高中数学专项复习：几何概型（解析版）

专题9几何概型

例1.某人向直角边长分别为6和8的一个直角三角形中投掷一个点，求此点落在此直角三角形内切圆的内

部的概率是（）

A兀71

A.—D.

2B-77

【解析】解：由勾股定理可得斜边长为，62+82=10,

设其内切圆的半径为一，

则由等面积法，可得,（8+6+10）r=1x8x6,贝！Jr=2.

22

1

S——x8x6—24,S圆=»x29=47r.

.•.往该直角三角形中随机投掷一个点，则该点落在此三角形内切圆内的概率为"=工.

246

故选：C.

例2.某游乐场制作了如图所示的游戏盘，其中AABC为等腰三角形，A=3，O为3C的中点，分别

3

以A,O为圆心，AB,30为半径画弧，交于另一点C.向游戏盘内投飞镖（不考虑投不中的情况），

则飞镖落入阴影部分的概率为（）

5%+648"+6/36+乃乃+6省

6（%+石）9兀+6#:6（TT+A/3）9"+6A/J

【解析】解：设AB=2,则30=石，S扇形4方二3/万x2?=与，

以3C为直径的半圆的面积5=工］（省了:四，

22

舟\=日

故阴影部分的面积为物+&-也=«+&,

236

雪6

乃+6百

故所求概率-----

物+G9万+6代

2

故选：D.

例3.为了估计无理数e的值，采用如下做法:在直角坐标系中，作出函数>的图象，在x轴上分别取A(l,0),

8(e,0)两点，过点A作x轴的垂线交函数>=工的图象于点。，再过点。作y轴的垂线，与过点3垂直于x

轴的直线交于点C.然后随机地向矩形ABQ内投入“粒豆子，若落在曲线丫=!上方有以“〉汕粒豆子,

则无理数e的估计值为(

m-n

m-nn—m

【解析】解：如图示:

OABX

矩形ABCD的面积S=(e-l)xl=e-l,

11

矩形ABCD内曲线y=—的Pe图象下方的面积9=[-dx=lnx\l=lne-lnl=l,

xx

贝E=」_=匕竺，

Se—1n

n—m

故选：C.

例4.如图，点A的坐标为(1,0),点。的坐标为(3,5),函数八元)=’,若在矩形ABCD内随机取一点，则

此点取自阴影部分的概率等于()

,1Iriiln310一蛆

A.I------C.I-------D.

IO210

【解析】解：由已知得阴影部分的面积5=10-『!公=10-历3,

J1X

故此点取自阴影部分的概率为：电二磅=1_蛆

1010

故选：A.

例5.《定理汇编》是一本十分重要的书籍，其中有一些定理是关于鞋匠刀形的，即由在同一直线上的三个

半圆圆O,圆。一圆围成的图形被阿基米德称为鞋匠刀形，其半径分别为R，口以4>4），如图所示,

在大半圆O内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为1，则二的值为（）

3r2

D.2+73

g万(R*2~r\_々2)

1

【解析】解：由题意得:

-7TR23,

2

彳+4=R

故2助-2r_1的4_1r2-1

故

故选：D.

例6.《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深对今天的几何学

和其他学科仍有深刻的影响.如图就是《易经》中记载的几何图形-八卦图.图中正八边形代表八卦，中间

的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为8根，代表阴阳太

极图的圆的半径为2m,在正八边形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

R(Qi)万(夜-D(丁+1)乃

D.-------------c

64128128

【解析】解：由图象得，正八边形分割成8个全等的等腰三角形,

顶角为幽=45。，设等腰三角形的腰为

8

a8135°

由正弦定理可得，解得:a—8,\/2sin------,

sin”sin45°2

2

2l-cosl35°

故三角形的面积5=工（8夜sin—）sin45。=32应•=16(夜+1),

222

-TTX22

(6-1)兀

故此点取自黑色部分的概率是2

8x16(72+1)64

故选：B.

例7.如图是数学界研究的弓月形的一种，AC,CD,是以AB为直径的圆的内接正六边形的三条邻边,

四个半圆的直径分别是AC,CD,DB,在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（

6上一兀6乖1+兀2月6石-2»

A.B.C.D.

6g+37r6a+37r2坦+兀6有+3»

【解析】解：根据题意，设AB=4r,贝IJAC=CD=BD=2r,

则整个图形的面积5=3x（』仃2）+［（2r+4r）xJlr3万+6百’,

222

阴影部分的面积S，=S-C）2=3万+6、r2_2产=述二生产，

222

故在整个图形中随机取一点，则此点取自阴影部分的概率p=-="一”;

S6v3+3乃

故选：A.

例8.欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，在其所著的《几何原本》中命题/.47：在直角三角形中以斜

边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（两直角边的平方和等于斜边的平方），这其实

就是大家熟知的勾股定理，如图是《几何原本》中证明的图示，在RtAABC中，AB=3,AC=4,BC=5,

若在四边形ABDL中任取一点，则该点落在四边形BDLM中的概率是（）

ioQ

【解析】解：由题意得：AM=—,BM=~,

55

,,厂1237

故AL—5H——，

55

y37、9

（5+■—）x-

故四边形ABDL的面积W=——、—=—，

1225

Q

四边形的面积S2=5x1=9,

设该点落在四边形BDML中为事件A,

925

则「（A"枣=五，

25

故选：D.

例9.已知正方形ABCD中，点E为边CD的中点，若在正方形ABCD内部随机取一个点。，则点。取自

AABE内部的概率为()

2

D.

3

设正方形的边长为1,

则正方形的面积为1,AABE的面积为，xlxl=L,

22

.•.在正方形ABCD内部随机取一个点0,则点。取自A4BE内部的概率尸=：=g,

故选：C.

例10.《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，也就是人们常说的“天圆地方”.我国古代铜钱的铸造也

蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想.现将铜钱抽象成如图所示的图形，其中圆的半径为广，

正方形的边长为。(0＜。＜厂)，若在圆内随机取点，得到点取自阴影部分的概率是°,则圆周率万的值为(

)

(1-p)r2(1+p)/(1-p)r(1+p)r

【解析】解：圆形钱币的半径为小相，面积为S圆=»•/；

正方形边长为acm,面积为S正方形=".

在圆形内随机取一点，此点取自黑色部分的概率是

S圆一S正方形二1一二

S圆"一

则71=

(1—P)/

故选：A.

例1L在区间已奉上随机地取一个数、’则事件3发生的概率为（）

A-iB-1CID-1

【解析】解：在区间唱亨上，由3小得-科冗

~6

71

则对应的概率尸=£2)_2

71%3

(一5)

2

故选：c.

例12.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围

成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比

应为万:4.在某一球内任意取一点，则此点取自球的一个内接正方体的“牟合方盖”的概率为（）

「4上

B.-Vz.--------------D.—

239»9

【解析】解：设球的直径为耳，则球的内接正方体的棱长为“，正方体的内切球的半径厂=0

2

4a3%接球_兀

正方体的内切球的体积/接球=-71-又由己知

T713_3

格Z方盖_4丁萨=铲'

.•.此点取自球的内接正方体的“牟合方盖”的概率为3

971'

故选：C.

例13.赵爽是我国古代数学家、天文学家，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称

“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类

比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成

的一个大等边三角形，设£F=钻=2,若在大等边三角形内随机取一点，则此点取自小等边三角形内的概

率是（）

c.I

37

【解析】解：显然小三角形面积%EF=gxE产sin6（r=乎xE产

M5D中，AB2=(2+2)2+22-2X(2+2)X2XCOS120°=28,

2

SzMvinzjrL=~2AB~sin60°=—4xAB，

SFF241

所以所求概率为P=2=3=2=L,

S钟©AB287

故选：D.

例14.《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一~F五步,问勾中容圆，径几何？”其大意：“已

知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随

机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）

3兀3万

A.D.-------

To20

【解析】解：直角三角形的斜边长为J82+152=17,

设内切圆的半径为丁，则8—r+15—厂=17,解得

r=3.

/.内切圆的面积为万户=9兀,

9元37r

.••豆子落在内切圆内部的概率尸=I=三

1°20

—x8xl5

2

故选：B.

例15.关于圆周率万，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其

启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计万的值：先请100名同学每人随机写下一个x,y都小于1

的正实数对(x,y)；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数加；最后再根据统计数加估

计万的值，假如某次统计结果是根=28,那么本次实验可以估计万的值为()

A.乌B・义C.吏D.史

7152517

【解析】解：•.•符合条件的变量需满足是个边长为1的正方形；

[0<y<1

x+y>l

而满足构成钝角三角形，则需

x2+y2-l<0,

n1

弓形面积：—

100~4~2

78

71=一

25

例16.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母乃表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数

学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第7位

的人，这比欧洲早了约1000年.生活中，我们也可以通过如下随机模拟试验来估计万的值：在区间(0,1)内

随机取2加个数，构成加个数对(x,y),设x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)有〃对，则通过随

机模拟的方法得到的万的近似值为（）

Am+2n—m+2n2m+4nDm+2n

A.--------B.---------C.

mnmIn

【解析】解：依题意

[0<y<1

试验的全部结果构成以1为边长的正方形，其面积为1,

X,y能与1构成钝角三角形时，

由余弦定理及三角形知识，得：

ix2+y2<l

［x+y>1

构成如图所求阴影面积，其面积为工—工，

42

711

.•.由几何概型概率计算公式得：

m1

2m+4n

解得冗—

m

故选：C.

例17.从区间［0,1］内随机抽取2〃个数玉，力2，…犬〃，y〃构成〃个数对（国,%）,…，（xn,笫），

其中两数的平方和不小于1的数对共有机个，则用随机模拟的方法得到圆周率万的近似值为（）

Am—4mn-m-4（〃—rri）

A.—B.——C.-------D.---------

nnnn

【解析】解：由题意，两数的平方和小于1,对应的区域的面积为工加仔，

4

X99

从区间［0,1］随机抽取2〃个数%…，n/，>2，…，yn

构成〃个数对（%，%），（%2，区，%），对应的区域的面积为V.

-7r42

n-m4

nI2

4(〃-rri)

：.n------------

n

故选：D.

例18.关于圆周率万，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受

其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计万的值：先用计算机产生2000个数对(x,y),其中x,y都

是区间(0,1)上的均匀随机数，再统计x,y能与1构成锐角三角形三边长的数对(x,y)的个数加；最后根据

统计数加来估计万的值.若根=435,则万的估计值为()

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

0<X<1.yr、，

【解析】解：由题意知，2000对都小于/的正实数对(x,y)满足八，，面积为1；

0<y<l

两个数能与1构成锐角三角形三边的数对(尤广),

0<X<17C

满足x2+V>1且,%+y>l,面积为1——；

0<y<14

因为统计两数能与/构成锐角三角形三边的数对(尤,y)的个数%=435,

1_£

由几何概型的概率知己巨=—生

20001

化简得｝黑,

解得%=3.13,

估计万的近似值为3,13.

故选：B.

例19.关于圆周率万，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其

启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计万的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1

的正实数对(尤,y)；再统计尤、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数根；最后再根据统计数

加估计万的值，假如统计结果是祖=35,那么可以估计》的值约为()

A22R4751n19

715166

【解析】解：根据题意，200对都小于/的正实数对(x,y),即,对应区域为边长为1的正方形，

[0<y<1

其面积为1,

x2+y2<1

x+y>l

若两个正实数无、y能与1构成钝角三角形三边，则有其面积S=2-2

0<x<142

0<y<1

则有"_=工—,，

12042

变形可得万1=Q"，

6

故选：D.

例20.如图是一个圆形射击靶的示意图，靶心为圆心O,半径为2分米.一名运动员在练习射击的时候，

在靶上画了一个标志胜利的“V”形轴对称图案AO3C,其中NAOB=60。，点A,6在圆形靶的边缘上,

点。与靶的边缘的最短距离为1分米.该运动员朝靶上任意射击一次，没有脱靶，则命中靶中“V”形图

案的概率为

A