广东省佛山市南海区2024-2025学年高一上学期学业水平测试（12月）数学试题

第1页/共1页南海区2027届高一上学期学业水平测试数学试卷本试卷共4页，19题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必填写答题卡上的有关项目.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3，非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根据交集含义即可.【详解】，则.故选：B.2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，写出结论即可.【详解】因为命题，所以.故选：D.3.函数的零点所在的区间是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理判断即可.【详解】易知单调递增，，f2所以的零点所在的区间是.故选：C.4.设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数函数、指数函数的单调性比较大小可得答案.【详解】因为是R上增函数，所以，即，又是上单调递增函数，，即，.故选：A.5.已知函数，则（）A.5 B.0 C. D.【答案】B【解析】【分析】根据解析式算出答案即可.【详解】因为，所以.故选：B.6.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】借助函数的奇偶性、单调性及函数值的正负，利用排除法即可得.【详解】因为的定义域为R，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，即的图象关于原点对称，故AC错误；当时，因为，所以fx=xex故只有选项B符合题意.故选：B.7.人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度（单位：满足.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】【分析】利用题中给出函数模型，结合对数的运算性质求解即可.【详解】设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，所以，即老师声音的等级约为63dB.故选：D.8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造，根据题意得在上单调递增，再由题意转化即可.【详解】当时，有恒成立，即有，即，即f(x1)−2令，不妨设，可得则可得，即，所以是上单调递增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且，所以，不等式，即，所以，所以满足的的取值范围为.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.或【答案】ACD【解析】【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可.【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件，则.对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.故选：ACD.10.已知，为非零实数，且，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式及指数函数单调性可判断BC选项，利用特值法可判断AD选项.【详解】A选项：当，时，满足，此时，，，A选项错误；B选项：当时，不等式恒成立，当时，由，又，所以a2+即a2+b22C选项：由函数在上单调递增，且，则，C选项正确；D选项：当，时，满足，此时，，a−1>b−1，D选项错误；故选：BC.11.若存在两个不相等的实数，使均在函数的定义域内，且满足，则称函数具有性质，下列函数具有性质的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题中性质的定义，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A，的定义域为R，且，所以，因为，所以，故A错误；对于B，函数的定义域为R，取，，则，则，即，故B正确；对于C，假设函数具有性质，则存在，，使得，即，，即，若，则，即，即这与矛盾；若，不妨设，则可得，即，解得，则，故C正确；对于D，因为函数的定义域为R，又，所以函数为奇函数，取，则，所以，故D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.【答案】6【解析】【分析】由对数的运算性质和换底公式可得解.【详解】.故答案为：.13.已知函数在上单调递增，写出满足条件的实数的一个值__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】通过取，如或，得出，再利用基本函数的性质，即可求解.【详解】取，则，在区间上单调递增，所以满足题意，取，则，在区间上单调递增，所以满足题意，故答案为：（答案不唯一）.14.已知函数满足，若函数与图象的交点为，，则__________.【答案】【解析】【分析】根据题意，函数与y=fx的图象均关于直线对称，由对称性求解即可.【详解】由满足，则函数图象关于直线对称，又函数的图象关于直线对称，所以函数与y=fx的图象的交点关于直线对称，则，，即，解得.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）解不等式可得集合，从而进行各集合间的运算；（2）由可知，根据集合间的关系，分情况列不等式，解不等式组即可.【小问1详解】由已知，当时，，则，又或，所以；【小问2详解】由可知，当时，，解得，此时满足；当时，由，可得，解得，综上所述，即.综上所述，当时，实数的取值范围是.16.给定函数，.（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；（2），用表示，中的最大者，记为，求不等式的解集.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）根据对数函数与分段函数的图像得出答案；（2）根据图像求出的解析式，然后分类讨论求解即可【小问1详解】【小问2详解】因为，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，当时，，即，所以，所以不等式的解集为17.已知函数是偶函数.（1）求的值；（2）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明；（3）解不等式.【答案】（1）（2）在上单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质，建立方程，可得答案；（2）在给定区间内任意取，利用作差法，结合单调性的定义，可得答案；（3）根据偶函数与单调性化简不等式，结合对数函数单调性，可得答案.【小问1详解】因为是偶函数，所以，即.所以，解得.【小问2详解】任取，则.因为为增函数，且，所以.又，所以.所以，即，因此在上单调递增.【小问3详解】由，且为偶函数，可得.由（2）可知在上单调递增，所以.所以或，所以不等式的解集为.18.学校和学校相距20km，现计划在学校外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一点建造一家污水处理厂.其对学校的影响度与所选地点到学校的距离有关，对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为1；对学校的影响度与所选地点到学校的距离的平方成反比，比例系数为.对学校和学校的总影响度为学校和学校的影响度之和.记点到学校的距离为km，建在处的污水处理厂对学校和学校的总影响度为.统计调查表明：当在的中点时，对学校和学校的总影响度为0.085.（1）将表示成的函数；（2）判断半圆弧（不含，两点）上是否存在一点，使得建在此处的污水处理厂对学校和学校的总影响度最小？若存在，求出该点到学校的距离，以及总影响度的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据垂直关系可知，，再根据题意，转化为，再代入数据，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用换元法，基本不等式求函数的最值.【小问1详解】由为直径，得，所以，由已知得，又当垃圾处理厂是的中点时，对城和城的总影响度为，即时，，代入上式得，解得，所以表示成的函数为：；【小问2详解】，令，，则，又，当且仅当时，即时，等号成立，所以，当时，等号成立，所以弧上存在一点，该点到城的距离为km时，建在此处的垃圾处理厂对城市和城的总影响度最小为.19.已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数.（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）试判断与的大小关系，并证明你的结论.【答案】（1）（2）15.（3），证明见解析【解析】【分析】（1）由集合新定义直接求出即可；（2）分、讨