高中数学专项复习：排列组合（解析版）

专题43排列组合

【题型归纳目录】

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算

题型二：直接法

题型三：间接法

题型四：捆绑法

题型五：插空法

题型六：定序问题(先选后排)

题型七：列举法

题型八：多面手问题

题型九：错位排列

题型十：涂色问题

题型十一：分组问题

题型十二：分配问题

题型十三：隔板法

题型十四：数字排列

题型十五：几何问题

题型十六：分解法模型与最短路径问题

题型十七：排队问题

题型十八：构造法模型和递推模型

题型十九：环排问题

【考点预测】

知识点1、排列与排列数

(1)定义：从〃个不同元素中取出加(〃三〃)个元素排成一列，叫做从〃个不同元素中

取出，八个元素的一个排列.从“个不同元素中取出m(加4〃)个元素的所有排列的个数，叫

做从〃个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号父表示.

MI

(2)排列数的公式：4：=-2)(n-m+1)=----方.

特例：当机=〃时，="!=〃("-1)(〃-2)3.2.1；规定：0!=1.

(3)排列数的性质：

①然=砥：二；②③罂=mA小心.

n—mn—m

(4)解排列应用题的基本思路:

通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置,

特殊元素).

注意：排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的，但作用略有不同，

人：=〃5-1)-(〃-机+1)常用于具体数字计算；而在进行含字母算式化简或证明时，多用

n(n-m)\

知识点2、组合与组合数

(1)定义：从〃个不同元素中取出加("74")个元素并成一组，叫做从〃个不同元素中

取出加个元素的一个组合.从“个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫

做从几个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C：表示.

(2)组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出机个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑:

第一步，先求出从这"个不同元素中取出机个元素的组合数；

第二步，求每一个组合中加个元素的全排列数A：；

根据分步计数原理，得到*=C：.线；

因此b=堂=小一1)("2)(二加+1)

M〃?！

这里〃，机eN+，且加4"，这个公式叫做组合数公式.因为父=，加、，所以组合

[n-my.

数公式还可表示为:特例：C：=C；=L

注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题

时，一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式

C：=-1)(〃-2)…-+1)常用于具体数字计算,c;=_2_常用于含字母算式的

ml

化简或证明.

(3)组合数的主要性质：①C：=C「"；②C：+

(4)组合应用题的常见题型：

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工.

排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同.

注意：排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之

间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考

虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列

组合综合问题的基本思维是“先组合，后排列”.

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题，确定要做什么事；

2、确定怎样做才能完成这件事，即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行，弄清

楚分多少类及多少步；

3、确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少

及取出多少个元素；

4、解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略.

【方法技巧与总结】

1、如图，在圆中，将圆分〃等份得到〃个区域M，M2,M3,,MQ..2）,现取依左.2）

种颜色对这"个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有

（一1）"（%-1）+（"1）"种.

2、错位排列公式£>“=（汽eiL+i）.〃！

台n\

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限

制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题

的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元

素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常

称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑：

（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，

再安排其他元素；

（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，

再考虑其他位置；

（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将“个不同元素排成一排，其中某上个

元素排在相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这发个元素“捆绑在一起“，看成一个

整体，当作一个元素同其他元素一起排列，共有种排法；然后再将“捆绑”在一起的元

A，T一女M+1

素“内部”进行排列，共有4种排法.根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有

娼普•/种・

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将“个不同元素排成一排，其中某七个

元素互不相邻（kWn-k+1）,求不同排法种数的方法是：先将（n—k）个元素排成一排，

共有四二；种排法；然后把上个元素插入〃-左+1个空隙中，共有吃川种排法.根据分步乘

法计数原理可知,符合条件的排法共有4联•反_1种.

【典例例题】

题型一：排列数与组合数的推导、化简和计算

例1.（2022•山东・高密三中高三阶段练习）己知小他为正整数，且〃2根，则在下列各式中

错误的是（）

A.图=120；B.A；2=C；2.A；;C.C：+C3=C：；；；D.C：=Cr

【答案】C

【解析】对于A,=6x5x4=120,故正确；

对于B,因为C%=冬，所以A：2=C1A；,故正确；

除7

对于C,因为小加为正整数，且〃2根，

4x3

所以令〃=3,加=1,贝i」c：+C3=C；+C；=7,C解=C；=-=6,止匕时

2x1

故错误；

对于D,C：=C：-m,故正确；

故选：C

例2.（2022.江苏镇江.高三开学考试）己知“，加为正整数，且〃2相，则在下列各式中，

正确的个数是（）

①A：=120；②A；2=C"A；；③C：+C3=C＞：；@C：=C：-m

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①A：=6X5X4=120,故①正确；

对于②因为CZ=请，所以A：2=C：2-A；,故②正确;

对于③因为c;：+C：T=C；；'+1,故③错误；

对于④C：=C7",故④正确；

故选：c

例3.（2022.全国•高三专题练习）若Aj=10A；,则〃=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由题意，得2〃（2〃-1）（2“-2）=10〃（，一1）（〃-2）,化简可得4"-2=5"-10,解得〃=8.

故选:B

例4.（2022・全国•高三专题练习）已知C；==C：；2,则x的值为（）

A.3B.3或4C.4D.4或5

【答案】B

【解析】因为C；==C：；2,

所以2x—1=x+2或（2x—l）+（x+2）=13,

解得：x=3或x=4.

故选：B.

例5.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）已知A?-JA；+0!=4,则加的可能取值是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因为Af-〈A；+0!=4,所以A'TX6+1=4,所以Af=6,

其中，而A；=1,A；=3,A；=A；=6,

所以加的值可能是2或3.

故选：CD.

例6.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）下列等式正确的是（）

Am

A.C：=CLB.

〃n\

C.5+2）（〃+1）父=媲2D.qy+c"

【答案】ACD

【解析】根据组合数的性质可知Cr=C；R,C；=c；：；+c；_,,故AD正确；

根据排列数与组合数的关系可知C,：=£1,故B不正确；

ml

V(n+2)(n+1)/^=(n+2)(n+l)n(n-1).....(n-m+1),

心=(/+2)5+1).-(n+2-m-2+l)

=(n+2)(n+l)n(n-l)--(n—m+1),

.•.(〃+2)(n+1)M=A臂，故C正确.

故选:ACD.

例7.（多选题）（2022•全国•高三专题练习）下列等式中，正确的是（)

A.父+7砒'尸=心B.<=nC；：；

D.c：="小~4

-Cn1=C„+GT+C,I

+n—m

【答案】ABD

n\n\n\(n+l)-n!

【解析】选项A,左边二--------—+m-+m-

yn-m)\(n-m+l)!(n-m+1)!(n-m+l)!(n-m+l)!

（n+l）!

一*=右边，正确;

（n—1）!rn\n\

选项B,右边=叮—^—7—------怎=—'7―=7------^=八77-------=左边，正确;

选项c,右边=£"7+£"=（?3r左边，错误；

m+1n\(m+l)-n!n\

选项D,右边二—左边，

n—m

正确.

故选：ABD

例8.（2022•全国•高三专题练习）解下列不等式或方程

⑴A；<6A「

J____1_7

(2)cf-cf-ioc7

|0<x<8

【解析】⑴由题意得：1°-%-2-8,解得：2Vx<8,

_98!乙8!

A；〈6A；,即(8_耳!<X(8-x+2)!?

解得：7<x<12,结合2WxW8,可得：x=8

117

(2)---=,则0WmK5,

7m!(7-m)!

即X

5!6!~107!

解得：m=21（舍去）或2

故方程的解为：m=2

例9.（2022.全国•高三专题练习）⑴计算：©OO+MAAM；

（2）计算：C；+C；++C；

A7-A5

（3）解方程："=89.

A"

A311

【解析】（1）原式:仁久+和3六人畜二婢8一人:。产黄+人畜=舒=1

（2）原式=C：+C：+C；+…+C：o=C”+…+C：o=C：+C：+-.+C：。

“•=C：°+C：°=C*=330；

（3）原方程可化为」_白（八一，'_-=89,整理得

n（〃一1）（〃一2）…-4）

（九一5）（九一6）—1=89,

即〃2一11〃+29=89,化简得*-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4（舍去），

所以原方程的解是〃=15.

例10.（2022.全国•高三专题练习）利用组合数公式证明。^+喘=。鬻.

(几+1)!

【解析】证明:因为。鬻=

(m+l)l(n-m)l

n\n\n!

C；+1+C；=-------------------------1---------------

(--〃？-1)!(m+1)!m\(n—ni)\(m+1)!(M-m)!(m+1)!(«—ni)!

所以c："+c：”=cu

题型二：直接法

例U.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲

和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不

会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）种

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根据题意，甲乙都没有得到冠军，而乙不是最后一名，

分2种情况讨论：

①甲是最后一名，则乙可以为第二、三、四名，即乙有3种情况，

剩下的三人安排在其他三个名次，有看=6种情况,

此时有3x6=18种名次排列情况；

②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有&=6种情况,

剩下的三人安排在其他三个名次，有阕=6种情况,

此时有6x6=36种名次排列情况；

则一共有36+18=54种不同的名次情况，

故选：A.

例12.某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出A,民C,£>,瓦产共6名同学

进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），A和8去询问成绩，回答者对A说

“很遗撼，你和B都末拿到冠军；对3说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的

名次排列顺序可能出现的结果有（）

A.720种B.600种C.480种D.384种

【答案】D

【解析】由题意，A3不是第一名且8不是最后一名，8的限制最多，故先排8,有4种情

况，

再排A,也有4种情况，余下4人有=4x3x2x1=24种情况，

利用分步相乘计数原理知有4x4x24=384种情况.

故选：D.

例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有（）

A.24种B.6种C.4种D.12种

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，

则只需对剩下3人全排即可，

则不同的排法共有阀=3x2x1=6,

故选：B.

例14.某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教，则抽取的3人中，女

教师最多为1人的选法种数为（）•

A.10B.30C.40D.46

【答案】C

【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人

若女教师为。人，则男教师有3人，有C；C；=10种选择；

若女教师为1人，则男教师2人，有以C；=30种选择；

故女教师最多为1人的选法种数为10+30=40种

故选：C

题型三：间接法

例15.将7个人从左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲不站在最

右端，则不同的站法有（）.

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【答案】D

【解析】7个人从左到右排成一排，共有"=5040种不同的站法，其中甲、乙、丙3个都

相邻有看其=720种不同的站法，甲站在最右端有用=720种不同的站法，甲、乙、丙3个

相邻且甲站最右端有段耳=48种不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻，且甲

不站在最右端，不同的站法有5040-720-720+48=3648种不同的站法.

故选：D

例16.某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教，若甲

、乙、丙三位教师至少一人被选中，则组队支教的不同方式共有（）

A.21种B.231种C.238种D.252种

【答案】B

【解析人中选5人有C：。=252种选法，其中，甲、乙、丙三位教师均不选的选法有C：=21

种，

则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有C：。-C；=231种.

故选：B

例17.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数''合称"六艺“礼”主要指德育；“乐”主要指

美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开

展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”

两次不相邻，贝「'六艺”讲座不同的次序共有（）

A.408种B.240种C.1092种.D.120种

【答案】A

【解析】每周安排一次，共讲六次的“六艺”讲座活动，“射”不在第一次的不同次序数为A；A；,

其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为A：A：A；,

于是得A；A；-A；A：A：=5x120-4x24x2=408,

所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.

故选：A

例18.红五月，某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光，伟大梦想”联

欢会，经过初赛，共有6个节目进入决赛，其中2个歌舞类节目，2个小品类节目，1个朗

诵类节目，1个戏曲类节目.演出时要求同类节目不能相邻,则演出顺序的排法总数是（）

A.96B.326C.336D.360

【答案】C

【解析】所有演出方案有4=720种，

歌舞类相邻有段@=240种，

小品类相邻有MM=240种，

歌舞与小品均相邻有=96种，

所以总数有£一（另用+曷团一&反叫=720-384=336种.

故选：C.

题型四：捆绑法

例19.（2022・四川・树德怀远中学高三开学考试（理））甲、乙等5人去北京天安门游玩，在

天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有（）

A.12种B.24种C.48种D.120种

【答案】B

【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素，有A：A；种排法，

其中甲、乙相邻且在两端的有C；A；A；种，

故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A：A；-C；A；A；=24（种）.

故选:B.

例20.（2022・四川成都・高三开学考试（理））某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物

理、化学、生物六门课，如果数学只能排在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻

的两节，则共有（）种不同的排法

A.24B.144C.48D.96

【答案】D

【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节，则数学的排法有2种，

物理和化学必须排在相邻的两节，将物理和化学捆绑，

与语文、英语、生物三门课程进行排序，有A；A：=48种排法.

由分步乘法计数原理可知，共有2x48=96种不同的排法.

故选：D.

例21.（2022.全国•高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，则甲、乙相邻的排

法有（）

A.72种B.60种C.48种D.36种

【答案】C

【解析】甲、乙相邻共有A；=2种.

将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A：=4x3x2xl=24种.

贝！1共有2x24=48种.

故选：C.

例22.（2022.全国•高三专题练习）3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，共

有（）种站法.

A.144B.360C.480D.720

【答案】D

【解析】因为3位教师和4名学生站一排，3位教师必须站在一起，

所以共有A>A：=72。种站法，

故选：D

例23.（2022・全国•高三专题练习）某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的

演出顺序，要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目，则不同的演出方案的种数为（）.

A.72B.96C.120D.144

【答案】D

【解析】第一步：全排列2个语言类的节目，共有用种情况，

第二步：从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间，共有照种情况，

第三步：再将排好的4个节目视为一个整体，与其余的两个歌舞节目全排列，

共有A；种情况，所以N=&A：禺=144.

故选：D

题型五：插空法

例24.（2022.全国•高三专题练习）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会

开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬

我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知

识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与

“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、“谷雨”排列，有4

个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，

所以不同的放置方式有A；A；A：=144种.

故选：C

例25.（2022・全国•高三专题练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性必修有一、二

、三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是（

A.72B.144C.48D.36

【答案】A

【解析】先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排，有A；=6种方法，

再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中，有A：=12种方法，

所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一、必修二不相邻的排列方法种数是：6x12=72.

故选：A.

例26.（2022.全国•高三专题练习）五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”.中

国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶，排成一个五音阶

音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排成的不同音序有（）

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有笈=3,再将商、角

2

插入4个空中，共有3A；=36种.

故选：C.

例27.（2022.全国•高三专题练习（理））马路上有编号为1,2,3…，9九只路灯，现要关

掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯

方案有（）种

A.15B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】根据题意，因为关掉3盏路灯不能是两端2盏，也不能相邻，

则需要用插空法分析：

先将亮的6盏灯排成一列，除去2端，有5个符合条件的空位，

在5个空位中，任选3个，安排熄灭的灯，有C；=10种情况，

即有10种关灯方法.

故选：C

例28.（2022・全国•模拟预测）某等候区有7个座位（连成一排），甲、乙、丙三人随机就坐，

因受新冠疫情影响，要求他们每两人之间至少有一个空位，则不同的坐法有（）

A.4种B.10种C.20种D.60种

【答案】D

【解析】甲、乙、丙每两人之间至少有一个空位，即甲、乙、丙互不相邻，相当于有四个空

位放置成一排，形成5个空档，甲、乙、丙三人各带一个座位插入，

所以有次=60（种）不同的坐法，

故选：D.

例29.（2022•全国•高三专题练习）为迎接新年到来，某中学2022作“唱响时代强音，放飞

青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个

教师节目，若保持原来的8个节目的出场顺序不变，则不同排法的种数为（）

A.36B.45C.72D.90

【答案】D

【解析】采用插空法即可：

第1步：原来排好的8个学生节目产生9个空隙，插入1个教师节目有9种排法；

第2步：排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙，插入1个教师节目共有10

种排法，

故共有9x10=90种排法.

故选：D.

题型六：定序问题（先选后排）

例30.满足龙/eN'（i=l,2,3,4）,且再＜%＜三＜Z＜1°的有序数组（%，々，与，%）共有（）

个.

A.C；B.或C.dD.瑞

【答案】A

【解析】•••数组中数字的大小确定，从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组，所有个

数为C；.

故选：A.

例31.A3,C9E五人并排站成一排，如果8必须站在A的右边，（A8可以不相邻）那么

不同的排法有（）

A.120种B.90种C.60种D.24种

【答案】C

【解析】所有人排成一排共有：团=120种排法

5站在A右边与A站在B右边的情况一样多

•••所求排法共有：9120=60种排法

2

本题正确选项：C

例32.OVA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组

成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DN4

中只有4种类型的碱基，分别用A、C、G和T表示，OWL中的碱基能够以任意顺序出现两

条链之间能形成氢键的碱基或者是4T,或者是C-G,不会出现其他的联系因此，如果我们

知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所

示为一条QN4单链模型示意图，现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2

个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为（）

^IIIIIII

-

4GG/TCGG

A.20B.40C.60D.120

【答案】C

A6720

【解析】依题意可知，不同的插入方式的种数为二乌/=/』=60.

用&66x2x1

故选：C

例33.某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法

有（）

A.120种B.80种C.20种D.48种

【答案】C

【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方

法数为6=20.

故选：C.

例34.某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高于站在他

前面的同学，则共有多少种站法（）

A.36B.90C.360D.720

【答案】B

【解析】6个高矮互不相同的人站成两排，

后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为Cc海-4=90,

故选：B

例35.花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特

色.如图，现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法总数为（）

久■■山

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由题意，对8盏不同的花灯进行取下，

先对8盏不同的花灯进行全排列，共有星种方法，

因为取花灯每次只能取一盏，而且只能从下往上取,

所以须除去重复的排列顺序，即先取上方的顺序，

履

故一共有=2520种,

故选：A

例36.如图所示，某货场有两堆集装箱，一堆2个，一堆3个，现需要全部装运，每次只

能从其中一堆取最上面的一个集装箱，则在装运的过程中不同取法的种数是（）

C.12D.24

【答案】B

【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两

种情况讨论：若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;

若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况，故共有6+4=10种情况.

题型七：列举法

例37.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲

手中，则不同的传球方式共有（）

A.6种B.8种C.10种D.16种

【答案】C

【解析】根据题意，作出树状图，第四次球不能传给甲，由分步加法计数原理可知：

经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有10种，

故选：c.

例38.三人踢毯子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过4次传递后，健子

又被踢回甲，则不同的传递方式共有（）

A.4种B.5种C.6种D.12种

【答案】C

【解析】解析：若甲先传给乙，则有甲一乙一甲一乙一甲，甲-乙一甲一丙一甲，甲T乙一

丙T乙T甲3种不同的传递方式；同理，甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种

不同的传递方式.

答案：C.

例39.设A，巧，G｛-1,0,1,2｝,那么满足尤;+后48的所有有序数组（尤1，尤2，毛）的

组数为（）

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解析】①当士=2时，第+考=。，则%=%=0,共1组；

②当司=1时，-14考+无；（7,则了2，覆不同时为2,共-1=4。一1=15组；

③当士=。时，04考+考48,则巧，£为｛-1,0,1,2｝中任一元素，共C；・C；=42=16组；

④当西=一1时，14"+考49,则X2,覆不同时为。，共1=4°-1=15组.

故满足题意的有序数组共有47组.

故选：C.

例40.从集合｛1,2,3,4,,15｝中任意选择三个不同的数，使得这三个数组成等差数列，这样

的等差数列有（）个

A.98B.56C.84D.49

【答案】A

【解析】当公差为1时，数列可以是：123,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13种情况.

当公差为2时，数列可以是：1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11种情况.

当公差为3时，数列可以是：1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.

当公差为4时，数列可以是：1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.

当公差为5时,数列可以是：1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.

当公差为6时，数列可以是：1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.

当公差为7时，数列可以是：L8,15,共1种情况.

总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因为三个数成公差数列有两种情况，递增或递减，

所以这样的等差数列共有98个.

故选：A

例41.工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺

序将每个螺栓固定紧，但不能连缓固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是

【解析】根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相

等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3,4,5号钉，依次选下去，可以得到共有10

种方法，所以总共有10x6=60种方法，故答案是60.

题型八：多面手问题

例42.我校去年11月份，高二年级有10人参加了赴日本交流访问团，其中3人只会唱歌，

2人只会跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演，3人唱歌，3人跳

舞，有种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析：根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理，分成三类，即可求

解.

详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理.

第一类2个只会左边的都不选，有CrC：=100种；

第二类2个只会左边的有1人入选，有CC；C；=400种；

第三类2个只会左边的全入选，有C；C；C；=175种，所以共有675种不同的选法，故选A.

例43.某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人

既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（）

种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根据题意，按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.

①“2人既会英语又会法语”不参加，这时有种；

②“2人既会英语又会法语”中有一人入选，

这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能，

因此有c；c；c：+c；c；c：种；

③“2人既会英语又会法语”中两个均入选，

这时又分三种情况：两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种，

因此有Cfcfc：+c/cfc；+c；c；c；c：种.

综上分析，共可开出《c：++C；C；C；+cfcjcl+C；C；C：+C；C；C；C；=185种.

故选：B.

例44.“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南

方普遍存在端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8名队员中有

3人只会划左桨，3人只会划右桨，2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、

划右桨的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意，设人=｛只会划左桨的3人｝,8=｛只会划右桨的3人｝,C=｛既会划

左桨又会划右桨的2人｝,据此分3种情况讨论：

①从A中选3人划左桨，划右桨的在（BuC）中剩下的人中选取，有C；=10种选法，

②从A中选2人划左桨，C中选1人划左桨，划右桨的在（BUC）中选取，有C；C；C：=24

种选法，

③从A中选1人划左桨，C中2人划左桨，3中3人划右桨，有C；=3种选法，

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选：C.

例45.某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会

划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有（）

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【答案】D

【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法

有C；C；种，有一个“多面手”的选派方法有种，有两个“多面手”的选派方法有C；C：种,

即共有+C；C；C；+C；C：=92（种）不同的选派方法.

故选：D

题型九：错位排列

例46.编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中

有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（）

A.10种B.20种C.30种D.60种

【答案】B

【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有C；=10,

另外三个人编号与座位号不一致，方法数有2,

所以不同的坐法有10x2=20种.

故选：B

例47.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子

中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数

为（）

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根据题意，分以下两步进行：

（1）在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里，有C；=15种选法，假设选出的2个小

球的编号为5、6：

（2）剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里，

对于编号为1的小球，有3个盒子可以放入，假设放入的是2号盒子.

则对于编号为2的小球，有3个盒子可以放入，

对于编号为3、4的小球，只有1种放法.

综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为15x3x3=135种.

故选：B.

例48.若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个

不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片

的方法数有（）

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根据题意，分2步分析：

①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，

②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了

自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，

所以不同的拿卡片的方法有C；-C；・C；=45种.

故选：D.

题型十：涂色问题

例49.（2022•陕西•宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））某儿童游乐园有5个区域要涂

上颜色，现有四种不同颜色的油漆可供选择，要求相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件

的涂色方案有（）种

【答案】D

【解析】如图：将五个区域分别记为①，②，③，④，⑤，则满足条件的涂色方案可分为两

类，

第一类区域②，④涂色相同的涂色方案，第二类区域②，④涂色不相同的涂色方案，

其中区域②，④涂色相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二

步涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法,

第五步涂区域⑤，有2种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色相同的涂色方案有

4x3x2xlx2种方案，即48种方案；

区域②，④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成，第一步涂区域①，有4种方法，第二步

涂区域②，有3种方法，第三步涂区域③，有2种方法，第四步涂区域④，有1种方法，第

五步涂区域⑤，有1种方法，由分步乘法计数原理可得区域②，④涂色不相同的涂色方案有

4x3x2xlxl种方案,即24种方案;

所以符合条件的涂色方案共有72种，

例50.（2022・全国•高三专题练习）随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、

绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（）

125125625625

【答案】A

【解析】随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，

每个三角形均有5种涂法，故基本事件总数”