安徽省县中联盟2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷（B）

第1页/共1页2024～2025学年度第一学期高二12月联考数学（B卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列1，，，，3，…，，…，则9是该数列的（）A.第42项 B.第41项 C.第9项 D.第8项【答案】B【解析】【分析】由递推得到通项公式，然后计算即可.【详解】由已知数列1，，，，3，…，，…，即，，，，，…，，…，则数列的第项为，令，解得，所以9是该数列的第41项.故选：B.2.过点且与直线垂直的直线方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接设直线的一般式方程，然后把点代入方程即可求解.【详解】设与直线垂直的直线方程是，代入点，得，解得，所以所求的直线方程是.故选：A3.已知函数的图象在点1,f1处的切线方程为，则（）A.8 B.3 C.4 D.-4【答案】C【解析】【分析】根据题意结合导数的几何意义分析求解即可.【详解】因为切线方程为，可知当时，，且切线斜率为3，即，，所以.故选：C.4.已知等差数列的前项和为，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列性质可得答案.【详解】在中取得，故，所以.故选：A.5.在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（）A.相交 B.外切 C.外离 D.内切【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件得到的轨迹表示圆心为，半径为的圆，再根据两圆的位置关系求解即可.【详解】，得，则，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为，半径，两圆的圆心距为，满足，所以两个圆外离.故选：C.6.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列关于函数的说法正确的是（）A.单调减区间是 B.是极大值点C.没有最大值 D.最多能有四个零点【答案】D【解析】【分析】利用给定的导函数图象，求出函数的单调区间，再逐一分析各个选项即可.【详解】由图可知：当或时，f′x<0，当或时，f′x因此函数在和0,4上单调递减，在和上单调递增，∴函数在上不单调，A错误；不是极值点，B错误；函数在处取得极大值，当不小于函数在，上的所有函数值时，函数有最大值，C错误；当，，，且函数在，上的图象都与轴相交时，函数在，，0,4，上各有1个零点，共有4个零点，因此最多能有四个零点，D正确.故选：D.7.在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值.【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是，设直线与平面所成角为，，则，所以时，，即的最大值是.故选：B.8.已知抛物线的焦点为，为坐标原点，若直线交于，两点，且，点关于的对称点为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可设直线解析式为，，，联立抛物线与所设直线，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合题意计算即可得直线纵截距，则可得点的轨迹方程，即可得的取值范围.【详解】由，两点在抛物线上，所以可以设点，，则，由直线交于，两点，故直线不与轴平行或重合，故可设直线解析式为，联立，得，，所以，解得，所以直线与轴的交点为，由，关于直线对称，所以，且点不与点重合，故可知的轨迹方程为：（不经过原点），所以，，即.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（）A. B.是的一个极值点C.在上的平均变化率为1 D.在处的瞬时变化率为2【答案】BD【解析】【分析】利用复合函数的导数、极值点的概念及平均变化率、瞬时变化率的算法逐项求解即可.【详解】利用复合函数的求导法则，由，所以A错误；因为，当时，，且时，f′x>0，时，f′x<0，故由在上的平均变化率为，所以C错误；因为，当时，，所以D正确.故选：BD.10.已知椭圆的长轴长为，离心率为，设点是椭圆上的任意一点，若点到点的距离与点到定直线的距离之比为定值，则（）A.椭圆的标准方程为B.C.D.若直线与椭圆相交于，两点，则【答案】ACD【解析】【分析】根据离心率求椭圆方程可判断A；设Px0,y0，依题意得，得恒成立可判断BC【详解】对于A，由题意，所以，则，所以椭圆的标准方程为，A正确；对于BC，设Px0,y0所以，所以恒成立，可得且，且，显然，解得，，B错误，C正确；对于D，由，解得，或，所以交点为，，则，D正确.故选：ACD.11.如图，在三棱锥中，三条侧棱，，两两垂直，且，为内部一动点（不包含边界），过分别作平面、平面、平面的垂线，垂足分别为，，.则（）A.直线与直线是异面直线B.为定值C.三棱锥的外接球表面积的最小值为D.当时，平面与平面的夹角为【答案】BC【解析】【分析】选项A,找一一特殊位置中心，然后判断即可；选项B，利用等体积法判断即可；选项C，三棱锥的三条棱两两垂直，可以补成一个长方体，长方体的体对角线为其外接球直径，然后计算即可；选项D，建立空间直角坐标系，然后找到所需点的坐标，然后计算即可.【详解】对于B，设，，，由题意，即，所以，即为定值，故B正确；对于C，设三棱锥外接球的半径为，由题意可知，，两两垂直，，当且仅当时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故C正确；对于D，如图，以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，,因为，所以，此时，为的中心，，，，因为，，平面，所以平面，故即为平面的一个法向量，，，设平面的法向量为，则有，令，则，，，则，所以平面与平面夹角的余弦值为，故D错误；由D可知，当为的中心时，，则，所以，所以直线与直线共面，故A错误.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在等比数列中，若，则______.【答案】##【解析】【分析】利用等比数列的性质可得答案.【详解】由，得，所以.故答案为：.13.已知直线与双曲线交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】【分析】设，，利用点差法结合中点坐标公式和离心率的定义求解即可；【详解】设，，可得，，两式相减可得，点是弦的中点，且直线，可得，，，即有，即，，，故双曲线的离心率为.故答案为：2.14.已知函数及其导函数的定义域均为，若对任意实数，，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】【分析】令，利用导数分析函数的单调性，并分析该函数的奇偶性，将所求不等式变形为，可得出，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.【详解】令，则，由题意可得当时，，即在上单调递增，由，则，即，故为偶函数，故在上单调递减，则不等式可化为，即，即，则有，即，即，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；（3）求解关于自变量的不等式，从而求解出不等式的解集.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在直线上，且经过点，.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆相切的直线方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出线段的中垂线方程，求出圆心坐标及半径即可；（2）按切线斜率存在与否，结合点到直线的距离公式求出切线方程.【小问1详解】线段的中点2,1，直线的斜率，则线段的中垂线方程为，即，由，解得，，因此圆的圆心，半径，所以圆的标准方程为；【小问2详解】点到直线的距离为2，即直线与圆相切；当切线斜率存在时，设切线方程为，即，由，解得，因此方程为，所以经过点且与圆相切的直线方程为或.16.已知数列的前项和为，，且数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求证：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据计算即可求解；（2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得答案.【小问1详解】当时，.因为时，，满足上式，所以数列的通项公式为；【小问2详解】，所以.因为，所以，又数列是递增数列，所以，所以.17.已知函数的两个极值点分别为2，3.（1）求，的值，并求出函数的极值；（2）已知，求证：不等式在上恒成立.【答案】（1），极大值为，极小值为（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用极值点得到方程组，求出参数取值，再进行检验是否满足题意，进而求出极值；（2）把原不等式化简后得到，分和两种情况，分类讨论来证明最小值恒大于0.【小问1详解】因为，所以，因为函数的两个极值点分别为2，3，所以解得此时，.所以当时，f′x>0，当时，f′x<0，当故函数在0,2，上单调递增，在2,3上单调递减，满足的两个极值点分别为2，3，极大值点为2，极小值点为3，所以函数的极大值为，极小值为.【小问2详解】证明：等价于，即，令，则，若，则ℎ′x>0恒成立，ℎx所以；若，令，得，当时，ℎ′x当时，ℎ′x故ℎx上单调递减，在上单调递增，所以ℎx极小值为，也是最小值.令，，则，所以在上单调递减，.综上所述，在x∈0,+∞即不等式在x∈0,+∞上恒成立【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右顶点分别为，，且.（1）求的方程；（2）若点为直线上的一点，直线交于另外一点（不同于点）.①记，的面积分别为，，且，求点的坐标；②若直线交于另外一点，点是直线上的一点，且，其中为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）（2）①或；②是，【解析】【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解；（2）①设，直线：，联立直线与双曲线方程，消得到，进而可得，再结合条件，即可求解；②设直线：，联立双曲线方程，求得，，结合①中结果，可求直线的方程，进而判断直线恒过定点，即可求解.【小问1详解】由题意知解得，，所以的方程为.【小问2详解】由题意可知，A−2,0，，设，