2025年湘教版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高一数学下册阶段测试试卷488考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知函数则（）A.B.C.D.2、设则从到的映射有（）A.7个B.8个C.9个D.10个3、【题文】在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且若侧棱SA=则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为。

A.12

B.32

C.36

D.484、设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a7+a12=24，则S13=（）A.52B.78C.104D.2085、旅行社为去广西桂林的某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为10000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在20或20以下，飞机票每人收费800元；若旅游团的人数多于20，则实行优惠方案，每多一人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多为75，则该旅行社可获得利润的最大值为（）A.12000元B.12500元C.15000元D.20000元评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、如图，阴影部分的面积是____．

7、【题文】有三个平面β，γ，给出下列命题：

①若β，γ两两相交，则有三条交线②若⊥β，⊥γ；则β∥γ

③若⊥γ，β∩=a，β∩γ=b，则a⊥b④若∥β，β∩γ=则∩γ=

其中真命题是____．8、【题文】已知奇函数当时则=____．9、圆x2+y2+2x﹣2y+1=0关于直线x﹣y=0对称的圆的方程为____10、若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且c=2b，则等于______．11、已知向量=（1，2），=（x，-4），若∥则x=______．12、各项均为正数的等比数列{an}满足a3、a5、a6成等差数列，则=______．13、如图，在等腰直角三角形ABC

中，AC=BC=1

点MN

分别是ABBC

的中点，点P

是鈻�ABC(

包括边界)

内任一点.

则AN鈫�鈰�MP鈫�

的取值范围为______．评卷人得分三、计算题(共6题，共12分)14、已知方程x2-2x+m+2=0的两实根x1，x2满足|x1|+|x2|≤3，试求m的取值范围．15、方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+αβ+β2=____．16、写出不等式组的整数解是____．17、x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根，8x1-2x2=7，则m=____．18、解方程

（1）3x2-32x-48=0

（2）4x2+x-3=0

（3）（3x+1）2-4=0

（4）9（x-2）2=4（x+1）2．19、已知b＜a＜0，且a-b=3，ab=1；

（1）求a+b的值；

（2）求的值．评卷人得分四、作图题(共1题，共7分)20、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．评卷人得分五、证明题(共2题，共20分)21、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．22、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分六、综合题(共3题，共9分)23、如图；⊙O的直径AB=2，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD=x，BC=y．

（1）求证：AM∥BN；

（2）求y关于x的关系式；

（3）求四边形ABCD的面积S．24、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．25、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、C【分析】试题分析：故选择C.考点：分段函数求函数值.【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】试题分析：【解析】

由映射的定义知A中1在集合B中有1或0与2对应，有三种选择，同理集合A中00也有三种选择，由乘法原理得从到的不同映射共有3×3=9个故选C考点：映射的概念【解析】【答案】C3、C【分析】【解析】

如图，因为分别是中点，所以而是正三棱锥，所以所以因为所以面从而可得面故将此正三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球。因为侧棱所以补成的正方体的边长为则它们的外接球半径所以外接球表面积为故选C【解析】【答案】C4、C【分析】解：由题意和等差数列的性质可得3a7=a2+a7+a12=24；

解得a7=8，故S13===13a7=104；

故选：C．

由题意和等差数列的性质可得a7的值，再由等差数列的性质和求和公式可得S13=13a7；代值计算可得．

本题考查等差数列的性质和求和公式，求出a7是解决问题的关键，属基础题．【解析】【答案】C5、C【分析】解：设旅游团的人数为x人；每张飞机票价为y元，旅行社可获得的利润为W元．

则当0≤x≤20时；y=800；

当20＜x≤75时；y=800-10（x-20）=-10x+1000．

∴当0≤x≤20时；W=800x-10000；

当20＜x≤75时，W=（-10x+1000）x-10000=-10x2+1000x-10000．

∵当0≤x≤20时；W=800x-10000随x的增大而增大；

∴当x=20时，W最大=800×20-10000=6000（元）；

∵当20＜x≤75时，W=-10x2+1000x-10000=-10（x-50）2+15000；

∴当x=50时，W最大=15000（元）；

∵15000＞6000；

∴当x=50时，W最大=15000（元）．

故选：C．

根据自变量x的取值范围；分0≤x≤20或20＜x≤75，确定每张飞机票价的函数关系式，再利用所有人的费用减去包机费就是旅行社可获得的利润，结合自变量的取值范围，可得利润函数，结合自变量的取值范围，分段求出最大利润，从而解决问题．

本题以实际问题为载体，考查分段函数，考查实际问题中的最优化问题，考查学生对实际问题分析解答能力，属于中档题．【解析】【答案】C二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

直线y=2x与抛物线y=3-x2

解得交点为（-3；-6）和（1，2）

抛物线y=3-x2与x轴负半轴交点（-0）

设阴影部分面积为s，则

=

=

所以阴影部分的面积为

故答案为：．

【解析】【答案】求阴影部分的面积；先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．

7、略

【分析】【解析】

试题分析：三个平面两两相交；可以有三条交线也可以有一条交线，所以①不正确；垂直于同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以②不正确；③中这两条直线也可以平行，所以③也不正确.

考点：本小题主要考查空间直线；平面之间的位置关系；考查学生的空间想象能力和对定理的理解应用能力.

点评：解决此类问题，关键是紧扣定理，定理中要求的条件缺一不可.【解析】【答案】④8、略

【分析】【解析】解：因为函数f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=-2【解析】【答案】-29、x2+y2﹣2x+2y+1=0【分析】【解答】圆x2+y2+2x﹣2y+1=0的圆心坐标为（﹣1；1），半径为1；

圆x2+y2+2x﹣2y+1=0关于直线x﹣y=0对称的圆的圆心坐标（1；﹣1）；

所以圆x2+y2+2x﹣2y+1=0关于直线x﹣y=0对称的圆的方程为x2+y2﹣2x+2y+1=0．

故答案为：x2+y2﹣2x+2y+1=0．

【分析】求出已知圆的圆心坐标与半径，然后求出对称圆的圆心与半径，即可求出对称圆的方程。10、略

【分析】解：∵2bsin2A=3asinB，∴2b×2sinAcosA=3asinB；

由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB；

∴cosA=．

又c=2b．

∴==

∴a2=2b2．

则=．

故答案为：．

2bsin2A=3asinB，即2b×2sinAcosA=3asinB，由正弦定理可得：4sinBsinAcosA=3sinAsinB，cosA=．又c=2b．再利用余弦定理即可得出．

本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】11、略

【分析】解：∵向量=（1，2），=（x；-4）；

又∵∥

∴1×（-4）-2•x=0

解得x=-2．

故答案为：-2．

由已知向量=（1，2），=（x，-4），∥根据两个向量平行的充要条件，可以构造一个关于x的方程，解方程得到答案．

本题考查的知识点是平面向量与共线向量，其中根据两个向量平行的充要条件，构造关于x的方程，是解答本题的关键．【解析】-212、略

【分析】解：∵各项均为正数的等比数列{an}满足a3、a5、a6成等差数列；

∴2a5=a3+a6，即2=

整理，得q3-2q2+1=0，即（q-1）（q2-q-1）=0；

由q＞0，解得q=1或q=

∴==

∴当q=1时，=1；当q=时，=．

故答案为：1或．

由等比数列的通项公式和等差数列性质，得q=1或q=再由==能求出结果．

本题考查等比数列中两项和的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．【解析】1或13、略

【分析】解：以C

为坐标原点；CA

边所在直线为x

轴，建立直角坐标系；

则A(1,0)B(0,1)

设P(x,y)

则{x鈮�0y鈮�0x+y鈭�1鈮�0

且AN鈫�=(鈭�1,12)MP鈫�=(x鈭�12,y鈭�12)

AN鈫�鈰�MP鈫�=鈭�x+12y+14

令t=鈭�x+12y+14

结合线性规划知识；

则y=2x+2t鈭�12

当直线t=鈭�x+12y+14

经过点A(1,0)

时，AN鈫�鈰�MP鈫�

有最小值；

将(1,0)

代入得t=鈭�34

当直线t=鈭�x+12y+14

经过点B

时，AN鈫�鈰�MP鈫�

有最大值；

将(0,1)

代入得t=34

故答案为[鈭�34,34].

选择合适的原点建立坐标系；分别给出动点(

含参数)

和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解．

本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题．【解析】[鈭�34,34]

三、计算题(共6题，共12分)14、略

【分析】【分析】由于方程x2-2x+m+2=0的有实根，由此利用判别式可以得到m的一个取值范围，然后利用根与系数的关系讨论|x1|+|x2|≤3就又可以得到m的取值范围，最后取它们的公共部分即可求出m的取值范围．【解析】【解答】解：根据题意可得

△=b2-4ac=4-4×1×（m+2）≥0；

解得m≤-1；

而x1+x2=2，x1x2=m+2；

①当m≤-2时，x1、x2异号；

设x1为正，x2为负时，x1x2=m+2≤0；

|x1|+|x2|=x1-x2==≤3；

∴m≥-；而m≤-2；

∴-≤m≤-2；

②当-2＜m≤-1时，x1、x2同号，而x1+x2=2；

∴x1、x2都为正，那么|x1|+|x2|=x1+x2=2＜3；

符合题意；m的取值范围为-2＜m≤-1．

故m的取值范围为：-≤m≤-1．15、略

【分析】【分析】先根据根与系数的关系求出α+β、αβ的值，再根据完全平方公式对α2+αβ+β2变形后，再把α+β、αβ的值代入计算即可．【解析】【解答】解：∵方程2x2-x-4=0的两根为α；β；

∴α+β=-=，αβ==-2；

∴α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=（）2-（-2）=+2=．

故答案是：．16、略

【分析】【分析】先解两个不等式，再求不等式组的解集，从而得出正整数解．【解析】【解答】解：；

解①得；x≤1；

解②得；x＞-2；

不等式组的解集为-2＜x≤1；

∴不等式组的整数解为-1；0，1．

故答案为-1，0，1．17、略

【分析】【分析】由于x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根，根据各能与系数的关系可以得到x1+x2=，而8x1-2x2=7，联立两个等式解方程组即可求出方程的两根，然后利用两根之积即可求解．【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程2x2-3x+m=0的两个实数根；

∴x1+x2=①；

而8x1-2x2=7②；

联立①②解之得：x1=1，x2=；

∴x1•x2==；

∴m=1．

故答案为：1．18、略

【分析】【分析】（1）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（2）方程左边的多项式利用十字相乘法分解因式；然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（3）将常数项移到右边；开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；

（4）利用两数的平方相等，两数相等或互为相反数转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解析】【解答】解：（1）3x2-32x-48=0；

分解因式得：（x-12）（3x+4）=0；

可得x-12=0或3x+4=0；

解得：x1=12，x2=-；

（2）4x2+x-3=0；

分解因式得：（4x-3）（x+1）=0；

可得4x-3=0=或x+1=0；

解得：x1=，x2=-1；

（3）（3x+1）2-4=0；

变形得：（3x+1）2=4；

开方得：3x+1=2或3x+1=-2；

解得：x1=，x2=-1；

（4）9（x-2）2=4（x+1）2；

开方得：3（x-2）=2（x+1）或3（x-2）=-2（x+1）；

解得：x1=8，x2=．19、略

【分析】【分析】（1）要求a+b，可以首先求得（a+b）2的值，利用完全平方公式中（a+b）2与（a-b）2之间的关系；即可求解；

（2）根据===，代入即可求解．【解析】【解答】解：（1）∵b＜a＜0

∴a+b＜0（1分）

又∵（a+b）2=（a-b）2+4ab=13

∴a+b=±

∵b＜a＜0

∴a+b=-

（2）∵a-b=3

∴（a-b）2=a2+b2-2ab=9

∴a2+b2=9+2ab=9+2=11

∴====-×3×11=-33．四、作图题(共1题，共7分)20、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．五、证明题(共2题，共20分)21、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．22、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．六、综合题(共3题，共9分)23、略

【分析】【分析】（1）由AB是直径；AM；BN是切线，得到AM⊥AB，BN⊥AB，根据垂直于同一条直线的两直线平行即可得到结论；

（2）过点D作DF⊥BC于F；则AB∥DF，由（1）AM∥BN，得到四边形ABFD为矩形，于是得到DF=AB=2，BF=AD=x，根据切线长定理得DE=DA=x，CE=CB=y．根据勾股定理即可得到结果；

（3）根据梯形的面积公式即可得到结论．【解析】【解答】（1）证明：∵AB是直径；AM；BN是切线；

∴AM⊥AB；BN⊥AB；

∴AM∥BN；

（2）解：过点D作DF⊥BC于F；则AB∥DF；

由（1）AM∥BN；

∴四边形ABFD为矩形；

∴DF=AB=2；BF=AD=x；

∵DE；DA；CE、CB都是切线；

∴根据切线长定理；得DE=DA=x，CE=CB=y．

在Rt△DFC中；DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x；

∴（x+y）2=22+（y-x）2；

化简，得．

（3）解：由（1）、（2）得，四边形的面积；

即．24、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b