沪科版九年级数学上册期末复习：二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（27类题型清单）

第二十一章二次函数与反比例函数知识归纳与题型突破（题型

清单）

01思维导图

c-^5^

r常见形式・皮曲

r质

5^^

图象与性质v开口方向

二欠穗

增减性

最值

上加下减

抛物法平移规律

左烟减

与抛物会的交点

二次函数与反比例函数

与一元二次方程的关系

利用二;欠缄求一元二次方程的近似解、

榜式的解集

k大于0时，在第一、三彖限，在每个

反比例函数象限内，y随x增大而减小

k小于0时，在第二四象限在每个

^g性®<象限内，y随x增大而增大

两个分^^>^=乂或户_

x磷晒

中心对称，关于原点成中^对称

02知识速记

知识点1二次函数

1、二次函数的定义:

1

一般地，形如y=a/+6x+c(a,b、c是常数，且aK0)的函数叫做X的二次函数，其中x是自变量.

2、二次函数的三要素：

(1)自变量的最高次数必须是2；

(2)等号右边的a/+bx+c是关于自变量工的整式；

(3)二次项系数a不等于0.

【注意】

(1)二次项系数，一次项系数和常数项包括它们前面的符号，不要漏掉；

(2)二次函数y=a/+b久+c(a、b、c是常数，且a大力0)的特殊形式:

特殊形式二次项一次项常数项

y=ax2(aW0)axL2无0

y=ax2+bx(aW0)ax2bx0

y=ax2+c(aH0)2无c

知识点2根据实际问题列二次函数表达式

在实际问题中，列二次函数表达式的一般步骤：

1、审清题意：

找出问题中的已知量(常量)和未知量(变量)，把问题中的文字或图形语言转化成数学语言；

2、找相等关系：

分析常量和变量之间的关系，列出等式；

3、列二次函数表达式：

设出表示变量的字母，把相等关系用含字母的式子表示，并把它整理成二次函数的一般形式;

4、确定自变量的取值范围：

根据自变量所表示的实际意义确定其取值范围.

【注意】

(1)二次函数自变量的取值范围一般是全体实数，但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际

问题有意义；

(2)确定自变量的取值范围时，需正确列其出不等式或不等式组.

知识点3二次函数］=a/+力尤+c的图象与性质

函数y=ax2++c(a、byc是常数，aW0)

a的符号a>0a<0

2

y\严-]

图象

开口方向向上向下

对称轴直线尤=_?

2a

/b4ac—b2\

顶点坐标

\2af4a）

当》〈—萤时，y随％的增大而减小当X〈-白时，y随X的增大而减小

增减性

当x>一方时，y随％的增大而增大当久>一^•时，y随x的增大而增大

当久一一2时廿-4ac~b2当丫一一2时V—4ac-庐

最值三1久-2『」，y最小值一4a_2a]?最大值一4a

【注意】

（1）如图，若抛物线上x=爪和X=n对应的函数值相等，则抛物线的对称轴为直线万=等

（2）如图，若抛物线与x轴的交点为（工1，0）,（右，0），则抛物线的对称轴为直线％=警

知识点4二次函数丫=a/+bx+c的图象特征与6、c的符号关系

二次函数的,二。/+取：+（:中，a的符号决定抛物线的开口方向，好的否好决定抛物线对称轴的大致

位置，c的否好决定抛物线与y轴交点的大致位置，具体如下表：

字母（或式子）符号特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

b

ab>0（a,匕同号）对称轴在y轴左侧

2a

ab<0（a,b异号）对称轴在y轴右左侧

c=0图象过原点

cc>0图象与y轴正半轴相交

c<0图象与y轴负半轴相交

3

【注意】对于二次函数y=ax2+b冗+c：

(1)当久=1时，y=a+b+c,此时：

若y=0,则a+b+c=0；

若y>0,则a+b+c>0；

若y<0,则a+b+c<0.

(2)当久=—1时，y=a—b+c,此时：

若y=0,则a—b+c=0；

若y>0,则a—6+c>0；

若y<0,则a—b+c<0.

知识点5用待定系数法求二次函数的表达式

方法名称函数表达式适用情形一般步骤

已知二次函数图象上任意三

一般式：设：设二次函

个点的坐标或％,y的三组对数表达式

y=ax2++c(aw0)0

应值代：把已知条件

代入函数表达式，

顶点式：已知抛物线的定点坐标或对

得到关于待定系

2称轴和最值数的方程(组)

待定系数法y=a(%+/i)+k(aW0)

1

交点式：解：解方程

(组)，求得

y=a(x—%i)(%—&)已知二次函数的图象与X轴待定系数的值

其中是抛物线与X轴交点的两个交点的坐标1

写：写出二次

的横坐标

函数表达式

【注意】：特殊位置抛物线对应的函数表达式的设法技巧：

(1)顶点在原点，可设为y=aM；

(2)对称轴是y轴(或顶点在y轴)，可设为旷="2+七；

(3)顶点在%轴上,可设为y=矶%—九十；

(4)抛物线过原点，可设为y=a%2+b%.

知识点6二次函数与一元二次方程之间的关系

1、二次函数图象与久轴的交点横坐标与一元二次方程根的关系：

一般地，从二次函数y=a/++。的图象可知：如果抛物线y=a/+6工+c与x轴由交点，交点的

横坐标是汽°,那么当％=%()时，函数值是0,因此％=%。是方程a/+力％+。=o的一个根.

2、二次函数与一元二次方程的联系与区别:

4

知识点7二次函数的图象与一元二次方程的近似解的关系

二次函数y=ax2+b%+c的图象与无轴的公共点的横坐标是一元二次方程a/+fox+c=0的解，因此

可以借助二次函数的图象求一元二次方程的解.

1、利用二次函数y=ax2+bx+c的图象与％轴的公共点求一元二次方程a/+hx+c=0的解

(1)作出二次函数y=ax2+hx+c的图象，确定图象与无轴公共点的个数，也就是方程a/++c=0

的解的个数.

(2)观察图象，函数图象与式轴的交点的横坐标就是一元二次方程a/++。=o的解，当函数图象

与久轴有两个交点，且交点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小解所在的范围估计一元二次方程

的解；

(3)交点横坐标即为一元二次方程a/+b%+。=0的解.

2、利用二次函数y=a/的图象与直线y=-bx-c的公共点求方程a/+人先+。=o的解

(1)将方程a/+力％+c=0化为a/=—bx—c的形式；

(2)在平面直角坐标系中画出抛物线y=a/和直线丫=—bx-c,并确定抛物线与直线的公共点的坐标;

(3)公共点的横坐标即为一元二次方程a/+力为+。=o的解.

5

知识点8二次函数与一元二次不等式的关系

求不等式a/+bx+c>0（a丰0）的解集，就是求x为何值时，二次函数y=ax2+bx+c的函数值y>0；

求不等式a/+匕久+。<K0）的解集，就是求x为何值时，二次函数丫=a/+匕刀+c的函数值y<0,

列表如下：（因a>0为例）

b2—4ac的符号b2—4ac>0b2—4ac=0b2—4ac<0

愣

ax2+bx+c>0（a>

1>

0）的图象与x轴的交点

b

1产-五

个数

两个交点一个交点（即顶点）J没有交点

两个等实数根两个相等实数根

ax2+b%+c=0(a>

—b±7b2-4acb没有实数根

0)的根

%-2a"】="2=一五

一元ax2+bx+cb

X<或%>x2X^~2a全体实数

二次>0(a>0)

不等

ax2+bx+c

式的X<X<x无解无解

<0(a>0)r2

解集

知识点9用二次函数解决实际问题

1、一般步骤：

（1）审：仔细审题，厘清题意；

（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，

设出适当的未知数；

（3）歹（J：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题，

根据题中的数量关系列出二次函数的表达式；

（4）解：依据已知条件，借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题；

（5）检：检验结果，得出符合实际意义的结论.

知识点10反比例函数的定义

1、定义：

一般地，表达式形如y=：*为常数，且k力0）的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数.

自变量支的取值范围是不等于0的一切实数.

2、反比例函数的三种表达形式：

（1）/y=-X；

（2）y=fc%-1；

（3）xy=k（k为常数，且kwO）

6

【注意】反比例函数的表达式y=t中，无论X,y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯

上称k为比例系数.

知识点11反比例函数图象与性质

1、图象的特点：

（1）反比例函数y=1（k为常数，且k/））的图象是双曲线；

（2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；

（3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；

（4）双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x和直线y=-x）.如图:

2、反比例函数的性质:

反比例函数盛U0)

K的符号fc>0k<0

V

图象

图像位置第一、三象限第二、四象限

在每一个象限内，y随x的增大而在每个象限内，y随X的增大而增

增减性

减小大

知识点12求反比例函数的表达式

1、确定反比例函数表达式的方法

由于在反比例函数y=g（gO）中只有一个待定系数，因此只需要一对x,y的对应值或图象上一个点的坐

标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式.

2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤

7

0）

尸枭2

式为

表达

数的

例函

反比

意，设

根据题

-设一

一

股

方程

左的

关于

得到

室中，

代入产

对应值

的一对

把X,y

步一代一

骤

常数左

，求出

解方程

-解一

达式

出表

可写

人即

值代

上的

一把

L写

】

【注意

程.

次方

元一

解一

值，

对应

对对

入一

是代

实质

式的

的表达

例函数

求反比

系数法

用待定

（1）

0）.

（厚

=

为y

表达式

函数的

直接设

，可

系”时

比例关

x的反

y是

明确“

中已经

当题目

（2）

性质

几何

k的

数中

例函

反比

点13

知识

形面积

1、矩

面积

N的

PMO

矩形

得的

N,所

,P

线PM

的垂

y轴

轴、

作x

分别

,y）

P（x

一点

任意

=5上

曲线y

，过双

如图