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文档简介

专题43排列组合

【题型归纳目录】

题型一:排列数与组合数的推导、化简和计算

题型二:直接法

题型三:间接法

题型四:捆绑法

题型五:插空法

题型六:定序问题(先选后排)

题型七:列举法

题型八:多面手问题

题型九:错位排列

题型十:涂色问题

题型十一:分组问题

题型十二:分配问题

题型十三:隔板法

题型十四:数字排列

题型十五:几何问题

题型十六:分解法模型与最短路径问题

题型十七:排队问题

题型十八:构造法模型和递推模型

题型十九:环排问题

【考点预测】

知识点1、排列与排列数

(1)定义:从〃个不同元素中取出加(〃三〃)个元素排成一列,叫做从〃个不同元素中

取出,八个元素的一个排列.从“个不同元素中取出m(加4〃)个元素的所有排列的个数,叫

做从〃个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号父表示.

MI

(2)排列数的公式:4:=-2)(n-m+1)=----方.

特例:当机=〃时,="!=〃("-1)(〃-2)3.2.1;规定:0!=1.

(3)排列数的性质:

①然=砥:二;②③罂=mA小心.

n—mn—m

(4)解排列应用题的基本思路:

通过审题,找出问题中的元素是什么,是否与顺序有关,有无特殊限制条件(特殊位置,

特殊元素).

注意:排列数公式的两种不同表达形式本质是一样的,但作用略有不同,

人:=〃5-1)-(〃-机+1)常用于具体数字计算;而在进行含字母算式化简或证明时,多用

n(n-m)\

知识点2、组合与组合数

(1)定义:从〃个不同元素中取出加("74")个元素并成一组,叫做从〃个不同元素中

取出加个元素的一个组合.从“个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫

做从几个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号C:表示.

(2)组合数公式及其推导

求从〃个不同元素中取出机个元素的排列数4",可以按以下两步来考虑:

第一步,先求出从这"个不同元素中取出机个元素的组合数;

第二步,求每一个组合中加个元素的全排列数A:;

根据分步计数原理,得到*=C:.线;

因此b=堂=小一1)("2)(二加+1)

M〃?!

这里〃,机eN+,且加4",这个公式叫做组合数公式.因为父=,加、,所以组合

[n-my.

数公式还可表示为:特例:C:=C;=L

注意:组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法!在以后学习排列组合的混合问题

时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题.公式

C:=-1)(〃-2)…-+1)常用于具体数字计算,c;=_2_常用于含字母算式的

ml

化简或证明.

(3)组合数的主要性质:①C:=C「";②C:+

(4)组合应用题的常见题型:

①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型

②“至少”或“最多”含有几个元素的题型

知识点3、排列和组合的区别

组合:取出的元素地位平等,没有不同去向和分工.

排列:取出的元素地位不同,去向、分工或职位不同.

注意:排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题,它们之

间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序,不需要考虑顺序的是组合问题,需要考

虑顺序的是排列问题.排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列

组合综合问题的基本思维是“先组合,后排列”.

知识点4、解决排列组合综合问题的一般过程

1、认真审题,确定要做什么事;

2、确定怎样做才能完成这件事,即采取分步还是分类或是分步与分类同时进行,弄清

楚分多少类及多少步;

3、确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题,元素总数是多少

及取出多少个元素;

4、解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必须掌握一些常用的解题策略.

【方法技巧与总结】

1、如图,在圆中,将圆分〃等份得到〃个区域M,M2,M3,,MQ..2),现取依左.2)

种颜色对这"个区域涂色,要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色,则涂色的方案有

(一1)"(%-1)+("1)"种.

2、错位排列公式£>“=(汽eiL+i).〃!

台n\

3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项

(1)解题原则:排列问题的本质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的排列问题的限

制条件主要表现在某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解决该类排列问题

的方法主要是按“优先”原则,即优先排特殊元素或优先满足特殊位子,若一个位子安排的元

素影响到另一个位子的元素个数时,应分类讨论.

4、定位、定元的排列问题,一般都是对某个或某些元素加以限制,被限制的元素通常

称为特殊元素,被限制的位置称为特殊位置.这一类问题通常以三种途径考虑:

(1)以元素为主考虑,这时,一般先解决特殊元素的排法问题,即先满足特殊元素,

再安排其他元素;

(2)以位置为主考虑,这时,一般先解决特殊位置的排法问题,即先满足特殊位置,

再考虑其他位置;

(3)用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列

数.

5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”,其模型为将“个不同元素排成一排,其中某上个

元素排在相邻位置上,求不同排法种数的方法是:先将这发个元素“捆绑在一起“,看成一个

整体,当作一个元素同其他元素一起排列,共有种排法;然后再将“捆绑”在一起的元

A,T一女M+1

素“内部”进行排列,共有4种排法.根据分步乘法计数原理可知,符合条件的排法共有

娼普•/种・

6、解决不相邻问题的方法为“插空法”,其模型为将“个不同元素排成一排,其中某七个

元素互不相邻(kWn-k+1),求不同排法种数的方法是:先将(n—k)个元素排成一排,

共有四二;种排法;然后把上个元素插入〃-左+1个空隙中,共有吃川种排法.根据分步乘

法计数原理可知,符合条件的排法共有4联•反_1种.

【典例例题】

题型一:排列数与组合数的推导、化简和计算

例1.(2022•山东・高密三中高三阶段练习)己知小他为正整数,且〃2根,则在下列各式中

错误的是()

A.图=120;B.A;2=C;2.A;;C.C:+C3=C:;;;D.C:=Cr

【答案】C

【解析】对于A,=6x5x4=120,故正确;

对于B,因为C%=冬,所以A:2=C1A;,故正确;

除7

对于C,因为小加为正整数,且〃2根,

4x3

所以令〃=3,加=1,贝i」c:+C3=C;+C;=7,C解=C;=-=6,止匕时

2x1

故错误;

对于D,C:=C:-m,故正确;

故选:C

例2.(2022.江苏镇江.高三开学考试)己知“,加为正整数,且〃2相,则在下列各式中,

正确的个数是()

①A:=120;②A;2=C"A;;③C:+C3=C>:;@C:=C:-m

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】对于①A:=6X5X4=120,故①正确;

对于②因为CZ=请,所以A:2=C:2-A;,故②正确;

对于③因为c;:+C:T=C;;'+1,故③错误;

对于④C:=C7",故④正确;

故选:c

例3.(2022.全国•高三专题练习)若Aj=10A;,则〃=()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】由题意,得2〃(2〃-1)(2“-2)=10〃(,一1)(〃-2),化简可得4"-2=5"-10,解得〃=8.

故选:B

例4.(2022・全国•高三专题练习)已知C;==C:;2,则x的值为()

A.3B.3或4C.4D.4或5

【答案】B

【解析】因为C;==C:;2,

所以2x—1=x+2或(2x—l)+(x+2)=13,

解得:x=3或x=4.

故选:B.

例5.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)已知A?-JA;+0!=4,则加的可能取值是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】CD

【解析】因为Af-〈A;+0!=4,所以A'TX6+1=4,所以Af=6,

其中,而A;=1,A;=3,A;=A;=6,

所以加的值可能是2或3.

故选:CD.

例6.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)下列等式正确的是()

Am

A.C:=CLB.

〃n\

C.5+2)(〃+1)父=媲2D.qy+c"

【答案】ACD

【解析】根据组合数的性质可知Cr=C;R,C;=c;:;+c;_,,故AD正确;

根据排列数与组合数的关系可知C,:=£1,故B不正确;

ml

V(n+2)(n+1)/^=(n+2)(n+l)n(n-1).....(n-m+1),

心=(/+2)5+1).-(n+2-m-2+l)

=(n+2)(n+l)n(n-l)--(n—m+1),

.•.(〃+2)(n+1)M=A臂,故C正确.

故选:ACD.

例7.(多选题)(2022•全国•高三专题练习)下列等式中,正确的是()

A.父+7砒'尸=心B.<=nC;:;

D.c:="小~4

-Cn1=C„+GT+C,I

+n—m

【答案】ABD

n\n\n\(n+l)-n!

【解析】选项A,左边二--------—+m-+m-

yn-m)\(n-m+l)!(n-m+1)!(n-m+l)!(n-m+l)!

(n+l)!

一*=右边,正确;

(n—1)!rn\n\

选项B,右边=叮—^—7—------怎=—'7―=7------^=八77-------=左边,正确;

选项c,右边=£"7+£"=(?3r左边,错误;

m+1n\(m+l)-n!n\

选项D,右边二—左边,

n—m

正确.

故选:ABD

例8.(2022•全国•高三专题练习)解下列不等式或方程

⑴A;<6A「

J____1_7

(2)cf-cf-ioc7

|0<x<8

【解析】⑴由题意得:1°-%-2-8,解得:2Vx<8,

_98!乙8!

A;〈6A;,即(8_耳!<X(8-x+2)!?

解得:7<x<12,结合2WxW8,可得:x=8

117

(2)---=,则0WmK5,

7m!(7-m)!

即X

5!6!~107!

解得:m=21(舍去)或2

故方程的解为:m=2

例9.(2022.全国•高三专题练习)⑴计算:©OO+MAAM;

(2)计算:C;+C;++C;

A7-A5

(3)解方程:"=89.

A"

A311

【解析】(1)原式:仁久+和3六人畜二婢8一人:。产黄+人畜=舒=1

(2)原式=C:+C:+C;+…+C:o=C”+…+C:o=C:+C:+-.+C:。

“•=C:°+C:°=C*=330;

(3)原方程可化为」_白(八一,'_-=89,整理得

n(〃一1)(〃一2)…-4)

(九一5)(九一6)—1=89,

即〃2一11〃+29=89,化简得*-11〃-60=0,解得〃=15或〃=-4(舍去),

所以原方程的解是〃=15.

例10.(2022.全国•高三专题练习)利用组合数公式证明。^+喘=。鬻.

(几+1)!

【解析】证明:因为。鬻=

(m+l)l(n-m)l

n\n\n![(n-m)+(m+l)](n+1)!

C;+1+C;=-------------------------1---------------

(--〃?-1)!(m+1)!m\(n—ni)\(m+1)!(M-m)!(m+1)!(«—ni)!

所以c:"+c:”=cu

题型二:直接法

例U.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛,决出第1名到第5名的名次.甲

和乙去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不

会是最差的.”从这两个回答分析,5人的名次排列方式共有()种

A.54B.72C.96D.120

【答案】A

【解析】根据题意,甲乙都没有得到冠军,而乙不是最后一名,

分2种情况讨论:

①甲是最后一名,则乙可以为第二、三、四名,即乙有3种情况,

剩下的三人安排在其他三个名次,有看=6种情况,

此时有3x6=18种名次排列情况;

②甲不是最后一名,甲乙需要排在第二、三、四名,有&=6种情况,

剩下的三人安排在其他三个名次,有阕=6种情况,

此时有6x6=36种名次排列情况;

则一共有36+18=54种不同的名次情况,

故选:A.

例12.某校开展研学活动时进行劳动技能比赛,通过初选,选出A,民C,£>,瓦产共6名同学

进行决赛,决出第1名到第6名的名次(没有并列名次),A和8去询问成绩,回答者对A说

“很遗撼,你和B都末拿到冠军;对3说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的

名次排列顺序可能出现的结果有()

A.720种B.600种C.480种D.384种

【答案】D

【解析】由题意,A3不是第一名且8不是最后一名,8的限制最多,故先排8,有4种情

况,

再排A,也有4种情况,余下4人有=4x3x2x1=24种情况,

利用分步相乘计数原理知有4x4x24=384种情况.

故选:D.

例13.甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,则不同的排法有()

A.24种B.6种C.4种D.12种

【答案】B

【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列,要求甲站在最前面,

则只需对剩下3人全排即可,

则不同的排法共有阀=3x2x1=6,

故选:B.

例14.某学校要从5名男教师和3名女教师中随机选出3人去支教,则抽取的3人中,女

教师最多为1人的选法种数为()•

A.10B.30C.40D.46

【答案】C

【解析】女教师最多为1人即女教师为0人或者1人

若女教师为。人,则男教师有3人,有C;C;=10种选择;

若女教师为1人,则男教师2人,有以C;=30种选择;

故女教师最多为1人的选法种数为10+30=40种

故选:C

题型三:间接法

例15.将7个人从左到右排成一排,若甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲不站在最

右端,则不同的站法有().

A.1860种B.3696种C.3600种D.3648种

【答案】D

【解析】7个人从左到右排成一排,共有"=5040种不同的站法,其中甲、乙、丙3个都

相邻有看其=720种不同的站法,甲站在最右端有用=720种不同的站法,甲、乙、丙3个

相邻且甲站最右端有段耳=48种不同的站法,故甲、乙、丙3人中至多有2人相邻,且甲

不站在最右端,不同的站法有5040-720-720+48=3648种不同的站法.

故选:D

例16.某学校计划从包含甲、乙、丙三位教师在内的10人中选出5人组队去西部支教,若甲

、乙、丙三位教师至少一人被选中,则组队支教的不同方式共有()

A.21种B.231种C.238种D.252种

【答案】B

【解析人中选5人有C:。=252种选法,其中,甲、乙、丙三位教师均不选的选法有C:=21

种,

则甲、乙、丙三位教师至少一人被选中的选法共有C:。-C;=231种.

故选:B

例17.中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数''合称"六艺“礼”主要指德育;“乐”主要指

美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开

展“六艺”讲座活动,每周安排一次讲座,共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次,“数”和“乐”

两次不相邻,贝「'六艺”讲座不同的次序共有()

A.408种B.240种C.1092种.D.120种

【答案】A

【解析】每周安排一次,共讲六次的“六艺”讲座活动,“射”不在第一次的不同次序数为A;A;,

其中“射”不在第一次且“数”和“乐”两次相邻的不同次序数为A:A:A;,

于是得A;A;-A;A:A:=5x120-4x24x2=408,

所以“六艺”讲座不同的次序共有408种.

故选:A

例18.红五月,某校团委决定举办庆祝中国共产党成立100周年“百年荣光,伟大梦想”联

欢会,经过初赛,共有6个节目进入决赛,其中2个歌舞类节目,2个小品类节目,1个朗

诵类节目,1个戏曲类节目.演出时要求同类节目不能相邻,则演出顺序的排法总数是()

A.96B.326C.336D.360

【答案】C

【解析】所有演出方案有4=720种,

歌舞类相邻有段@=240种,

小品类相邻有MM=240种,

歌舞与小品均相邻有=96种,

所以总数有£一(另用+曷团一&反叫=720-384=336种.

故选:C.

题型四:捆绑法

例19.(2022・四川・树德怀远中学高三开学考试(理))甲、乙等5人去北京天安门游玩,在

天安门广场排成一排拍照留念,则甲和乙相邻且都不站在两端的排法有()

A.12种B.24种C.48种D.120种

【答案】B

【解析】将甲、乙捆绑在一起看成一个元素,有A:A;种排法,

其中甲、乙相邻且在两端的有C;A;A;种,

故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有A:A;-C;A;A;=24(种).

故选:B.

例20.(2022・四川成都・高三开学考试(理))某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物

理、化学、生物六门课,如果数学只能排在第一节或者最后一节,物理和化学必须排在相邻

的两节,则共有()种不同的排法

A.24B.144C.48D.96

【答案】D

【解析】若数学只能排在第一节或者最后一节,则数学的排法有2种,

物理和化学必须排在相邻的两节,将物理和化学捆绑,

与语文、英语、生物三门课程进行排序,有A;A:=48种排法.

由分步乘法计数原理可知,共有2x48=96种不同的排法.

故选:D.

例21.(2022.全国•高三专题练习)甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排,则甲、乙相邻的排

法有()

A.72种B.60种C.48种D.36种

【答案】C

【解析】甲、乙相邻共有A;=2种.

将甲、乙捆绑与剩余的丙、丁、戊三人全排列有A:=4x3x2xl=24种.

贝!1共有2x24=48种.

故选:C.

例22.(2022.全国•高三专题练习)3位教师和4名学生站一排,3位教师必须站在一起,共

有()种站法.

A.144B.360C.480D.720

【答案】D

【解析】因为3位教师和4名学生站一排,3位教师必须站在一起,

所以共有A>A:=72。种站法,

故选:D

例23.(2022・全国•高三专题练习)某晚会上需要安排4个歌舞类节目和2个语言类节目的

演出顺序,要求语言类节目之间有且仅有2个歌舞类节目,则不同的演出方案的种数为().

A.72B.96C.120D.144

【答案】D

【解析】第一步:全排列2个语言类的节目,共有用种情况,

第二步:从4个歌舞类节目中选出2个节目放入2个语言类的节目之间,共有照种情况,

第三步:再将排好的4个节目视为一个整体,与其余的两个歌舞节目全排列,

共有A;种情况,所以N=&A:禺=144.

故选:D

题型五:插空法

例24.(2022.全国•高三专题练习)2022年2月4日,中国北京第24届奥林匹克冬季运动会

开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖,惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬

我国二十四节气文化,特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知

识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,要求“立春”和“春分”两块展板相邻,且“清明”与

“惊蛰”两块展板不相邻,则不同的放置方式有多少种?()

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【解析】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起,与“雨水”、“谷雨”排列,有4

个空,然后“清明”与“惊蛰”去插空,

所以不同的放置方式有A;A;A:=144种.

故选:C

例25.(2022・全国•高三专题练习)高中数学新教材有必修一和必修二,选择性必修有一、二

、三共5本书,把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是(

A.72B.144C.48D.36

【答案】A

【解析】先将选择性必修有一、二、三这三本书排成一排,有A;=6种方法,

再将必修一、必修二这两本书插入两个空隙中,有A:=12种方法,

所以把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是:6x12=72.

故选:A.

例26.(2022.全国•高三专题练习)五声音阶是中国古乐的基本音阶,故有成语“五音不全”.中

国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徽、羽,如果用上这五个音阶,排成一个五音阶

音序,且商、角不相邻,徽位于羽的左侧,则可排成的不同音序有()

A.18种B.24种C.36种D.72种

【答案】C

【解析】先将宫、徽、羽三个音节进行排序,且徽位于羽的左侧,有笈=3,再将商、角

2

插入4个空中,共有3A;=36种.

故选:C.

例27.(2022.全国•高三专题练习(理))马路上有编号为1,2,3…,9九只路灯,现要关

掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯

方案有()种

A.15B.20C.10D.9

【答案】C

【解析】根据题意,因为关掉3盏路灯不能是两端2盏,也不能相邻,

则需要用插空法分析:

先将亮的6盏灯排成一列,除去2端,有5个符合条件的空位,

在5个空位中,任选3个,安排熄灭的灯,有C;=10种情况,

即有10种关灯方法.

故选:C

例28.(2022・全国•模拟预测)某等候区有7个座位(连成一排),甲、乙、丙三人随机就坐,

因受新冠疫情影响,要求他们每两人之间至少有一个空位,则不同的坐法有()

A.4种B.10种C.20种D.60种

【答案】D

【解析】甲、乙、丙每两人之间至少有一个空位,即甲、乙、丙互不相邻,相当于有四个空

位放置成一排,形成5个空档,甲、乙、丙三人各带一个座位插入,

所以有次=60(种)不同的坐法,

故选:D.

例29.(2022•全国•高三专题练习)为迎接新年到来,某中学2022作“唱响时代强音,放飞

青春梦想”元旦文艺晚会如期举行.校文娱组委员会要在原定排好的8个学生节目中增加2个

教师节目,若保持原来的8个节目的出场顺序不变,则不同排法的种数为()

A.36B.45C.72D.90

【答案】D

【解析】采用插空法即可:

第1步:原来排好的8个学生节目产生9个空隙,插入1个教师节目有9种排法;

第2步:排好的8个学生节目和1个教师节目产生10个空隙,插入1个教师节目共有10

种排法,

故共有9x10=90种排法.

故选:D.

题型六:定序问题(先选后排)

例30.满足龙/eN'(i=l,2,3,4),且再<%<三<Z<1°的有序数组(%,々,与,%)共有()

个.

A.C;B.或C.dD.瑞

【答案】A

【解析】•••数组中数字的大小确定,从1到9共9个数任取4个数得一个有序数组,所有个

数为C;.

故选:A.

例31.A3,C9E五人并排站成一排,如果8必须站在A的右边,(A8可以不相邻)那么

不同的排法有()

A.120种B.90种C.60种D.24种

【答案】C

【解析】所有人排成一排共有:团=120种排法

5站在A右边与A站在B右边的情况一样多

•••所求排法共有:9120=60种排法

2

本题正确选项:C

例32.OVA是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子,由称为碱基的化学成分组

成它看上去就像是两条长长的平行螺旋状链,两条链上的碱基之间由氢键相结合.在DN4

中只有4种类型的碱基,分别用A、C、G和T表示,OWL中的碱基能够以任意顺序出现两

条链之间能形成氢键的碱基或者是4T,或者是C-G,不会出现其他的联系因此,如果我们

知道了两条链中一条链上碱基的顺序,那么我们也就知道了另一条链上碱基的顺序.如图所

示为一条QN4单链模型示意图,现在某同学想在碱基T和碱基C之间插入3个碱基A,2

个碱基C和1个碱基T,则不同的插入方式的种数为()

^IIIIIII

-

4GG/TCGG

A.20B.40C.60D.120

【答案】C

A6720

【解析】依题意可知,不同的插入方式的种数为二乌/=/』=60.

用&66x2x1

故选:C

例33.某次演出有5个节目,若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定,则不同的排法

有()

A.120种B.80种C.20种D.48种

【答案】C

【解析】在5个位置中选两个安排其它两个节目,还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙,方

法数为6=20.

故选:C.

例34.某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相,后排每个人都高于站在他

前面的同学,则共有多少种站法()

A.36B.90C.360D.720

【答案】B

【解析】6个高矮互不相同的人站成两排,

后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为Cc海-4=90,

故选:B

例35.花灯,又名“彩灯”“灯笼”,是中国传统农业时代的文化产物,兼具生活功能与艺术特

色.如图,现有悬挂着的8盏不同的花灯需要取下,每次取1盏,则不同取法总数为()

久■■山

A.2520B.5040C.7560D.10080

【答案】A

【解析】由题意,对8盏不同的花灯进行取下,

先对8盏不同的花灯进行全排列,共有星种方法,

因为取花灯每次只能取一盏,而且只能从下往上取,

所以须除去重复的排列顺序,即先取上方的顺序,

故一共有=2520种,

故选:A

例36.如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只

能从其中一堆取最上面的一个集装箱,则在装运的过程中不同取法的种数是()

C.12D.24

【答案】B

【解析】将左边的集装箱从上往下分别记为1,2,3,右边的集装箱从上往下分别记为4,5.分两

种情况讨论:若先取1,则有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6种情况;

若先取4,则有45123,41235,41523,41253,共4种情况,故共有6+4=10种情况.

题型七:列举法

例37.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲

手中,则不同的传球方式共有()

A.6种B.8种C.10种D.16种

【答案】C

【解析】根据题意,作出树状图,第四次球不能传给甲,由分步加法计数原理可知:

经过5次传球后,球仍回到甲手中,则不同的传球方式共有10种,

故选:c.

例38.三人踢毯子,互相传递,每人每次只能踢一下.由甲开始踢,经过4次传递后,健子

又被踢回甲,则不同的传递方式共有()

A.4种B.5种C.6种D.12种

【答案】C

【解析】解析:若甲先传给乙,则有甲一乙一甲一乙一甲,甲-乙一甲一丙一甲,甲T乙一

丙T乙T甲3种不同的传递方式;同理,甲先传给丙也有3种不同的传递方式.故共有6种

不同的传递方式.

答案:C.

例39.设A,巧,G{-1,0,1,2},那么满足尤;+后48的所有有序数组(尤1,尤2,毛)的

组数为()

A.45B.46C.47D.48

【答案】C

【解析】①当士=2时,第+考=。,则%=%=0,共1组;

②当司=1时,-14考+无;(7,则了2,覆不同时为2,共-1=4。一1=15组;

③当士=。时,04考+考48,则巧,£为{-1,0,1,2}中任一元素,共C;・C;=42=16组;

④当西=一1时,14"+考49,则X2,覆不同时为。,共1=4°-1=15组.

故满足题意的有序数组共有47组.

故选:C.

例40.从集合{1,2,3,4,,15}中任意选择三个不同的数,使得这三个数组成等差数列,这样

的等差数列有()个

A.98B.56C.84D.49

【答案】A

【解析】当公差为1时,数列可以是:123,2,3,4,3,4,5,……13,14,15,共13种情况.

当公差为2时,数列可以是:1,3,5,2,4,6,3,5,7,……11,13,15,共11种情况.

当公差为3时,数列可以是:1,4,7,2,5,8,3,6,9,……9,12,15,共9种情况.

当公差为4时,数列可以是:1,5,9,2,6,10,3,7,11,……7,11,15,共7种情况.

当公差为5时,数列可以是:1,6,11,2,7,12,3,8,13,4,9,14,5,10,15,共5种情况.

当公差为6时,数列可以是:1,7,13,2,8,14,3,9,15,共3种情况.

当公差为7时,数列可以是:L8,15,共1种情况.

总的情况是13+11+9+7+5+3+1=49.

又因为三个数成公差数列有两种情况,递增或递减,

所以这样的等差数列共有98个.

故选:A

例41.工人在安装一个正六边形零件时,需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺

序将每个螺栓固定紧,但不能连缓固定相邻的2个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是

【解析】根据题意,第一个可以从6个钉里任意选一个,共有6种选择方法,并且是机会相

等的,若第一个选1号钉的时候,第二个可以选3,4,5号钉,依次选下去,可以得到共有10

种方法,所以总共有10x6=60种方法,故答案是60.

题型八:多面手问题

例42.我校去年11月份,高二年级有10人参加了赴日本交流访问团,其中3人只会唱歌,

2人只会跳舞,其余5人既能唱歌又能跳舞.现要从中选6人上台表演,3人唱歌,3人跳

舞,有种不同的选法.

A.675B.575C.512D.545

【答案】A

【解析】分析:根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理,分成三类,即可求

解.

详根据题意可按照只会左边的2人中入选的人数分类处理.

第一类2个只会左边的都不选,有CrC:=100种;

第二类2个只会左边的有1人入选,有CC;C;=400种;

第三类2个只会左边的全入选,有C;C;C;=175种,所以共有675种不同的选法,故选A.

例43.某国际旅行社现有11名对外翻译人员,其中有5人只会英语,4人只会法语,2人

既会英语又会法语,现从这11人中选出4人当英语翻译,4人当法语翻译,则共有()

种不同的选法

A.225B.185C.145D.110

【答案】B

【解析】根据题意,按“2人既会英语又会法语”的参与情况分成三类.

①“2人既会英语又会法语”不参加,这时有种;

②“2人既会英语又会法语”中有一人入选,

这时又有该人参加英文或日文翻译两种可能,

因此有c;c;c:+c;c;c:种;

③“2人既会英语又会法语”中两个均入选,

这时又分三种情况:两个都译英文、两个都译日文、两人各译一个语种,

因此有Cfcfc:+c/cfc;+c;c;c;c:种.

综上分析,共可开出《c:++C;C;C;+cfcjcl+C;C;C:+C;C;C;C;=185种.

故选:B.

例44.“赛龙舟”是端午节的习俗之一,也是端午节最重要的节日民俗活动之一,在我国南

方普遍存在端午节临近,某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛,参加训练的8名队员中有

3人只会划左桨,3人只会划右桨,2人既会划左桨又会划右桨.现要选派划左桨的3人、

划右桨的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()

A.26种B.30种C.37种D.42种

【答案】C

【解析】根据题意,设人={只会划左桨的3人},8={只会划右桨的3人},C={既会划

左桨又会划右桨的2人},据此分3种情况讨论:

①从A中选3人划左桨,划右桨的在(BuC)中剩下的人中选取,有C;=10种选法,

②从A中选2人划左桨,C中选1人划左桨,划右桨的在(BUC)中选取,有C;C;C:=24

种选法,

③从A中选1人划左桨,C中2人划左桨,3中3人划右桨,有C;=3种选法,

则有10+24+3=37种不同的选法.

故选:C.

例45.某龙舟队有9名队员,其中3人只会划左舷,4人只会划右舷,2人既会划左舷又会

划右舷.现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛,则不同的选派方法共有()

A.56种B.68种

C.74种D.92种

【答案】D

【解析】根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类:划左舷中没有“多面手”的选派方法

有C;C;种,有一个“多面手”的选派方法有种,有两个“多面手”的选派方法有C;C:种,

即共有+C;C;C;+C;C:=92(种)不同的选派方法.

故选:D

题型九:错位排列

例46.编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位,其中

有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有()

A.10种B.20种C.30种D.60种

【答案】B

【解析】先选择两个编号与座位号一致的人,方法数有C;=10,

另外三个人编号与座位号不一致,方法数有2,

所以不同的坐法有10x2=20种.

故选:B

例47.将编号为1、2、3、4、5、6的小球放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子

中,每盒放一球,若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同,则不同的放法种数

为()

A.90B.135C.270D.360

【答案】B

【解析】根据题意,分以下两步进行:

(1)在6个小球中任选2个放入相同编号的盒子里,有C;=15种选法,假设选出的2个小

球的编号为5、6:

(2)剩下的4个小球要放入与其编号不一致的盒子里,

对于编号为1的小球,有3个盒子可以放入,假设放入的是2号盒子.

则对于编号为2的小球,有3个盒子可以放入,

对于编号为3、4的小球,只有1种放法.

综上所述,由分步乘法计数原理可知,不同的放法种数为15x3x3=135种.

故选:B.

例48.若5个人各写一张卡片(每张卡片的形状、大小均相同),现将这5张卡片放入一个

不透明的箱子里,并搅拌均匀,再让这5人在箱子里各摸一张,恰有1人摸到自己写的卡片

的方法数有()

A.20B.90C.15D.45

【答案】D

【解析】根据题意,分2步分析:

①先从5个人里选1人,恰好摸到自己写的卡片,有种选法,

②对于剩余的4人,因为每个人都不能拿自己写的卡片,因此第一个人有3种拿法,被拿了

自己卡片的那个人也有3种拿法,剩下的2人拿法唯一,

所以不同的拿卡片的方法有C;-C;・C;=45种.

故选:D.

题型十:涂色问题

例49.(2022•陕西•宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试(理))某儿童游乐园有5个区域要涂

上颜色,现有四种不同颜色的油漆可供选择,要求相邻区域不能涂同一种颜色,则符合条件

的涂色方案有()种

【答案】D

【解析】如图:将五个区域分别记为①,②,③,④,⑤,则满足条件的涂色方案可分为两

类,

第一类区域②,④涂色相同的涂色方案,第二类区域②,④涂色不相同的涂色方案,

其中区域②,④涂色相同的涂色方案可分为5步完成,第一步涂区域①,有4种方法,第二

步涂区域②,有3种方法,第三步涂区域③,有2种方法,第四步涂区域④,有1种方法,

第五步涂区域⑤,有2种方法,由分步乘法计数原理可得区域②,④涂色相同的涂色方案有

4x3x2xlx2种方案,即48种方案;

区域②,④涂色不相同的涂色方案可分为5步完成,第一步涂区域①,有4种方法,第二步

涂区域②,有3种方法,第三步涂区域③,有2种方法,第四步涂区域④,有1种方法,第

五步涂区域⑤,有1种方法,由分步乘法计数原理可得区域②,④涂色不相同的涂色方案有

4x3x2xlxl种方案,即24种方案;

所以符合条件的涂色方案共有72种,

例50.(2022・全国•高三专题练习)随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红、黄、蓝、

绿、黑这5种颜色供选择,则“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为()

125125625625

【答案】A

【解析】随机给如图所示的四块三角形区域涂色,有红,黄,蓝,绿,黑这5种颜色供选择,

每个三角形均有5种涂法,故基本事件总数”

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