高中数学专项复习：立体几何中的最值问题（解析版）

第三篇立体几何

专题07立体几何中的最值问题

常见考点

考点一最大值问题

典例1.如图，在VABC中，AC=3C=1,ZACS-120°,。为VABC的外心，PO1

平面ABC,且PO=逅.

2

⑴求证：3。〃平面PAC；

⑵设平面P4?n面PBC=/,若点”在线段尸C（不含端点）上运动，当直线/与平面

所成角取最大值时，求二面角A-O的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵芈

2

【解析】

（1）

如图，连接。C,交于点O,。为AMC的外心，

所以6M=O3=OC,又因为AC=BC=1,所以△CMC三△OBC,

所以ZACO=ZBCO=~ZACB=60°,

故AOAC和AOBC都为等边三角形，可得。4=AC=CB=BO=1,

即四边形OACB为菱形，所以O3Z<4C；

又ACu平面PAC、02<Z平面PAC,

所以50〃平面尸AC,

⑵

因为3C〃49,BCa平面尸Q4,AOu平面PQ4,所以8c〃平面PQ4,

因为3Cu平面P3C,平面尸4。八平面PBC=/,所以3C/〃.

如图，以点。为原点，分别以ZM,QC所在的直线为x,＞轴，过点。垂直于面ACBO

的直线为z轴建立空间直角坐标系,

则,一，o,o],cfo,1,olA|^-,O,O,o[o,-1,0

I2)\2J(2

uuoUUL「uun

所以5C=BA=(V3,0,0)PC=一5万）

uuuuuuuUUUUUIU

因为点M在线段PC不含端点）上运动,所以PM//PC,设PM=4PC，

uuiruurumr(i./A、

所以3=3尸+尸M=[5-4—5，号(1—2))设平面.的法向量为%=(&%，4),

「ruuv

勺-BA=玉=0

贝!

1r肥下22-11,、八

,BM=—Xj+—-—yl+-(l-A)z1=0

1-22

可得：占=0,令％=2可得Z[=,所以先=0,2,

1-2

所以直线/与平面画所成角。的正弦值为:

ruuin

ruumnx-BC

sma=cosnvBCy-fflH-

同BC

即当％=g时直线/与平面ABM所成角取最大值.

uun

r731UUW(也瓜、

此时％=(0,2,0),所以03=-+*,0BM=—,0,—

I227

设平面OBM的法向量为%Z?）,

翳"*2+卜=。

令%2=1,%=，z?——^2,

蹴人=*2+%2=0

友•n26A/2

所以3=(1,6-V^),所以cos(X幻=2

同阳2x762，

设二面角A-BM-O的平面角为巴贝hos6=，？,

2

变式1-1.如图，在正三棱柱ABC-4片£中，A2=A4,=2,点。在边3c上，E为Bg

的中点.

(1)如果。为BC的中点，求证：平面网E〃平面GD4；

(2)设锐二面角耳-AG”/的平面角为a,/=几占，六1,1,当力取何值时，

cosc取得最大值？

【答案】(1)证明见解析

⑵八1

【解析】

【分析】

(1)利用几何法证明，若要证明面面平行，只要证明其中一个平面中的两条相交直

线平行于另一个平面即可；

(2)建立如图所示空间直角坐标系，利用法向量来求二面角的大小即可得解.

(1)

证明：在正三棱柱ABC-A再G中，

因为。，E分别为BC,耳£的中点，所以田纱。，

所以四边形8OGE为平行四边形，所以8E〃Z)G，

又因为BE.平面GD4,r)Gu平面GD4,

所以BE〃平面GD4,同理可证AE//平面GOA,

\E[\BE=E,AtE,BEu平面所以平面砌石〃平面GOA；

⑵

以4为坐标原点，/方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系,

小

则4（0,0,0）,B（V3,l,0）,C（0,2,0）,5,（73,1,2）,Q（0,2,2）,

所以演=（6,-1,0）,丽=（6,1,2）,离=（0,2,2）,AC=（0,2,0）,

设平面AgG的法向量为根=(n,y,z),

（ruuir

m•ABX=0,

则ruuur即

m-AC1=0,

令z=-乖）,得y=6,x=l,所以加=（l,g,-/），

UUUUULUUU

UUIUUUL^AD=ACB+AC

由CD=XCB，1,1,

rruum

〃AD=0,+（2-4）力=0,

设平面GD4的法向量为E=(a,Z?,c),<

ruuur即

n-AC1—。，2b+2c=Q

l2-2-一，百,

令c=7i,得b=6,a=~r~9所以〃=

A-

ia_o

由5/，得一r_G[_3,-l],

_，」/t

因为锐二面角q-AC的平面角为a(cosa>0),

irr

m,n

所以cosa=-w~~r-

m•n

令”^+6,则te[3,5],故—=/6,

XA

t-J

所以8d而Ek-k"

令〃=；eI，|,则〃〃)=42"-12〃+1在I，|上单调递增,

所以…二西1而在「孱11〔]上单调递减，

当〃=g,此时久=1,即点。与点3重合时，cosa取得最大值.

变式1-2.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA，底面ABC。,

AB垂直于AO和BC,5A=AB=3C=2,AD=1,M是棱S3的中点.

⑴求证：A"〃平面SC。；

(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值；

(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SA3所成的角为，，求sin。的最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)当

⑶半

【解析】

【分析】

(1)建立空间直角坐标系，利用向量法证得AMH平面SCD.

(2)利用向量法求得平面SCO与平面所成的角的余弦值.

(3)设出N点的坐标，求得sin。的表达式，结合二次函数的性质求得sin。的最大值.

(1)

&4,底面所以&

由于AB_LAD,所以SA,A3,AZ)两两垂直，

以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,0),C(2,2,0),0(1,0,0),5(0,0,2),"(0,1,1),

.-.AM=(0,1,1),SD=(l,0,-2),历=(-1,-2,0).

设平面SCD的法向量为?i=(x,y,z),

(uuvv

SD-n=0(x—2z=Q

则Juinv;-'•]0n，

CDn=0[-x-2y=0

令z=l,得日=(2,-1,1)是平面SCD的一个法向量.

-：AMn=G,AM±n»

•••A隹平面SCD,

〃平面SCD.

⑵

平面SAB的一个法向量为加=(1,0,0),

设平面SCD与平面SAB的夹角为夕，

2

则coscp=

A/6x13

平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为好.

3

(3)

由题可设N(x,2x-2,0)("xV2),

贝！］丽=(x,2x-3,-l).

平面SAB的一个法向量为加=(1,0,0),

irumr

sin。=

V5X2-12X+10

—12x—F5

7

屈

变式13如图,在正四棱锥S-ABCD中，点。，E分别是80,8C中点，点厂是SE

上的一点.

(1)证明：OF1BC；

(2)若四棱锥S-ABCD的所有棱长为2夜，求直线。尸与平面SDE所成角的正弦值的

最大值.

【答案】(1)证明见解析

(2)—

11

【解析】

【分析】

(1)作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；(2)建立空间直角坐标系,

利用空间向量进行求解.

(1)

如图，连接SO和OE,

因为S-ABCD是正四棱锥，所以S。，平面A8CD,

又因为3Cu平面ABC。，所以SOLBC

因为ABCO是正方形，所以OCJ_BC,

又因为点。，E分别是80,BC中点，所以OE〃DC,

所以OEJ_3c

又因为OEcSO=O,OE、SOu平面SOE,

所以BC,平面SOE,

因为OPu平面SOE,所以OP,8c.

(2)

易知OB,OC,OS两两相互垂直，如图，以点。为原点，OB,OC,OS为x,y,z

轴建立空间直角坐标系，

因为四棱锥S-ABCD的所有棱长为2应，所以题＞=4,SO=2,

所以0(0,0,0),5(0,0,2),£＞(-2,0,0),£(1,1,0),

设丽=2蔻(0＜彳＜1),得产(442-22),则

丽=（一2,0,-2）,DE=（3,1,0）,OF^（A,A,2-2A）

设平面ME的法向量为钉=（尤,y,z）,则

（7UUV

n-SD=-2x-2z=0z=-x-

<Vuuw，解得「31取E得"=（1,-3,-1）,

n-DE=3x+y=0

设直线与平面SDE所成角为。，则

|V皿

Ivup\n-OF

sin。=cosn,OF\=,晨

।1\n\-\OF\7TT-^22+22+|2-22|2

=7~（0<A<l）,

A/11-V6A2-82+4

当'=-/=|时’6万-84+4取得最小值j此时sin。取得最大值胃.

考点二最小值问题

典例2.如图，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四边

形3FEZ)为矩形，BF=1,平面5FED_L平面ABCD

(1)求证：平面

(2)点P在线段上运动，设平面与平面ADE所成的夹角为。，试求。的最小

值.

【答案】(D证明见解析

⑵2

【解析】

【分析】

(1)由已知条件可得再由平面加ED,平面ABCD,可得DEL平面AD8,

则DE_L4),然后由线面垂直的判定定理可证得结论，

(2)由于AD_LBD,DELAD,DE±DB,所以建立直线DA,DB,DE为x轴，y

轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令EP=2(0VXW后)，然后利用空间向量求

解即可

(1)

证明，在梯形ABC。中，

,?AB//CD,AD=OC=C3=1,/BCD=120°,

，ZCDB=ZCBD=30°,ZADC=ZDCB=120°,

ZADB=90°,ADLBD.

又・平面3FEDJ_平面ABC。，平面BFEDc平面ABCD=3£>,DE±DB,

<£)E_L平面A£>8,DE±AD.

又,/BDcDE=D,ADY平面BDEF.

(2)

由(1)可知AD_LBD,DELAD,DEYDB.

可建立直线ZM,DB,DE为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令

EP=A(0<2<V3),则

0（0,0,0）,4（1,0,0）,B（0,60）,P（0,2,l）,

AAB=（-1,73,0）,而=（（U-道,1）

-x+y/3y=0

、一nx-AB-0

设“=（%,y,z）为平面/MB的法向量，由腓0,得＜

（4-6）y+z=0

取y=l,%=（6,1,6-九）

UU

=（0,1,0）是平面的一个法向量，二

•.•OV/lwG，.•.当2时，cos。有最大值?二。的最小值为?

变式2-1.如图，在VABC中，AB=1,BC=2五,B=~,将VABC绕边A3翻转至

△ABP,使面VABPL面VABC,。是BC的中点.

(1)求二面角尸-3C-A的平面角的余弦值；

(2)设Q是线段以上的动点，当PC与。。所成角取得最小值时，求线段AQ的长度.

【答案】(1)事

(2)|石

【解析】

【分析】

(1)延长R4,过点尸作PEL&L,垂足为E,过点E作E/U3C,垂足为尸,连接PF,

则NPFE是二面角尸-3C-A的平面角，再解三角形即得解；

(2)连接EC,以E为原点，由题得及」£»，以£B为x轴，EC为V轴，EP为z轴，建

2

立空间直角坐标系，利用向量法求出当2=1时，PC与。。所成的角最小，即得解.

(1)

解:

由题得AC?=l+8-2xlx2>/2xcos45r=5,:.AC=y/5.

所以cos/54c=[±亨=-@<0,所以的C是钝角.

2xlxV55

延长3A,过点P作PELBA,垂足为E,过点E作比U8C,垂足为尸，连接PE,

则ZPFE是二面角尸-3C-A的平面角.

由题得尸E=20xcos45°=2=BE,

所以所=2*cos45°=0，

所以tanNPFE=1,cosNPFE=%

所以二面角尸-BC-A的平面角的余弦值为由.

3

(2)

解：连接EC,以E为原点，由题得EC，£S,以£B为x轴，EC为y轴，E尸为z轴，建

立空间直角坐标系，由题得5(2,0,0),A(l,0,0),E(0,0,0),C(0,2,0),设0ay,z),

AQ=2AP=2(-l,0,2),2e[0,1],即(xTV修)=(一九°，24),，。(1-40,22),

因为£>(1,1,0),DQ=(-2,-1,2A),PC=(0,2,-2),

卜2-M=1,(1+2"

所以cos住房=

A/522+1x272叵V5力+1

2(1+2X)(2-5X)

令/⑷JI；；"=。」]，，/V)=-(5/l2+l)2-

2

4r（A）=0,/le[0,l],.-.2=j.

Xe[O2,(时，/(2)>0,函数单调递增，Xe(7jl)时，/VXO,函数单调递减.

2

所以当九=彳时，/(㈤取最大值，此时PC与。。所成的角最小，

变式2-2.如图，四棱锥S-ABCD的底面为矩形，底面ABCD,设平面SAD与平

面SBC的交线为根.

(1)证明：mlIBC,且7"，平面SDC；

(2)已知SD=AD=OC=2,R为加上的点求S3与平面RCZ)所成角的余弦值的最小

值.

【答案】(1)证明见解析；(2)息.

3

【解析】

【分析】

(1)先由BC/MD证明5c〃平面皿)，再由线面平行推线线平行，可得m//BC；

由S_DJL,BC,1可得BC_L平面SDC,再由m/ABC,即得证；

(2)建立空间直角坐标系，计算平面R8的法向量，表示S3与平面RC©所成角,

计算最值即得解

【详解】

(1)由题意，四棱锥S-ABCD的底面为矩形，可知3C/MT),

又3cz平面SAP,ADu平面SAC

所以3c〃平面

又加为平面240与平面SBC的交线，且BCu平面S3C,故m/ABC

因为SDL底面45cD,BCu平面A5CZ),所以SDLBC,

又BCLDC,且Sr>nr>C=D,

所以3CL平面SDC,

又mUBC,所以加，平面SDC

(2)

由(1)可知，DS,DA,DC两两互相垂直，以。为坐标原点，DA，比,丽的方

向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz

0(0,0,0),5(0,0,2),*2,2,0),C(0,2,0),因为点R在平面S4。内的机上，且欣/AD,

所以可设R(a,0,2)

SB=(2,2,-2),DC=(O,2,O),DR=(a,0,2)

设平面KCD的法向量为3=(x,y,z),则

「VUW

n-DR=ax-\-2z=Q[ax+2z=0-/、

<v即V可取〃=(—2,0,

n-DC=2y=0U=n。

设SB与平面HS所成角为e

rur

贝n-SB

|Jsin6=cosfrutr

nSB

因为当且仅当〃=2时等号成立

a+4

所以sin”如,cos0>2

33

所以S3与平面RCD所成角的余弦值的最小值为g

变式2-3.如图，在梯形A5Q?中，AB//CD,AD=DC=CB=1,/BCD=120。,四边

形3FED为矩形，平面3FED_L平面ABC。，BF=1.

(1)求证：8£>_L平面AED,ADJ_平面BDEF；

(2)点尸在线段E尸上运动，设平面尸筋与平面AOE所成锐二面角为0,试求e的最

小值.

【答案】(1)证明见解析；(2)y.

【解析】

【分析】

(1)根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；

(2)分别以直线C4,CB,CE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，令

EP=2(0<2<73),然后写出各点坐标，求出平面B1B和平面ADE的法向量，由法

向量夹角与二面角的关系求得cose(为几的函数)，由函数知识可得最小值.

【详解】

解：（1）证明，在梯形A5CD中，

VAB//CD,AD=Z）C=CF=1,ZBCD=120°,

工NCDB=ZCBD=30°,ZADC=NDCB=120°,ZADB=90°,/.ADLBD.

\,平面跳ED_L平面ABC。,平面毋EDc平面ABCD=3D,DEu平面BFED,DE±DB,

又；4）门。e=。，，BD_L平面ADE.

又四边形SDEF是矩形，EDA.BD,二ED_L平面A5CD,EDYAD,

'：ED^}BD=D,AD_L平面3£）£F.

（2）由（1）可建立直线DA,DB,£（E为x轴，V轴，z轴的如图所示的空间直角

坐标系，令EP=2（00V⑹，则0（0,0,0）,A（l,0,0）,8（0,60）,P（0,2,l）,

ruw

r-x+百y=0

_n}-AB=0

设％=（x,y,z）为平面BIB的法向量，由<i•群°，得<

（4-6）y+z=0

取、=1,贝I]%=（"1,百-几）.

•.•第=（0,1,0）是平面4£见的一个法向量，，

V0</<V3,...当2=6时，cos。有最大值，夕的最小值为

巩固练习

练习一最大值问题

1.如图所示，在三棱柱ABC-A4G中，AB=3C,点A在平面A3C的射影为线段AC

的中点，侧面eGC是菱形，过点稣民。的平面a与棱AG交于点E.

B

(1)证明：四边形2与ED为矩形；

(2)求CB,与平面ABB^所成角的正弦值的最大值.

【答案】⑴证明见解析

⑵|

【解析】

【分析】

(1)由已知线面平行的判定定理得到BXBH平面A,ACC,,在运用面面平行的判定与性质

得四边形8月£。为平行四边形.运用线面垂直判定定理可得80,平面ACGA,从而

得出结论.

(2)以。8,AC,AQ所在直线分别为x轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系。-孙z,依题意得跳)=",分别求解平面A即A的法向量和啰的方向向量,

2

运用线面角的向量求解方法得到答案.

(1)

取AG中点为£,连接耳£,DE.

在三棱柱ABC-a4G中，侧面AAB用为平行四边形，所以4B//AA,

因为瓦8。平面44(?&,AAu平面AACG,所以8网/平面AACG.

因为42u平面B片。，且平面BBQc平面4ACG=DE,所以与B/ADE.

因为在三棱柱4BC-4月£中，平面ABC〃平面ABC,平面BBQc平面ABC=,

平面88QC平面A4G=2F，所以BD〃"E,所以四边形84助为平行四边形.

在小ABC中，因为AB=BC,。是AC的中点，所以3DLAC.

由题可知平面至C,所以A.D1AC,

因为ACcAD=O,所以8。，平面ACGA,

所以所以四边形2用为矩形.

(2)

由(1)知D8,AC,4。两两垂直，以DB,AC,4。所在直线分别为x轴、y轴、

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-乎.

设AD=1,BD=a,在△A41D中，M=2AD,Z^DA=9Q°,所以百，

所以£>(0,0,0),A(0,-l,0),$(0,0,道)，B(a,0,0),则可=(0,1,石)，AB=(fl,l,0).

UUUUUIUUUIU/\

因为网0,1,6),所以。4=。£+。3=,』,。3),即用(0,1,6).

因为C(0,l,0),所以璃=(a,0,君).设平面小阻耳的法向量为心(x,y,z),

UUW

rvy=-杷z,

n•AA1=0,y+A/3Z=0

则＜v皿即'所以

n-AB=0,ax+y=0,x=正z.

a

令Z=〃，贝|y=—耳，X=6所以|=(6,一耳,4).

设C4与平面ABB^所成角为e,

ruuir

/FUUIIn-CBl

则sin6=cos(几,CB]Ouuir

“C与，3+4〃2xJ/+3

2^3a26,262

=—―=———<——=—

J4/+9+.L2+^+15-^T53,

Va

当且仅当4/=，，即0=半时等号成立.

故C4与平面ABB.A所成角的正弦值最大为|.

2.如图，在矩形A8CD中，M.N分别是线段A8、CD的中点，4)=2,AB=4,

将△ADM沿DW翻折，在翻折过程中A点记为P点.

(1)从△/的翻折至VNDM的过程中，求点P运动的轨迹长度；

(2)翻折过程中，二面角P-BC-。的平面角为仇求tan。的最大值.

【答案】⑴缶

⑵3

【解析】

【分析】

(1)取DM的中点E,则从△ADN翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以

点E为圆心，AE为半径的半圆，由此可求得点P运动的轨迹长度.

(2)由(1)得，连接AN,并延长交BC延长线于R过尸作尸OLEF,再过点。作

OG±BC,则/PGO就是二面角P—BC-O的平面角/^ZPEO=a,[0<a<7r),

PO-PEsina='J2sina,OF=3五-④cosa、OG=3-cosa,可得

tanZPGO=—=^^,令叵皿=左，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求

OG3—cosa3-cosa

得最大值.

(1)

解：取。”的中点E,则从△ADM翻折至ANDM的过程中，点尸运动的轨迹是以点

E为圆心，AE为半径的半圆，

因为AD=2,AB=4,所以AE=VJ,所以点P运动的轨迹长度为岳.

(2)

解：由(1)得，连接AN,并延长交3c延长线于忆ANLDM,折起后，有DMJL

面PEN,过P作POLE厂,则尸。，面DWBC,再过点。作OGL3C,则/PGO就

是二面角P-BC-D的平面角0,

设NP£O=a,（0WaW»）,PO=PEsina=>/2sma，

OF=AF-AE-OE-4^2-0-0cosa-30-0cosa,OG=3-cosa,

/POV2sina

tanZPGO=——二------------------

OG3-cosa

令行sin"=kn6s0a+kcosa=3k,所以42+/sin（a+月）=34，所以T?「一TT」》

3-cosa72+k

解得-小〈

3.在四棱锥尸-ABCD中，以，平面ABC。，底面ABC。是直角梯形，其中AD//3C,

ABLAD,AB=AD=^BC=2,E为棱BC上的点，且BE=：BC.

（2）若二面角A-PC-D的平面角的正切值为求E4的长；

⑶在（2）的条件下，若。为线段尸C上一点，求8。与面尸CD所成角为。，求sin。的

最大值.

【答案】（1）证明见解析

Q）4

【解析】

【分析】

（1）如图建系，设AP=a,求出诙、AC.Q的坐标，计算诙^O,DEAP=O,

可证明OELAC,DEYAP,由线面垂直的判定定理即可求证；

12

（2）设二面角A-PC-D的平面角为a，由图知a为锐角，则tana、，所以cosa=^

分别求出平面PCD和平面PAC的一个法向量，利用空间向量夹角公式列方程求出。

的值即可求解；

（3）PQ=APC=（22,42,-4A）,贝I」皿=而+用=（22—2,42,4—44）,由（2）知平面

PC。的一个法向量元=11,T,利用空间向量夹角公式将sind'cos（丽，外表示为

关于2的函数，结合二次函数的性质即可求解.

（1）

因为上4_L平面ABC。，AB,ADC\§\ABCD,所以24_LAB,PA±AD,

因为所以AB,AD,AP两两垂直，

如图以A为原点，分别以所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设AP=a,则A（0,0,0）,6（2,0,0）,C（2,4,0）,£＞（0,2,0）,P（0,0,a）,E（2,l,0）

所以瓦=（2,-1,0）,AC-（2,4,0）,衣=（0,0,a）,

因为诙.衣=2x2-lx4+0=0,DEAP=0,所以诙_L/,DE±AP,

即OE_LAC,DEYAP,因为ACnAP=A,所以DEL平面PAC

（2）

由（1）知：OE_L平面PAC,取平面PAC的法向量庞=（2,-1,0）,

因为定=(2,4,-a),CD=(-2,-2,0),

设平面PCD的一个法向量为3=（x,y,z）,

尸。•为=2%+4y—az=0『「।\2,所以］=卜,-1,二2

由力.一2二尸。‘取则—z=—

aa

设二面角A-PC-O的平面角为a,且a为锐角,

则tana=；,所以cosa=q

所以*一\解DEnr总3广飞2，

Va

整理可得：2.C4=3＞解得：。=4,所以帖的长为4.

Va

(3)

由(2)知丛的长为4,即a=4,

因为。为线段PC上一点，所以配//斤，设画=2斤=(2彳,4%-4孙

所以丽=丽+迎=(-2,0,4)+(2444”)=(22-2,44,4-4/1),

平面尸CD的一个法向量元=11,-1,-£|,

当几=-7^^='|时，-1CU+5最小为jx1]-10x1+5=

4.如图，在直角三角形A05中，NQ4S=30。，斜边AB=4,直角三角形AOC可以

通过A08以直线AO为轴旋转得到，且二面角8-AO-C是直二面角，动点O在斜边

48上.

A

(1)求证：平面CODJ_平面A03；

(2)当。为AB的中点时，求异面直线A0与CD所成角的正切值；

(3)求8与平面A05所成角的正切值的最大值.

【答案】(1)证明见解析

⑵姮

3

⑶事

【解析】

【分析】

(1)证明4OC为二面角C-AO-3的平面角，然后证明C。，平面A05,得证面面

垂直；

(2)取中点E.连接CE,£>E,证明异面直线A。与8所成角为NCDE(或其补

角)，在△EDC中计算其正切值；

(3)证明/CDO是CD与平面AOB所成角，求出0。的最小值即。到的距离即可

得结论.

(1)

证明：因为COLAO,BO1AO,所以/BOC为二面角C—AO—8的平面角，即

NCO3=90。，COYBO,

又AOCW=O,AO,8Ou平面A03,所以CO_L平面493,

因为COu平面COD,所以平面CO。，平面AOB；

(2)

解：取。3中点E.连接CE,DE,如图，

因为。是AB中点，所以AO/ADE,所以异面直线A0与CD所成角为NCDE(或其补

角），

由已知CO_LAO,BOVAO,BOC\CO^O,3O,C。u平面BOC,所以AO,平面BOC,

而CEu平面BOC,所以AO_LCE,所以DE_LCE,

又AB=4,/Q4B=30。，所以O3=OC=2,AO=2从而OE=GOE=\,

CE=yICCP+OE2=V22+l2=A/5，

CE_V5_715

tanNADE=布=耳=亍

(3)

由(1)知CO,平面A03,所以/CDO是8与平面AOB所成角,

又。Du平面A08,则CO_LOO,

co2

tanZCDO=——

OD~OD

直角^AOB中，。到AB上点的距离的最小值为AB边上的高即

OAxOB=业地,

AB4

2_2百

所以tanZCDO的最大值为

练习二最小值问题

5.如图，A3CD为正方形，尸DCE为直角梯形，/电心=90。，平面ABCD，平面「DCE,

^.PD=AD=2EC=2.

.•.苑=（-2,0#,令直线8。与平面PDB所成角为a,

\BQAC4A/2A/W

sin。=1.=j—2/----.

\BQ\\AC78V?+4VF+45

6.如图，在梯形A5c。中，ABI/CD,AD=DC=SC=1,ZABC=60°,四边形ACEE

为矩形，平面ACFEL平面ABC。，CF=1,设点M在线段所上运动.

(1)证明：BCLAM-

（2）设平面跖记与平面厂CB所成锐二面角为e,求e的最小值.

【答案】（1）证明见解析；（2）y.

【解析】

（1）由平面几何知识，余弦定理可得BC_LAC.,再由面面垂直、线面垂直的性质

可得证；

（2）由（1）可建立分别以直线C4,CB,CP为无轴，,轴，z轴的如图所示的空

间直角坐标系，令根=2（OWXW6）,由二面角的向量求解方法可表示

。。“二小」『+4,由二次函数的性质可求得最值.

【详解】

(1)证明：在梯形ABCD中，因为AB//CD,AD=DC=CB=1,ZABC=60°,

所以AB=2,AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cos60°=3,

所以AB2=AC2+BC2,所以8CJ_AC.

因为平面Acm平面ABCD,^-^ACFE^^ABCD^AC,

因为3Cu平面ABC。，所以平面ACFE.所以8c；

（2）解：由（1）可建立分别以直线。1,CB,C/为x轴，》轴，z轴的如图所示

的空间直角坐标系，

令9=则C（0,0,0）,A（山,0,0）,3（0,1,0）,M（A,0,l）.AB=（-^,1,0）,

uuu

设三=（x,y,z）为平面"AB的一个法向量，

n-AB=0-A/3X+y=0,

由取x=l,贝l]”=（1,百,石-2）,

n-BM=0寸Ax—y+z=0,

碗=。,0,0）是平面尸CB的一个法向量,

.cose」"川

【点睛】

向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.

1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时

需做辅助线;建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上。

2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.

3、求：求出两个面的法向量.

4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；

5、取：根据二面角的范围（。，句和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.

7.如图，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,四边形

BFED为矩形，平面BfED，平面ABC。，BF=1.

(1)求证：平面BWE。；

(2)点P在线段阶上运动，设平面出3与平面ADE所成锐二面角为仇试求。的最

小值.

【答案】(1)证明见解析(2)。最小值为60。

【解析】

【分析】

(1)在梯形A8CO中，利用勾股定理，得到再结合面面垂直的判定，证

得DEL平面ABCD,即可证得平面BFED；

(2)以。为原点，直线ZM,DB,DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间

直角坐标系，求得平面阴B与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

【详解】

(1)证明：在梯形ABC。中，

'JAB//CD,AD=DC=CB=1,ZBCD=120°,.'.AB=2.

：.BD2=AB2+AD2-2ABADcos60O=3.

.".AB^AE^+BD2,：.AD±BD.

•.•平面BEE。，平面ABCD,平面BPE/m平面ABCD=BD,

BFED,DE1DB,：.DE±^^ABCD,

：.DE±AD,又DECBD=D,.•.ADd_平面BRED

(1)由(1)知，直线A。，BD,ED两两垂直，故以。为原点，直线ZM,DB,DE

分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令石尸="0至於6)，则。(0,0,0),A(1,0,0),5(0,令,0),P(Q,九1),

所以15=(—1,石，0),gp=(0,2—73,1).

设知=(x,y,z)为平面的法向量，

由1,黑一：得‘。，取y=l,则"/=(百，1,

[niBP=0[A-yJ3y+z=0

因为〃2=（0』,0）是平面ADE的一个法向量，

4.〃21____1____

所以COS朗丽=M+1+7-力xl=

因为g左6，所以当4=百时，cos。有最大值3，所以6的最小值为60。.

本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的

空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，

通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往

往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

8.如图，正方形ABC。边长为1,E£）_L平面ABC。，FB±^^ABCD,且ED=FB=1

IE,尸在平面ABCD同侧），G为线段EC上的动点.

（1）求证：AG-LDF；

（2）求AG2+BG2的最小值，并求取得最小值时二面角B-AG-C的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）最小值?，二面角3-AG-C的余弦值为等.

【解析】

【分析】

法一：（1）将几何体补形为正方体，分别证明ACLDF,可得上，平面ACE,

即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，将AG2+BG2转化为向量的模长问题，即

可求解AG2+8G2的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.

法二：（1）直接建立空间直角坐标系，用而•前=0证明AGJLDb；（2）将4行+3行

转化为向量的模长问题，即可求解AG2+3G2的最小值，然后利用向量的方法求二面

角即可.

【详解】

法一：（1）分别作40，平面A3C。，CNr^ABCD,^LAM=CN=1,顺次连接E,

M,F,N,如图，

易得几何体ABCD-MRVE为正方体，连接应＞,二8DLAC,

VFBL^^ABCD,ACu平面ABCD,

FB±AC,又,：FBcBD=B,

FBu平面BDEF,3Du平面BDEF,

，AC_L平面3/比F,又〈DEu平面BDEF,AC1DF,同理可证尸,

又•.•ACcAE=A,ACu平面ACE,AEu平面ACE,

工£）尸，平面ACE,：AGu平面ACE,/.AGIDF.

（2）•；EDJ_平面ABCD,AD±CD,故以。为原点，DA，DC,指的正方向为了轴,

。轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,由题意得,0（0,0,0）,4（1,0,0）,5（1,1,0）,

C（o,l,o）,E（0,0,l）,F（l,l,l）,

•.•3在0£上，...设京=/1函（0W4W1）,则有

AG=AC+CG=AC+2CE=(-l,l,O)+2(O,-l,l)=(-l,l-^,2),

BG=BC+CG=BC+ACE=(-1,O,O)+2(O,-1,1)=(-1,-A,2),

AG2+BG2=|AG|2+|BG|2=l+(l-A)2+A2+l+r+A2

=4万-2彳+3=4(；1」］+—,

I4j4

当且仅当几=:时，AG2+8G2取得最小值?，

44

此时在平面ACG中，AC=(-1,1,0),C£=(O,-l,l),