吉林省吉林市普通中学2024-2025学年高三年级上册第一次模拟测试数学试题（解析版）

吉林市普通中学2024-2025学年度高中毕业年级第一次模拟测试

数学试题

说明：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，贴好条形码.

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，用0.5毫米的黑色签字笔将答案

写在答题卡上.字体工整，笔迹清楚.

3.请按题号顺序在答题卡相应区域作答，超出区域所写答案无效；在试卷上、草纸上答题无

效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求.

1.已知复数Z=l+1,则"()

A.0B.1C.72D.2

【答案】C

【解析】

【分析】先求z的共轨复数，再利用复数模的计算公式求解即可.

【详解】由2=1+1，则亍=1—i，

则|z|=yjl2+(-1)2=拒,

故选：C.

2.“cosa<0”是“角a为第二象限角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件，结合三角函数在各象限的符号得解.

【详解】因为cosa<0,所以a可能为第二、第三象限角，也可能终边在x负半轴上，

推不出a为第二象限角，但是角a为第二象限角，能推出cosa<0,

所以“cosa<0”是“角a为第二象限角”的必要不充分条件.

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故选：B

3.已知/={—2,—1,0,1,2},5={xeN|x2e^},则2口3=()

A.{1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合8,根据集合交集运算可求解.

【详解】根据题意可知集合3元素，xeN且则x=0或x=l,

所以集合5={0,1},则4c5={-2,-1,0,1,2}n{0,l}={0,l}.

故选：B

4.已知向量£=(/+1,—1),右=(2,1),则()

A.若"〃3，贝!|Z=—'B.若"〃刃，则/=1

2

31

C.若则/=—aD.若°_1_3,贝！!/=一万

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量共线与垂直的坐标公式计算即可.

【详解】对于AB,若之/后，则Z+l=-2,解得/=—3,故AB错误；

对于CD,若a6，则a=2(/+1)—1=0,解得/=—万，故C错误，D正确.

故选：D.

5.在△48C中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=2B,2a=36,贝i]cos8=()

3V52V7

A.-B.—C.-D.—

4334

【答案】A

【解析】

【分析】由正弦定理即二倍角公式可求COSB的值.

【详解】因为2a=36,由正弦定理2sin/=3sinB,又A=2B,所以

2sin25=3sinB=>4sinScos5=3sinS,

3

因为8为三角形内角，所以sinBwO,所以4cos8=3=>cosB=—.

故选：A

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a—a

6.已知等差数列｛log3%｝的公差为1,则士工=（）

A.1B.3C.9D.27

【答案】D

【解析】

a

【分析】由题意得3=3,从而对所求式子进行变形即可求解.

an

【详解】由题意log3%+iTog3%=log34包=ln4'=3，

anan

所以"*=33（%一曰）=27.

牝一。2。5—。2

故选：D.

7.设样本数据不，/，…，、2024的平均数为口标准差为S,若样本数据4再+1,4%+1,…，4X2024+1

的平均数比标准差少3,贝的最大值为（）

A.1B.V2C.4D.472

【答案】C

【解析】

【分析】由平均数、标准差的性质结合已知条件得I=s—1，从而s2+^=s2+s—12—J,由此能求出

【详解】样本数据为，/，…，》2024的平均数为标准差为S,

样本数据4占+1,4x2+1,4》2024+1的平均数为n+1，标准差为4s,

依题意有4x+l=4s-3，得x=s—l，

由5之0，5,2+X=52+5,—1>—1»

所以1=4，即s=0时，仪的最大值为4.

故选：C.

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8.已知函数/(x)=2sin(3x+°)(①>0,0<"<|")的部分图象如图所示，若函数的图象关

于了轴对称，则冏的最小值为()

【答案】B

【解析】

(SJTJT\ISJTSJTJTA

【分析】根据图象得到/(x)=2sin［彳］+卜从而有/(x+8)=2sin［彳］+彳8+,再根据题设

44

得到。二一+—左，左£Z,即可求解.

155

【详解】由图知，/(O)=2sin°=l,得到sin°=，，又0<e<］,所以°=巴,

226

22it571

又由“五点法”作图知，第三个点为(一,0),得到一口+―=兀，解得@=——，

3364

所以/(%)—2sinf—x+—,则/(x+8)=2sinf—x+—0+—,

又/(x+e)的图象关于y轴对称，则乎+得到6=2+1■左，左eZ,

48।14

令k=0,得到6=一,令k=—l,得到。=一2,所以。的最小值为一，

15151115

故选：B.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

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9.下列不等式成立的是（）

A.若ac2>be2，贝1Ja>6B.若。>6,贝ijac2>be2

C.若。（广之会/，贝ij°之方D.a>b,贝1Jac226c?

【答案】AD

【解析】

【分析】根据不等式的性质判断A,由特殊值°2=0时可判断BC,分类讨论结合不等式性质判断D.

【详解】对于A,若ac?>b*，由不等式性质，两边同乘以1〉0,可得。>6,故A正确；

c

对于B,若a>b,当02=0时，ac2=be2>故B错误；

对于C,当。=0]=1,。2=0时，422A2成立，但aNb不成立，故C错误；

对于D,若aNb,当。2>（）时，由不等式性质知ac226c2,

当02=0时，ac2=bc2,不等式也成立,

综上，若aNb,则ac226c2,故D正确.

故选：AD

10.如图，在△/BC中，点。为的中点，点E为ZC上靠近点A的三等分点，AB=2,AC=3,

B.左是君在衣上的投影向量

—•2—•1—­

C.DE=-BA——BCD.BG=-BE

365

【答案】BC

【解析】

【分析】根据向量的线性运算及向量数量积的几何意义与运算律可判断各选项.

【详解】A选项：由近;二衣—万，则

回2+AB2-Z4B-AC=^32+22-2x2x3x1=6，A选项错误;

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B选项：由向量数量积的几何意义可知荔在太上的投影的数量为|与卜osNR4c=2x1=l,

又点E为AC上靠近点A的三等分点，即|诟卜m正卜1,

即画3/切0=网，

所以，斤是君在北上的投影向量，B选项正确;

—•->--1—-2—*1--2/---2--1--

C选项：DE=DC+CE=-BC+-CA=-BC+-(BA-BC]=-BA——BC,C选项正确;

~2323、>36

--»--»--*--»]---»

D选项：设瓦5=x而，又点G在4D上，可设3G=xR4+(l—x)3£)=xA4+w^5C,

又标=反+谖=反+—同-前、=—瓦+—灰,

3、'33

——•—•2九一-1——■

则BG=XBE=—BA+-BC,

33

1

-2=x%二一

则：3।，解得<2

11-x

—A0=--

132

—►3—►

即BG=—D选项错误；

4

故选：BC.

11.已知函数/(》)=不一，贝u()

ex

A./(x)是周期函数

B.-1</(%)<1

C./(x)在(0,兀)上恰有1个极值点

D.关于x的方程/(x)=；有两个实数解

【答案】BCD

【解析】

【分析】结合周期函数的特点可判断A项；运用函数放缩，再结合函数y=e*-x的性质可判断B项；二

次求导，再运用零点存在定理可判断C项；分段研究可判断D项.

【详解】对于A项：由于y=sinx具有周期性，而歹=/-》不具有周期性，

所以函数/(x)=F—不是周期函数，故A错误；

ex

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对于B项：因为函数〉=/-工定义域为R,且j/=e*—l，

所以当xe(O,+s)时，/>0,y=e，-x单调递增；

当xe(-oo,0)时，y'<0,y=e"-x单调递减.

所以y=e£—x2e°—0=l,且x——00或x—+00时，j=ex-x+co,

一…|sinx|1

所以L_L<—

ex-xex-x

TT

又因为第一处等号成立的条件是x=Qi+Q,(keZ),

第二处等号成立的条件是x=0,所以两处等号不能同时成立，

所以包1<1,所以_1(网王<1,即—1</(耳<1,故B正确；

e「xex-x

对于C项：因为/,(x)「°sxe-X)-

JC-X)

设g(x)=cosx(er-x)-sinx(eY-1),xe(0,兀)，

则g'(x)=-sinx(er-x)-exsinx<0,所以g(x)单调递减，

又因为g(0)=1>0，g(兀)=-e-兀)<0,

所以g(x)=c0sxe—x)—sinx(e*-1)在(0,兀)上有且仅有一个变号零点,

即/'(久)有唯一的零点，

所以/(X)在(0,71)上恰有1个极值点，故C正确；

对于D项：因为4)=孝(1_：)>0,g^=-(e?-l)<0,

且g(x)在(0,兀)上单调递减，

所以存在/，使g0o)=。，

所以当Xe(O,X0)时，g(x)>0；当xe(%,兀)时，g(x)<0.

所以当xe(0,x。)时，/'(久)>0，/(x)单调递增；

当X€(%,兀)时，f,(x)<0,/(X)单调递减.

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所以/"(0)=0</《)</(Xo)>f5)=0,

4-

—JI3

又因为e4——<e—1<3——,

4V2

71

所以也(亚-巴)<3，

4

所以y=fO)与了=；在(0,兀)上有两个交点,

所以方程/(1)=；有两个实数解.

当xe(3,+oo)时，=

又因为砂-x>e3-3>2.73-3>3,

所以|/(x)|=J-----L<———<-,

ex-xex-x3

所以方程/(》)=^在(3,+8)上无实数解.

当xe(—匹0)时，/(x)<0,方程/(x)=；在(—71,0)上无实数解.；

当xe(-co,-3)时，(x)|=\smx\<_J_,

-xe-x

又因为e%—x>e-3+3>3,

所以方程/(可=；在(-哂-3)上无实数解.

综上可知关于x的方程/(x)=§有两个实数解，故D正确.

故选：BCD

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中14题的第一空填对得2分，第

二个空填对得3分.

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12.中国成功搭建了国际首个通信与智能融合的6G外场试验网，并形成贯通理论、技术、标准和应用的全

产业链创新环境.某科研院在研发6G项目时遇到了一项技术难题，由甲、乙两个团队分别独立攻关.已知甲、

乙团队攻克该项技术难题的概率分别为0.8和0.7,则该科研院攻克这项技术难题的概率为.

47

【答案】0.94##——

50

【解析】

【分析】设相应事件，根据对立事件结合独立事件求尸月），即可得结果.

【详解】设甲、乙团队攻克该项技术难题分别为事件48，

则P（4）=0.81（B）=0.7,

可得P（次）=P（N）P（豆）=1——P⑻]=（1—08）（1—0.7）=0.06,

所以该科研院攻克这项技术难题的概率为1-0（彳万）=0.94.

故答案为：0.94.

13.已知集合2=卜卜=2〃,〃€?4*｝,8=｛x|x=3",〃eN*｝,将中所有元素按从小到大的顺序排

列构成数列｛%｝，则数列｛%｝的前20项和为.

【答案】345

【解析】

【分析】明确/UB中的元素，了解数列｛4｝前20项的构成，可求数列｛4｝的前20项的和.

【详解】由题意，数列｛%｝的前20项为：2,3,4,6,8,9,10,12,14,16,18,20,22,24,26,27,

28,30,32,34.

所以数列｛%｝的前20项的和为：

_17（2+34）

J2。------------F3+V+2/—.

故答案为：345

14.已知函数/（x）='二—e3g（x）=2三—Inx的零点分别为X],%，且西〉2,%>2,则

x—2x—2

1

西------_________；若。<、2-西恒成立，则整数。的最大值为______.

“2—2

（参考数据：In2ao.7,In3kl.1,1117ML95,11117a2.8.）

【答案】①.2②.6

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【解析】

【分析】利用函数图象的对称性，得点(西,炉)与点(x2,lnx2)关于直线V=x对称，则有

2-=e'=%,2H-=lnx2=X,所以西—=2；x2—x1=x2—2—,由已知参

X]—2x2-2x2-2x2-2

考数据利用零点存在性定理可得8.5<%<9,可求%一再的范围得整数。的最大值.

【详解】函数y=一1与两函数_)；=6"y=ln%图象的交点的横坐标即为/(x)和g(x)的零点，

反比例函数y=L的图象关于直线y=x对称，

X

函数歹=—匚=2+——的图象，可以由>=工的图象向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到，

x—2x—2x

2y_71

则对称直线为y=（x—2）+2=x,函数y=——=2+——的图象关于直线y=x对称,

x—2x—2

又函数y=e"与歹=lnx互为反函数，图象关于直线丁=1对称,

当国>2,%>2时，有点与点(%2，拈%)关于直线y=x对称,

c1,1

则有2+—=-2+7吨"'

1c

所以国——2；

x2-2

_c1,/、2x—31

%2-阳二、2-2--------,由g（x）---------Inx,

%-2''x-2

§（8.5）=^^^-^8.5=--In—=--（Inl7-ln2）«—-（2.8-0.7）>0,

8.5—26.521313

2x93

g（9）=--ln9=--21n3^--2.2<0

-9-277

利用零点存在性定理可得8.5<x<9,故6.5------<x—x<7—,

26.5217

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11

又6.5—布＜6,7),7-ye(6,7),若。〈声一再恒成立，则整数。的最大值为6.

故答案为：2；6.

【点睛】关键点点睛：

2r-3

本题关键点是：函数y=--------的图象关于直线V=%对称，函数歹二e'与歹=Inx的图象关于直线V=%对

x-2

称，可知点(西,11)与点(9,111%)关于直线＞?=》对称，得到2+」^=eM=%,2+」^=山2=西.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.在新时代改革开放的浪潮中，吉林省践行习近平总书记“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银

山”的发展理念，绘就了“一山一水一通道”的四季旅游璀璨画卷，形成了“一山两湖三江四季”的旅游IP

矩阵.吉林某校为促进学生对家乡山水人文的了解，组织学生参加知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，根据

初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛.现从参加初赛的学生中随机抽取100名，记录并将成绩分成以下6

组：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如下图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中。的值，并由此估计进入决赛学生的初赛成绩最低分;

(2)从样本成绩在［60,90)内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中任意抽

取2人访谈，求至多有一人成绩在［60,70)内的概率.

【答案】(1)a=0.020,72.5；

(2)

5

【解析】

【分析】(1)根据频率直方图频率和为1即可求出。的值，根据频率分布直方图结合百分位数的方法即可求

进入决赛学生的初赛成绩最低分；

(2)首先利用分层抽样得到抽取成绩在［60,70)的人数，再利用古典概型结合对立事件概率的求法进行求解

即可.

【小问1详解】

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由题（0.010+0.025+0.030+。+0.010+0.005）x10=1,解得a=0.020,

根据初赛成绩，仅有30%的学生能进入决赛，

又成绩在［80,100］的频率为（0.01+0.005）x10=0.15<0.3,

成绩在［70,100］的频率为（0.02+0.01+0.005）x10=0.35>0.3,

因此可估计进入决赛学生的初赛成绩最低分〃应该在［70,80）之间，

则（80-n）x0.020+0.15=0.30,解得n=72.5.

【小问2详解】

由成绩在［60,70）的频率为0.30,在［70,80）的频率为0.20,在［80,90）的频率为0.10,

则从样本成绩在［60,90）内的学生中，用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人中,

0.30.2+0]

在［60,70）的人数为：6x=3（人），在［70,90）的人数为6x二3人,

0.3+0.2+0.10.3+0.2+0.1

C24

则从这6人中任意抽取2人访谈，至多有一人成绩在［60,70）内的概率为P==

3

16.已知察函数=（aeR）的图象过点（9,3）.

（1）求关于x的不等式/（2x—l）</（x）的解集；

（2）若存在x使得/（x）,八忑x）,/（Inx）成等比数列，求正实数f的取值范围.

⑵»

【解析】

1

【分析】（1）由幕函数过定点解出/（x）=x5,再由单调性解不等式即可；

（2）由等比数列的性质列出等式，再分离参数，利用导数求出单调性，从而得到结果;

【小问1详解】

因为幕函数/（"=廿（aeR）的图象过点（9,3）,

所以3=9。，解得夕=；，

第12页/共18页

1

所以/(力=门，定义域为x20,且为增函数,

2x-l<x

因为/(2x-所以<x»0,

2x-l>0

解得L«x<l,

2

所以不等式的解集为1,lj.

【小问2详解】

由题意可得f2(VFxj=f(x)-/(Inx),

即CxJinx=(，"x)，x〉l,/〉O

口rInx

即，二---，

x

所以，二--y—,令%'=Onx=e,

x

所以当x£(l,e］时，f>0,方为增函数；x£(e,+8)时，t'<0,/为减函数,

所以,max=一，

e

所以正实数t的取值范围为I0,1

17.已知等差数列｛册｝的前〃项和为S”，满足电+早4=1。，\=36・

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)求数列的前2〃项和笈2.；

(3)求数列|:1的前〃项和北.

【答案】(1)an=2n-l

(2)H,“=—2n”—n

en~+2n

【解析】

第13页/共18页

【分析】（1）根据等差数列通项公式及前〃项和公式可得解;

（2）利用并项求和的方法可得解；

a+22〃+111

（3）由@2,2一=~一八7,利用裂项相消法可得解.

Sn-Sn+1〃一（〃+1）〃（"+1）

【小问1详解】

由已知数列｛册｝为等差数列，

则1，解得1，

苗6=61+15d=36[d=2

所以%=%—=2/1-1；

【小问2详解】

由⑴得%=2〃一1,则$“=（%+%）〃=〃2,

则H2n=E-S2+S3-S4+.••+S2n「S2rl

=12-22+32-42+---+(2«-1)2-(2«)2

二(1-2)(l+2)+(3-4)(3+4)+…+[(2〃-1)-2〃](2〃-1+2”)

(1+2〃卜2〃

2

=—2〃2-n；

【小问3详解】

。〃+22/2+111

由(1),(2)得77+1)2n2(〃+『

.111111

所球+/铲+...+/一

〃+1『

1(〃+以

n2+2〃

FT

18.在△ZBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,tan/=3tanC.

第14页/共18页

jr

(1)若。=一，b=tanB,求△ZBC的面积S；

(2)求证：2a2-2c2=b2;

(3)当tanA-------取最小值时，求tanC.

tan5

3

【答案】(1)-

2

(2)证明见解析(3)-

3

【解析】

【分析】(1)先由C=:得到tan/的值，再结合tanB=—tan(4+C)得到tanB,根据正弦定理得到

最后由三角形面积公式S=sinC可得结果；

2

(2)由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明；

(3)利用tan5=-tan(/+C)和tan/=3tanC,将tan8表示为,代入tan/---------，化

''tan2TI-3tan5

简可得均值不等式，计算求解即可.

【小问1详解】

由题意，tan=3tanC=3tan—=3,则sinZ=3y,

tanA+tanC

tanB=—tan(4+C)=—=2,则sin3=

1-tanAtanC1-3x1

3V10

bsmA_*J。_3后

所以6=tanB=2,a=

3

所以AABC的面积S=—absinC=—x

222

【小问2详解】

cosAcosC3sinCcosC3c

b2+c2-a

由余弦定理得:2bc

a1+b--c2a2+b2-c2)3c

2ab

化简得：b2+2c2-2a2=0>BP2a2-2c2=b2.

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【小问3详解】

由tan/=3tanC,可得

/1A

tanZ+—tanZ.x/

tanA+tanC44tan/「

tanB=—tan(4+C)=—------------：-------=—^―-——，又tan4>0,

1-tanAtanC1—4tanA4,—14tanAAtanA—3

3

匚匚[、i1tanA—333333

所以tanA--------=tanA---------------=—tanA+--------->2J——=一，

tan54tan/44tan/V442

当且仅当tanA=一--,即tan4=1时取等号，

tanA

止匕时tanC=-tanA——x1=—.

333

2

19.已知函数=——-+tzx3+/?(x+l)-l,a,Z)eR.

(1)当a=0时，若/(x)在点(O,/(O))处的切线方程为y=|x+加，求实数加的值;

(2)⑴证明：曲线y=f(久)是中心对称图形；

(ii)若/(x)>l当且仅当x〉0,求。的取值范围.

【答案】(1)3(2)(i)