高中数学专项复习：线性规划问题（解析版）

专题33线性规划问题

例1.某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队.经过本地养鱼场年利润率

的调研，得到如图所示年利润率的频率分布直方图.对远洋捕捞队的调研结果是：年利润率为60%的可

能性为0.6,不赔不赚的可能性为0.2,亏损30%的可能性为0.2.假设该公司投资本地养鱼场的资金为

x(x.O)千万元，投资远洋捕捞队的资金为y(y-O)千万元.

(1)利用调研数据估计明年远洋捕捞队的利润J的分布列和数学期望.

(2)为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对本地养鱼场的投资不得低于远洋捕捞队的一半.适用调

研数据，给出公司分配投资金额的建议，使得明年两个项目的利润之和最大.

年利润率

【解析】解：(1)随机变量用的可能取值为0.6y,0,-0.3y,

随机变量J的分布列为，

0.6y0—0.3y

P0.60.20.2

/.EJ=0.36y—0.06j=0.3y；

X+为6

1

(2)根据题意得,x,y满足的条件为＜-2，①,

x.O

J..0

由频率分布直方图得本地养鱼场的年平均利润率为:

-0.3x0.2x0.5+(-O.l)x0.2x0.5+0.1x0.2x1.0+0.3x0.2x2.0+0.5x0.2x1.0=0.20,

本地养鱼场的年利润为Q20x千万元，

明年连个个项目的利润之和为z=0.2x+0.3y,

作出不等式组①所表示的平面区域若下图所示，即可行域.

当直线”。斗网经过可行域上的点”时，截距后最大‘即z最大.

x+y=6(2

解方程组1，得一,

x=—y[y=4

、2

；.Z的最大值为：0.20x2+0.30x4=1.6千万元.

即公司投资本地养鱼场和远洋捕捞队的资金应分别为2千万元、4千万元时，明年两个项目的利润之和的最

例2.某渔业公司为了解投资收益情况，调查了旗下的养鱼场和远洋捕捞队近10个月的利润情况.根据所

收集的数据得知，近10个月总投资养鱼场一千万元，获得的月利润频数分布表如下：

月利润(单位：千万元)-0.2-0.100.10.3

频数21241

近10个月总投资远洋捕捞队一千万元，获得的月利润频率分布直方图如下:

(I)根据上述数据，分别计算近10个月养鱼场与远洋捕捞队的月平均利润；

(II)公司计划用不超过6千万元的资金投资于养鱼场和远洋捕捞队，假设投资养鱼

场的资金为x(x..O)千万元，投资远洋捕捞队的资金为y(y..O)千万元，且投资养鱼场的资金不少于投资远洋

捕捞队的资金的2倍.试用调查数据，给出公司分配投资金额的建议，使得公司投资这两个项目的月平

均利润之和最大.

【解析】解：(I)近10个月养鱼场的月平均利润为:

-0.2x2-0.1xl+0x2+0.1x4+0.3xl—一（.八、

---------------------------------=0.02（千万兀）.....（3分）

10

近10个月远洋捕捞队的月平均利润为:

-0.3x0.2x0.5—0.2x0.1x1+0.1x0.2x1+0.3x0.2x1.5+0.5x0.2x1=0.16（千万元）.（6分）

x.O

（II）依题意得X,y满足的条件为卜”,....（8分）

x+为6

x..2y

设两个项目的利润之和为z,则z=0.02x+0.16y,.......（9分）

如图所示，作直线/0:0.02x+0.16y=0,平移直线知其过点A时，z取最大值，（10分）

由7+y=6,得卜=上所以人的坐标为4,2）,.一（11分）

[x=2y[y=2

此时z的最大值为z=0.08+0.32=0.4（千万元），

所以公司投资养鱼场4千万元，远洋捕捞队2千万元时，两个项目的月平均利润之和最大....（12分）

例3.小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测

算，IEC（国际电工委员会）风能风区分类标准如表:

风能分类一类风区二类风区

平均风速机/S8.5——106.5——8.5

某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、3两个小型风能发电项目.调研结果是，未来一年内，位

于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4；

3项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.2,不赔不赚的可能性是0.2.

假设投资A项目的资金为忒乂.0）万元，投资8项目资金为y（y..O）万元，且公司要求对A项目的投资不得

低于3项目.（1）请根据公司投资限制条件，写出x,y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；

（2）记投资A,3项目的利润分别为J和〃，试写出随机变量J与"的分布列和期望EJ,Er,-,

（3）根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和Z=E^+ET7的最大值，并据此

给出公司分配投资金额建议.

【解析】解：（I）由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于4、3两个小型风能发电项目，公司

要求对A项目的投资不得低于3项目可得

x+%100

为:,表示的区域如图所示;

x.O

J..0

（II）随机变量J的分布列为

40.4%-0.2%

P0.60.4

/.E&=0.24兀—0.08%=0.16x；

随机变量7的分布列为

0.35〉-O.ly0

P0.60.20.2

Er/-0.21y~0.02y-0.19y；

(III)z=超+助=0.16x+0.19y

x+y=100

可得x=y=50

y=x

根据图象，可得尤=y=50时，估计一年后两个项目的平均禾I］润之和z=EJ+E：7的最大值为17.5万元.

例4.小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测

算，IEC（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下:

风能分类一类风区二类风区

平均风速m/S8.5------106.5——8.5

某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、3两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位

于一类风区的A项目获利40%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4；3项目位于二类风区,获利35%

的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.2,不赔不赚的可能性是0.2.假设投资4项目的资金为x（x..O）万

元，投资3项目资金为乂y.O）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.

（I）记投资4,3项目的利润分别为J和〃，试写出随机变量J与4的分布列和期望EJ,E〃；

（II）根据以上的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=E4+£>7的最大值，并

据此给出公司分配投资金额建议.

【解析】解：（1）A项目投资利润自的分布列

OAx-0.2%

P0.60.4

Eq=0.24.x-0.08%=0.16%

3项目投资利润〃的分布歹U：

0.35y-O.ly0

P0.60.20.2

Er/=0.21y-0.02y=0.19y

(2)z=EJ+E>7=O.16x+O.19y

x+y„100

而,作出可行域如右图,

x,y..O

由图可知，当x=50,y=50,公司获得获利最大，最大为17.5万元.

故建议给两公司各投资50万.

例5.据/EC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然

资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，风能风区分类标准如下:

风能分类一类风区二类风区

平均风速mls8.5〜106.5〜8.5

假设投资A项目的资金为x(x..O)万元，投资3项目资金为y(y..O)万元，调研结果是：未来一年内，位于一

类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的3项目获利35%的可

能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.

(1)记投资A,3项目的利润分别为J和〃，试写出随机变量J与〃的分布列和期望EJ,

(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,3项目，且公司要求对A项目的投资不得低于3项目，

根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=EJ+£>/的最大值.

【解析】解：(1)•.・投资A项目的资金为尤("0)万元，

未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,

亏损20%的可能性为0.4,

项目投资利润4的分布列：

0.3x-0.2兀

P0.60.4

=0.18x-0.08x=0.1%.

•.•投资3项目资金为y(y..0)万元，

未来一年内，位于二类风区的3项目获利35%的可能性为0.6,

亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.

.•.3项目投资利润〃的分布列：

0.35)；-OAy0

P0.60.10.3

7]=0.21y-O.Oly=0.2y.…（6分）

x+y„100

(2)由题意知x,y满足的约束条件为卜与，…(9分)

x,y..O

由(1)知，z=EJ+=0.1x+0.2y,

当x=50,y=50,;.z取得最大值15.

.•.对A、3项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.…(12分)

例6.某矿业公司对A、3两个铁矿项目调研结果是：A项目获利40%的可能性为0.6,亏损20%的可能性

为0.4；3项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性为0.2,不赔不赚的可能性为0.2.现计划用

不超过100万元的资金投资A、3两个项目，假设投资A项目的资金为MX..0)万元，投资3项目的资金

为y(y-O)万元，且公司要求对A项目的投资不得低于3项目.

(1)请根据公司投资限制条件，写出x,y满足的条件，并将它们表示在平面xOy内；

(2)记投资A、3项目的利润分别为M和N,试写出随机变量〃与N的分布列和期望E(M),召(N)；

(3)根据(1)的条件和调研结果，试估计两个项目的平均利润之和z=E(M)+E(N)的最大值.

【解析】解：(I)由题意，公司计划用不超过100万元的资金投资于A、3两个小型风能发电项目，公司

x+为100

要求对A项目的投资不得低于3项目可得卜..y

x®,y0

表示的区域如图所示；

(II)随机变量J的分布列为

M0.4x-0.2x

P0.60.4

E自=0.24%—0.08%=0.16x；

随机变量"的分布列为

N0.35y-O.ly0

P0.60.20.2

助=0.21y—0.02y=0.19y；

x+y=100

(III)z=EM+EN=0.16元+0.19y,,可得x=y=50,

x=y

根据图象，可得x=y=50时，估计一年后两个项目的平均禾U润之和z=EM+硒的最大值为17.5万元.

例7.假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,50与的随机变量.记一天中从甲地去

乙地的旅客人数不超过900的概率为4.

(I)求Po的值；

(参考数据：若X~N(〃,cr2),有尸(〃一cr<X”〃+cr)=0.6826,P(/J-2(r<X„/J+2cr)=0.9544,

P(〃一3cr<X”〃+3b)=0.9974.)

(II)某客运公司用A,3两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A,B

两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆.公司

拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求3型车不多于A型车7辆.若每天要以不小于4的概率运完

从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A