D为原点，DA,DM,DP为x、y.z轴正方向的空间直角坐标系,

AA(l,0,0),B(-l,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,l),则CP=(1,0,1),”=(-1,0,1),BP=(1,-4,1),

AP-n=-x+z=01

若〃=(%,y,z)为面B43的一个法向量，则，，令z=l,即〃=(1,不1),

BP-n=x-4y+z=02

CP-n22V2后

...Icos<CP,n>|=|而面1==丁，则pc与平面PAB所成角的正弦值为处.

2X23

PN

(3)若存在N使得平面CW_L平面P48,且诟=2，0W/W1,

由(2)知:M-A,42,1-2),M(0,2,0),则西=(1-，41,1-㈤,CM=(1,2,0),

答案第10页，共13页

CN-m=(1-A)a+42Z?+(1-2)c=0

若加=(a,"c)是面CNM的一个法向量，则,令b=l,则

CM,m=a+2b=。

2—6A

m=(-2,1,

1-2

.c12-64—r/日o_1

・・YYl'Yl——2H1-------0,-fe14=—.

21-29

PN1

・•・存在N使得平面QVM_L平面此时一

PB9

19.(l)y+/=l

⑵臂由

(3)答案见解析

【分析】(1)由椭圆的性质结合点在椭圆上代入可得;

(2)直曲联立，由韦达定理和中点坐标公式得到点M坐标，再直曲联立，解出交点坐标即

可;

(3)设A(毛,%)，3(%,%)，直曲联立，由韦达定理得到鼻+%,%+%，再由四边形。4cB

是平行四边形OA+OB=OC，得到点C坐标，然后代入椭圆方程解出即可;

【详解】(