2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三(上)月考数学试卷(12月份)

第1页（共1页）2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三（上）月考数学试卷（12月份）一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．（4分）方程2x＝3的解为．2．（4分）设z＝，则|z|＝．3．（4分）若角α的终边过点P（4，﹣3），则＝．4．（4分）为了解300名学生的视力情况，采用系统抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则m+n＝．6．（4分）一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是cm3．7．（5分）已知x，y为实数，行列式中元素y的代数余子式的值大于等于0，则x的范围是．8．（5分）甲、乙、丙三位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，若直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．10．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若满足对于任意x∈R，f（x）＜0和g（x）＜0至少有一个成立．则m的取值范围是．11．（5分）已知直线f（x）＝k0x+b与曲线g（x）＝交于点M（m，﹣1），N（n，2），则不等式f﹣1（x）≥g﹣1（x）的解集为．12．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且an+an+1＝，若数列{Sn}收敛于常数A，则首项a1的取值的集合为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）已知α、β是两个不同平面，m为α内的一条直线，则“m∥β”是“α∥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．（5分）在等差数列{an}中a10＜0．a11＞0，且a11＞|a10|，则在Sn中最大的负数为（）A．S17 B．S18 C．S19 D．S2015．（5分）已知点A的坐标为（0，2），点P是抛物线y＝4x2上的点，则使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．816．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（）A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A2C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且8sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝，b+c＝3，求b和c的值．19．如图，A，B，C三地有直道相通，AB＝5千米，AC＝3千米，BC＝4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t＝t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．20．已知双曲线的右顶点为A，点B的坐标为．（1）设双曲线Γ的两条渐近线的夹角为θ，求cosθ．（2）设点D是双曲线Γ上的动点，若点N满足、，求点N的轨迹方程．（3）过点B的动直线l交双曲线Γ于P、Q两个不同的点，M为线段PQ的中点，求直线AM斜率的取值范围．21．记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令．求：（1）若，写出b1，b2，b3，b4的值；（2）设，若b3＝﹣3，求λ的值及n≥4时数列{bn}的前n项和Sn；（3）求证：“数列{an}是等差数列”的充要条件是“数列{bn}是等差数列．

2021-2022学年上海市杨浦区控江中学高三（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．【解答】解：∵2x＝3，∴指数式化为对数式得：x＝log23，故答案为：x＝log23．2．【解答】解：∵z＝＝＝，∴．故答案为：．3．【解答】解：＝﹣sin（+α）＝﹣cosα，∵角α的终边过点P（4，﹣3），∴cosα＝＝，则＝﹣cosα＝﹣，故答案为：﹣4．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从300名学生中抽取20个学生，分段间隔为＝15．故答案为：15．5．【解答】解：由线性方程组的增广矩阵为，可知该线性方程组为，∵该线性方程组的解为，即，∴m＝2，n＝1，则m+n＝3．故答案为：3．6．【解答】解：球的半径为＝5（cm），球的体积为×53＝（cm3）故答案为．7．【解答】解：∵行列式中元素y的代数余子式的值大于等于0，∴﹣＝﹣（1）＝﹣1﹣≥0，即，解得0≤x＜1．∴x的范围是[0，1）．故答案为：[0，1）．8．【解答】解：3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有23＝8种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有23﹣2＝8﹣2＝6种情况，∴所求概率为＝．故答案为：9．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15＝0，整理得：（x﹣4）2+y2＝1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y＝kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2＝4与直线y＝kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y＝kx﹣2的距离为d，则d＝≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．10．【解答】解：∵g（x）＝2x﹣2，当x≥1时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立，则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（1，0）的左侧，∴，即，解得﹣4＜m＜0，∴实数m的取值范围是：（﹣4，0）．故答案为：（﹣4，0）．11．【解答】解：∵直线f（x）＝k0x+b与曲线g（x）＝交于点M（m，﹣1），N（n，2），故m＝﹣k2，n＝，故函数f（x）＝k0x+b为增函数，k0＞0，由y＝k0x+b得：x＝y﹣，故f﹣1（x）＝x﹣，由y＝得：x＝，故g﹣1（x）＝，两个反函数交于（﹣1，m），（2，n）点；两个函数的草图如下图所示：当x∈[﹣1，0）∪[2，+∞）时，f﹣1（x）≥g﹣1（x），故答案为：[﹣1，0）∪[2，+∞）12．【解答】解：n＝2k（k∈N*）为偶数时，a1+a2＝，a3+a4＝，……，a2k﹣1+a2k＝，Sn＝＝→．（k→+∞）．n＝2k﹣1（k∈N*）为奇数时，a2+a3＝，a4+a5＝，……，a2k﹣2+a2k﹣1＝，Sn＝a1+＝a1+→a1+．∵数列{Sn}收敛于常数A，∴a1+＝．解得a1＝．故答案为：{}．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．【解答】解：α、β表示两个不同的平面，直线m⊂α，m∥β，不一定得到直线与平面平行，还有一种情况可能是直线和平面相交，需要有另一条和它相交的直线也平行于平面，当两个平面平行时，一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件故选：B．14．【解答】解：∵等差数列{an}中a10＜0．a11＞0，且a11＞|a10|，∴a10+a11＞0，∴s20＞0，∵s19＝19a10＜0，故选：C．15．【解答】解：等腰三角形的腰长不明确，①当PA＝PO时，则P为OA垂直平分线y＝1与抛物线的交点，如图中的P1，P2；②当PO＝AO时，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，如图中的P3，P4；③当PA＝AO时，则P为以点A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，如图中的P5，P6．综上所述，使得△OPA是等腰三角形的点P的个数是6个．故选：C．16．【解答】解：直线AB与A1D1是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，直线EP必与A1D1相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．∴①为真命题，②为假命题．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分0分）17．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE，∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．（2）解：以C为原点，CB为y轴，CA为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0），＝（0，3，﹣2），＝（﹣2，﹣1，0），设平面A1BE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣1，得＝（﹣1，2，），M（﹣1，0，），，cosθ＝＝＝，∴CM与平面A1BE所成角为45°．18．【解答】解：（I）在△ABC中有B+C＝π﹣A，由条件可得：4[1﹣cos（B+C）]﹣4cos2A+2＝7，（1分）又∵cos（B+C）＝﹣cosA，∴4cos2A﹣4cosA+1＝0．（4分）解得，∴．（6分）（II）由．（8分）又．（10分）由．（12分）19．【解答】解：（1）由题意可得t1＝＝h，设此时甲运动到点P，则AP＝v甲t1＝5×＝千米，∴f（t1）＝PC＝＝＝千米；（2）当t1≤t≤时，乙在CB上的Q点，设甲在P点，∴QB＝AC+CB﹣8t＝7﹣8t，PB＝AB﹣AP＝5﹣5t，∴f（t）＝PQ＝＝＝，当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f（t）＝PB＝AB﹣AP＝5﹣5t∴f（t）＝∴当＜t≤1时，f（t）∈[0，]，故f（t）的最大值没有超过3千米．20．【解答】解：（1）双曲线的渐近线方程为y＝﹣x和y＝x，即有tanθ＝||＝2，且0＜θ＜，由＝2，sin2θ+cos2θ＝1，解得cosθ＝；（2）设D（x0，y0），可得2x02﹣y02＝4，点N（x，y）满足，可得N为BD的中点，由点B的坐标为，可得2x＝1+x0，2y＝+y0，即x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣，则2（2x﹣1）2﹣（2y﹣）2＝4，可得N的轨迹方程为2（x﹣）2﹣（y﹣）2＝1；（3）设过点B的动直线l的方程为y﹣＝k（x﹣1），代入双曲线方程2x2﹣y2＝4，可得（2﹣k2）x2﹣2k（﹣k）x﹣4﹣（﹣k）2＝0，k≠±，由Δ＝4k2（﹣k）2+4（2﹣k2）（4+（﹣k）2）＞0，解得﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2＝，即有PQ的中点M（，），可得直线AM的斜率为kAM＝＝，由﹣3＜k＜﹣或﹣＜k＜，可得kAM∈（﹣4﹣3，﹣）∪（﹣，﹣）．21．【解答】（1）b1＝﹣1，，，b4＝1；（2）λ＝4，；（3）证明略．解：（1）∵an＝2n﹣3n，∴a1＝﹣1，a2＝﹣2，a3＝﹣1，a4＝4，∴b1＝﹣1，b2＝﹣，b3＝﹣，b4＝1；（2）设，可得a1＝2﹣λ，a2＝4﹣2λ，a3＝8﹣3λ，若b3＝﹣3，可得λ＞0，由6﹣3λ＝﹣6，可得λ＝4；由10﹣4λ＝﹣6，可得λ＝4；由12﹣5λ＝﹣6，可得λ＝，若λ＝4，可得a1＝﹣2，a2＝﹣4，a3＝﹣4，满足题意；λ＝时，a1＝﹣，a2＝﹣，a3＝﹣，可得b3＝﹣，不符题意，舍去，综上可得λ＝4，即有数列中的项为﹣2，﹣4，﹣4，0，12，40，…，可得b1＝﹣2，b2＝﹣3，b3＝﹣3，b4＝﹣2，bn＝，n≥5，则前n项和Sn＝﹣10+（24+25+…+2n﹣1）﹣2（6+7+…+n+1）＝﹣10+﹣2•（（n﹣4）（6+n+1）＝2n﹣n2﹣3n+2；（3）证明：充分性：若“数列{an}是等差数列”，设其公差为d，则bn＝，bn+1＝＝bn+，故“数列{b