勾股定理 章节复习卷（5个知识点+50题练习）（解析版）

第17章勾股定理章节复习卷（5个知识点+50题练

习）

知识点

知识点1.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么。2+庐=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式。2+y=,2的变形有：a=^c2_b2,6="项下及。=抒彳.

（4）由于。2+62=c2>q2,所以c>a,同理c>6,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

知识点2.勾股定理的证明

（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的.先利用拼图的方法,

然后再利用面积相等证明勾股定理.

（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的

面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理.

知识点3.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足。2+y=02,那么这个三角形就

是直角三角形.

说明：

①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形.必须满足

较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.

（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角.然后进一步结合

其他已知条件来解决问题.

注意要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两

条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

知识点4.勾股数

勾股数：满足。2+y=02的三个正整数，称为勾股数.

说明：

①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足。2+房=02,但是它们不是正整数，所以它

们不是够勾股数.

②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数.

③记住常用的勾股数再做题可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

知识点5.勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形.

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，

关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应

用.

（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线

段的长度.

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边

为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和.

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题.

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个

正整数的直角三角形的斜边.

练习卷

一.勾股定理（共10小题）

1.（2023秋•福田区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2,3）,以点

。为圆心，。“长为半径画弧，交x轴的正半轴于3点，则3点的横坐标介于（）

A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间

【分析】先根据勾股定理求出的长，由于03=。/,故估算出04的长，再根据点3在x

轴的正半轴上即可得出结论.

【解答】解：•.■点A坐标为（2,3）,

0A=也2+3?=V13,

•.•点N、8均在以点。为圆心，以。4为半径的圆上，

.­.OA=OB=4l3,

3<V13<4,点8在x轴的正半轴上，

.•.点B的横坐标介于3和4之间.

故选：A.

【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出。力的长

是解答此题的关键.

2.（2024•海淀区校级开学）已知A4BC中，ZB=90°,若c-a=6,b=2后,则A45c

的面积为8.

【分析】由勾股定理得出/+。2=68,可求出ac=16,则可得出答案.

【解答】解：•••/5=90。，b=2后,

a2+c2=（2后？=68,

'：c—a=6,

c1-2ac+/=36,

ac=16,

S^BC=-ac=-=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查了勾股定理、三角形面积等知识，由勾股定理求出ac=16是解题的关

键.

3.（2023秋•连云港期末）如图，在6x6正方形网格中，点/、B、C都在网格线上，且

都是小正方形边的中点.将A45c的三边a、b、c按照从小到大排列为_c<a<b_（用

“<”连接）.

【分析】设小正方形的边长为1个单位长度，将A45c向右平移半个单位长度如图所示，根

据勾股定理求出。、b,c的长即可得出结论.

【解答】解：设小正方形的边长为1个单位长度，

将A43c向右平移半个单位长度如图所示，

由勾股定理可知，b=V32+42=5,c=4,"次+俨=后，

•••4<V17<5,

:.c<a<b，

【点评】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键.

4.(2023春•乐陵市期末)阅读下列一段文字，回答问题.

【材料阅读】平面内两点”(西，乂)，N®,%),则由勾股定理可得，这两点间的距离

22

MN=^{x}-x2)+(j]-y2).

例如，如图1,M(3,l),2V(1,-2)，则AGV=3(3-1)2+(1+2)2=V13.

【直接应用】

(1)已知尸(2,-3),2(-1,3),求尸、0两点间的距离；

(2)如图2,在平面直角坐标系中，4-1,-3),OB=也,与x轴正半轴的夹角是

45°.

①求点3的坐标;

②试判断A45O的形状.

【分析】(1)由两点间的距离公式可求出答案；

(2)①过点2作2尸，/轴于点尸，求出。尸=2万=1,则可求出答案;

②求出。/和42的长，由勾股定理的逆定理可得出结论.

【解答】解：(1)・••尸(2,-3),0(-1,3),

PQ={(2+1)2+(-3-3)2=3加；

(2)①过点B作BFLy轴于点尸，

VOB与x轴正半轴的夹角是45°,

ZFOB=ZOBF=45°,

■：OB=41,

OF=BF=1,

：,5(1,-1);

②-3),5(1,-1),

OA=Vl2+32=屈，AB=7(-1-I)2+(-3+1)2=2V2,

•.52+082=8+2=10,OA2=10,

AB2+OB1=OA2,

NABO是直角三角形.

【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式,

熟练掌握勾股定理是解题的关键.

5.（2023春•平泉市期末）如图：4x1网格中每个正方形边长为1,表示如长的线段是

)

A.OAB.OBC.OCD.OD

【分析】利用勾股定理求出每条线段的长，再进行判断即可.

【解答】解：由勾股定理得，OA7m也

OB=Vl2+22=V5，

oc=JF+32=VTo,

OD=V12+42=V17,

.•.表示逐应为线段.

故选：B.

【点评】本题考查的是勾股定理，掌握利用勾股定理求线段的长是解题关键.

6.（2023春•滨州期末）如图，在四边形/8CZ1中，442。=/40。=90。，分别以四边形的

四条边为边向外作四个正方形，面积依次为岳，邑，星，邑，下列结论正确的是（）

A.S3+S4=4(5]+S2)B.S]-S2=S3-S4

C.S4-Sl=S3-S2D.S4-3S1=S3-3S2

【分析】利用勾股定理，分别得出同一直角三角形的两直角边上的两个正方形面积和都是

AC2,即可得到答案.

【解答】解：如图，连接/C,

根据勾股定理，AC2=AB2+BC2,AC2=AD2+CD2,

22

AC=S1+S4,AC=S2+S3,

：.E+S4=s?+邑，

:.S-3—S4,

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是发现两个直角三角形的斜边是公共边.

7.（2022秋•沙河市期末）如图，长方形/8CD的边/。在数轴上，若点N与数轴上表示数

-1的点重合，点。与数轴上表示数-4的点重合，48=1,以点/为圆心，对角线NC的长

为半径作弧与数轴负半轴交于一点£,则点E表示的数为（）

A.-V10B.1-V10C.V10-1D.-1-V10

【分析】根据勾股定理计算出AC的长度，进而求得该点与点A的距离，再根据点A表示的

数为-1，可得该点表示的数.

【解答】解：在长方形48co中，AD=-\-（-4）=3,AB=CD=1,

AC=siAD2+CD2=A/32+12=A/10,

则点A到该交点的距离为质,

•.•点/表示的数为T,

，该点表示的数为：

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理在任何一个直

角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方.

8.(2024•海淀区校级开学)如图，四边形4BC。中，48=30。，过点N作8c于点

E,点E恰好是8c的中点，连接。E,AE=6,DC=1,AD=屈.

(1)直接写出的长为3；

(2)求DE的长.

【分析】(1)由勾股定理可求出答案；

(2)过点。作。尸_L3C,交的延长线于点尸，连接/C,求出NB=ZC=2G，证明

ZACD=90°,求出NCZ)尸=30。，由勾股定理可得出答案.

【解答】解：(1)-.-AEYBC,

AAEB=90°,

AB=30°,AE=拒,

AB=2y/3,

BE=ylAB2-AE2=3,

故答案为：3；

(2)过点。作。尸，8C,交8C的延长线于点尸，连接/C,

AE1BC,E为3C的中点,

AB=AC=26

/B=/ACB=3。。,

•；AD=5,DC=\,

：.AC2+DC2=AD2,

ZACD=90°,

/DCF=90°—/ACB=60°,

ZCDF=30°,

:.CF=~,DF=—,

22

17

:.EF=CE+CF=3+—=—,

22

...ED=y)EF2+DF2=^(1)2+吟丫二5.

故答案为：A/13

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌

握勾股定理是解题的关键.

9.(2023春•香河县期末)在四边形48cA中，NDCB=135°,ZB=ZD=90°,BC=\,

CD=42,求四边形力3c。的面积.

【分析】先作辅助线，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理，可以得到CE和8E的长,

再根据SmABCD=S必AB-S庄DC,代入数据计算即可•

【解答】解：延长与8C的延长线于点E,

•••ADCB=135°,ZADC=90°,

ZDCE=45°,ZEDC=90°,

2DEC=NDCE=45°,

DE=DC,

BC=1,CD=4i,

DE=C,

CE=NDE?+CD?=J(V2)2+(V2)2=2,

:.BE=BC+CE=l+2=3,

•・•/B=90°,/E=45°,

:.ZA=ZE=45°,

AB=BE=3,

一S四边形48cZ)=S庄AB~S空DC

ABBECDDE

--22

3x3V2xV2

~~22-

_9_2

~2~2

7

【点评】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的

思想解答.

70

10.（2023秋•锦江区校级期末）在A45C中，ABAC=90°,AB=5,AC=—,D,K分

3

别为射线3C与射线NC上的两动点，且连接BE,则最小值为

3%6_；的最大值为.

A

E

B

【分析】过点3作尸GL8C,使得8尸=/8=5,过点/作/GLGF于点G,连接。尸,

证明ZUBEvAATO得出8尸=8E,AD+BE=AD+DF>AF,则当。在线段NF上时,

40+BE取的最小值，最小值为/尸的长，延长3G至〃使得3"=/8=5,连接皿），则

\AD-BE\=\AD-HD\„进而勾股定理即可求解.

【解答】解：如图，过点8作尸GJ.3C,使得aF=48=5,过点/作/GJ.G厂于点G,

连接。尸，

MBE=ABED,

DF=BE,

AD+BE=AD+DF...AF,则当。在线段“尸上时ND+取的最小值，最小值为N尸的

长，

■：ABAC=9Q°,AB=5,AC=—,

3

BC=y)AB2+AC2=^52+(y)2=y,

•••S,,„=-BCxBG=-ABxAC

MBCr22

u20

5x——

BC25'

3

在RtAABG中，AG7AB2-BG?=^5?-4?=3,

:.FG=GB+BG=4+5=9,

.­.AF=yjAG2+GF'="+-=3V10，

如图所示，延长3G至8使得8H=48=5,连接8。，则HD=DF=BE,

H

AD-BE^AD-HD\„AH=yjHG2+AG2=Vl2+32=V10,

故答案为：3斤;VlO.

【点评】本题考查了勾股定理，作辅助线是解题的关键.

二.勾股定理的证明（共10小题）

11.（2023春•重庆期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载，勾

股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖

对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中,

不能证明勾股定理的是（）

C

C

A.cB.ba

【分析】根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另

外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理.

【解答】解：A,大正方形的面积为：c?；

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：^abx4+(b-a)2=a2+b2,

:.a2+b2=c2,故/选项能证明勾股定理.

B、梯形的面积为：(a+/))(«+Z))=|(a2+b2)+ab；

也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：

一1ct,bx2cH—1c2—ub,H—1c2，

222

?.ab+^c2=；(/+/)+仍，

:.a2+b2=c2,故5选项能证明勾股定理.

C、大正方形的面积为：(4+6)2;

也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：-abx4+c2=2ab+c2,

2

(a+=lab+c2,

：.a2+b2=c2,故C选项能证明勾股定理.

D、大正方形的面积为：(a+6＞；

也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab,

(a+b)-=a?++2ab,

选项不能证明勾股定理.

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键.

12.(2023春•北京期末)如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正

方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.如

果图中勾。=3,弦c=5,则小正方形的面积为()

B.2C.3D.4

【分析】根据勾股定理可以求得6的值，再根据图形可知小正方形的边长为6-。，然后正

方形的面积=边长x边长计算即可.

【解答】解：由图可得,

b=ylc2-a1=A/52-32=4,

二.小正方形的边长为4-3=1,

小正方形的面积为1x1=1,

故选：A.

【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是明确题意,

求出6的值.

13.（2023•莲湖区一模）我国三国时期的杰出数学家赵爽在注解《周髀算经》时，巧妙地运

用弦图证明了勾股定理.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼

成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边分别是2和4,则中间小正方形的面积占

5-

【分析】首先利用勾股定理求得大正方形的面积，然后利用分割法求得中间小正方形的面积,

则易得答案.

【解答】解：如图，a=2,6=4.

由勾股定理知，c2=a2+b2=22+42=20.

所以大正方形的面积为20.

所以中间小正方形的面积为：20-4x'x2x4=4.

2

所以工

所以中间小正方形的面积占大正方形面积的L

5

【点评】本题主要考查了勾股定理的证明，解题的关键是掌握正方形的面积公式，直角三角

形的面积公式.

14.(2023•红花岗区校级一模)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国

古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成

的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若成=8,大正方

C.3亚D.3

【分析】分析题意，首先根据已知条件易得，中间小正方形的边长为：a-b；接下来根据

勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长.

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

•.•每一个直角三角形的面积为：-^=1x8=4,

22

从图形中可得，大正方形的面积是4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，

1

4x3ab+(tz-b)9—25,

(a-*)2=25-16=9,

a—b=3,

EF=3y/2.

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式.

15.（2023春•兴庆区校级期末）由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若

直角三角形两直角边边长分别为5,12,则图中阴影部分的面积为49

【分析】由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三角

形的面积可得答案.

【解答】解：•••直角三角形两直角边边长分别为5,12,

斜边长=J5?+122=13,

图中阴影部分的面积为：13x13-4x1x5x12=169-120=49.

2

故答案为：49.

【点评】本题考查勾股定理的证明，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证

明.

16.（2023春•应县期末）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数

学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦

图”.图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形肱V”的面积分别为岳，邑，邑.若岳+S?+邑=24,则

正方形斯G//的边长为272

图②

【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.

【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且。＞6,

222

由题意可知：S]=(a+b)2,ST—a+b>S3—{a—b},

因为S]+S[+$3=24,即(0+6)2+/+/+(a-6)2=24,3(/+/)=24,

所以3s2=24,邑的值是8・

所以正方形EFGH的边长为78=272.

故答案为：2庭.

【点评】本题考查了勾股定理，掌握正方形的面积随着正方形的边长的变化是解题的关

键.

17.(2023春•思明区校级期末)被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全

等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的

直角边长分别为a,b(a<b),斜边长为c将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接

在一起，得到图形4BCDEFG//.若该图形的周长为48,OH=6,则该图形的面积

96.

①②

4c+4(6-a)=48

【分析】根据题目中的数据和图形，可以得到a=6,然后即可得到a、6、c

a1+b2=c2

的值，然后即可计算出图形/BCDEFGA■的面积.

【解答】解：由图②可得，

4c+4(6-。)=48

<a=6,

a2+b2=c2

a=6

解得<b=8,

c=10

^^ABCDEFGH的面积为：或x4=2ab=2x6x8=96,

2

故答案为：96.

【点评】本题考查勾股定理的证明、勾股定理，直角三角形的面积，解答本题的关键是明确

题意，利用数形结合的思想解答.

18.（2023春•宁津县期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代

数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层

出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷.

（1）证明勾股定理

据传当年毕达哥拉斯借助如图3所示的两个图验证了勾股定理，请你说说其中的道理.

।,A|

234

（2）应用勾股定理

①应用场景1—在数轴上画出表示无理数的点.

如图1,在数轴上找出表示4的点N,过点N作直线/垂直于。/,在/上取点8,使

48=2,以点。为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是

V13+l_.

②应用场景2—解决实际问题.

如图2,郑州某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度8£=05〃,将它往前推2根

至C处时，水平距离CZ>=2〃7,踏板离地的垂直高度。斤=1.5加，它的绳索始终拉直，求绳

索NC的长.

【分析】(1)用含。、6的式子表示2个图中空白部分的面积，即可得出结论；

(2)①根据勾股定理求出根据实数与数轴解答即可.

②设秋千的绳索长为根据题意可得/。=口-1)加，利用勾股定理可得

22+(X-1)2=X2,即可得到结论.

【解答】解：(1)由图3的左图可知：(a+6)2=4xga6+c2,即(a+4=2a6+c2,

由图3的右图可知：他+6)2=/+4彳仍+/,即(a+与2=/+2仍+/.

a2+lab+b2=lab+c2.

/.c2=a2+b2.

即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.

(2)①在RtADBA中，

DB=yiDA2+AB2=A/32+22=V13,

DC=V13,

.,.点c表示的数是Ji3+i,

故答案为：V13+1；

@-：CF=\.5m,BE=0.5m,

DB=Im.

设秋千的绳索长为根据题意可得/O=(X-1>2,

利用勾股定理可得22+(x-l)2=X2.

解得：x=2.5.

答：绳索/C的长为2.5根.

【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平

方和等于斜边的平方是解题的关键.

19.(2023秋•张店区校级期中)问题情境：

勾股定理是一个古老的数学定理，它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股

定理；

定理表述:

(1)请你结合图1中的直角三角形，叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述)；

尝试证明：

(2)利用图1中的直角三角形可以构造出如图2的直角梯形，请你利用图2证明勾股定理

定理应用：

(3)某工程队要从点/向点E铺设管道，由于受条件限制无法直接沿着线段NE铺设，需

要绕道沿着矩形的边N2和2C铺设管道，经过测量42=16米，2E=12米，已知铺设每米

管道需资金1000元，请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元？

图2图3

根据题意可直接进行求解;

(2)根据等积法可进行求解;

(3)利用勾股定理可进行求解.

【解答】解：(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为*b,斜边长为c,那么

a2+b2=c2

ii

⑵S梯形=5(Q+6)(a+6)=/(q+6)9,

S梯形=S^BE+2sA43c

12cl7

——c+2x—ab

22

12,

=—c+ab，

2

/.—(u+=—0?_|_ab，

22

a2+b2=c2；

(3)在RtAABE中，AE=LB2+BE?=20(米),

(16+12-20)x1000=8000(元)；

答：增加了8000元.

【点评】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

20.（2023春•开江县校级期末）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成,

用它可以证明勾股定理，思路是：大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是

等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即;Mx4+（6-a）2,从而得到等式

c2=；/x4+（6-a）2,化简便得结论/+/=02.这里用两种求法来表示同一个量从而得

到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”.现在，请你用“双求法”解决下面两个问题

（1）如图2,在RtAABC中，AACB=90°,CD是N5边上的高，AC=3,2C=4,求CD

的长度.

（2）如图3,在A/48c中，/D是3C边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,

求x的值.

如图1

如图3

【分析】（1）先根据勾股定理先求出N2,再根据“双求法”求出CZ）的长度;

（2）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出4。，德关于x的方程求解.

【解答】解：（1）在RtAABC中。3=J32+42=5,

由面积的两种算法可得：-x3x4=-x5xCD,

22

17

解得：CD=一.

5

（2）在RtAABD中/。2=4?-x?=16",

在RtAADC中/犷=5?-（6-x）2=-ll+12x-x2,

所以16-x2=-11+12x—x2,

解得x=2=2.

124

【点评】此题考查的知识点是勾股定理的应用，关键是运用勾股定理求解.

三.勾股定理的逆定理（共10小题）

21.（2022秋•永州期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.4,5,6B.2,3,4C.1,1,72D.1,2,2

【分析】三角形三边满足两个较小边的平方和等于较大边的平方，这个三角形就是直角三角

形.

【解答】解：/、52+42^62,不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

B、22+32*4"不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

C.12+12=（V2）2,能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意.

D.12+22^22,不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意.

故选：C.

【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键知道两个较小边的平方和等于较大边的平方，这

个三角形就是直角三角形.

22.（2023春•黄岩区期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形

的是（）

【分析】由勾股定理求出三角形的边长，再根据勾股定理的逆定理判断即可得出答案.

【解答】解：4、三角形的三边为遥，20,3,（石＞+（2行了*3"则这个三角形不直

角三角形，本选项不符合题意；

8、三角形的三边为逐，回,万，（石＞+（所）2w（而y,则这个三角形不直角三角

形，本选项不符合题意；

C、三角形的三边为J历，275,（&6）2+（而）2=（2右广则这个三角形是直角三

角形，本选项符合题意;

D、三角形的三边为Jid,Vio,2V2,这个三角形不直角三角形，本选项不符合题意;

故选：c.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足/+/=°2,

那么这个三角形就是直角三角形.也考查了勾股定理.

23.（2023•海淀区校级开学）如图，在正方形方格中，点4,B,C在格点上，则

AACB+2ABC=45°.

【分析】由网格可知4D=AD且44。2=90。，再根据三角形外角的性质即可求解.

【解答】解：如图，；AD=BD,且ZAD8=90。，

ZDAB=45°,

ZDAB=ZACB+NABC,

:.ZACB+ZABC=45°,

故答案为：45.

【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性

质是解题的关键.

24.（2023秋•南山区期末）已知等腰ZU8C的底边3c=5,。是腰上一点，且C£>=4,

7

BD=3,则/D的长为_一_.

【分析】根据勾股定理的逆定理求出NADC=90。，即乙1Z>C=9O。，设48=/C=a,在

RtAADC中，由勾股定理得出/=（.-3）2+42,求出.即可.

【解答】解：设45=/。=〃,

•・•=5,CD=4,BD=3,

BD2+CD2=BC2,

ZBDC=90°,

/./ADC=90°,

在RtAADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2,

a2=(a-3)2+42,

25

..Q=---，

6

257

二.AD=——3=—.

66

故答案为：

6

【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理等知识点，能根据勾股定理的逆定理求得

ZADC=90°是解答本题的关键.

25.(2023春•台江区期末)如图，每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶

点.

(1)求48和5C；

(2)求N4BC的度数.

【分析】(1)连接/C,根据勾股定理得到N8和3c的长度；

2

(2)根据勾股定理得到/笈，BC,AC?的长度，根据勾股定理的逆定理得到入45c是等

腰直角三角形，继而可得出48c的度数.

【解答】解：(1)连接NC.

根据勾股定理可以得到：=12+32=10,BC2=12+22=5,

:.AB=K,BC=45

(2)7152=12+32=10,AC2=BC2=l2+22=5,

■.-5+5=10,BPAC2+BC2=AB2,

,­,A43C是等腰直角三角形,

【点评】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断A45c是等腰直角三角形是解决本题的关

键.

26.（2023春•鄂州期末）在AA8c中，ZA、NB、NC的对边分别记为a、b、c.下列条

件中；不能说明A42c是直角三角形的是（）

A.ZA=AB=ZCB.a2=b2+c2C.ZA+ZB=ZCD.a:b:c=3:4:5

【分析】根据三角形内角和定理可分析出/、C的正误；根据勾股定理逆定理可分析出8、

。的正误.

【解答】解：A,;ZA=NB=NC,ZA+ZB+ZC=1SO°,

ZA=ZB=ZC=60°,

.•.AABC不为直角三角形，故此选项符合题意；

B、,.ta2=b2+c2,

.1AA8C为直角三角形，故此选项不合题意；

C、:ZA+NB=NC,ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=90°,

.1A42c为直角三角形，故此选项不合题意；

D、a:b:c=3:4:5,

设a=3x,b=4x,c=5x,

:（3x）2+（4x>=（5x）2,

能构成直角三角形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】此题主要考查了直角三角形的判定，关键是掌握勾股定理逆定理如果三角形的三

边长*b,c满足/+/=°2,那么这个三角形就是直角三角形.

27.（2023春•麒麟区校级期中）如图：在四边形48CD中，ZABC=90°,48=3,

BC=4,CD=12,AD=13,求四边形的面积.

D

B'--------------C

【分析】在直角三角形NBC中，由Z8及8c的长，利用勾股定理求出/C的长，再由

及CO的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形/3CD的

面积=直角三角形/3C的面积+直角三角形NCD的面积，即可求出四边形的面积.

【解答】解：••・48=90。,

A48c为直角三角形，

又一；AB=3,BC=4,

根据勾股定理得：AC=1AB。+BC?=5,

又•.•&)=12,AD=13,

AD2=132=169,CD2+AC2=122+52=144+25=169,

CD2+AC2=AD2,

A4s为直角三角形，ZACD=90°,

则S四边陷BCD=S^ABC+S^CD=.BC+—AC-CD=—x3x4+—x5xl2=36.

故四边形的面积是36.

【点评】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆

定理是解本题的关键.

28.(2022秋•昌黎县期末)已知.，b,c满足|a-=7+(c-0>=0

(1)a=__3A/6__；b=：

(2)判断以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么三角形？

并求出三角形的面积；若不能，请说明理由.

【分析】(1)根据非负数的性质得到方程，解方程即可得到结果；

(2)根据三角形的三边关系，勾股定理的逆定理判断即可.

【解答】解：(1):a、b、c满足满足|a-3"|+"7+(c-退了=0,

，。-3指=0,Jb-7=。,(c-V5)2=0

解得：a=3A/6,6=7,c=A/5；

(2)7<376<8,2<V5<3,

:.b+c>a,

能构成三角形，

又,.•。2=54,b2+c2=54=a2,

此三角形是直角三角形，

面积S=—be=—Vs.

22

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，求三角形的面积，熟练掌握勾股定

理的逆定理是解题的关键.

29.(2023春•岳池县期末)在AA8C中，ZA,NB,NC的对边分别是a,b,c,下列条

件：①44与N2互余；②(a+6)(a-6)=c2；③:N8:NC=1:2:1,其中可以判定&45c

是直角三角形的有3个.

【分析】根据三角形内角和定理可以判断①③，根据勾股定理逆定理可以判断②，从而即可

得到答案.

【解答】解：①：乙4与Z8互余，

ZA+NB=90°,

ZA+ZB+ZC=180°,

ZC=90°,

，AA8C是直角三角形，故①正确，符合题意；

②(a+b)(a-6)=<?,

:.a2-b2=c2,即/j②+凡

.1A42c是直角三角形，故②正确，符合题意；

ZA+ZB+ZC=180°,ZA:ZB:ZC=1:2:1,

ZB=90°,AA=AC=45°,

.1A48c是直角三角形，故③正确，符合题意；

综上所述，可以判定A45C是直角三角形的有①②③，共3个，

故答案为：3.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和定理、

勾股定理逆定理是解题的关键.

30.(2023春•定远县期中)定义：如图，点M、N把线段48分割成/“、MN、NB,

若以NM、MN、A®为边的三角形是一个直角三角形,则称点〃、N是线段的勾股分

割点.

(1)已知〃、N把线段48分割成/M、MN、NB,若/N=1.5,MN=25,BN=2,

则点〃、N是线段的勾股分割点吗？请说明理由.

(2)已知点M、N是线段的勾股分割点，且为直角边，若N8=24,AM=6,求

8N的长.

•・・・

NMNB

【分析】(1)根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段的勾股分割点.

(2)设BN=x,则上W=24-4W-BN=18-x,分两种情形①当灰W为最长线段时，依

题意MN?=+NB：②当BN为最长线段时，依题意8N?=/"+儿"，分别列出方

程即可解决问题.

【解答】解:(1)是.

理由：AM2+BN1=1.52+22=6.25,MN1=2.52=6.25,

AM2+NB2=MN2,

:.AM、MN、NS为边的三角形是一个直角三角形，

.•.点“、N是线段N8的勾股分割点.

(2)设8N=x,贝ljACV=24-/V-8N=18-x,

①当MN为最长线段时，依题意MN1=AM1+NB1,

即(18-x)2=/+36,

解得x=8；

②当5N为最长线段时，依题意BN?=/〃2+上加2.

即%2=36+(18-x)2,

解得x=10,

综上所述，2N=8或10.

•♦••

/MNB

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注

意不能漏解，属于中考常考题型.

四.勾股数（共10小题）

31.（2023春•赣州期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名

的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（）

A.2,3,4B.4,5,6C.7,8,9D.6,8,10

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方.

【解答】解：/、22+32^42,故不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、42+52^62,故不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、72+82^92,故不是勾股数，故本选项不符合题意；

D、82+62=102,故是勾股数，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：满足的三个正整

数，称为勾股数.

32.（2023春•抚顺县期末）以下四组数中，是勾股数的是（）

A.1,2,3B.12,13,4C.8,15,17D.4,5,6

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是

否等于最长边的平方.

【解答】解：A,12+22^32,不是勾股数，故本选项不符合题意；

B、42+122^132,不是勾股数，故本选项不符合题意；

C、82+152=172,是勾股数，故本选项符合题意；

。、42+52^62,不是勾股数，故本选项不符合题意；

故选：C.

【点评】考查了勾股数，理解勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数.

33.（2023春•龙亭区期末）写出一组勾股数（即能够成为直角三角形三条边长的三个正整

数）:3,4,5（答案不唯一）.

【分析】满足/+/的三个正整数，称为勾股数，满足这个条件的三个正整数有很多组,

随机写出一组则可.

【解答】解：根据勾股数的概念得，勾股数可以为：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,

12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41；11,60,61；12,35,37；13,84,85；20,

21,29；20,99,101等，任选1组即可.

故答案为：3,4,5（答案不唯一）.

【点评】本题考查勾股数，比较简单.

34.（2023•茅箭区校级模拟）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5；②5,12,

13；③7,24,25；@9,40,41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：11,60,

61.

【分析】先根据给出的数据找出规律，再根据勾股定理进行求解即可.

【解答】解：经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3,第②勾股数的第一个数

是5,…，故第⑤组勾股数的第一个数是11,第6组勾股数的第一个数是13,

又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1,故设第二个数为x,第三个数为x+1,

根据勾股定理的逆定理，得：l/+x2=（x+l）2,

解得x=60.

则得第5组数是：11,60,61.

故答案为：11,60,61.

【点评】本题考查了勾股数，关键是根据给出的数据找出规律是本题解题关键.

35.（2023春•确山县期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,40,41C.2,3,4D.1,血，百

【分析】根据勾股数的定义逐一计算即可得出答案.

【解答】解：/、0.3,0.4,0.5不是整数，不是勾股数；

B、-.-92+402=412,;.9、40、41是勾股数；

C、22+32^42,.­.2,3,4不是勾股数；

D.12+（V2）2=（V3）2,6,右均不是整数，.」