广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第二次联考数学试卷

第1页/共1页2024-2025学年度第一学期五校第二次联考高一数学命题学校：东莞高级中学命题人：肖志军审题人：和凌香说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上正确书写班级、姓名、试室号、座位号、学校准考证号.用2B铅笔将学校准考证号填涂在答题卡相应位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.第I卷（选择题）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】分析可知的终边与的终边相同，结合象限角的定义可得结论.【详解】因为，可知的终边与的终边相同，而为第二象限角，所以是第二象限角.故选：B.2.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据不等性质及命题的充分必要性直接可判断.【详解】当时，若，则，即“”不是“”充分条件；当时，，即“”是“”必要条件，综上所述，“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的单调性，结合对数函数的单调性进行判断即可.【详解】因为函数在时单调递增，所以，即因为函数是正实数集上的增函数，所以，即，因此，故选：C4.已知是函数的一个零点，则（）A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据函数零点存在性定理判断即可．【详解】因为函数，均在上单调递减，所以函数上单调递减，又，，故零点所在区间为，所以.故选：C.5.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值.【详解】因为，所以，又，所以，所以，又，所以.故选：A.6.已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（）A.或 B.或C. D.【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合一元二次不等式的解集的性质进行求解即可.【详解】因为命题“，”为假命题，所以命题“，”为真命题，当时，显然成立，当时，要想对于恒成立，只需，综上所述：实数的取值范围是，故选：D7.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数型函数单调性的性质，结合对数函数和二次函数的单调性进行求解即可.【详解】二次函数的对称轴为，且开口向下，因为函数是正实数集上的增函数，又函数在区间上单调递减，则在区间上单调递减，且恒成立，只需满足，故选：C.8.某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（）（参考数据：，）A.2029年 B.2030年 C.2031年 D.2032年【答案】D【解析】【分析】根据题意列出指数方程，取对数，根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行求解即可.【详解】设第年该政府全年投入的资金翻两番，依题意得：，因此该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是2032年，故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列说法，正确的是（）A.B.若角与角的终边在同一条直线上，则C.若角的终边经过点，则D.若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】ACD【解析】【分析】利用平方差公式即同角的平方关系计算可判断A；角与角的终边可能重合可判断B；由已知可求得，可得，代入求值可判断C；设扇形的半径为，可求得，由扇形的面积可求面积判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，此时，故B错误；对于C，因为角的终边经过点，所以且，所以，故C正确；对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为，所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确.故选：ACD.10.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义与零点的定义逐项判断即可得结论.【详解】对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称.又，所以是偶函数.而，所以偶函数又存在零点，故B正确；对于C，由，解得，所以函数的定义域为−1,1，关于原点对称，又，所以是偶函数.而，所以存在零点x=0.所以是偶函数又存在零点，故C正确；对于D，由，解得，所以的定义域为.所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.故选：BC.11.已知，，下列说法正确的是（）A.若，则的最小值为5B.若，则最大值为1C.若，则的最小值为8D.若，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用特殊值法，结合基本不等式进行逐一判断即可.【详解】A：当时，显然满足，而，所以本选项不正确；B：，，，当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；C：，当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；D：由，得，且，，则，当且仅当，即当时取等号，故本选项正确，故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题的关键是这种变形，然后应用基本不等式.第II卷（非选择题）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是_____.【答案】【解析】【分析】利用幂函数的定义及性质计算即可.【详解】由题意可知，解之得或，当时，，此时函数在上单调递减，不符题意；当时，，此时函数在上单调递增，满足题意.所以实数的值是.故答案为：.13.已知函数（为常数），且，则_____.【答案】【解析】【分析】运用代入法，结合对数的运算性质进行求解即可.【详解】因为，所以有，于是有故答案为：14.已知函数（其中，且）.（1）若，则实数的值是_________；（2）若的值域为，则实数的取值范围为___________.【答案】①.②.【解析】【分析】第一空，由分段函数解析式直接求解即可；第二空，通过，，，分别讨论即可.【详解】（1）由解析式可得：，所以，所以，（2）当时，的值域为，，函数在单调递增，值域为：，显然不符合函数的值域为；当时，值域为，，函数在单调递增，值域为：，若函数的值域为，则需满足，解得：，故实数取值范围为；当时，显然不符合题意；当时，的值域为，，函数在单调递减，值域为：，显然不符合函数的值域为；综上实数的取值范围为；故答案为：；四、解答题：（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）计算.（2）已知，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据对数和指数运算求解即可.（2）利用因式分解化简，再配方可求值.【详解】（1）；（2）因为，所以.16.已知集合，.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）实数的取值范围或【解析】【分析】（1）先求得集合，可求得，进而可求得；（2）因为，由已知可得或，求解即可.【小问1详解】由，得，解得，所以，当时，，所以或，所以或；【小问2详解】由（1）可得，因为，所以，因为，所以或，解得或，所以实数的取值范围或.17.已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间；（2）讨论关于的方程的根的个数.【答案】（1），作图见详解，的单调增区间为（2）答案见详解【解析】【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；由图象写出函数的单调增区间；（2）在（1）的基础上，结合图象，讨论得到方程的根的个数.【小问1详解】设二次函数，则，因为，故，所以，解得，则，所以；当时，，当时，，则，为上的奇函数，故，，故，综上，gx画出函数图象如下：函数的单调增区间为.【小问2详解】由图可知，，，方程，即，当，即时，或当，即时，方程有一个根；当，即或时，方程有两个根；当，即时，方程有三个根.18.东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：9141822295459635952已知第9的日销售收入为552元.（1）求的值；（2）给出以下四种函数模型：①；②；③；④.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.【答案】（1）（2）比较合适，（3）元【解析】【分析】（1）根据日销售收入等于日销售数量与日销售单位的乘积进行求解即可；（2）根据所给函数的单调性与的单调性进行判断选择即可；（3）根据基本不等式、函数单调性的性质，结合（2）的结论进行求解即可.【小问1详解】因为第9的日销售收入为552元，所以有；【小问2详解】由函数、、的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，把代入，得，显然也满足函数的解析式；【小问3详解】由题意可知：，当时，，当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；当时，，显然此时函数单调递减，此时，综上所述：函数的最小值元.【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一是根据表中数据反映出的单调变化选择函数的解析式，之二是根据绝对值的性质，结合基本不等式、函数单调性的性质进行求解.19.已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数.（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；（2）解不等式；（3）已知函数ℎx与的图象关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1），证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义和性质，结合函数的单调性的定义、指数函数的单调性进行求解证明即可；（2）利用函数的单调性和单调性进行求解即可；（3）根据对称性的性质，结合存在性和任意性的性质进行求解即可.【小问1详解】因为的定义域为R且函数为奇函数，所以，