




版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题43排列组合
【题型归纳目录】
题型一:排列数与组合数的推导、化简和计算
题型二:直接法
题型三:间接法
题型四:捆绑法
题型五:插空法
题型六:定序问题(先选后排)
题型七:列举法
题型八:多面手问题
题型九:错位排列
题型十:涂色问题
题型十一:分组问题
题型十二:分配问题
题型十三:隔板法
题型十四:数字排列
题型十五:几何问题
题型十六:分解法模型与最短路径问题
题型十七:排队问题
题型十八:构造法模型和递推模型
题型十九:环排问题
【考点预测】
知识点1、排列与排列数
(1)定义:从〃个不同元素中取出加(〃三〃)个元素排成一列,叫做从〃个不同元素中
取出,八个元素的一个排列.从“个不同元素中取出m(加4〃)个元素的所有排列的个数,叫
做从〃个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号父表示.
MI
(2)排列数的公式:4:=-2)(n-m+1)=----方.
特例:当机=〃时,="!=〃("-1)(〃-2)3.2.1;规定:0!=1.
(3)排列数的性质:
①然=砥:二;②③罂=mA小心.
n—mn—m
(4)解排列应用题的基本思路:
通过审题,找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关,有无特殊限制条件(特殊位置,
特殊元素).
注意:排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的,但作用略有不同,
人:=〃5-1)-(〃-机+1)常用于具体数字计算;而在进行含字母算式化简或证明时,多用
n(n-m)\
知识点2、组合与组合数
(1)定义:从〃个不同元素中取出加("74")个元素并成一组,叫做从〃个不同元素中
取出加个元素的一个组合.从“个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫
做从几个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C:表示.
(2)组合数公式及其推导
求从〃个不同元素中取出机个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑:
第一步,先求出从这"个不同元素中取出机个元素的组合数;
第二步,求每一个组合中加个元素的全排列数A:;
根据分步计数原理,得到*=C:.线;
因此b=堂=小一1)("2)(二加+1)
M〃?!
这里〃,机eN+,且加4",这个公式叫做组合数公式.因为父=,加、,所以组合
[n-my.
数公式还可表示为:特例:C:=C;=L
注意:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题
时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式
C:=-1)(〃-2)…-+1)常用于具体数字计算,c;=_2_常用于含字母算式的
ml
化简或证明.
(3)组合数的主要性质:①C:=C「";②C:+
(4)组合应用题的常见题型:
①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型
②“至少”或“最多”含有几个元素的题型
知识点3、排列和组合的区别
组合:取出的元素地位平等,没有不同去向和分工.
排列:取出的元素地位不同,去向、分工或职位不同.
注意:排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题,它们之
间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考
虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列
组合综合问题的基本思维是“先组合,后排列”.
知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程
1、认真审题,确定要做什么事;
2、确定怎样做才能完成这件事,即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行,弄清
楚分多少类及多少步;
3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题,元素总数是多少
及取出多少个元素;
4、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略.
【方法技巧与总结】
1、如图,在圆中,将圆分〃等份得到〃个区域M,M2,M3,,MQ..2),现取依左.2)
种颜色对这"个区域涂色,要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色,则涂色的方案有
(一1)"(%-1)+("1)"种.
2、错位排列公式£>“=(汽eiL+i).〃!
台n\
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
(1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限
制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解决该类排列问题
的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元
素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.
4、定位、定元的排列问题,一般都是对某个或某些元素加以限制,被限制的元素通常
称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑:
(1)以元素为主考虑,这时,一般先解决特殊元素的排法问题,即先满足特殊元素,
再安排其他元素;
(2)以位置为主考虑,这时,一般先解决特殊位置的排法问题,即先满足特殊位置,
再考虑其他位置;
(3)用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列
数.
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”,其模型为将“个不同元素排成一排,其中某上个
元素排在相邻位置上,求不同排法种数的方法是:先将这发个元素“捆绑在一起“,看成一个
整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;然后再将“捆绑”在一起的元
A,T一女M+1
素“内部”进行排列,共有4种排法.根据分步乘法计数原理可知,符合条件的排法共有
娼普•/种・
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”,其模型为将“个不同元素排成一排,其中某七个
元素互不相邻(kWn-k+1),求不同排法种数的方法是:先将(n—k)个元素排成一排,
共有四二;种排法;然后把上个元素插入〃-左+1个空隙中,共有吃川种排法.根据分步乘
法计数原理可知,符合条件的排法共有4联•反_1种.
【典例例题】
题型一:排列数与组合数的推导、化简和计算
例1.(2022•山东・高密三中高三阶段练习)己知小他为正整数,且〃2根,则在下列各式中
错误的是()
A.图=120;B.A;2=C;2.A;;C.C:+C3=C:;;;D.C:=Cr
【答案】C
【解析】对于A,=6x5x4=120,故正确;
对于B,因为C%=冬,所以A:2=C1A;,故正确;
除7
对于C,因为小加为正整数,且〃2根,
4x3
所以令〃=3,加=1,贝i」c:+C3=C;+C;=7,C解=C;=-=6,止匕时
2x1
故错误;
对于D,C:=C:-m,故正确;
故选:C
例2.(2022.江苏镇江.高三开学考试)己知“,加为正整数,且〃2相,则在下列各式中,
正确的个数是()
①A:=120;②A;2=C"A;;③C:+C3=C>:;@C:=C:-m
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】对于①A:=6X5X4=120,故①正确;
对于②因为CZ=请,所以A:2=C:2-A;,故②正确;
对于③因为c;:+C:T=C;;'+1,故③错误;
对于④C:=C7",故④正确;
故选:c
例3.(2022.全国•高三专题练习)若Aj=10A;,则〃=()
A.7B.8C.9D.10
【答案】B
【解析】由题意,得2〃(2〃-1)(2“-2)=10〃(,一1)(〃-2),化简可得4"-2=5"-10,解得〃=8.
故选:B
例4.(2022・全国•高三专题练习)已知C;==C:;2,则x的值为()
A.3B.3或4C.4D.4或5
【答案】B
【解析】因为C;==C:;2,
所以2x—1=x+2或(2x—l)+(x+2)=13,
解得:x=3或x=4.
故选:B.
例5.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)已知A?-JA;+0!=4,则加的可能取值是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】CD
【解析】因为Af-〈A;+0!=4,所以A'TX6+1=4,所以Af=6,
其中,而A;=1,A;=3,A;=A;=6,
所以加的值可能是2或3.
故选:CD.
例6.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)下列等式正确的是()
Am
A.C:=CLB.
〃n\
C.5+2)(〃+1)父=媲2D.qy+c"
【答案】ACD
【解析】根据组合数的性质可知Cr=C;R,C;=c;:;+c;_,,故AD正确;
根据排列数与组合数的关系可知C,:=£1,故B不正确;
ml
V(n+2)(n+1)/^=(n+2)(n+l)n(n-1).....(n-m+1),
心=(/+2)5+1).-(n+2-m-2+l)
=(n+2)(n+l)n(n-l)--(n—m+1),
.•.(〃+2)(n+1)M=A臂,故C正确.
故选:ACD.
例7.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)下列等式中,正确的是()
A.父+7砒'尸=心B.<=nC;:;
D.c:="小~4
-Cn1=C„+GT+C,I
+n—m
【答案】ABD
n\n\n\(n+l)-n!
【解析】选项A,左边二--------—+m-+m-
yn-m)\(n-m+l)!(n-m+1)!(n-m+l)!(n-m+l)!
(n+l)!
一*=右边,正确;
(n—1)!rn\n\
选项B,右边=叮—^—7—------怎=—'7―=7------^=八77-------=左边,正确;
选项c,右边=£"7+£"=(?3r左边,错误;
m+1n\(m+l)-n!n\
选项D,右边二—左边,
n—m
正确.
故选:ABD
例8.(2022•全国•高三专题练习)解下列不等式或方程
⑴A;<6A「
J____1_7
(2)cf-cf-ioc7
|0<x<8
【解析】⑴由题意得:1°-%-2-8,解得:2Vx<8,
_98!乙8!
A;〈6A;,即(8_耳!<X(8-x+2)!?
解得:7<x<12,结合2WxW8,可得:x=8
117
(2)---=,则0WmK5,
7m!(7-m)!
即X
5!6!~107!
解得:m=21(舍去)或2
故方程的解为:m=2
例9.(2022.全国•高三专题练习)⑴计算:©OO+MAAM;
(2)计算:C;+C;++C;
A7-A5
(3)解方程:"=89.
A"
A311
【解析】(1)原式:仁久+和3六人畜二婢8一人:。产黄+人畜=舒=1
(2)原式=C:+C:+C;+…+C:o=C”+…+C:o=C:+C:+-.+C:。
“•=C:°+C:°=C*=330;
(3)原方程可化为」_白(八一,'_-=89,整理得
n(〃一1)(〃一2)…-4)
(九一5)(九一6)—1=89,
即〃2一11〃+29=89,化简得*-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4(舍去),
所以原方程的解是〃=15.
例10.(2022.全国•高三专题练习)利用组合数公式证明。^+喘=。鬻.
(几+1)!
【解析】证明:因为。鬻=
(m+l)l(n-m)l
n\n\n!
C;+1+C;=-------------------------1---------------
(--〃?-1)!(m+1)!m\(n—ni)\(m+1)!(M-m)!(m+1)!(«—ni)!
所以c:"+c:”=cu
题型二:直接法
例U.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲
和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不
会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列方式共有()种
A.54B.72C.96D.120
【答案】A
【解析】根据题意,甲乙都没有得到冠军,而乙不是最后一名,
分2种情况讨论:
①甲是最后一名,则乙可以为第二、三、四名,即乙有3种情况,
剩下的三人安排在其他三个名次,有看=6种情况,
此时有3x6=18种名次排列情况;
②甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,有&=6种情况,
剩下的三人安排在其他三个名次,有阕=6种情况,
此时有6x6=36种名次排列情况;
则一共有36+18=54种不同的名次情况,
故选:A.
例12.某校开展研学活动时进行劳动技能比赛,通过初选,选出A,民C,£>,瓦产共6名同学
进行决赛,决出第1名到第6名的名次(没有并列名次),A和8去询问成绩,回答者对A说
“很遗撼,你和B都末拿到冠军;对3说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的
名次排列顺序可能出现的结果有()
A.720种B.600种C.480种D.384种
【答案】D
【解析】由题意,A3不是第一名且8不是最后一名,8的限制最多,故先排8,有4种情
况,
再排A,也有4种情况,余下4人有=4x3x2x1=24种情况,
利用分步相乘计数原理知有4x4x24=384种情况.
故选:D.
例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则不同的排法有()
A.24种B.6种C.4种D.12种
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,
则只需对剩下3人全排即可,
则不同的排法共有阀=3x2x1=6,
故选:B.
例14.某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教,则抽取的3人中,女
教师最多为1人的选法种数为()•
A.10B.30C.40D.46
【答案】C
【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人
若女教师为。人,则男教师有3人,有C;C;=10种选择;
若女教师为1人,则男教师2人,有以C;=30种选择;
故女教师最多为1人的选法种数为10+30=40种
故选:C
题型三:间接法
例15.将7个人从左到右排成一排,若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲不站在最
右端,则不同的站法有().
A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种
【答案】D
【解析】7个人从左到右排成一排,共有"=5040种不同的站法,其中甲、乙、丙3个都
相邻有看其=720种不同的站法,甲站在最右端有用=720种不同的站法,甲、乙、丙3个
相邻且甲站最右端有段耳=48种不同的站法,故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲
不站在最右端,不同的站法有5040-720-720+48=3648种不同的站法.
故选:D
例16.某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教,若甲
、乙、丙三位教师至少一人被选中,则组队支教的不同方式共有()
A.21种B.231种C.238种D.252种
【答案】B
【解析人中选5人有C:。=252种选法,其中,甲、乙、丙三位教师均不选的选法有C:=21
种,
则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有C:。-C;=231种.
故选:B
例17.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数''合称"六艺“礼”主要指德育;“乐”主要指
美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开
展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”
两次不相邻,贝「'六艺”讲座不同的次序共有()
A.408种B.240种C.1092种.D.120种
【答案】A
【解析】每周安排一次,共讲六次的“六艺”讲座活动,“射”不在第一次的不同次序数为A;A;,
其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为A:A:A;,
于是得A;A;-A;A:A:=5x120-4x24x2=408,
所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.
故选:A
例18.红五月,某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光,伟大梦想”联
欢会,经过初赛,共有6个节目进入决赛,其中2个歌舞类节目,2个小品类节目,1个朗
诵类节目,1个戏曲类节目.演出时要求同类节目不能相邻,则演出顺序的排法总数是()
A.96B.326C.336D.360
【答案】C
【解析】所有演出方案有4=720种,
歌舞类相邻有段@=240种,
小品类相邻有MM=240种,
歌舞与小品均相邻有=96种,
所以总数有£一(另用+曷团一&反叫=720-384=336种.
故选:C.
题型四:捆绑法
例19.(2022・四川・树德怀远中学高三开学考试(理))甲、乙等5人去北京天安门游玩,在
天安门广场排成一排拍照留念,则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有()
A.12种B.24种C.48种D.120种
【答案】B
【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素,有A:A;种排法,
其中甲、乙相邻且在两端的有C;A;A;种,
故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A:A;-C;A;A;=24(种).
故选:B.
例20.(2022・四川成都・高三开学考试(理))某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物
理、化学、生物六门课,如果数学只能排在第一节或者最后一节,物理和化学必须排在相邻
的两节,则共有()种不同的排法
A.24B.144C.48D.96
【答案】D
【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节,则数学的排法有2种,
物理和化学必须排在相邻的两节,将物理和化学捆绑,
与语文、英语、生物三门课程进行排序,有A;A:=48种排法.
由分步乘法计数原理可知,共有2x48=96种不同的排法.
故选:D.
例21.(2022.全国•高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,则甲、乙相邻的排
法有()
A.72种B.60种C.48种D.36种
【答案】C
【解析】甲、乙相邻共有A;=2种.
将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A:=4x3x2xl=24种.
贝!1共有2x24=48种.
故选:C.
例22.(2022.全国•高三专题练习)3位教师和4名学生站一排,3位教师必须站在一起,共
有()种站法.
A.144B.360C.480D.720
【答案】D
【解析】因为3位教师和4名学生站一排,3位教师必须站在一起,
所以共有A>A:=72。种站法,
故选:D
例23.(2022・全国•高三专题练习)某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的
演出顺序,要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目,则不同的演出方案的种数为().
A.72B.96C.120D.144
【答案】D
【解析】第一步:全排列2个语言类的节目,共有用种情况,
第二步:从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间,共有照种情况,
第三步:再将排好的4个节目视为一个整体,与其余的两个歌舞节目全排列,
共有A;种情况,所以N=&A:禺=144.
故选:D
题型五:插空法
例24.(2022.全国•高三专题练习)2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会
开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖,惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬
我国二十四节气文化,特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知
识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”与
“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有多少种?()
A.24B.48C.144D.244
【答案】C
【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起,与“雨水”、“谷雨”排列,有4
个空,然后“清明”与“惊蛰”去插空,
所以不同的放置方式有A;A;A:=144种.
故选:C
例25.(2022・全国•高三专题练习)高中数学新教材有必修一和必修二,选择性必修有一、二
、三共5本书,把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是(
A.72B.144C.48D.36
【答案】A
【解析】先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排,有A;=6种方法,
再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中,有A:=12种方法,
所以把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是:6x12=72.
故选:A.
例26.(2022.全国•高三专题练习)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”.中
国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徽、羽,如果用上这五个音阶,排成一个五音阶
音序,且商、角不相邻,徽位于羽的左侧,则可排成的不同音序有()
A.18种B.24种C.36种D.72种
【答案】C
【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序,且徽位于羽的左侧,有笈=3,再将商、角
2
插入4个空中,共有3A;=36种.
故选:C.
例27.(2022.全国•高三专题练习(理))马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关
掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯
方案有()种
A.15B.20C.10D.9
【答案】C
【解析】根据题意,因为关掉3盏路灯不能是两端2盏,也不能相邻,
则需要用插空法分析:
先将亮的6盏灯排成一列,除去2端,有5个符合条件的空位,
在5个空位中,任选3个,安排熄灭的灯,有C;=10种情况,
即有10种关灯方法.
故选:C
例28.(2022・全国•模拟预测)某等候区有7个座位(连成一排),甲、乙、丙三人随机就坐,
因受新冠疫情影响,要求他们每两人之间至少有一个空位,则不同的坐法有()
A.4种B.10种C.20种D.60种
【答案】D
【解析】甲、乙、丙每两人之间至少有一个空位,即甲、乙、丙互不相邻,相当于有四个空
位放置成一排,形成5个空档,甲、乙、丙三人各带一个座位插入,
所以有次=60(种)不同的坐法,
故选:D.
例29.(2022•全国•高三专题练习)为迎接新年到来,某中学2022作“唱响时代强音,放飞
青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个
教师节目,若保持原来的8个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为()
A.36B.45C.72D.90
【答案】D
【解析】采用插空法即可:
第1步:原来排好的8个学生节目产生9个空隙,插入1个教师节目有9种排法;
第2步:排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙,插入1个教师节目共有10
种排法,
故共有9x10=90种排法.
故选:D.
题型六:定序问题(先选后排)
例30.满足龙/eN'(i=l,2,3,4),且再<%<三<Z<1°的有序数组(%,々,与,%)共有()
个.
A.C;B.或C.dD.瑞
【答案】A
【解析】•••数组中数字的大小确定,从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组,所有个
数为C;.
故选:A.
例31.A3,C9E五人并排站成一排,如果8必须站在A的右边,(A8可以不相邻)那么
不同的排法有()
A.120种B.90种C.60种D.24种
【答案】C
【解析】所有人排成一排共有:团=120种排法
5站在A右边与A站在B右边的情况一样多
•••所求排法共有:9120=60种排法
2
本题正确选项:C
例32.OVA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子,由称为碱基的化学成分组
成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链,两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DN4
中只有4种类型的碱基,分别用A、C、G和T表示,OWL中的碱基能够以任意顺序出现两
条链之间能形成氢键的碱基或者是4T,或者是C-G,不会出现其他的联系因此,如果我们
知道了两条链中一条链上碱基的顺序,那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所
示为一条QN4单链模型示意图,现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2
个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为()
^IIIIIII
-
4GG/TCGG
A.20B.40C.60D.120
【答案】C
A6720
【解析】依题意可知,不同的插入方式的种数为二乌/=/』=60.
用&66x2x1
故选:C
例33.某次演出有5个节目,若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定,则不同的排法
有()
A.120种B.80种C.20种D.48种
【答案】C
【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目,还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙,方
法数为6=20.
故选:C.
例34.某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相,后排每个人都高于站在他
前面的同学,则共有多少种站法()
A.36B.90C.360D.720
【答案】B
【解析】6个高矮互不相同的人站成两排,
后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为Cc海-4=90,
故选:B
例35.花灯,又名“彩灯”“灯笼”,是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功能与艺术特
色.如图,现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,则不同取法总数为()
久■■山
A.2520B.5040C.7560D.10080
【答案】A
【解析】由题意,对8盏不同的花灯进行取下,
先对8盏不同的花灯进行全排列,共有星种方法,
因为取花灯每次只能取一盏,而且只能从下往上取,
所以须除去重复的排列顺序,即先取上方的顺序,
履
故一共有=2520种,
故选:A
例36.如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只
能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是()
C.12D.24
【答案】B
【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两
种情况讨论:若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;
若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况.
题型七:列举法
例37.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲
手中,则不同的传球方式共有()
A.6种B.8种C.10种D.16种
【答案】C
【解析】根据题意,作出树状图,第四次球不能传给甲,由分步加法计数原理可知:
经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有10种,
故选:c.
例38.三人踢毯子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次传递后,健子
又被踢回甲,则不同的传递方式共有()
A.4种B.5种C.6种D.12种
【答案】C
【解析】解析:若甲先传给乙,则有甲一乙一甲一乙一甲,甲-乙一甲一丙一甲,甲T乙一
丙T乙T甲3种不同的传递方式;同理,甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种
不同的传递方式.
答案:C.
例39.设A,巧,G{-1,0,1,2},那么满足尤;+后48的所有有序数组(尤1,尤2,毛)的
组数为()
A.45B.46C.47D.48
【答案】C
【解析】①当士=2时,第+考=。,则%=%=0,共1组;
②当司=1时,-14考+无;(7,则了2,覆不同时为2,共-1=4。一1=15组;
③当士=。时,04考+考48,则巧,£为{-1,0,1,2}中任一元素,共C;・C;=42=16组;
④当西=一1时,14"+考49,则X2,覆不同时为。,共1=4°-1=15组.
故满足题意的有序数组共有47组.
故选:C.
例40.从集合{1,2,3,4,,15}中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样
的等差数列有()个
A.98B.56C.84D.49
【答案】A
【解析】当公差为1时,数列可以是:123,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13种情况.
当公差为2时,数列可以是:1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11种情况.
当公差为3时,数列可以是:1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.
当公差为4时,数列可以是:1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.
当公差为5时,数列可以是:1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.
当公差为6时,数列可以是:1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.
当公差为7时,数列可以是:L8,15,共1种情况.
总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.
又因为三个数成公差数列有两种情况,递增或递减,
所以这样的等差数列共有98个.
故选:A
例41.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺
序将每个螺栓固定紧,但不能连缓固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是
【解析】根据题意,第一个可以从6个钉里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相
等的,若第一个选1号钉的时候,第二个可以选3,4,5号钉,依次选下去,可以得到共有10
种方法,所以总共有10x6=60种方法,故答案是60.
题型八:多面手问题
例42.我校去年11月份,高二年级有10人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,
2人只会跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳
舞,有种不同的选法.
A.675B.575C.512D.545
【答案】A
【解析】分析:根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理,分成三类,即可求
解.
详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理.
第一类2个只会左边的都不选,有CrC:=100种;
第二类2个只会左边的有1人入选,有CC;C;=400种;
第三类2个只会左边的全入选,有C;C;C;=175种,所以共有675种不同的选法,故选A.
例43.某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人
既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()
种不同的选法
A.225B.185C.145D.110
【答案】B
【解析】根据题意,按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.
①“2人既会英语又会法语”不参加,这时有种;
②“2人既会英语又会法语”中有一人入选,
这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能,
因此有c;c;c:+c;c;c:种;
③“2人既会英语又会法语”中两个均入选,
这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种,
因此有Cfcfc:+c/cfc;+c;c;c;c:种.
综上分析,共可开出《c:++C;C;C;+cfcjcl+C;C;C:+C;C;C;C;=185种.
故选:B.
例44.“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,在我国南
方普遍存在端午节临近,某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有
3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、
划右桨的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()
A.26种B.30种C.37种D.42种
【答案】C
【解析】根据题意,设人={只会划左桨的3人},8={只会划右桨的3人},C={既会划
左桨又会划右桨的2人},据此分3种情况讨论:
①从A中选3人划左桨,划右桨的在(BuC)中剩下的人中选取,有C;=10种选法,
②从A中选2人划左桨,C中选1人划左桨,划右桨的在(BUC)中选取,有C;C;C:=24
种选法,
③从A中选1人划左桨,C中2人划左桨,3中3人划右桨,有C;=3种选法,
则有10+24+3=37种不同的选法.
故选:C.
例45.某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会
划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()
A.56种B.68种
C.74种D.92种
【答案】D
【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法
有C;C;种,有一个“多面手”的选派方法有种,有两个“多面手”的选派方法有C;C:种,
即共有+C;C;C;+C;C:=92(种)不同的选派方法.
故选:D
题型九:错位排列
例46.编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中
有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有()
A.10种B.20种C.30种D.60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人,方法数有C;=10,
另外三个人编号与座位号不一致,方法数有2,
所以不同的坐法有10x2=20种.
故选:B
例47.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子
中,每盒放一球,若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数
为()
A.90B.135C.270D.360
【答案】B
【解析】根据题意,分以下两步进行:
(1)在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里,有C;=15种选法,假设选出的2个小
球的编号为5、6:
(2)剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里,
对于编号为1的小球,有3个盒子可以放入,假设放入的是2号盒子.
则对于编号为2的小球,有3个盒子可以放入,
对于编号为3、4的小球,只有1种放法.
综上所述,由分步乘法计数原理可知,不同的放法种数为15x3x3=135种.
故选:B.
例48.若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同),现将这5张卡片放入一个
不透明的箱子里,并搅拌均匀,再让这5人在箱子里各摸一张,恰有1人摸到自己写的卡片
的方法数有()
A.20B.90C.15D.45
【答案】D
【解析】根据题意,分2步分析:
①先从5个人里选1人,恰好摸到自己写的卡片,有种选法,
②对于剩余的4人,因为每个人都不能拿自己写的卡片,因此第一个人有3种拿法,被拿了
自己卡片的那个人也有3种拿法,剩下的2人拿法唯一,
所以不同的拿卡片的方法有C;-C;・C;=45种.
故选:D.
题型十:涂色问题
例49.(2022•陕西•宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试(理))某儿童游乐园有5个区域要涂
上颜色,现有四种不同颜色的油漆可供选择,要求相邻区域不能涂同一种颜色,则符合条件
的涂色方案有()种
【答案】D
【解析】如图:将五个区域分别记为①,②,③,④,⑤,则满足条件的涂色方案可分为两
类,
第一类区域②,④涂色相同的涂色方案,第二类区域②,④涂色不相同的涂色方案,
其中区域②,④涂色相同的涂色方案可分为5步完成,第一步涂区域①,有4种方法,第二
步涂区域②,有3种方法,第三步涂区域③,有2种方法,第四步涂区域④,有1种方法,
第五步涂区域⑤,有2种方法,由分步乘法计数原理可得区域②,④涂色相同的涂色方案有
4x3x2xlx2种方案,即48种方案;
区域②,④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成,第一步涂区域①,有4种方法,第二步
涂区域②,有3种方法,第三步涂区域③,有2种方法,第四步涂区域④,有1种方法,第
五步涂区域⑤,有1种方法,由分步乘法计数原理可得区域②,④涂色不相同的涂色方案有
4x3x2xlxl种方案,即24种方案;
所以符合条件的涂色方案共有72种,
例50.(2022・全国•高三专题练习)随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红、黄、蓝、
绿、黑这5种颜色供选择,则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为()
125125625625
【答案】A
【解析】随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红,黄,蓝,绿,黑这5种颜色供选择,
每个三角形均有5种涂法,故基本事件总数”
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 福建省龙岩市连城县2024-2025学年九上数学期末联考试题含解析
- 2025届湖南省邵阳市郊区数学九上期末达标检测试题含解析
- 辽宁省辽河油田欢喜岭第二初级中学2024-2025学年物理九上期末学业水平测试模拟试题含解析
- 销售管理方案研究与设计
- 山东省济南市2025届数学八上期末监测模拟试题含解析
- 吉林省农安县新农中学2024年数学九年级第一学期期末联考试题含解析
- 上海师范大学天华学院《竞技竞赛》2023-2024学年第一学期期末试卷
- 山东省济南市汇才学校2024-2025学年物理九上期末预测试题含解析
- 上海民办日日学校2024-2025学年八上数学期末教学质量检测试题含解析
- 贵州省安顺黄腊初级中学2024年物理九年级第一学期期末达标检测模拟试题含解析
- 有机化学(冯骏材编)课后习题答案
- 《招商专业知识培训》课件
- 产后子宫破裂应急预案演练脚本
- 监护室健康宣教健康宣教手册
- 选择性必修上课本原文、翻译
- 高一语文暑假“读写”作业布置
- 《学习教育重要论述》考试复习题库(共250余题)
- 2022年电白县体育教师招聘笔试试题及答案
- 北师大版八年级数学(下)每日一题(春季版)上(包含答案)
- 冠心病介入治疗进展-精选课件
- DB37-T 3776-2020 社区居家养老服务质量评估规范-(高清版)
评论
0/150
提交评论