规律探究类的常见压轴题（原卷版）-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题17规律探究类的常见压轴题

1.（2021•山东青岛•中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形.）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论.

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是1.按照（最长边长，最

短边长，第三边长）的形式记为（W）,有1个，所以总共有1x1=1个整数边三角形.

表①

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

11（1,1,1）11个11x1

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当

最短边长为1时，第三边长只能是2,记为（2,1,2）,有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2,记为

（2,2,2）,有1个，所以总共有1+I=lx2=2个整数边三角形.

表②

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（2J2）1

22个11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（3,1,3）1

32个22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:

表④

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43个22x3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有个.

（2）在整数边三角形中，设最长边长为〃，总结上述探究过程，当〃为奇数或〃为偶数时，整数边三角形

个数的规律一样吗？请写出最长边长为〃的整数边三角形的个数.

（3）最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸:

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

2.（2021•山东青岛•九年级期末）小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方，

他都能成功复原.有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我

们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a,b,c（a>2,b>2,c>2,且a,b,c

是正整数）的长方体，被分成了"6xc个棱长为1的小立方体.这个几何体中一共包含多少个长方体（包括

正方体）？（参考公式：1+2+3…+〃=小叫）.

2

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得

出一般性的结论.

探究一：如图2,该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体.如图3,该几何体有2个

小立方体组成，那么它一共包含1+2=3个长方体.如图4,该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含.

个长方体.如图5,该几何体-共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成.

探究二：如图6,该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9个长方体.如图7,

该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含

个长方体.如图8,该几何体共有2机个小立方体组成，那么该几何体一共有个长方体.

探究三：如图1,该几何体共有个。x6xc小立方体组成，那么该几何体共有个长方体.

探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了.在九阶魔方（即a=6=c=9）中，含有个长方体.

探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走

个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是.

3.（2021•沙坪坝•重庆八中九年级开学考试）根据阅读材料，解决问题.

材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（

例如：1、232、4554是对称数).

材料2：对于一个三位自然数A,将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x,J

,z,我们对自然数A规定一个运算：K(A)=x2+y2+z2,

例如：/=191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则

A：(191)=22+82+22=72.

请解答：

(1)请你直接写出最大的两位对称数：—，最小的三位对称数：—；

(2)如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数―；

(3)一个四位的“对称数”8,若K(B)=8,请求出B的所有值.

4.(2021•青岛大学附属中学九年级开学考试)(实际问题)小明家住15楼.一天，他要把一根3米长

的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中(如图①示)那么，电梯的长、宽、高和的最大

值是多少米？

图①

(类比探究)为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题.

探究：如图②，在中，AC1BC.若BC=a,AC=b,AB=c,贝W与c之有什么数量关系？

B

54

图②

解：在A45C中，

•­•AC1BC,

BC2+AC2=AB2,BPa2+b2=c2.

,•­(a-Z,)2>0,

a2+b2-2ab>0,

a2+b2>lab，

c2>lab，

••c2+a2_|_b2>2ab+Q2+廿.

2c?>(a+b)2.

•••a，b,c均大于0,

a+b与。之间的数量关系是〃+板.

探究2：如图③，在四边形Z5C。中，4C是对角线，ABLBC,ACLCD.若AB=a,BC=b,CD=c

，AD=d,则a+b+c与d之间有什么数量关系？

图③

解：VABVBC,ACLCD,

•••BC2+AB2=AC2,AC2+CD2=AD2.

•*-a2+b2+c2=d2

v(a-b)2>0,(6Z-C)2>0,(Z)-C)2>0,

a2+b2>2ab,a2+c2>2ac,b2+c2>2bc.

将上面三式相加得，2/+2b2+2c2>2ab+lac+2bc,

2d2>2ab+2ac+2bc.

,•2d2+/+b?+c?22ab+2QC+2bc+Q?++c?•

d22(a+6+c)2.

<a,b,c,d均大于0,

a+b+c^d之间有这样的数量关系：a+b+c<d.

探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ZBCQE中，AC,是对角线，AB1BC,ACLCD

，AD±DE.若AB=a,BC=b,CD-c,DE-d,AE=e,则a+b+c+d与e之间的数量关系是

图④

（归纳结论）

当%>0,%>°，…，。">0，加>0时，若％2a2?+…+。”2=小，则为+%+…+%与加之间的数量关系

是.

（问题解决）

小明家住15楼一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①

示）,那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米.

（拓展延伸）

公园准备修建一个四边形水池，边长分别为。米，6米，c米，d米，分别以水池四边为边向外建四个正方

形花园，若花园面积和为900平方米，则水池的最大周长为米.

5.（2021•山东南区•九年级一模）（问题提出）用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

（问题探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次

递进，最后猜想得出结论.

探究一：如图1,一个圆能把平面分成2个区域.

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2,在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的

圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域.

探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3,在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增

加的圆分成2x2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域.

（1）用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.

（2）（一般结论）用"个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前。个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成

一部分，从而增加个区域，所以，用"个圆最多能把平面分成

个区域.（将结果进行化简）

（3）（结论应用）

①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域.

6.阅读材料：1261

年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律.在他

之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”.

1

Ii....................................

-----------------------------3”

1331~»-5〃

这个三角形给出了（。+6y（n

为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律.例如：在

三角形中第三行的三个数1、2、1,恰好对应（。+6）2=/+2/+62展开式中各项的系数；第四行的四个数

1、3、3、1,恰好对应,+6）3=^+3/6+3加+/展开式中各项的系数等.

从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形.经研

究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数.

(a+6+c)°=l1

(a+b+c)1=a+b+c

1

11

(Q+b+c)2=a2+h2+c2+2ab+2ac+2be

1

22

121

(Q+b+c)3

=a+b3+c+3a2b+3ab~+3a2c+3ac"+3b2c+3be2+6abc

1

33

363

1331

（1）根据材料规律，请直接写出（a+b『的展开式；

（2）根据材料规律，如果将a-b看成“+（-6）,直接写出'-0+1］的展开式（结果化简）；若

求工+1］的值;

2/一5/+2-7

（3）已知实数a、b、c,满足〃+/+。2+2。―46+6。=-10,且-+-——-----=0,求〃+6的值.

。+1b-2c+3

7.先阅读下面的文字，然后按要求解题：

例：1+2+3+...+100=?

如果一个一个顺次相加显然太繁琐，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法

运算律，是可以大大简化计算，提高运算速度的.

因为1+100=2+99=3+98=...=50+51=101

所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.

解：1+2+3+…+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)

=101x____________

（1）补全例题的解题过程；

⑵计算：。+（。+6）+（。+26）+（。+36）H-----F（。+996）+（。+100b）

8.（2021•四川中区•九年级模拟预测）阅读与应用：

阅读1：。、b为实数，且q>0,6>0,因为一霸）>0,所以+b20,从而Q+6N2A/^K（当Q

=b时取等号）.

阅读2：函数》=、+%（常数冽>0,x>0）,由阅读1结论可知：X+->2AC^=2V^,所以当'='即

XX\XX

x=时，函数y='+'"的最小值为.

X

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为：，周长为2（x+j,求当尸

一时，周长的最小值为.

问题2：已知函数为=x+l（%〉一1）与函数y2=N+2x+17（x>—1）,当％=__________时，匹的最小

必

值为.

问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人1

0元；三是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01.当学校学生人数为多少

时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用一学生人数）

9.（2021•盐城市第一初级中学九年级月考）阅读材料：各类方程的解法：

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为

一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它

转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，

所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一

转化，把未知转化为已知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+xJ

2x=0,可以通过因式分解把它转化为x（/+x-2）=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

（1）问题：方程6x3+14--12x=0的解是：再=0,%=,x3=；

（2）拓展：用“转化”思想求方程j2x+3=x的解;

（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m,宽AB=8m,点P在AD上（AP>PD）,小华把一根

长为27m的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,再拉直，长绳的另一端恰好落在点C,求

AP的长.

pD

千年一千年、¥千

/、、

p千千千千、%

BC

10.（2021•山东济南•九年级一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点A、B,则所有符合务=左（左＞0且左片1）的点尸会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家

阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

（问题）如图1,在平面直角坐标中，在x轴，V轴上分别有点C（见点尸是平面内一动点，且

OP=r,设—=左，求尸C+狂见的最小值.

图1

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在。。上取点使得（W:。尸=。尸:。。=左；

第二步：证明枕O=PM；第三步：连接CM,此时C0即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点使得（W:。尸=OP:OD=左，

又QAPOD=/.MOP,POM:MDOP.

任务：

⑴将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在R/A48c中，N/CB=90°,NC=4,8。=3,。为^18c内一动点，满足CD=2,利用⑴中的

2

结论，请直接写出的最小值.

11.（2020•山东青岛•九年级一模）［提出问题］正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的

边及内角有什么关系？

［探索发现］

（1）为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形——正三角形入手

如图①，AA8C是正三角形，边长是尸是A48C内任意一点，P到AA8C各边距离分别为4、刈、"，确

定%+为+勿的值与A4BC的边及内角的关系.

图①

（2）如图②，五边形/BCDE是正五边形，边长是是正五边形/BCDE内任意一点，尸到五边形N3CDE各

边距离分别为％也也，力4,%，

参照（1）的探索过程，确定九+e+〃3+&+/5的值与正五边形ABCDE的边及内角的关系.

D

H

ANB

w图②

（3）类比上述探索过程：

正六边形（边长为a）内任意一点P到各边距离之和4+为+H+儿+%+4=

正八边形（边长为。）内任意一点P到各边距离之和4+4+%+均+力5+4+〃7+为=

涧题解决]正〃边形（边长为a）内任意-一点P到各边距离之和h1+h2+……+h„=

12.（2020•青岛超银中学九年级月考）（问题情境）

我们知道若一个矩形是的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，它的面积最大.反过来，若一个矩

形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？

（探究方法）

用两个直角边分别为。，b的4个全等的直角三角形可以拼成一个正方形。若小b,可以拼成如图所示的

22

正方形，从而得至g2+62>4xg",gpa+b>2ab；当时，中间小正方形收缩为1个点，此时正方

形的面积等于4个直角三角形面积的和.即片+〃=4（；/）=2m.于是我们可以得到结论：a,b为正数

，总有1+6222a6,当且仅当a=6时，代数式/+〃取得最小值2".另外，我们也可以通过代数式运

算得到类似上面的结论：

•.•[a-b'f>0,a2-2ab+b2>0,a2+b2>lab

・•.对于任意实数a,b总有+及N2ab,且当a=6时，代数式/+/取最小值2".

使得上面的方法，对于正数。，b,试比较a+6和2&万的大小关系.

（类比应用）

利用上面所得到的结论完成填空

（1）当x>0时，代数式x+士有最_值为_.

X

（2）当x>l时，代数式x+—1有最—值为—.

X-1

（3）如图，已知P是反比例函数y=:（x>0）图象上任意一动点，。（0,0）,/（-M）,试求S△皿的最小面

积.

13.（2020•山西九年级一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务.

梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍.

梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截,

这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与

三条边的延长线都相交）.他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：

设。，E,尸依次是A43C的三边BC,。或其延长线上的点，且这三点共线，则满足丝•丝•与=1

DBECFA

这个定理的证明步骤如下:

情况①：如图1,直线DE交A42c的边N2于点。，交边ZC于点尸，交边2c的延长线与点E.

过点C作CMLDE交42于点跖则萼=黑，照=］（依据），

ECDMDMFC

BEAD_BDAF

~FC"

ADBECF,

；,BE,AD/FC=BD・AF*EC,即Rn------------=1.

DBECFA

A

图1图2图3

情况②：如图2,直线DE分别交AIBC的边A4,BC,C4的延长线于点。，E,F.

（1）情况①中的依据指：;

（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；

（3）如图3,D,尸分别是△/I8C的边N8,/C上的点，且ND:D3=CF:出=2:3,连接。尸并延长，交3C的延

长线于点E,那么BE:CE=.

14.（2020•重庆八中九年级月考）请阅读下列材料：

问题：已知方程/+工一1=0,求一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解：设所求方程的根为八则y=2x,所以x=5.

把代入已知方程，得金|+1-1=0

化简，得必+2了-4=0

故所求方程为「+2夕-4=0.

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.

（1）已知方程/+xT=（）,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为

（2）已知关于x的一元二次方程af+bx+c：。有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的

根分别是已知方程根的倒数；

（3）已知关于x的方程无2-加x+〃=0有两个实数根，求一个方程，使它的根分别是已知方程根的平方.

15.（2020•山东青岛•九年级期末）空间任意选定一点O,以点。为端点作三条互相垂直的射线Ox,

Oy,Oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为Ox（水

平向前），。了（水平向右），Oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.将相邻三个面

的面积记为几邑,号,且s2VsJ的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标

系内进行码放，要求码放时将单位长方体百所在的面与X轴垂直，星所在的面与丁轴垂直，号所在的面与

z轴垂直，如图1所示.若将X轴方向表示的量称为几何体码放的排数，了轴方向表示的量称为几何体码放

的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放

的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1,2,6）,如图3的几何体码放了

2排3列4层，用有序数组记作

（2,3,4）.这样我们就可用每一个有序数组（x,y,z）表示一种几何体的码放方式.

（1）有序数组（3,2