勾股定理（10个考点梳理+题型解读+提升训练）（解析版）

清单01勾股定理(10个考点梳理+题型解读+提升训练)

考点侪单

【清单01】勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的

两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c~.

注意：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这

样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

(3)理解勾股定理的一些变式：

a2=c2-b2,b2=c2-a~,c2=(a+Z))"-Zab.

运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边;

2.用于解决带有平方关系的证明问题;

3.利用勾股定理，作出长为人的线段

【清单02】勾股定理的证明

方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.

图（1））四，所以

方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.

图（2）中二,，，

方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.

b

C

-.，所以工•,y'=

【清单03】勾股定理逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,c,满足/+〃=02,那么这个三角形是直角三角形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如c）.

（2）验证。2与/+〃是否具有相等关系.若=/+〃，则AABC是/C=90°的直角三角形；若

c2^a2+b2,则AABC不是直角三角形.

注意：当/+ZJ2<C2时，此三角形为钝角三角形；当/+62〉02时，此三角形为锐角三角形，其中。

为三角形的最大边.

【清单04】勾股数

像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数

【清单05】勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与

第三边的平方比较而得到错误的结论.本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题

观型情单

【考点题型一】一直直角三角形的两边，求第三边长

【典例1】已知一直角三角形两直角边的长分别为9,12,则它的斜边长为（）

A.15B.16C.17D.25

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，运用直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和，代入数值进行计

算，即可作答.

【详解】解：••・一直角三角形两直角边的长分别为9,12

••・斜边长为，92+122=15

故选：A

【变式1-1］如图，在△4BC中，NC=90。，AC=8,AB=10,贝!的长为（）

A

A.6B.V6C.24D.2

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方即可求

解.

【详解】解：根据题意，BC2+AC2=AB2,BC>0,

■■-BC=^AB2-AC2=V102-82=6,

故选：A.

【变式1-2］如图，一个零件的形状如图所示，已知NC4B=NCBD=90。，AC=3cm,AB=4cm,

BD=12cm,则CD长为（）cm.

A.5B.1315

【答案】B

【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理应用的条件及勾股定理的内容是解题的关键.

【详解】解：■■/-CAB=/.CBD=90°,AC=3cm,AB=4cm,

-BC-y/AC2+AB2=V32+42=5(cm)，

■■CD=VBC2+BD2=7s2+122=13(cm)，

故选B.

【变式1-3］如图，ZC=ZXFD=90°,AC=4,BC=3,BD=12,贝AD的长等于

BD

【答案】13

【分析】熟练掌握勾股定理是解题的关键.

首先根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理求得力。的长.

【详解】解：••・在直角三角形28C中，AC=4,BC=3,

.t.AB=5

•・•在直角三角形ABO中，BD=12,

.-.AD=13

故答案为：13

【考点题型二】等面积法斜边上的高

【典例2】如图，在Rt^ABC中，AACB=90°,若4C=6,CB=8.

⑴求4B的长;

⑵求力B边上的高CD是多少？

【答案】(l)4B=10

24

(2)CO=y

【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积公式；由勾股定理求出的长是解题的关键.

(1)由勾股定理求解即可；

(2)由三角形面积得则ABxCD=4CxBC,即可求解.

【详解】(1)由勾股定理得：AB=VXC2+BC2=V62+82=10；

(2)•.•内△ABC中，CD为斜边4B上的高，

ABC的面积=^ABXCD=^ACxBC,

•••ABxCD=ACxBC,

ACxBC6x824

CD=---A-B---=--1--0-=—5.

【变式2-1】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则此直角三角形斜边上的高长为（）

A.：B.6C.D.—

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理和三角形面积的计算，求出直角三角形的斜边长是解题的关键.先根据勾

股定理求得直角三角形斜边的长度，再根据等积法求出斜边上的高即可.

【详解】解：,•,直角三角形的两直角边长分别为5和12,

二根据勾股定理求得斜边为：,52+122=13,

・•・直角三角形的面积为：|x5xl2=30,

••.此直角三角形斜边上的高为：鬻=居，

故选：D.

【变式2-2］如图，在△NBC中，^ACB=90°,CD是高，48=4,4C=2,贝|CD的长

为.

【答案】V3

【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出8。=2百，再由=

算即可得出答案.

【详解】解："CB=90。,AB=4,AC=2,

••・BC=y/AB2-AC2=V42-22=2V3，

•••co是△ABC的高，

-CD=^AC-BC,

.•.CD=^=^3=V3,即CD的长为百，

/it）4

故答案为：V3.

【变式2-3】在△ABC中，Z^CB=90°,AC=12,BC=S,则高CD=.

【答案】伊瑞

【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得28='AC2+8c2=13,再根据三角形

的面积即可求解，掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：如图，•.24CB=90。，AC=12,BC=5,

■■■AB=V/1C2+BC2=V122+52=13,

'''^AABC=^AB-CD=-AC-BC,

.*.13xCD=12x5,

••.CD*

故答案为：骂.

【考点题型三】作无理数的线段

【典例3】如图，在数轴上点4表示的数为a,贝必的值为（）

/、

//、\

-1o

A.V5B.—1—\/3C.—1+D.-1—

【答案】D

【分析】根据勾股定理求出BD的长度，根据弧的半径相等得到B4的长度，从而求出a.

本题考查了实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出BD的长度是解题的关键.

【详解】解：如图，

I

-10IC•：BD=V22+I2=Vs

BA=V5>

a=-1—Vs»

故选：D.

【变式3-1】如图，点8,。在数轴上，0B=3,。。=8c=1/OBC=90。,DC长为半径作弧，与数轴

正半轴交于点/，则点/表示的是（）

A.V10B.V17+1C.V17-1D.V17

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先根据勾股定理求出DC的长度从而得到的长度，再减

去。。即可得到答案，解题的关键是用勾股定理求出DC.

【详解】解：•；OB=3,。。=1

；.DB=4,

ZOBC=90°,

■-DC=y/DB2+BC2=V42+l2=V17

：.DA=DC=V17，

..OA=DA—DO—V17-1，

.,.点A表示的实数是后-1,

故选C.

【变式3-2］如图，。C=2,BC=1,BC1OC于点C,连接08,以点。为圆心，。B长为半径画弧与

数轴交于点/，若点”表示的数为x,则x的值为（）

-3-2-1012

A.V5B.—\/5C.Vs—2D.2—\/5

【答案】B

【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴的认识，利用勾股定理求得。B的长是解题的关键.先根

据勾股定理求出正方形的对角线长，进而可求出/点表示的数.

【详解】解:■■BC10C,

"BCO=90°.

OC=2,BC^1,

-'-OB=VOC2+BC2=Vl2+22=V5，

OA=OB=V5，

点4表示的数是一石.

故选B.

【变式3-3】如图的数轴上，点aC对应的实数分别为1,3,线段AB14C于点/,且AB长为1个单

位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于。和1之间的点P,则点P表示的实数为（）

A.V5—3B.3—/5C.V10—3D.3—710

【答案】B

【分析】本题考查了实数在数轴上的表示，勾股定理；由勾股定理得BC=NAB2+ac2,求出BC,由

PC=BC即可求解；能用勾股定理求解，找出实数在数轴的点是解题的关键.

【详解】解：由题意得

BC^^AB2+AC2

——,12+22

=V5.

PC=BC=V5，

OP=OC-PC

-3-V5,

P表示的实数为3-代；

故选：B.

【考点题型四】勾股定理的证明

【典例4】用图1所示的四个全等的直角三角形可以拼成图2的大正方形.

请根据信息解答下列问题:

b

图1

(1)请用含。，6,c的代数式表示大正方形的面积.

方法1：.

方法2：.

(2)根据图2,求出a,b,c之间的数量关系.

(3)如果大正方形的边长为10,且a+6=14,求小正方形的边长.

【答案】(l)c2；4x+6+(a—b)2[或2ab+(a—6)2]

(2)a2+b2=c2

(3)小正方形的边长为2

【分析】本题考查勾股定理的几何背景，完全平方公式与几何图形的面积:

(1)直接法和分割法两种方法表示出大正方形的面积即可；

(2)根据等积法得到数量关系即可；

(3)利用完全平方公式变形求值即可.

【详解】(1)解：方法一：大正方形的面积=。2；

方法二：大正方形的面积=4+(a-b)2=2ab+(a-b)2；

(2)由(1)可知：c2=2ab+(a-b)2,

整理，得：a2+b2=c2；

(3)由(2)可知：a2+b2=102=100,

+b=14,

/.(a+b)2=a2+Z)2+2ab=100+2ab=196,

：.ab—48,

/.(a-b)2=(a+b)2-4ab=196-192=4,

・,・小正方形的面积为4,

小正方形的边长为2.

【变式4-1】下面四幅图中，能证明勾股定理的有()

A.一幅B.两幅C.二幅D.四幅

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的证明,先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可.

【详解】解：如图，

ba

+5c2+5a6=-(a+b)(a+6),

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理,故符合题意；

如图，

ab

1H

ab

二(a+b)2=a2+2ab+b2,

•••不能证明勾股定理，故不符合题意；

如图，

ab

1口

ba

■.,4X|a/?+c2=(a+b)2,

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故符合题意;

如图，

■•,4X|aZ?+(b-a)2=c2,

・•.整理得：a2+b2=c2,即能证明勾股定理，故符合题意;

故选C.

【变式4-2】勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定

理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用.关于勾股定理的证明方法到

现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证

明、面积证明等.当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，以下是利

用图1证明勾股定理的完整过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中NZMB=90。，求

证：a2+b2=c2

证明：连接BD,过点。作DF1BC交BC延长线于点R则DF=EC=6—a

S四边形40CB=^AACD+^AABC='

又四边形AOCB=SMDB+SWCB=祈+5a(人一。)

•・・•・・+汕=1c2+1a(b-a)

•••a2-+b2—c2

请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中ACMB=90。，求证：a2+fo2=c2.

【答案】见解析

【分析】本题考查了勾股定理的证明.连接BD,过点8作DE边上的高BF,则=仿照已知材

料中的方法，利用五边形面积的不同表示方法解答即可.

【详解】证明：连接BD,过点8作DE边上的高BF,则BF=b-a.

D

五边形=S4ACB+^AABE+^AADE=5ab+-b2+-ab

又五边形ACBED=^/\ACB+^AABD+^ABDE=5ab+-c2+5a(6—a>

]11]]]

'--ctb+~b2+~cib—-ab+-c2+~CL(^b—a)»

+gab—3ab+|-c2+^ab—^a2,

12l212

b-a

2-z-2-

■-b2=c2-a2,

■■■a2+b2=c2.

【变式4-3］我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如

图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a,b,斜

边长为c）.

沏I图2田3

(1)如图1,请用两种不同方法表示图中空白部分面积.

方法1：S阴影=;

方法2：S阴影=；

根据以上信息，可以得到等式：；

⑵小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2,请利用图2证明勾股定理；

(3)如图3,将图2的2个三角形进行了运动变换，若a=6,6=3,求阴影部分的面积.

【答案】(l)(b—a)2；c2-4.iaft；c2=b2+a2

(2)见解析

⑶阴影部分的面积为27.

【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关

键.

(1)方法1：求得小正方形的边长为(6-a)，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此

计算即可；

⑵S大正方形=S阴影正方形+4S入列式计算即可证明；

(3)先用勾股定理计算出。，再利用S空白=S大正方形-2s△计算面积即可.

【详解】(1)解：方法1：S阴影=(b—a)?；

方法2：S阴影=。2—4••|ab；

-I[

•••(/)—a)2=c2—4•-ab,BPc2=(b—a)2+4•-ab=b2+c^—lab+lab=b2+a2,

故c2=62+a2；

根据以上信息，可以得到等式：，=力2+小；

故答案为：(b-a)2；c2-4•|ab；c2=h2+a2；

(2)解：大正方形=S阴影正方形+4S4,

-1

即(a+b)2=c2+4--ab,

整理得层+2ab+b2=c2+2ab,

故/+b2=C2；

（3）解：如图，S阴影=S正方形4BCD—2S~

■■■a=6,b=3,

■■c=V62+32-3Vs，

则S正方形ABCD=C?=45,

J.S阴影=c2—2-^ab=45—6x3=27,

故阴影部分的面积为27.

【考点题型五】直角三角形的判定

【典例5】下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.3,4,5D.8,12,13

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.根据勾股定理的

逆定理计算，即可判断答案.

【详解】A、因为/+22432,所以这三条线段不能构成直角三角形，所以A选项错误，不符合题

-zfc.

思；

B、因为22+32力42,所以这三条线段不能构成直角三角形，所以B选项错误，不符合题意；

C、因为32+42=52,所以这三条线段能构成直角三角形，所以C选项正确，符合题意；

D、因为82+1227132,所以这三条线段不能构成直角三角形，所以D选项错误，不符合题意.

故选C.

【变式5-1】以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）

A.4,8,7B.5,12,14C.2,2,4D.7,24,25

【答案】D

【分析】由勾股定理的逆定理，逐个验算每个选项即可得到答案.

【详解】解：A.42+72*82,故不为直角三角形；

B.52+122^142,故不为直角三角形；

C.22+22^42,故不能构成三角形，不能构成直角三角形；

D.72+242=252,故能构成直角三角形；

故选：D.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事

项是本题的解题关键.

【变式5-2】下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）

A.V3,V4,V5B.1,V2,V3C.6,7,8D.2,3,4

【答案】B

【分析】欲判断是否是直角三角形，则需满足较小两边平方的和等于最大边的平方.

【详解】解：；（FT+（V4）2丰（V5）2,故A不能构成直角三角形，

I2+（烟2=（V3）2,故B能构成直角三角形，

62+72*82,故C不能构成直角三角形，

22+32H42,故D不能构成直角三角形.

故选B.

【点睛】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a,b,c满足a2+/）2=c2,

那么这个三角形就是直角三角形.

【变式5-3】下列几组数中，不能构成直角三角形的是（）

A.9,12,15B.15,36,39

C.10,24,26D.12,35,36

【答案】D

【详解】由勾股定理得，

选项A.92+122=225=152,A不满足题意.

选项B,152+362=1521=392,B不满足题意.

选项C.102+242=676=262,C不满足题意.

选项D.122+352—1369^362,D满足题意.

【考点题型六】勾股定理的逆定理的运用

【典例6］如图，一块四边形的空地，NB=90。，4B的长为9m,BC的长为12m,CD的长为8m,AD的

长为17m.为了绿化环境，计划在此空地上铺植草坪，若每铺植Im?草坪需要花费50元，则此块空地

全部铺植草坪共需花费多少元？

【答案】5700元

【分析】利用勾股定理求出力C,进而利用勾股定理的逆定理证明N4DC=90。，即可解决问题.

【详解】解：连接4C,在RtZ\48C中，48=90。，

•••AC2=AB2+BC2,

AC2=92+122=225,AC=15,

在△4CD中，

•••AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,

AC2+CD2=AD2,

•••△2CD为直角三角形,/.ACD=90°,

S四边形4BC。=S4ABC+S^ACD=,BC+-AC-CD=~x9x12+-x15x8=54+60=114(m2)>

•••114x50=5700(元).

答：此块空地全部铺植草坪共需花费5700元.

【点睛】本题考查勾股定理及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，正确作出辅助线，把四

边形转化为两个直角三角形是解决问题的关键.

【变式6-1】绿都农场有一块菜地如图所示，现测得48=12m,3c=13m,CD=4m,4D=3m,5=

90°,求这块菜地的面积.

【答案】24m2

【分析】连接/C,在RtA43C中，利用勾股定理求出/C的长，再利用勾股定理的逆定理证明

为直角三角形，然后根据菜地的面积=SMAB-SAADC进行计算即可解答.

【详解】

解：如图，连接/C,

vCD=4m,AD=3m,z£>=90°,

■■AC=y/CD2+AD2

=V42+32

=5m.

"SRtAADC=2^^'CD=6m2.

在△C/8中，AC=5m,AB=12m,8c=13m,

..AC2+AB2=BC2,

.•.△C/3为直角三角形，且NCAB=90。，

'"'SRtACAB=2^"CB=30m2,

•菜地的面积=S/JC4B-5，ZU£>C=24m2.

【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解

题的关键.

【变式6-2］定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形.如图，在正方形网格中，每个小正方形

的边长为1,四边形力BCD的每一个顶点都在格点上，

(1)求乙4BC的度数；

⑵求格点四边形4BCD的面积.

【答案】(1)90。

(2)s四边形4BC。=13

【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定

理的逆定理得出△力BC为直角三角形.

(1)如图：连接力C,运用勾股定理可得ZB、BC、AC的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出△ABC

为等腰直角三角形即可解答；

(2)根据S四边形｛BCD=S/^4BC+S/\4CD以及二角形面积公式进仃计算即可•

【详解】(1)解：如图：连接2C,根据勾股定理4B=后，BC=2后2C=5,

.■.AB2+BC2=25,AC2=25,

.-.AB2+BC2=AC2,

・•・△4BC是直角三角形，

.-.AABC=90°.

(2)解：S四边形4BCD=S44BC+S44CD=5+8=13.

【变式6-3］如图，已知一块四边形的草地/BCD,其中N8=90。，48=20m,BC=15m,CD=7

m,DA=24m,求这块草地的面积.

【答案】234m2

【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，连接力C,由4。、CD、力C的长度关系可得△4CD为

一直角三角形，4C为斜边；可以得至U四边形4BCD由Rtaaco和RtaaBC构成，则容易求解.

【详解】解：连接/C,

vzB=90°,AB=20m,BC=15m,

••.AC=7AB2+BC2=V202+152=25m,

22

又・.£。2+AD2=72+242=625=25=AC,

：.^ADC=90°,

2

这块草地的面积为S^BC+SAADC=.BC+.CD=TX20x15+TX7x24=234m.

【考点题型七】勾股数的应用

【典例7】勾股数，又名毕氏三元数，则下列各组数构成勾股数的是（）

115

A.o4—1ZB.1.5,2,2.5C.5,15,20D.9,40,41

【答案】D

【分析】本题考查了勾股数：满足勾股定理逆定理的三个正整数；据此逐项判断即可.

【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数；

B、1.5,2.5不是正整数，不是勾股数；

C、52+152*202,不是勾股数；

D、92+402=412,且各数均为正整数，为勾股数；

故选:D.

【变式7-1】下列各组数中，是勾股数的是（）

1-1-1

A.T,7-7B.3,4,7C.6,8,10D.1,V2-2

D45

【答案】c

【分析】根据勾股数的定义即可求解.

【详解】A.4P9匀不是整数，不是勾股数，不符合题意；

B.「32+42力72,.•.不是勾股数，不符合题意；

C.•.•62+82=102,...是勾股数，符合题意；

D.•••加不是整数，，不是勾股数，不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股数：满足/+〃=*的三个正整数，称为勾股数.掌握定义是解题的关

键.

【变式7-2］下列数组是勾股数的是（）

A.2,3,4B.0.3,0.4,0.5C.5,12,13D.8,12,15

【答案】C

【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断

各选项即可得到答案.

【详解】解：；22+32=13去42,故4不符合题意；

•••0,3,0.4,0.5首先不是正整数，故8不符合题意；

52+122=169=132,故C符合题意；

82+122=64+144=208*152,故。不符合题意;

故选：C.

【点睛】本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键.

【变式7-3】下列各组数中是勾股数的是()

A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.11,60,61D.1,西，2

【答案】C

【分析】根据勾股数的定义判断即可.

【详解】解：/、42+52彳62,不是勾股数，故此选项不合题意；

8、1.5,2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；

0、112+6()2=612,三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；

D、百不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足/+〃=〃的三个正整数，称为勾股数.

【考点题型八】构造直角三角形解决实际问题

【典例8-1】如图，一架2.5m长的梯子斜靠在墙上，此时梯足3距底端。为0.7m.

(1)求04的长度.

(2)如果梯子下滑0.4m,则梯子滑出的距离是否等于0.4m?请通过计算来说明理由.

【答案】(1)04的长度为2.4m

(2)不等于，滑出的距离为0.8m,理由见解析

【分析】本题考查勾股定理的应用：

(1)直接利用勾股定理求出。4的长即可；

(2)勾股定理求出。。的长，进而求出BD的长，进行判断即可.

【详解】(1)解：由题意，得：乙4OB=90。,。8=0.7m,A8=CD=2.5m,

由勾股定理，得：04=<4B2-。B2=2.4m；

(2)不等于，理由如下：

由题意，得：AC=0.4m,

.•.OC-OA-AC=2m,

在RtzXC。。中，由勾股定理，得：OD=VCZ)2一。c2=i.5m,

■,BD=OD-OB=0.8丰0.4；

故不等于0.4m.

【典例8-2】小强和小伟都喜欢放风筝.一天放学后他们互相配合又放起了风筝(如图所示)，小伟想

测量风筝的铅直高度CE,于是他进行了如下测量：①测得小强牵线的手到风筝的水平距离BD为15m；

②根据小强手中剩余线的长度计算出风筝线BC(假设BC是直的线)的长为39m；③小强牵线的手离地

面的距离DE为1.5m.

(1)求此时风筝的铅直高度CE.

(2)若小强想使风筝沿CD方向下降16m(不考虑其他因素)，则他应该收线多少米?

【答案】(l)37.5m

(2)14m

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键.

(1)勾股定理求出的长，再加上DE即可；

(2)勾股定理求出此时BC的长，即可得出结果.

【详解】(1)解：由题意，得BD=15m,BC=39m,CDlBD,AB=DE=1.5m.

.,.在Rt△BCD中，CD='BC?-BD2=V392-152=J(39+15)(39-15)=V54X24=36m,

；.CE=CD+DE=36+1.5=37.5m.

答：此时风筝的铅直高度CE为37.5m.

(2)解：•••风筝沿CD方向下降16m,

.•.CD=36-16=20m.

在RtzXBCD中，TBD=15m,

BC=VCD2+BD2—V202+152=25m,

.­.39-25=14m.

答：他应该收线14m.

【典例8-3】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏

力.如图，台风“烟花”中心沿东西方向4B由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线4B上的两点

4、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,经测量，距离台风中心260/cni及以内

的地区会受到影响.

⑴求乙4cB的度数；

(2)海港C受台风影响吗？为什么？

(3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长?

【答案】(1)90°

(2)受台风影响；理由见解析

(3)8小时

【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用.

(1)利用勾股定理的逆定理得出△48C是直角三角形，进而得出乙4cB的度数;

(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

【详解】(1)■■AC=3QQ,BC=400,AB=500,

AC2+BC2^AB2,

△ABC是直角三角形，乙4cB=90。；

(2)海港C受台风影响，理由：过点C作CD14B于。，

•・・△ABC是直角三角形，

ACxBC=CDxAB,

•••300x400=500xCD,

CD=240,

以台风中心为圆心周围260以内为受影响区域，

•••海港C受台风影响；

(3)当EC=260,FC=260时，正好影响C港口，

ED=y/EC2-CD2=V2602-2402=100,

.-.EF=2ED=200,

••・台风的速度为25千米/小时，

.••200+25=8(小时).

答：台风影响该海港持续的时间为8小时.

【变式8-1】一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm,内壁高8

cm.若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,则这支铅笔的长度是()cm.

A.10B.15C.20D.25

【答案】B

【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出力C的长度.然后结合题意即可求解.

此题主要考查了勾股定理的应用,正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键.

【详解】解：如图:

A

BC

根据题意可得图形：AB=8cm,BC=6cm,

在RSABC中：AC=AB2+BC2=10cm,

・•・这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm,

,这支铅笔的长度是10+5=15(Cm).

故选：B.

【变式8-2］如图是台阶的示意图,若每个台阶的宽度都是30cm,每个台阶的高度都是15cm,连接

AB,贝的长度是()

A

YB

A.185cmB.195cmC.205cmD.215cm

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形.作出直角三角

形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边2B的长.

【详解】解:如图,

由题意，得4C=5X15=75(cm),SC=6X30=180(cm)-/.ACB=90°,

22

■-AB=y/AC+BC=195(Cm)，

故选：B.

【变式8-3】如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相

距8m,则小鸟至少要飞米.

【答案】10

【分析】根据勾股定理求出的长即可.

本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键.

【详解】解：如图，连接2B,过点B作BC14D

-：Z-ADH=乙BCD=乙BHD=90°

••・四边形矩形

.-.BH=DC=4m,BC=DH=8m

.•.AC=AD-CD=10—4=6(m)，

在RtZXABC中，由勾股定理得，

AB=yJAC2+BC2=V36+64=10(m)，

则小鸟至少要飞10m,

故答案为：10.

【变式8-4】如图，大风把一棵树刮断，量得4C=4m,BC=3m,则树刮断前的高度为m.

【答案】8

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一个直角三角形，利用勾股定理可求出折断部

分的长，进而可得树刮断前的高度.

【详解】解：由题意可知，AABC为直角三角形，

•1•AB=VfiC2+AC2=V32+42=5m,

•••树刮断前的高度=BC+AB=3+5=8m,

故答案为：8.

【变式8-5】我图古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有方池一丈，葭生其中央，出水一

尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？(注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺)意思为：如图，有

一个边长为1丈的正方形水池，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水

池一边的岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.则这根芦苇的长度是尺

【答案】13

【分析】本题考查勾股定理的应用，设这根芦苇的长度是x尺，根据勾股定理列出方程进行求解即可.

【详解】解：设这根芦苇的长度是久尺，由题意，得：水深为。-1)尺，

由勾股定理，得：x2-(x-1)2+(y)，

解得：x=13；

故答案为：13.

【变式8-6】如图，开州大道上48两点相距14km,C,。为两商场，D412B于4CBLAB^B.已

知£M=8km,CB=6km.现在要在公路ZB上建一个土特产产品收购站E,使得C,D两商场到E站的距

离相等，

⑴求E站应建在离2点多少km处?

(2)若某人从商场。以5km/h的速度匀速步行到收购站段需要多少小时?

【答案】(1)E站应建在离2站6km处

(2)需要2小时

【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键.

(1)先根据垂直的定义可得NA=NB=90。，再根据勾股定理可得力卢+4)2=DE2,BE2+BC2=C

E2,从而可得力卢=BE2+BC?,设AE=xkm,贝=(14—x)km,据此建立方程，解方程即可

得；

(2)由勾股定理求出DE,用路程除以速度即可得出时间.

【详解】(1)解：•.•使得C,D两村到E站的距离相等，

.'.DE—CE,

-DALAB,CBLAB,

：.Z-A=Z-B=90°,

：.AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=CE2,

：.AE2+AD2=BE2+BC2,

设/E=xkm,则BE=AB-AE=(14—x)km,

\'DA=8km,CB=6km,

••・/+82=(14-x)2+62,

解得：%=6,

：.AE=6km,

答：E站应建在离4站6km处；

(2)解：:DE=y/AE2+AD2=10km,

••.10+5=2(小时)

答：需要2小时.

【变式8-71某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米

的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向AB由点/行驶向点3,已

知点C为一海港，当4CLBC时，/点到8,C两点的距离分别为500km和300km,以台风中心为圆心

周围250km以内为受影响区域.

⑴求8C；

(2)海港C受台风影响吗？为什么？

⑶若台风的速度为35km/h,则台风影响该海港持续的时间有多长?

【答案】⑴400km

⑵海港C受台风影响，理由见解析；

(3)4小时

【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再

利用勾股定理解答.

(1)依据三角形中三边的关系确定N4CB的度数；

(2)利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；

(3)利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.

【详解】(1)解：AC1BC,

■.^ACB=90°,

AB=500km,AC—300km,

BC=dAB2—AC2=V5002-3002=400(km)；

(2)解：海港C受台风影响，理由如下：

过点C作CD14B,

■.■^ACxBC=^CDxAB,

•••300X400=500xCD,

・•・CD=240(fcm),

以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域,

•••海港C受台风影响；

(3)解：当EC=250km,尸C=250km时，正好影响。港口,

ED=7EC?-CD2=70(km)，FD=VFC2-C£)2=70(km),

・•・EF=140km,

台风的速度为35km/h,

.•.140+35=4小时，

答：海港C受台风影响的时间会持续4小时.

【考点题型九】应用勾股定理解决几何图形中折叠问题

【典例9】如图，在RtzXABC中，NC=90。，BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD

折叠，使点C落在边AB的。点.

⑴求的长度；

⑵求△28。的面积.

【答案】⑴3cm

(2)15cm2

【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握相关知识是解题

关键.

(1)由勾股定理得AB='AC?+BC2=10,设。。=心由折叠的性质得=心从而可得2。

=4,AD=8-x,再由勾股定理得472+。。2=代入数值并求解即可；

(2)由三角形面积公式得即可求解.

【详解】(1)解：•••在Rt^ABC中，ZC=9O°,BC=6cm,AC=8cm,

■■-AB=VTIC2+BC2=1。cm,

设。。=久cm,由折叠可得，/.BCD=zC=90°,BC=BC=6cm,DC=DC=xcm,

■,^AC'D=90°,2C'=aB-8C'=10—6=4cm,AD=AC-DC=8-x,

在中，可有4。2+DC，2=4。2,

即42+/=(8一幻2,解得％=3,

..DC=3cm,

故的长度为3cm；

(2)解：结合(1),可知。。=3cm,AB=10cm,ABC'D=90°,

-'SAABD,DC=1x10x3=15cm2,

故△AB。的面积为15cm2.

【变式9-1］如图，长方形ABCD中，AB=9,BC=6,将长方形折叠，使4点与BC的中点F重合，折痕

为EH,则线段BE的长为()

【答案】B

【分析】设EB=x,则4E=AB—BE=9-久，根据长方形4BCD,BC=6,得到NB=90。，根据勾股定

理，得(9一久)2=/+32,解得％=4,解答即可.

本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键.

【详解】解：设EB=x,则4E=2B—BE=9—A:,

•.•长方形ABC。，BC=6,4点与BC的中点F重合，

.•ZB=9O°,BF=CF=3,

根据折叠的性质，得力E=EF=9-x

•■.(9-x)2—x2+32,

解得x=4,

故选B.

【变式9-2】如图，折叠长方形的一边4D,点。落在8C边的点尸处，已知AB=8cm,BC=10cm,则

EC的长为()

A.3cmB.4cmC.3.5cmD.5cm

【答案】A

【分析】此题考查了长方形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识，利用勾股定理列方程是解题的关

键.四边形是长方形，贝!MB=CD=8cm,AD=BC=10cm,/LABC=^BCD=^ADC=90°,由

折叠的性质可知4F==10cm,DE=FE,CE=CD-DE=8-DE,由勾股定理得到BF=6cm,贝i|

CF—BC-BF-4cm,

在Rt^CEF中，由勾股定理得到CF2+CE2=EF2,解方程即可.

【详解】解：••・四边形ZBCD是长方形，

■•.AB=CD=8cm,AD=BC=10cm,Z.ABC=/.BCD=Z.ADC=90°,

••・折叠长方形的一边a。，点。落在BC边的点尸处，

：.AF=AD=10cm,DE=FE,CE=CD-DE=8-DE,

-BF-7AF2-AB2=V102-82=6(cm)，

.■.CF=BC—BF=4cm,

22

在RtZXCEF中，由勾股定理得到CF?+CE=EF,

即42+(8—DE)2=DE2,

解得DE=5

CE=CD-DE=3cm

故选：A.

【变式9-3】如图，将长方