广东省广州市仲元中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题

第1页/共1页2024学年第一学期高一年级期中考试数学试卷命题人：张婷审题人：谭昌军一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合.【详解】因为，，则.故选：B.2.设、，“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】当且时，，则“且”“”，另一方面，当时，可取，，则“且”“”，因此，“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.函数是幂函数，则实数的值是（）A. B. C.或 D.且【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可.【详解】由幂函数的定义知，即，解得或．故选：C4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，求得函数的定义域，再根据和的单调性，利用复合函数的单调性求解.【详解】令，解得或，而函数的对称轴为，开口向上，所以在上递减，在上递增，由复合函数的单调性得：函数的单调递增区间是，故选：B5.若，，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.【详解】因为在上单调递减，所以，即，又因为在上单调递增，所以，即，所以，故选：A.【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.6.函数的图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的定义域，即可判断奇偶性，再根据函数值的特征，利用排除法判断即可.【详解】函数的定义域为，又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；当时，则，故排除C；当时，函数在上单调递增，且当时，故排除B.故选：D7.已知，，，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件变形可得，结合1的妙用即可求解.【详解】因为，，所以由变形可得，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为，故选：D8.8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（）A.26 B.46 C.28 D.48【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得.【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图，则，②+③+④得⑤，①⑤得，所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部外选对的得部分分，有选错的得0分.9.以下正确的选项是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解AC，举反例即可求解B，根据作差法可求解D.【详解】对于A，由于，则，因此，故A正确，对于B，取，满足，则，故B错误，对于C,若，则，进而可得，故C正确，对于D，，由于，则，故，故D正确，故选：ACD10.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（），其全程的平均时速为v，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果.【详解】设甲乙两地相距，则平均速度，故A错误，B正确；又∵，∴，根据基本不等式及其取等号的条件可得：

，∴，即，故C正确，D错误；故选：BC．11.已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（）A. B.为奇函数C.R上单调递减 D.当时，【答案】ABD【解析】【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.【详解】A选项，中，令中，令得，令得，即，A正确；B选项，中，令得，解得，中，令得，故为奇函数，B正确；C选项，中，令，且，故，即，当时，，故，即，故在R上单调递增，C错误；D选项，由A知，，又，故，又在R上单调递增，所以，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则___________．【答案】【解析】【分析】根据的解析式，依次代入与，即可得解.【详解】因为，所以，则.故答案为：.13.已知是定义在上的奇函数，当时，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据奇函数知识来求得正确答案.【详解】依题意，是定义在上的奇函数，所以，所以.故答案为：14.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，定义函数，则函数的最小值为_________；函数的图象与直线有无数个交点，则满足条件的m的取值范围为_________．【答案】①.0②.【解析】【分析】利用“高斯函数”的定义，得出的图象，结合图象，即可求解.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，依此，可得的图象如图所示，由图知，函数的最小值为，的值域为，所以函数的图象与直线有无数个交点，则.故答案为：0；四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集为R，集合，．（1）求，；（2）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果；（2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果.【小问1详解】，故，或，.【小问2详解】因为，所以，当，即时，，符合题意；当，即时，，解得，综上所述：实数的取值范围是.16.设函数．（1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，讨论a是否为0，结合判别式解不等式，即可求得答案；（2）不等式等价于，分类讨论a的取值范围，确定与1的大小关系，即可求得答案.【小问1详解】为假命题，，为真命题，即不等式在R上恒成立，当时，恒成立，则满足题意；当时，需满足a>0Δ=−a2综上，实数a的取值范围．【小问2详解】不等式等价于．当时，不等式可化为，解得；当时，，由不等式解得；当时，则，原不等式即为，解得；当时，则，解得或；当时，则，解得或；综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或．17.参加劳动是学生成长的必要途径，每个孩子都要抓住日常生活中的劳动实践机会，自觉参与、自己动手，坚持不懈进行劳动，掌握必要的劳动技能．在劳动中接受锻炼、磨炼意志，培养正确的劳动价值观和良好的劳动品质．大家知道，用清水洗衣服，其上残留的污渍用水越多，洗掉的污渍量也越多，但是还有污渍残留在衣服上，在实验基础上现作如下假定：用单位的水清洗1次后，衣服上残留的污渍与本次清洗前残留的污渍之比为函数．（1）①试解释与的实际意义；②写出函数应该满足的条件或具有的性质（写出至少2条，不需要证明）；（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后衣服上残留的污渍比较少？请说明理由．【答案】（1）表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上残留的污渍的；定义域为，值域为，在区间内单调递减.（2）当时，，此时两种清洗方法效果相同；当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.【解析】【分析】（1）①根据函数的实际意义说明即可；②由实际意义可得出函数的定义域，值域，单调性.（2）求出两种清洗方法污渍的残留量，并进行比较即可.【小问1详解】①表示没有用水清洗时，衣服上的污渍不变；表示用1个单位的水清洗时，可清除衣服上污渍的.②函数定义域为，值域为，在区间内单调递减.【小问2详解】设清洗前衣服上污渍为1，用单位的水，清洗一次后残留的污渍为，则；用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，然后再用单位的水清洗1次，则残留的污渍为，因为，所以当时，，此时两种清洗方法效果相同；当时，，此时把单位的水平均分成份后，清洗两次，残留的污渍较少；当时，，此时用单位的水清洗一次后残留的污渍较少.18.已知函数是定义在上奇函数.（1）求实数的值；（2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明；（3），使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）2（2）增函数，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解.（2）根据单调性定义即可证明.（3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解.【小问1详解】因为，,定义域关于原点对称，令，所以，故，则，，所以为定义在上的奇函数，故.【小问2详解】是上的增函数.证明：任取，且，，所以，所以，，，所以，，所以，即，所以是上的增函数.【小问3详解】当时，不等式即，故，则令，由题意可知，，因为函数，为上的增函数，故在上单调递增，故，所以.19.欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数．（1）已知,,判断和是不是倒函数，并说明理由；（2）若是上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数．记，证明：是的充要条件．【答案】（1）是倒函数，不是倒函数；理由见解析（2）证