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第1页/共1页2024-2025学年度第一学期期中考试试卷高一数学2024.11一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.1.已知集合,则()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得又,故,故选:A2.命题“”的否定是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.【详解】命题“”为特称量词命题,其否定为:.故选:A3.函数的一个零点所在区间为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先判断在上的单调性,再由零点存在性定理判断即可.【详解】因为与均在上单调递增,所以在上单调递增,又,,,所以,所以在上存在一个零点.故选:B4.下列各组函数表示同一函数的是()A B.C. D.【答案】D【解析】【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同,即可判断两个函数是否为同一函数.【详解】对A,的值域为的值域为,不是同一函数,故错误;对B,定义域为的定义域为,不是同一函数,故错误;对C,定义域为的定义域为,不是同一函数,故错误;对D,,二者的定义域、对应法则均相同,为同一函数,故正确.故选:D5.下列函数中,既是偶函数又在上是增函数的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性判断即可.【详解】对于A:的定义域为,为偶函数,但是函数在上单调递减,故A错误;对于B:定义域为,且,所以为偶函数,当时,所以函数在上单调递减,故B错误;对于C:为奇函数,故C错误;对于D:定义域,且,所以为偶函数,且函数在上单调递增,故D正确.故选:D6.设,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由,则,即可以推导出,故充分性成立;由推不出,如,,满足,但是,故必要性不成立;所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A7.我国著名数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项A、D,再根据不成立排除选项C,即可得正确选项.【详解】因为函数的定义域为,函数的定义域为,函数与的定义域均为.由图知的定义域为,排除选项A、D,对于,当时,,不符合图象,所以排除选项C.故选:B.8.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)【答案】A【解析】【分析】不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,然后求函数f(x)=x2-4x-2在x∈(1,4)时的最大值即可【详解】解:不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),对称轴为所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.故选:A【点睛】此题考查不等式成立的条件,注意运用转化思想和二次函数的最值求法,考查计算能力,属于中档题.9.已知函数的图象关于直线对称,当时,恒成立.设,则a,b,c的大小关系为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据已知条件得到函数在上是减函数,再由函数的图象关于直线对称和函数的单调性比较可得答案.【详解】当且,时,恒成立,可得在上单调递减,且关于对称,所以在上单调递增,,,,即.故选:B10.对于任意的表示不超过的最大整数.十八世纪,被“数学王子”高斯采用,因此得名为高斯函数,人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是()A.函数为奇函数B.函数的值域为C.对于任意的,不等式恒成立D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】对于A,根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断,对于B,根据取整函数的定义求解判断,对于C,根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断,对于D,先解一元二次不等式,再利用取整函数定义求解.【详解】对于A,当时,,当,,所以不是奇函数,所以A错误,对于B,因为表示不超过的最大整数,所以当时,,所以函数的值域为,所以B正确,对于C,因为时,,所以,所以C正确,对于D,由,得,因为表示不超过的最大整数,所以,所以D正确.故选:BCD【点睛】思路点睛:关于新定义题的思路有:(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;(3)将已知条件代入新定义的要素中;(4)结合数学知识进行解答.二、填空题:本题共5小题,每小题4分,共20分.11.函数的定义域是_______.【答案】【解析】【分析】根据分母不为,偶次方根的被开方数非负得到不等式组,解得即可.【详解】对于函数,令,解得且,所以函数的定义域为.故答案为:12.不等式的解集为_______.【答案】【解析】【分析】移项,通分后可化简为简单分式不等式求解,需要注意分母不为零.【详解】移项得:,通分化简得到分式不等式:;两边同时乘以分母得平方,结合分母不为零,得到不等式组:解得.原不等式解集为.故答案为:13.已知,若,则的值为_______.【答案】或【解析】【分析】依题意可得,即可得到或,从而求出的值,再检验即可.【详解】因为,所以,又,所以或,解得或或,当时,集合、均不满足集合元素的互异性,故舍去;当或时,经检验均符合题意;综上可得或故答案为:或14.若函数是上的减函数,则a的取值范围是_______【答案】【解析】【分析】由是上的减函数列不等式,求解实数的取值范围即可.【详解】由题意得,且,解得;当时,,解得;综上得实数的取值范围为.故答案为:.15.已知函数,其中,下列结论正确的是_______.①存在实数a,使得函数为奇函数②存在实数a,使得函数为偶函数③当时,的单调增区间为④当时,若方程有三个不等实根,则【答案】【解析】【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或;C、D写出分段函数性质,结合参数的范围,应用二次函数的性质判断单调区间,进而确定时方程根的情况求参数范围.【详解】由,显然当a=0时有f−x=−f但不存在实数a使f−x=fx成立,所以存在实数a不存在实数,使得函数为偶函数.所以①正确,②错误;且在处连续,当时,易知:在上递增,递减,上递增,③正确;由解析式,当时在上递增,递减,上递增,又,,要使有三个不等实根,即与有三个交点,所以,又,可得,④正确.故答案为:.三、解答题:本题共4小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.已知全集,求.【答案】答案见解析【解析】【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求得或,结合交并补集的定义和概念计算即可.【详解】由题意知,或,所以,,或,所以17.已知函数.(1)若,且,求的最小值;(2)若,解关于的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】(1)依题意可得,利用乘“1”法及基本不等式计算可得;(2)依题意可得,分、、、、五种情况讨论,分别求出不等式的解集.【小问1详解】因为且,所以,即,又,所以,当且仅当,即,时取等号,所以的最小值为;【小问2详解】当时,不等式,即为,即;当时,解得,所以不等式的解集为;当时,不等式等价于,解得或,所以不等式的解集为;当时,不等式即为,解得,所以不等式的解集为;当时,,解得,所以不等式的解集为;当时,,解得,所以不等式的解集为;综上可得:当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.18.已知函数.(1)证明:为奇函数.(2)判断在上的单调性,并证明你的结论.(3)解关于t的不等式.【答案】(1)证明见详解.(2)在是增函数,证明见详解.(3)【解析】【分析】(1)利用奇偶性的定义进行证明;(2)利用单调性的定义进行证明;(3)利用前面的结论列出不等式组进行求解.【小问1详解】由已知函数的定义域关于原点对称,且对于定义域内任意的,都有:,为奇函数.【小问2详解】在是增函数,证明如下:选择任意的,满足,则,通分化简:,由可得:,,,;即,有.证得在是增函数.【小问3详解】,则,由是奇函数,则,又由是增函数,则;结合定义域,得到不等式组:,解得.故解集为:19.对于定义域为的函数,如果存在区间,同时满足下列两个条件:①在区间上是单调的;②当定义域是时,的值域也是.则称是函数的一个“黄金区间”.(1)请证明:函数不存在“黄金区间”.(2)已知函数在上存在“黄金区间”,请求出它的“黄金区间”.(3)如果是函数的一个“黄金区间”,请求出的最大值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【解析】【分析】(1)由为(0,+∞)上的增函数和方程的解的情况可得证;(2)由可得出,再由二次函数的对称轴和方程,可求出函数的“黄金区间”;(3)化简得函数的单调性,由已知是方程的两个同号的实数根,再由根的判别式和根与系数的关系可表示,由或,可得的最大值.【详解】解:(1)证明:由为(0,+∞)上的增函数,则有,∴,无解,∴不存在“黄金区间”;(2)记是函数的一个“黄金区间”,由及此时函数值域为,可知而其对称轴为,

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