黑龙江省哈尔滨市某中学2024-2025学年高一年级上册12月月考数学试题（含答案解析）

黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期12月

月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合/={%|1。83]<1},集合5={x£Z|x2-2x-3W0},则()

A.{-1,0,1,2}B.{0,1,2}C.{1,2}D.{1,2,3}

2.已知〃x)=则使/(力>1成立的一个充分不必要条件是()

A.—2<x<0B.—1<cx<0C.x<lD.%<-2或x〉1

3.已知〃,6,C£R,则下列结论正确的是)

A.若a>b,贝B.若a<b<0,则/<必

C.若。<6<0,c>0,则2>---

D.若Q〉b>1,则

ac-aab

4.已知扇形的周长为12cm,圆心角为4rad,则此扇形的面积为

A.2cm2B.4cm2C.6cm之D.8cm2

5.设。=logs6,b=2匕。=0.5",贝|J()

A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

6.通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据

调查研究，该野生动物的数量劫(。=I+e£i8•的单位：年)，其中K为栖息地所能承

受该野生动物的最大数量.当N«*)=0.8K时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别,

此时，约为(m2,0.70)()

A.7B.6C.5D.4

试卷第1页，共4页

2"+2

,x<1

8.已知〃x)=2则方程/[/（创=2实数根的个数是（)

]/og2(x-l)|,x>l

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

9.下面说法正确的有（）

47r

A.240。化成弧度是？-

B.终边在直线V=x上的角a的取值集合可表示为{a\a=k-360°-45。,左eZ}

fcosa<0

C.角a为第四象限角的充要条件是.

[sincr<n0

4

D.若角a的终边上一点尸的坐标为（-3,4）,贝ljsina=1

10.设正实数e6满足。+6=4,则下列结论正确的是（）

A.'+：有最小值1B.而有最小值2

ab

C.五+斯有最大值2夜D./+〃有最大值8

11.已知函数/（力的定义域是（O,+8）,Vx,ye（O,+s）都有都（切=/（0+/（力，且当x>l

时，/（%）>0,且/]£|=T，则下列说法正确的是（）

A./（1）=0

B.函数/'（x）在（0,+8）上单调递增

C〃2）+0+/（3）+*）+―/冲”（吊=2024

D.满足不等式〃x）-/（x-2”2的x的取值范围是12,：

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.sin(-120°)-cos210o-tanl35°=.

13.已矢口定义域为［。-4,。一2］的奇函数/@)=2024尤3-5尤+6+3,贝I］/(a-2)+/(b+2)的

值为.

14.给定函数>=/(无)，若在其定义域内存在/(与70)使得〃-%)=-/(X。)，则称/(x)为

f-x-lg2,x<0

“。函数”，X。为该函数的一个“C点”.设函数g(x)=，［g(q_10x)x>0‘若lg2是g(x)的

一个“。点”，则实数。的值为.若g(x)为“。函数”，则实数。的取值范围

为.

四、解答题

cos(无+a)-sin(a+2K)

15.(1)化简:

sin(-a-兀)-cos(-n-a)

兀1

(2)已知——<x<0,sinx+cosa=—,求sirtr-cosx的值;

25

(3)已知tana=2,求sin2a+2sinacosa的值.

16.已知函数〃x)=a*>0,aW1)且/'(1)=-2

(1)求函数解析式；

(2)求函数/(x)在［-U］上的值域；

⑶若关于x的方程/(无)+机-1=0在卜log23,l］上有解，求实数小的取值范围.

17.已知函数/(%)=1083(-苫2+<^+9),<2€11.

(1)若。=8,求函数/(X)的定义域；

(2)若函数/(可在［1,2］上单调递减，求实数a的取值范围；

(3)若a=0,/(x)Vlog3(加尤+10)对于xe(0,2)恒成立，求实数加的最小值.

18.对于函数/'(x)在其定义域内存在实数%,使/■&)=尤。成立，则称/是/(x)的一个不动

点.已知函数/(x)=ar2_0+i)x+2-6(awO),g(x)=/nxT.

试卷第3页，共4页

(1)当。=1,6=2时，求函数/(x)的不动点；

(2)当a=2时，若函数/(无)有两个不动点为七,马，且0＜再＜1,%＞1,求实数6的取值范围;

(3)若函数/(x)的不动点为-1,2,且对任意占总存在色目-1』，使得/(xjg(x2)=l

成立，求实数加的取值范围.

19.已知函数/(x)=(“+2]+a、,xeR

(1)当a=6时，解不等式2/(工)410”；

(2)当a=4时，求了=2/与了=3”的交点的横坐标；

(3)当/1(x)为偶函数时，Vxj,x2eR,

/(%)+/卜2)-2/1土广)(立产"4「'《[My卜“力恒成立，求漉值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CBDDCCACADAC

题号11

答案ABD

1.C

【分析】利用指数函数的性质，求出集合A,利用一元二次不等式的解法，求出集合3,再

利用集合的运算，即可求解.

【详解】log3x<1=log33,得至[]0<x<3,所以{x|0<x<3},

由--2为-340,得至『14x43,又xeZ,所以8={-1,0,1,2,3},

得到/CB={1,2},

故选：C.

2.B

【分析】解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决.

【详解】/(x)>lo/2>a°,

因为且函数>在R上单调递减，

所以/+2为<0,解得-2<x<0,

因为一l<x<0能推出一2<x<0,

-2<x<0不能推出-1<x<0.

所以，使/(x)>1成立的一个充分不必要条件为-1<X<0.

故选：B.

3.D

【分析】根据不等式的基本性质，利用作差比较法，逐项判定，即可求解.

22

【详解】对于A,若c=0,ac=be,因此A错误；

对于B,a<b<0,贝！0,即a?>ab，因此B错误；

bc-bc(b-a\c(b-a\

对于C,由---------------r,又c>0,贝|6-Q>0,c-a>0,因止匕----r<0,

ac-aa\c-a)aye-a)

即因此c错误；

ac-a

答案第1页，共11页

」,1L1|/a-b/./ab-l\「

对于D,由QH---6+7=(〃—b)-------=(a—b1--,又a>b>1,

aybJab\abJ

贝!)〃—b>0,ab>\,因此(a——--|>0,即QH—>b+—,因此D正确;

\abJab

故选：D.

4.D

【分析】设扇形的半径为«cm),列方程求出厂的值，再计算扇形的面积.

【详解】设扇形的半径为«cm),则弧长为/=ar=4r,周长为C=/+2r=4-+2〃=6厂=12,解

得：r=2,

则此扇形的面积为：S=；/厂=；X4x2x2=8(cm2),

故选：D

5.C

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解.

【详解】因为Iog33<log36<log39,所以

因为6=2、2,c=0.512<0.5°=B

所以c<a<b.

故选：C

6.C

【分析】利用N『)=0.8K列方程，结合对数运算求得心

【详解】根据题意一^——=0.8K,所以e«•⑵』'=9，所以-0.12/*-0.8=In],

]+«一312/一出844

所以0.12/*+0.8=21112处1.4,得/B5.

故选：C.

7.A

【分析】由复合函数的单调性结合x>0时的值域即可.

【详解】了=2士=1-1，由复合函数的单调性可知，在R为递增函数，

当x>0时，e2x>l,所以0<，7<1,得0<1<1,即0<><1,所以A正确.

ee

故选：A.

8.C

答案第2页，共11页

【分析】由方程加(止2先求出小口或小)/或小)=5,再解方程即可.

【详解】解:①当/(x)VI时，

解得，/(x)=l,

7X_i_7

「•一^―=1或“Og2(X-l)l=l，

：.x-1=—^x-l=2,

2l

3

故x=7或x=3；

2

②若/(x)>l,则/[/(x)]H10g2(/(x)-l)1=2,

.•./(%)-1=：或/(%)-1=4,

4

•・J(x)=；或70)=5,

若/(x)=：,则^^二：或|1082(%-1)1=：,

则X=—1或X=l+24或X=1+24；

若/(x)=5,则1^=5或|晦(--1)|=5,

贝！Jx=3(舍去)或％=1+2-5或x=l+2§,

综上所述，方程/"(初=2实数根的个数是7,

故选：C.

9.AD

【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A,由终边相同的角的概念可判定B,由象限角

的三角函数值符号可判定C,由三角函数的定义可判定D.

74047r

【详解】对于A,根据角度制与弧度制的转化得240。=言兀=:，即A正确；

1803

对于B,易知终边在直线了=》上的角a可表示为{。|。=心180°+45°,上eZ},即B错误;

对于C,易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；

对于D,由三角函数的定义可知角a的终边上一点尸的坐标为(-3,4),则

,44

故选：AD.

答案第3页，共11页

10.AC

【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即

可判断C；利用常用不等式即可判断D.

【详解】因为正实数满足。+6=4,所以

1++/>)(-1+-)=J(2+^+^-)>-(2+2^当且仅当°=6=2时等号成立，A

ab4ab4、ab4\ab

正确；

而W*=2,当且仅当。=b=2时等号成立，B错误；

2

(五+新)=a+b+l-Jab<4+4=8,s/a+y/b<242,当且仅当a=b=2时等号成立，C正

确；

/+62=片+62+"+6242+^+2仍=(°+6)-=8,当且仅当。=6=2时等号成立，D错

222

误.

故选：AC.

11.ABD

【分析】A选项，令x=»=1得/(I)；

B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；

C选项，赋值得到“X)+/[[[=/(1)=0；

D选项，根据C选项，由求得/■⑵，/(4),变形得到/"(x"f(4x-8),结合

在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集.

【详解】A选项，令无=»=1得/(1)=/(1)+/(1),/./(1)=0,A正确；

B选项，任选尤］，ze(0,+oo),且再＞%2，/1(孙)=/5)+/(7)中，令x=%,＞=［■得

/(再)-〃%)=/［土,

\X27

因为当尤＞1时，/(x)＞0,又土＞1,所以＞0,

X2yX2J

故/(%)-/伉)=/1"＞0,

答案第4页，共11页

所以/"(X)在定义域(0,+8)上单调递增，B正确；

C选项，/3)=/(X)+/3中，令y=B得〃x)+/[£|=/■⑴=0,

故〃2)+出k(3)+心=/3024M与=。,

故“2)+//+/(3)+/口+…+/©024&4套=0,C错误；

D选项，因为/=所以〃2)=1,/3)=/(x)+/(y)中，令x=y=2得

/(4)=2/(2)=2,

V/(x)-/(x-2)>2,.­./(x)>2+/(x-2)=/(4)+/(x-2)=/(4x-8),

x>4x-8

由于/'(无)在定义域(0,+8)上单调递增，故，x>0,解得xe0,|,D正确.

故选：ABD

3

12.——

4

【分析】由三角函数的诱导公式化简即可；

【详解】

h(h

00000、3

sin(-120)-cos210-tanl35=-sml20-(-cos30)-(-tan45°)=--x--x(-l)=——,

2I2J4

故答案_为：-：3.

4

13.0

【分析】由奇函数的定义得到定义域关于原点对称求出参数4，再由/(-幻=-/(X)求出参

数6以及“X),然后求及("2)+/(6+2)的值

【详解】•••定义域为[。-4,。-2],

(a-4)+(a—2)=0,a=3,

,：f(—x')———f(x),即/(—x)=—2024x，+5x+b+3=—_/1(x)=—2024x，+5x—6—3

b=—3,

尤)=2024x3-5x,

答案第5页，共11页

.•,/(«-2)+/(/,+2)=/(l)+/(-l)=0.

故答案为：0

14.3a>242

【分析】对于第一空，由题可知-/(lg2)=/(-lg2),代入相应解析式可得答案；

对于第二空，g(x)为“。函数”，则函数y=lg(aT0")(x>0),与函数y=-x+lg2(x>0)图

象有交点，据此可得答案.

【详解】对于第一空，因坨2是g(x)的一个“。点”，贝!|

-7'(lg2)=/(—lg2)n-lg(a-2)=0na=3；

对于第二空，由题可知/(无)为“。函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两

点，即函数y=ig(a-io)(x>o)的图象，

与函数>Tg2(x<0)关于原点对称的函数y=r+lg2(x>0)的图象有交点，即方程

炫卜-10工)=-》+坨2有大于0的解.

lg"10，)=r+lg2nlg^^卜工=^^=10--0=2+心2^17=2收,

2

当且仅当丁=10)

10

即x=glg2时取等号，故答案为：a>2^2.

故答案为：3；a>2V2.

78

15.(1)1；(2)(3)-

【分析】(1)由三角函数的诱导公式直接化简即可；

(2)由同角的三角函数关系结合正余弦函数值域计算即可；

(3)由同角的三角函数的商数关系和平方关系计算即可；

•、、，cos(兀+a)・sin(a+27i)—cosa・sina,

【详解】(1)~-7\/7=~/7-1.

sm(-a—兀)•cos(一兀一aJsma・(一cosaj

1

(2),/(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx=一,

I725

.o•24/.\2._.49

..zsinxcosx=-----,sinx-cosx=1-zsinxcosx二一,

25')25

答案第6页，共11页

--<x<0,.,.sinx(0,cosx)0,

.7

sinx-cosx=——.

5

.2c.sin2a+2sinacosasin2a+2sinacosatan2a+2tana8

(3)sina+zsincrcoscr=------------------------=-----口----------=-----；------=一,

1sina+cosatana+15

16.(l)/(x)=2r-4I

⑵［-2,；］

3

(3)［-3］

【分析】(1)由/'(1)=-2列式求出。即得函数解析式.

(2)令/=23求出二次函数在闭区间上的最值即可得值域.

(3)令”2工，将方程有解问题转化为函数图象有交点问题求解.

【详解】⑴函数-优)中，由/(1)=-2,得°一/=一2,BPa2-a-2=0,

而。〉0且awl,解得a=2,所以/(x)=2'—4'.

(2)令£=2",当U］时，tE［—,2］,则y=/_*=_(/_.)2+“

当”:时，%=：；当，=2时，为曲=-2,所以/(x)在上的值域为［-2,；］.

(3)令/=23当xel-log/J时，re［1,2］,

方程/(x)+%-1=0在［-log/J］上有解等价于函数y=一产的图象与直线y=l-4在

feg,2］时有交点，

由(2)得，^=/--在/€6,2］时的值域为［-2,；］,

13

因此一2«1—加《二，解得:4冽43,

44

3

所以实数冽的取值范围为弓,3］.

4

17.(1)(-1,9)

⑵„

⑶-2

【分析】(1)由对数函数的真数大于零解不等式即可；

答案第7页，共11页

（2）由对数型复合函数的单调性求解即可；

（3）由对数的单调性和基本不等式求解即可;

【详解】(1)4=8时，y(x)=log3(-尤2+8x+9)n-x2+8x+9>0n(x+l)(x-9)<0可知

xe(-l,9),

(2)易知y=log3"定义域内单调递增，“=-/+如+9在■!，+e]上单调递减，

4八z-I

——1(5

所以要满足题意需2；

w(2)=5+2a>012」

22

(3)由xe(0,2),“=0nf(x)=log3^-x+9)<log3(mx+10]=>0<-x+9<mx+10,

整理得：尤e(O,2)时，加恒成立，

X

易知-x-Lv-2jx'=-2,当且仅当x=l时取得最大值，BPm>-2.

XVX

故最小值为-2.

18.(1)0和4；

⑵0，2）

3,3

(3)m<-->—

【分析】（1）由函数不动点定义求解即可;

（2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可;

（3）先由函数不动点的定义求出/'（x）的表达式，再由条件得到苗）的值域是g（9）值域

的子集，然后由二次函数的性质得到了篙的范围，再分别=0与加＞0时结合函数的单调性

和集合间的包含关系求解即可;

【详解】（1）函数/（x）的不动点即为f（力一x=。的实数根,

当。=1,6=2时，问题转化为方程/一4x=0的实数根，解得x=0或x=4,

所以函数/（x）的不动点为0和4；

（2）由题意可得方程2/一仅+1卜+2-6=x有两个不相等的实数根,

即2/-仅+2卜+2-6=0有两个不相等的实数根玉,尤2,且0〈再

设/?（x）=2x2-（6+2）x+2-6,

答案第8页，共11页

h(0}=2-b>0

令4)=2-仅+2)+2-6<0'解得

所以实数6的取值范围为(1,2)；

(3)由题意可知-1,2为方程/(月=苫即。/-他+2卜+2-6=0的两根,

-1+2=—

则c,，解得。=-4/=-6,

।八2一b

—1x2=----

a

从而/(x)=-4f+5x+8,

因为对任意玉e[1,2],总存在％e[-1,1],使得〃X])g(X2)=l成立,即)=g(%2),

1/、

由题可知/由的值域是g(%)值域的子集，

因为/⑺=-4x2+5%+8在[1,2]上是减函数，则/(x)e[2,9],

111

即而的值域为

92

因为g(%)=加I且)式-口]，

当加=0时，g(x)=-l,不合题意舍,

当zw>0时,g(%)=5一1在[一口]上是增函数，则一冽一1Wg(x)"初一1,

-m-1<—

93

[―,贝小:,解得加之：，

因为之

14m-l>-之

2

当加<0时，g(%)=冽x-1在[-L1]上是减函数，则加-1(g(x)(-加-1,

m-1<—

o3

加_1],贝(!<,角犁得冽大，

因为