沪教版八年级数学下册 第二十三章 概率初步（35道压轴题专练）（解析版）

第二十三章概率初步（35道压轴题专练）

压轴题型专训

1.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6,现将这枚骰子先后抛掷两次，

记下抛掷后朝上的面上的点数，第一次记下的点数为机，第二次记下的点数为〃，则关于％、V的二元一次

方程组。只有非负解的概率为（）

[mx+ny=3

11319

A.B.C.D.

123636

【答案】D

【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程，列举法求概率.熟练掌握加减消元法解二元一次方程,

列举法求概率是解题的关键.

X+2y=2?,可得（2机—小y=2机—3,当2m—〃=0时，方程组无解；当2根—〃wO时，"誓^

解

mx+ny=3®2m-n

%=!―”，由题意知，———>0,~->0,当2根一〃>0时，6-2n>0,2m-3>0,解得，2m>n,

2m-n2m-n2m-n

n<3,m>2,则当〃=1时，m=2,34,5,6；当〃=2时，m-2,34,5,6；当〃=3时，m=2,34,5,6；当2根一〃<0

3

时，6-2n<0,2m-3<0,解得，2nl<n,n>3,m<—,当m=1时，n=3,4,5,6；然后求概率即可.

2

x+2y=2①

【详解】解:

mx+ny=3②

①xM一②得,（2m-n）y=2m-3,

当2根-〃=0时，方程组无解;

2M7—3

当2m—nw0时，y=-----

2m-n

将丫=和2代入①得，x=9生

2m-n2m-n

x+2y=2

・・,二元一次方程组。只有非负解,

mx+ny=5

,-.-^>0,空30,

2m-n2m-n

当2根一孔>0时，6-2n>0,2m-3>0,

解得，2m>n,n<3,m>2,

当〃=1时，m=2,34,5,6；

当〃=2时，m=2,34,5,6；

当"=3时，m=2,34,5,6；

当2zn—〃<0时，6—2n<0,2m—3<0,

3

解得，2m<〃,n>3,m<—,

当m=1时，n=3,456；

综上，共有36种等可能的结果，其中只有非负解有19种等可能的结果，

・・.只有非负解的概率为弓19，

36

故选：D.

2.从同一副扑克牌中挑出5张红桃、6张黑桃、7张方块，将这18张扑克牌洗匀后背面朝上，再从中抽出15

张牌，抽出的这15张牌中恰好有4张红桃的概率是（）

A.-B.-C.—D.—

551010

【答案】D

【分析】此题考查概率的计算公式，设抽出的牌中有X张红桃、y张黑桃、Z张方块，根据XW5、yW6、z<7,

x+y+z=15,得出xN2,则x的可能取值有2,3,4,5最后逐一计算即可，熟记公式是解题的关键.

【详解】设抽出的牌中有x张红桃、V张黑桃、z张方块，则x、y、z都为正整数，且xW5、y<6、z<7,

x+y+z=15,

•.・y+z<13,

x>2,

・・・元的可能取值有2,3,4,5,

①当x=2时，y+z=13,

；・y=6,z=7只有1种可能；

②当x=3时，y+z=12,

.•.y=6,z=6或y=5,z=7,有2种可能；

③当％=4时，y+z=H,

，y=6,z=5,或y=5,z=6或>=4,z=7,有3种可能；

④当%=5时，y+z=10,

，y=6,z=4或y=5,z=5或y=4,z=6或y=3,z=7,有4种可能，

共10种可能，其中恰好有4张红桃的可能有3种,

二所求概率为本3,

故选：D.

3.如图(1),一只圆形平盘被同心圆划成M,N,S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在N,

S三个区域的豆子数的比.多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在

三个区域的面积之比附近摆动.如图(2)将一根筷子放在该盘中AB位置,发现三个圆弧刚好将A3五等分.我

们把豆子落入三个区域的概率分别记作尸(M),P(N),尸(S),已知尸(S)=g,则P(M)等于()

【答案】A

【分析】本题考查几何概率，掌握几何概率就是求几何图形的面积比是解题的关键，设小圆的半径为广，则

大圆的半径为百厂，设A5=10a,根据勾股定理求出一=6/,然后解出M部分面积与整个圆面积的比即为

概率.

【详解】解：如图，设小圆的半径为广，则大圆的半径为君r,设AB=10a,

AE=5a,CE=3a,DE=a,

OE2=（75rj2-（5a）2=r2-a2=OC2-（3a）2,

解得：r2=6cr,OC-=14a\

54r-14»。2168

•••M部分面积与整个圆面积的比:

571rl3015

Q

尸(M)等于会,

故选A.

（2）

4.现有三个正方体形的公正骰子，每个骰子的六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.投掷这三个骰子，

则其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是（）

A.LB.上C.iD.A

3672624

【答案】D

【分析】先求得总的可能情形，根据题意得出有9种可能，按照不同方式可得共有45种符合题意的情形,

进而根据概率公式，即可求解.

【详解】解：根据树状图法可得第一个数字有6种情形，第二个数字可以选6个数字，第三个数字也可以

选6个数字，故总可能结果有6x6x6=216种可能

依题意，1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,2+2=4,2+3=5,2+4=6,3+3=6,共有9种可能，每

种有6种排列方式，

其中1,1,2,2,2,4,3,3,6每种可能有3种不同排列

（1,1,2）；（1,2,1）；（2,1,1）；（2,2,4）;（2,4,2）;（4,2,2）和（3,3,6）；（3,6,3）；（6,3,3）,共9种可能；

1,2,3的排列有（1,2,3）,（1,3,2）,（2,1,3）,（2,3,1）,（3,1,2）,（3,2,1）6种可能,同理1,3,4；1,4,5；1,5,6....,6种可能

则符合题意的共有6x6+3x3=45种，

其中两个骰子的点数之和恰好等于余下的一个骰子的点数的概率是4日5=或5，

故选：D.

【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，根据题意找出符合题意的可能数是解题的关键.

5.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如12c与1C、与;7。.在一次制取co

的实验中，与13c的原子个数比为2：1,1。与］。的原子个数比为1：1,若实验恰好完全反应生成CO,

则反应生成;的概率（）

A.-B.-C.-D.；

6332

【答案】B

【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成:;C$0的结果数，

然后根据概率公式求解..

占愀

【详解】解：反应的化学方程式为2C+O2n2C0，

与的原子个数比为2:1,黑。与x的原子个数比为i：i,

反应后生成的：；CfO中;2c来自于反应物C,而;七来自于反应物O,

共有6种等可能的结果数，其中反应生成:;Cfo的结果数为2,

71

二反应生成;2玛6。的概率为=

63

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果"，再从中选出符合

事件A或2的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件2的概率.

6.某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇

去4名，另两镇各去1名的概率为（）

,20„io-10

A.—B.*C.D.

8181243243

【答案】B

【分析】因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有3$种情况，而有4个

人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3xC：,根据概率公式求解.

【详解】解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有3$种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任

何一个，另两镇各去1名的结果数为3x6x5,

所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=0等=震，

3o1

故选：B.

【点评】选出符合事件A或8的结果数目加，然后根据概率公式求出事件A或6的概率.

7.如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他

采取了以下办法:用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形

区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他

将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是（）

小球落在不规则图案内的频率

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

【答案】B

【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35,因此用频率估计概率，

再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35,即可求得不规则图案的面积.

【详解】P由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35,于是把0.35

作为概率.

设不规则图案的面积为xcm2,则有白=0.35

8x5

解得：x=14

即不规则图案的面积为14cm2.

故选：B.

【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统

计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率.这对学

生知识的灵活应用提出了更高的要求.

8.我国魏晋时期的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直

角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图，若。=2,b=3,现

随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域内的概率（）.

r*—a—

【答案】c

【分析】设小正方形的边长为x,根据已知条件得到48=2+3=5,根据勾股定理列方程求得x=l,再根据

三角形的面积公式计算即可得到结论.

设小正方形的边长为x

"."a=2,b=3

二•AB=2+3=5

在Rt/XABC中，AC2^BC2=AB2

・・・(2+x)2+(x+3)2=52

x=-6(不合题意舍去)

BC=a+x=2+l=3

AC=/?+元=3+1=4

SAABC=—ACxBC=；x4x3=6,阴影面积S=2xgax=2x；x2xl=2

，针尖落在阴影域内的概率==2=

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程、概率等知识；求解的关键是熟练掌握概率、一元二次方程

和勾股定理的性质，从而完成求解.

9.小亮有黑、白各10张卡片，分别写有数字0~9.把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，排成四行，排

列规则如下：

①从左至右按从小到大的顺序排列：

②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边.

小亮每行翻开了两张卡片，如图所示：

第□一行：

第二行:

0■□□□

第三行:

HID

第四行:

■⑸■

其余卡片上数字小亮让小明根据排列规则进行推算，小明发现有的卡片上数字可以唯一确定，例如第四行

最后一张白色卡片上数字只能是有的卡片上的数字并不能唯一确定，小明对不能唯一确定的卡片上数

字进行猜测，则小明一次猜对所有数字的概率是.

【答案】8—

【分析】

本题考查概率问题，图形类规律探索，根据规则确定数值，然后根据不能确定的数字进行求概率即可.

【详解】

解：：黑卡8在左边，

白卡数字可能为8或9,

又•••白卡9排在第一行，

第四行最后一张白色卡片上数字只能是8,

每行能确定的数字为:

第一行：15679

第二行：12345

第三行：0_679

第四行：02_88

不能确定的是黑色3和4,共有两种填法，是等可能性的，填对的有一种，即概率为;.

10.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代数学家赵

爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的

“风车”图案（阴影部分）.若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9,较短直角边为5,现随机向图2大

正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

.士.28

【答2V案】为

【分析】此题考查了几何概率，根据题意易得m=4,则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三

角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可求解，求出阴影区域的面积是解题的关键.

BD=BC-CD=9-5=4,

：.S枉方形=AC2=AB2+BC2=106,

则中间小正方形的面积为4x4=16,

小正方形的外阴影部分的4s.=4x/x4x5=40,

阴影部分的面积为16+40=56，

故答案为：||.

11.金华创建文明城市，推行垃圾分类.小区里有可回收、不可回收、有害垃圾和厨余垃圾四种垃圾箱.一

天小林把家里分好类的四袋垃圾拿去投放，他不小心放错了其中的三个垃圾袋，则小林将四个垃圾袋中的

三个垃圾袋投放错误的概率是.

【答案】I

【分析】画树状图（用A、B、C、。表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用。、b、

c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）展示所有24种等可能的结果，再找出

把三个袋子都放错位置的结果数，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图（用4B、C、。表示可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾投放位置，用

b、c、d表示装有可回收的、不可回收的和有害垃圾、厨余垃圾的袋子）；

开始

bedabdabc

Ccdbdbcbdadabbcacab

Ddcdbcbdcdacadbdabacbcaba

共有24种等可能的结果，其中把三个袋子都放错位置的结果数为8种，

Q1

所以把三个袋子都放错位置的概率为：

故答案为：;.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出上再从中选出符

合事件A或3的结果数目九然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.

12.若关于x的一元一次不等式组22（%：2）的解集为x?6,且关于y的分式方程'+++乎--=2的

[a-2x<-5J-l1-J

解是正整数，则所有满足条件的整数，是非负整数的概率为.

3

【答案】々

【分析】解一元一次不等式组的解集，根据不等式组的解集为尤W6,列出卓<6,求出。的范围a<7；

解出分式方程的解,根据方程的解是正整数,列出卓>0,求得a的范围°>-5；检验分式方程，列出卓丰

22

1,即。力-3,求得。的范围-5<a<7且aw-3,最后根据方程的解是正整数求得满足条件的整数a的值，

求概率即可.

【详解】解」*亨肃)①

[tz-2x<-5®

解不等式①得：尤26,

解不等式②得：x>等，

:不等式组的解集为xN6,

2

a<7,

分式方程两边都乘(y-D得：y+2a-3y+8=2(y-l),

方程的解是正整数,

小>0,

2

a>-5；

y-iwo,

•・aw—3，

・・・—5VaV7且aw—3,

**•能是正整数解的a是：,

3

・・・。是非负整数的概率为

4

,、3

故答案为：—.

4

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，求概率，注意解分式方程一定要检验是本题的关

键.

13.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形£FG".连结3。交反、CH

于点M、N.若。石平分14汨，现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为.

【答案】正/［应/0.250

44、

【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率.

【详解】解：如图，连接EG交3。于点P,

平分—4DB,

JZADE=ZMDE

•・•四边形由GH是正方形

/MED=90。,

：.ZAED=180°-ZMEZ)=90°

JZMED=ZAED

•；DE=DE

：.AADE^AMDE(ASA)

：.AE=ME

同理可证△8GC之ZkBGN(ASA),

•・•四边形ABC。是正方形

・•・/ADM=45。

・•・ZADE=ZMDE=22.5°

：.NEMD=90。一NAOE=67.5。

ZMEG=45°

JNMPE=18U。一NEMD—NMEG=67.5。

/EMD=ZMPE

：.EM=EP

设EM=EP=x,则EG=2EP=2x

在RtAEFG中，/EFG=45。,

FG—EGxsin45°=亚x

VABFA^AAED^ACGB

：.BF=AE=CG=x,BG=BF+FG=(72+l)x,&BFA沿AAED沿ACGB沿4NBG会4MED,

在RtABCG中，

BC2=CG2+BG2=(4+2A/2)X2

2

•*-S阴影=sDEM+SBGN=2SBGN=2xgxx(V2+l)x=(V2+1)X

S正方形g=3C2=(4+2©p

.S阴影=(应+1)彳2

2

S正方形ABCD(4+2y/2)x4

•••针尖落在阴影区域的概率为变.

4

故答案为：叵.

4

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的

面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键.

14.在二ASC中，AB=6,AC=4,AD是BC边上的中线，记相>=机且/为正整数.则加使关于x的分

式方程若1+4=—1有正整数解的概率为____.

3—xX—J

【答案】I

【分析】延长A。到E,使AD=DE,连接BE,证△AQCg/\E£)8,得至！JAC=8E=4,在△ABE中，根据三

边关系可知AB-BE<AE<A8+8E,代入求出机的取值范围，解分式方程得到有正整数解时机的值有2个，再

利用概率公式求解.

【详解】延长A。到E,^AD=DE,连接3E,如图

•「AO是边上的中线，

：.BD=CD,

在△ADC和△皮)5中，

AD=DE

<NADC=/EDB

DC=BD

△ADC丝△皮>8(SAS)

：.AC=BE=4,

在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BEf

.,.6-4<2A£)<6+4,

：.1<AD<5,

即l<m<5,

m=2,3,4,

解分式方程等二+4=々

3-xx-3

,12

..x----------

m-4

,・“为正整数，

m-4<0,

m=2,3,

•••根使关于X的分式方程，1+4=—1有正整数解的概率为J.

3-xx-33

【点睛】本题考查了概率公式、解分式方程、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键.

15.从-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4这9个数中任意选一个数作为机的值，使关于x的分式方程:

生子=3的解是负数，且使关于x的函数>=一图象在每个象限y随x的增大而增大的概率为—.

X+1X

【答案】|4

【分析】利用分式方程的解和反比例函数的性质可得机的取值范围，进而可得机的值，然后再利用概率可

得答案.

【详解】解：工?=3,

X+1

解得，x=-3-m,

•・•方程的解是负数，

J-3-m<0

[-3-m^—1

解得：m>-3,且m=^-2,

••・关于X的函数y=比0图象在每个象限y随X的增大而增大,

X

:・m-3<0,

-3<m<3,且m=^~2,

•9•m=-1或。或1或2,有4种可能，

4

故概率为3，

4

故答案为：—.

【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质和分式方程的解，以及概率，关键是正确确定机的取值范围.

16.有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝

上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正

‘3%-23

______<XH--

面朝上的数字记为b,则使关于x的不等式组22的解集中有且只有2个非负整数的概率

ax>b

为.

【答案】7

0

【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的

坐标，再利用概率公式即可求得答案.

3x-2

①

【详解】O-

ax>b®

解不等式①得X<5.

a、b取值:

ba-112

-1(LT)

1(Tl)（2」）

2(-10(L2)

共6种情况：

。=-|,人=1时，解不等式②得无<一1,非负整数解只有0个.

。=-1,6=2时，解不等式②得广-2,非负整数解只有。个.

a=l,6=-1时，解不等式②得x>T,—l<x<5非负整数解只有5个.

a=l,6=2时，解不等式②得x>2,2<x<5非负整数解只有2个.

。=2,6=-1时，解不等式②得x>-《，非负整数解只有5个.

a=2,b=l时，解不等式②得；<x<5负整数解只有4个.

|3x-23

综上所述，关于X的不等式组-----2------<XH---2--的解集中有且只2个非负整数的概率为;1.

j6

ax>b

故答案为：—

0

【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合

要求的点是解题关键.

17.已知火工。0=1,2,…,2012）满足国+固+国+…+包J+瓯^=2000,则使一次函数

a

%2^2011%012

，=平+4=1,2,…,2012）的图象经过一、二、四象限的为的概率是.

【分析】根据回的值不是1就是一1,得出为有6个是负数，2006个是正数，再根据一次函数经过一、二、

a

四象限得出一次项系数小于0,即可求出概率.

【详解】解：..•巴的值不是1就是一1,

且0产O(i=l,2…,2012)满足国+冈+园+…+应+—=2000,

4〃2〃3^201142012

A2012-2000=12,12+2=6,6+2000=2006,

二•%有6个是负数，2006个是正数,

・・・q<0时直线，=《・％+迫=12…,2012)的图象经过一、二、四象限，

・•・使直线，=。/+迨=1,2,--,2012)的图象经过一、二、四象限的概率是

20121006

【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率的求

解方法.

18.现有张正面分别标有数字0,1,2,3,4,5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它

们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为。，则使得关于x的一元二次方程/一2X+^|=0

有实数根，且关于尤的分式方程上冬+2=」有解的概率为.

【答案】j

0

【分析】根据一元二次方程有实数根，求出a的取值范围，再根据分式方程有解，求出a的取值范围，综合

两个结果即可得出答案.

【详解】一元二次方程犬-2工+]=0有实数根，

.•14-4X->0.

a<2,

二.a=0,1,2,

且2—awO且兀。2,

解得：aw2且awl,

・•・使得关于x的一元二次方程,

--21+==0有实数根，且关于x的分式方程工+2=」有解的概率为:

故答案为：—

6

【点睛】本题考查一元二次方程有实数根、分式方程有解和概率的计算公式，掌握一元二次方程有实数根

和分式方程有解是解题的关键.

三、解答题

19.“双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A书法，B绘画，C舞蹈，。乐器，E武术共

五类兴趣班.为了解学生对这五类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查

结果整理后绘制成两幅不完整的统计图.请根据统计图信息回答下列问题.

(1)本次抽取调查的学生共有_____人，,〃=,并补全条形统计图；

(2)估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为人；

(3)九(1)班有王红和李明等五人参加了“乐器”兴趣班，在班级联欢会上，班主任从他们中随机抽取两人上

台共奏一曲，请用“列表法”或“画树状图法”，求出王红和李明至少有一人参与演奏的概率.

【答案】(1)50,20,10,详见解析

(2)260

【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概

率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键.

(1)根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再计算各项所占百

分比即可得；

(2)根据喜爱“乐器”兴趣班所占百分比，由总体人数求出喜爱“乐器”兴趣班的人数；

(3)先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择

同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得.

【详解】（1）解：本次抽取调查的学生总人数为5+10%=50（人）,

喜欢“绘画”兴趣班的百分比为而x100%=20%,机=20；

喜欢‘乐器”兴趣班的百分比为1-40%-20%-10%-20%=10%,."=10；

喜欢“书法”兴趣班的人数：50x40%=20（人）；喜欢“乐器”兴趣班的人数：50x10%=5（人））

补全条形统计图如图：

故答案为：50,20,10.

（2）喜欢“乐器”兴趣班的百分比为10%,

估计该校2600名学生中喜爱“乐器”兴趣班的人数约为2600x10%=260（人）

故答案为：260；

（3）把王红和李明分别记为a,b,其他3位同学分别记为c,d,e,

画树状图如下:

开始

ddbbb

共有20种等可能的结果，其中王红和李明至少有一人参与演奏的结果有14种,

,147

王红和李明至少有一人参与演奏的概率P=-=—.

20.某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车.每层的层高为6m,

横向排列30个车位，每个车位宽为3m,各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位.第二至四层每

层各有一个升降台，分别在211,316,421,为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空.每

个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取

停在311的车子为例）；

①转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；

②转运板进311,托起车，载车出311；

③转运板载车滑行至316前；

④转运板进316,放车，空载出316,停在316前；

⑤升降台垂直送车至一层，系统完成取车.

停车位停车位升降台留空停车位

301311316321330

••

转

•运•

转运板滑行区转运板滑行区

板

••

如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为lm/s,载车时的滑

行速度是升降台升降速度的2倍.

（1）若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运

板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；

（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）

（2）在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车

位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率.

【答案】（1）转运板载车时的滑行速度为0.6m/s

（2）P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）=:

【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决

实际问题和概率公式是解题的关键.

（1）设转运板载车时的滑行速度为尤m/s,则升降台升降速度为0.5xm/s,由“升降台回到第四层40s后转运

板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解；

（2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第。个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟

内完成取该车”列出不等式求出a,再根据概率公式即可求解.

【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为无m/s,则升降台升降速度为0.5xm/s,

依据题意可知，车位421与401相距20x3=60m,且每层的层高为6m,

2x3x6仆6060

可列方程:----------+40=—+—

0.5%1x

解得：x=0.6，

经检验，原分式方程的解为元=0.6,且符合题意.

答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s.

（2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该

车，

3a2x6

贝（j3aH-----1--------<60.

0.60.3

解得：a<2.5.

因为a是正整数，所以aW2.

因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，

也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统

按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟

41

内完成取该车）=9=：.

21.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案A,从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案8,从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案A抽奖一次：每满足150元，可根据方案2抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案A抽奖三次或方案8

抽奖两次或方案A,B各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元.

（1）若该顾客只选择根据方案A进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.

4

【答案】⑴§；

（2）选择方案A、方案2各抽1次的方案，更为合算.理由见解析

【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；

（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案A,1次方案A1次方案8,1次方案8,分别求出各种情况下获

得奖金的平均值即可.

【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250元，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次,

由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，

从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：

次

红白1白2

第2艘、

红红红白1红白2红

白1红白1白1白1白2白1

白2红白2白1白2白2白2

共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，

所以该顾客只选择根据方案A进行抽奖，获奖金为15元的概率为];

4

（2）解：①由（1）可得，只选择方案A,抽奖2次，获得15元的概率为获得30元（2次都是红球）

的概率为七1，两次都不获奖的概率为4

41

所以只选择方案A获得奖金的平均值为：15x§+30xq=10（元），

②只选择方案3,则只能摸奖1次，摸到红球的概率为|,因此获得奖金的平均值为：10x|%.7（元），

1o

③选择方案A1次，方案81次，所获奖金的平均值为：15X]+10x§ni.7（元），

因此选择方案A、方案8各抽1次的方案，更为合算.

【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答

的前提.

22.如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于一6和9的位置，现两点按照下述规则进

行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：

-----A•-------•------------•B------►

左-609右

①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位;

②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，8点向左移动5个单位；

③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位.

(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；

(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方

体骰子向上面的点数均为偶数的次数为。，若A点最终的位置对应的数为b,请用含。的代数式表示6,并

求当A点落在原点时，求此时8点表示的数；

(3)从如图所示的位置开始，经过尤次移动后，若钻=3,求x的值.

【答案】⑴“

(2)2点表示的数为-21；

(3)元的值为4或6.

【分析】(1)利用概率公式计算即可；

(2)根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动。个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向

左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；

(3)刚开始的距离是15,根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结

果.

【详解】(1)解：根据题意，8点移动到4,则向左移5个单位，且第一次就移动到4,

故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1,3,5,),

则P(奇数)===彳，

62

/.P(B点移动到4)=-X—=—；

(2)解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动。个单位，

当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，

b=-6+a-2(12-a)=3a-30,

当人=0时，3e30=0,

••.4=10,即均为偶数有为次,均为奇数有2次，

.•.B点表示的数为9-10x2-2x5=21；

(3)解：刚开始AB的距离等于15,

均为偶数时，A3距离缩短3,

均为奇数时，A8距离缩短3,

均为一奇一偶时，A3距离也缩短3,

当缩短至3时，(15-3)+3=4,.*.x=4；

当缩短至0再增长3时,(15+3)+3=6,...AG；

的值为4或6.

【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

23.一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行，裁判在黑板上写出正整数2,3,4,2006,

然后随意擦去一个数，接下来由甲、乙两人轮流擦去其中一个数(即乙先擦去其中一个数，然后甲再擦去

一个数).如此下去，若最后剩下的两个数互素，则判甲胜；否则，判乙胜，按照这种游戏规则，求甲获胜

的概率(用具体数字作答).

【详解】解获胜的关键，要看裁判擦去的是奇数还是偶数，注意到2,3,4,2006中有1003个偶数,

1002个奇数.

(1)若裁判擦去的是奇数，则乙一定获胜.

乙不管甲擦去什么数，只要有奇数，乙就擦去奇数(没有奇数时才擦去偶数)这样最后两个数一定都是偶

数，它们不互素，故乙胜.

(2)若裁判擦去的是偶数2〃z(〃zeN+),则所剩的2004个数可配成1002对，每对中两个数互补：(2,3),

(4,5),(2m-2,2/77-1),(2根+1,2m+2),(2005,2006)

这样不管乙擦去哪个数，甲都擦去所配对中另一个数，最后剩下的两数必然是配成一对的两个数，它们互

素，故甲胜.

所以，甲获胜的概率为黑.

24.某校开展主题为“防疫常识知多少”的调查活动，抽取了部分学生进行调查，调查问卷设置了A：非常了

解、B-.比较了解、C：基本了解、D-.不太了解四个等级，要求每个学生填且只能填其中的一个等级，

采取随机抽样的方式，并根据调查结果绘制成如图所示不完整的频数分布表和频率直方图，根据以上信息

回答下列问题：

*k

现尹.

n

等级频数频率

A200.4

B15b

C100.2

Da0.1

（1）频数分布表中。=，b=,将频数分布直方图补充完整；

（2）若该校有学生1000人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”防疫常识的学生共有多

少人？

（3）在“非常了解”防疫常识的学生中，某班有5个学生，其中3男2女，计划在这5个学生中随机抽选两

个加入防疫志愿者团队，请用列表或画树状图的方法求所选两个学生中至少有一个女生的概率.

【答案】（1）5,0.3；（2）700；（3）0.7.

【分析】（1）根据频率分布表计算出被调查的总人数，即可算出。,6；

（2）利用样本估计总体的统计思想，先求出调查结果中“非常了解”和“比较了解”的频率之和，再乘上该校

总人数即可得到；

（3）利用树状图列出所有的情况，选出满足条件的情况数，利用概率公式求解即可.

【详解】解：（1）被调查的总人数为：20+0.4=50（人），

u—50—（20+15+10）=5（人,

b=—=0.3,

50

故答案是：“=5,6=0.3,

（2）根据频数分布表知，“非常了解”和“比较了解”的频率之和为：04+0.3=0.7,

利用