广东省韶关市2025届高三年级上册综合测试（一）数学试题（含答案解析）

广东省韶关市2025届高三上学期综合测试（一）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若复数z满足zi=l+i,则z・N=（）

A.1B.72C.2D.4

2.已知数列｛%｝是等比数列，若则｛凡｝的前6项和为（）

216

人63「31「15-7

A.—B.—C.—D.—■

6432168

3.已知向量〃二（1,0）,。若Q+助与"垂直.则实数丸的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.众数、平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.

根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：t）,得到如图所示的频率分布直方图,

记该组数据的众数为P,中位数为加，平均数为元，则（）

檄率/组距

0.080——1—1

0.060-L

0.040

0.020

0.005

~O!3B,5右月向用水量〃

A.p<xB.p<x<m

C.m<x<pD.p<m<x

x—lax-l,x<l

5.已知函数/（%）=2。在R上是单调函数，则。的取值范围是（）

—6,x>l

A.（-oo,2]B.[1,2]C.（l,+oo）D.[2,+oo）

6.已知函数〃x）=2sin（8+e）（0>O,O<9<3的部分图象如图，4,8是相邻的最低点和

最高点，直线A3的方程为y=2x+g,则函数的解析式为（）

171

B./(x)=2sin—X+—

26

7171兀71

C./(x)=2sin—x+—D./(x)=2sin—x+—

2326

则co茎s（a-声jS）

7.已知tana,tan尸为方程x2+6x-2=0的两个实数根,)

A-4B-1c-ID-i

22

8.椭圆C:1+2=l（a>>>0）的左右焦点分别为耳，工,以耳B为直径的圆与椭圆。没有

ab

22

公共点，则双曲线3-与=1的离心率的取值范围是（)

ab

A.,+ooB.D.

7

二、多选题

9.已知某批产品的质量指标J服从正态分布N（25,〃），且尸《226）=0.2,现从该批产品

中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值J位于区间（24,26）的产品件数，则（）

A.E©=25B.尸（24<J<26）=0.3

C.P（X=0）=0.064D.D（X）=0.24

10.已知圆锥的顶点为尸,AB为底面圆。的直径，/APB=120,PA=2,点C在圆。上，点

G为AC的中点，PG与底面所成的角为60。，则（）

A.该圆锥的侧面积为石兀

B.该圆锥的休积为兀

C.AC=^-

3

试卷第2页，共4页

D.该圆锥内部半径最大的球的表面积为12(7-兀

11.若/'(X)为函数“X)的导函数，对任意的x，yeR，恒有2〃x)〃y)-〃x+y)=/(x-y),

且〃。)/0,则()

A./(0)=1B.+

12025

C.7'(尤)为偶函数D.若/。)=＜，则£/(")=-!

乙n=l

三、填空题

12.已知集合4={-2,0,2,。},8="脏一1归3},4八8=4写出满足条件的整数。的一个

值________.

13.已知log3+210gti2=2,贝!|。=.

14.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式;

若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为：，则小明通

过测试的概率为.

四、解答题

15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,民C的对边，且&cosC+ccosB=2acosA.

⑴求A；

⑵若a=2,求VABC周长的最大值.

16.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PD=①,平

面上位〃平面AB。,E为AD的中点.

(1)求证：平面平面尸CD；

(2)求平面PBE与平面上钻夹角的余弦值.

17.已知抛物线无2=8y的焦点为尸，其准线与丫轴相交于点动点P满足直线尸尸，尸M的

斜率之积为记点尸的轨迹为「

⑴求r的方程；

⑵过点4(0,1)且斜率为上的直线/与X轴相交于点8,与r相交于CD两点，若泥=潴.

求上的值.

18.已知函数/(x)=(x-l)eX-ox2-l,aeR.

⑴当a=0时，求函数“X)的图象在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)设g(x)=liw-eX-x2+x,若/(x)2g(x),求实数。的取值范围.

19.设数列㈤｝的前〃项和为S”,且/+4=2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)在q和%之间插入1个数占1，使％,X”,生成等差数列；在电和火之间插入2个数无2”物，

使外,工21，孙,。3成等差数列；依次类推，在。，和。“+1之间插入〃个数无“1，斗2,一,X”,，使

““，，XfiZ，,>x1m,"〃+i成等差数列.

⑴^Tn=Xn+X2\+X22+L+Xnl+Xn2+L+Xnn，求4；

(ii)对于(i)中的I,是否存在正整数机,〃,P5<P),使得1"=见+<成立？若存在，求

出所有的正整数对(，4〃,p)；若不存在，说明理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案CAADBCCDACBCD

题号11

答案ABD

1.C

【分析】方法1：根据复数除法运算求出Z,然后共轨复数概念结合乘法运算可得；方法2：

利用复数模的性质求出⑸，然后由性质z2=|z|2可得.

【详解】法1：因为力=l+i,所以z=¥=l-i,N=l+i,所以z-Z=(l+D(l—i)=2.

法2：因为力=l+i,所以忸|=|l+i|,即|Z|=J5,Z2=|Z|2=2.

故选：C.

2.A

【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用等比数列前几项和公式计算即得.

333

【详解】设数列｛《,｝的公比为4,依题意，a4=aiq=^q=~,q=^,解得q=:,

2loo2

4(1"63

所以$6=

i-q64

故选：A

3.A

【分析】根据条件，利用向量的坐标运算，得到4+&7=(1+九几)，再利用向量垂直的坐标

表示，即可求解.

【详解】由题意，向量a==。,1),可得占+"=(1+彳,彳),

因为(a+2b)~La,所以(a+X6)・a=l+X+0=0,解得九=—1,

所以当4=-1时，(。+刖与4垂直，

故选：A.

4.D

【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小.

【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数于大于中位数为加，

答案第1页，共16页

由于第一个小矩形面积为4xQ060=0.24<0.50,

前2个小矩形面积之和为4x（0.060+0.080）=0.56>0.50,

所以中位数位于（5,9）之间，故可得0.240+（m-5）x0.080=0.5,解得m=8.25,

由频率分布直方图可知众数P=三=7,

故。<7"<元，

故选：D.

5.B

【分析】由表达式可知当XN1时，〃X）=：-62是单调减函数，故在R上单调递减，则

需要x<l时，f（x）单调递减，且在断开位置处也要满足减函数的定义.

【详解】因为XN1时，〃村=*-62是单调减函数，

X

又因为“X）在R上单调，所以，故X<1时，/（力=/-2依-1单调递诚，

[a>\

则只需满足c、,，解得1VOV2,

[-2。>-4

故选：B.

6.C

【分析】连接AB，与*轴交于点C,得C点坐标，点C也在函数/'（X）的图象上，由直线方

程（斜率）求得B点坐标，可得周期，从而求得。，再利用B点坐标求得。，从而得解析式.

【详解】连接A8,与x轴交于点C,

由图象的对称性，知点C也在函数的图象上，所以点C的坐标为1£,（）]

k=2=2]

设3（演,2）,由12一”，得的4，

33

所以/（x）的最小正周期T满足-=

解得7=4,即2三7r=4,解得0=gTT,

CD2

=2sin生+0），.因为点鸣,21是“X）图象的一个最高点，

所以/[j=2sinGx；+“=2,结合0<0后，

答案第2页，共16页

7T兀兀

解得9=§J(x)=2sin—x+—

23

故选：c.

7.C

【分析】根据韦达定理求出taiuz+tan以tanstan/,利用三角函数和与差的正弦和余弦公式

cos（a-6]

将展开,分子分母同时除以cosscos尸,代入即可得出答案.

（详解】因为tan/tan/7为方程x2+6x-2=0的两根,

tana+tana=-6

由韦达定理，得

tana-tan万=-2

cos(cr-y0)cosa・cos/+sina-sin/1+tantz-tan/?1+(-2)1

ljll|---------=--------------------=------------=-------=—

sin(a+£)sina-cos£+cosc-sin£tana+tanj3-66

故选：C.

8.D

【分析】根据给定条件，可得椭圆短轴的端点在以片工为直径的圆外，由此求得/<2后,

再利用双曲线离心率的意义求出范围.

【详解】以用B为直径的圆的方程为《+丁=片一"，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外,

22

即从>"一廿，解得02<2廿，则双曲线-—二=1的离心率为

ab

，可F后当

由。>b,得6=、兀兀M=血，所以所求离心率的取值范围逅<e（收.

Va2Vo2

故选：D

9.AC

【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.

【详解】由正态分布的概念可知E（J）=25,故A正确；

由正态分布的性质得尸（24<^<26）=1-2P信>26）=0.6,故B错误；

则1件产品的质量指标值4位于区间（24,26）的概率为0=0.6

答案第3页，共16页

所以X〜3（3,0.6）,P（X=0）=0.43=0.064,故C正确;

D（X）=3x0.4x0.6=0.72,故D错误.

故选：AC.

10.BCD

【分析】又圆锥的侧面积、体积公式，及线面角的定义，内切球半径的确定，逐个判断即可.

【详解】由已知，Zr>PO,=60°,PA=2,易得等腰三角形上钻的底边长AB=26，PO=1,

对于A,该圆锥的侧面积为兀x石x2=2百兀，A错误;

P

对于C,如图，取AC中点为G,连接GO,PG,

则/PGO为尸G与底面所成角为60。，故60=，,。4=2尸|=竽，C正确；

对于D,当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，

设为。1，球半径为厂，过。।向尸3作垂线，垂足为。，则QD=r,又/QPO1=60°,

22

所以所以厂+耳厂=1=厂

球的表面积为4兀［百(2—g)『=12(7—46)兀，D正确，

故选：BCD

11.ABD

【分析】对于A,令x=y=0求解即可；对于B,令x=y得/(2x)+〃0)>0即可判断；对

于C,令尤=0得〃-y)=/(y),判断出“X)为偶函数即可做出判断；对于D,通过赋值法，

分别求出/⑴，"2),”3),〃4),〃5),/(6),“7),发现具有周期性，再利用周期性求

解即可.

【详解】原式移项得2，(x)"(y)=〃x+y)+〃x—y),

答案第4页，共16页

即/(x+y)+f(x—y)=2/(x)"(y)

对于A,令x=y=O,贝岫“工+》)+/(%->)=2/(分/(可可得2〃0)=2产(0),

故"0)=0(舍去)或/(。)=1,故A正确：

对于B,令％=儿则/(2力+/(0)=2/2(同，故/(2X)+/(0)N0.

由于xeR,令W，则teR,所以〃r)+〃0)20,即有/出+/(0”0,故B正确：

对于C,令x=0,则〃y)+〃-y)=2/(0).f(y),即y)=/(y),

因为x,yeR,所以〃-x)=/(x),所以为偶函数，

对〃r)=/(x)左右两边同时求导得了'(-力=-/'(力，尤eR,所以/'⑺为奇函数，故C错

误；

对于D,由A选项"0)=1,若

令x=y=l,则〃2)+/(0)=2产⑴，Bp/(2)+l=1,.'.f(2)=-1,

令x=2,y=l,则〃3)+/(1)=2〃2)./(1),即〃3)+：=-：二〃3)=-1,

令x=3,y=l,则/(4)+〃2)=2/⑶./⑴，即“4)-7-1,二八4)=-：，

令x=4,y=l,则〃5)+/(3)=2〃4).〃1),即/⑸一1=->"5)=g,

令x=5,y=l,则〃6)+〃4)=2〃5)./(1),BP/(6)-1=/(6)=1,

令x=6,y=l,则/⑺+"5)=2/⑹即〃7)+g=「J⑺=：,

令x=7,y=l,贝4⑻+"6)=2/⑺./⑴，即“8)+1=：.•"⑻==，

由此可得/(〃),“eN*的值有周期性，且周期为6,

且刖+〃2)+/⑶+/⑷+/(5)+/⑹=0,

2025

故£/(»)=337x[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)]+/(1)+/(2)+/(3)=-1,故D正确.

n=l

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：若/(无)，g(x)的定义域均为R,且g(x)=f(x),则：

(1)若为奇函数，则g(x)为偶函数;若为偶函数，则g(x)为奇函数,反之未

答案第5页，共16页

必成立.

(2)若/(x)为周期函数，则g(x)也是周期函数，且周期相同，反之未必成立.

12.-U,3,4中的任何一个值.

【分析】根据集合的包含关系，结合绝对值不等式的求解，即可求得

【详解】因为AB=A,所以A=又因为8={x||x—1区3}={无24x44},

故整数a所有可能取值为-1,1,3,4.

故答案为：-1,L3,4中的任何一个值.

13.4

【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到(Iog2a)2-41og2a+4=0,解出log2a=2,即

可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.

12

【详解】由Iog4〃+21oga2=2,整理得不1理2。+^—=2,

2log2«

得(Iog2a)2—41og2a+4=0,解得log2〃=2,所以々=2?=4.

[1C

另解：由题知log4“+：j--7=2,则log2〃>0,a>l,

log/

1i?n?-

利用基本不等式可得10g4+^—-=-log247+--=2>2-log2^---=2,

logfl42log2a丫2log24?

L2

当且仅当----时取等号，解得〃=4.

2log2d;

故答案为：4

14.”

21

【分析】根据独立事件的乘法公式和条件概率求解即可.

【详解】设第一次投篮成功为事件以通过测试为事件4

219_421_

贝|JP(A|B)--+-x-P(A|B),P(A|B)--+-x-P(A|月)，

所以P(A|B)=-,P(A|月)=±

77

所以尸(A)=P⑻尸(AlB)+P(B)P(A|豆)=|x：+岩卷,

故答案为：m

jr

15.(1)A=-

答案第6页，共16页

(2)最大值为6

【分析】(1)根据正弦定理，结合两角和的正弦公式，可得sin(B+C)=2sinAcosA,再根据

三角形的内角和公式和诱导公式，可得cosA=1,进而得角A.

(2)法一：利用余弦定理，结合基本不等式可求三角形周长的取值范围.

法二：利用正弦定理，表示出6,c,再利用三角函数的恒等变换，可得三角形的周长为

2+4sin^B+^,再根据角8的取值范围，可求周长的最大值.

法三：数形结合，把问题转化成圆的弦长中，直径最大，再根据直角三角形的边角关系求圆

的直径.

【详解】(1)由。cosC+ccos5=2acosA及正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA所以sin+C)=2sinAcosA

因为B+C=71-A

化简得sinA=2sinAcosA

因为OvAv兀，所以sinAwO,所以cosA=，

2

jr

所以A=g.

(2)法一：由余弦定理/=>2+02-26CCOSA

有4=Z?2+，一人c=S+c)2一3bc

因为历<［一］

所以s+c)2—3bc上s+c)2—3S+c)2=S+c)2

44

即42如生，所以b+c«4,当且仅当b=c=2时等号成立.

4

所以VA3C的周长CABC=a+b+c<6.

即VABC周长的最大值为6.

2_473

法二：由正弦定理三=2R,即F-亍

sinAsin—

VA6C的周长C=a+b+c=2+------sinBd-------sinC

Me33

答案第7页，共16页

2兀

因为A+8+C=7t,所以C=——B

3

=2+述sinB+迪sin

所以CMBC

33

=2+迪(sinB+sin—2兀cosB-cos—2兀sinB

333

=2+4sin3+巳

因为0<B<胃，所以当B=T时C.c取得最大值为6

°J

法三：（几何法）：如图1所示，延长54到点P,使得AP=AC

使得AB+AC=AB+AP=3P,

要使VA3C的周长最大，则需满足长度最大

将问题转化为已知一边。=2,一对角NP=30,求另一边3尸的长度的最大值

由图2可得.当3P为该圆直径时，BP最大.

a

即13口四

sinPsin30

所以CABC=BC+BPV2+4=6

(2)半

【分析】（1）方法一，证明AB_L平面尸得到QP_LAB,进而证明£>P_L面上4B,得证;

方法二，根据二面角平面角定义判断4>上4是平面PR和平面尸CD所成二面角的平面角,

由勾股定理可得ZDPA=90，得证;方法三，建立空间直角坐标系，求出平面PCD和平面PAB

的法向量判断.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面尸3E的一个法向量，利用向量法求解.

答案第8页，共16页

【详解】(1)方法一；由尸4=尸。=JI,CD=2,有P川+尸》二。^,

:.DP±AP,因为ABCD为正方形，故AB_LX£),

又平面尸AD_L平面ABCD交于AD,ABu平面ABCD,

所以，平面PEA,

P

又DPu平面PZM,所以DP_LAB,

又A3cZM=A,A3u平面PAB,1)Au平面PAB,

故DP_L平面RIB,又。尸u平面PCD,

所以平面PAB_L平面PCD.

方法二；因为ABCD为正方形，故CDLD4,

而平面EID_L平面ABC£)交于AD,CDu平面ABCD,

所以平面皿1,又P4u平面PAC,

所以CDJ.PACDJ.PD,

平面R4B和平面PCD交线平行于CD.

故NDPA是平面上45和平面PCD所成二面角的平面角.

PA=PD=0,CD=2.有PA2+PD2=DA2,DPA=90,

故平面B4B_L平面PCD.

方法三：取BC中点为G,先证明：PELDA,PELEG,DALEG,

/%=P£>,点E为AD的中点..,.PEJLAD,

而平面上M>_L平面ABC。交于A。,PEu平面上M),

所以，尸E_L平面ABC。，又EGu平面ABCD,

所以，PELEG,

由已知/MLEG,建立如图空间直角坐标系，

答案第9页，共16页

Z/

因为PA=尸£>=JI,CO=2.

故C（2,l,0）,D（0,l,0）,P（0,0,l）,A（0,T,0）,

CD=（-2,0,0）,D尸=（0,-1,1）,R4=（-2,0,0）,AP=（0,1,1）,

设平面PCD的一个法向量为4=(m,n,k),

n,■CD=0_2/72=Q

则,即，取〃=1,左=1,得4=（0,1,1）,

々•DP=0—ZZ।/C—U

设平面PR的一个法向量为%=（u,v,t）,

%-BA=0fw=0,、

则.，即八，取V=l,4=-1,得为=0,LT），

7

n2AP=Q[v+f=0'

=（0,1,1）•（0,1,—1）=0—1+1=0,故4J_o,,

所以，平面PAB_L平面PCD.

（2）取BC中点为G.由（1）知，PE±DA,PE±EG,DALEG,

建立如图所示空间直角坐标系，则。（0,1,0）,P（0,0,1）,3（2,-l,0）,E（0,0,0）,G（2,0,0）,

所以G3=（O,—l,O）,BP=（-2,U）,EB=（2,-l,0）,EP=（0,0,l）,

显然可知平面R4B的法向量为丽=(0,1,-1)，

设平面P8E的一个法向量为m=(a,6,c),

答案第10页，共16页

m-EB=O\2a-b=0,/、

则《，<八，取。=2,Q=1,得加=（1,2,。），

jn・EP=。[c=0

则8sM时=『=（120）.（0』,-1）———巫

人」、/\m\\PD\|1,2,0||0,1,-1|75x725

所以平面PBE和平面环?所成锐二面角的余弦值为巫

5

22

*•呜+g=1（无工。）

（2）k=+—

2

【分析】（1）根据题意即-;，根据斜率公式代入上式，进行化简即可得曲线方程;

（2）方法一、二，设出直线/的方程为＞=履+1小片0）,与曲线r方程联立，由韦达定理可

得玉+%，结合向量关系求解；方法三，由题，A3的中点即CO的中点，由点差法可得弦

中点坐标与弦所在直线的斜率的关系，列式运算得解.

【详解】⑴设点尸（x,y）,x¥0,由题意知网0,2）,M（0,-2）.

y+2

直线PF,PM的斜率分别k=—,k

PFXPMx

所以2my+2_1

Xx2

22

化简得±+匕=1

84

点P的轨迹方程为

（2）方法一，设孙为），

由题意知直线/的方程为,=履+1（左NO）,所以

联立方程组84-,消去y整理得（1+2公卜2+4去一6=0,

y=kx+1

4k6

l+2k2，%1%2~~\+2k2△=24+64左2>0,

由BC=ZM得，

1Ak1

故有为+“下即一K

解得

答案第11页，共16页

方法二：设。(西,弘),。(々,％),由题意知直线/的方程为＞="+1亿HO),所以«-：可,

联立方程组，84一，消去x整理得(1+2/)，2一2»+1-8〃=0.

y=kx+1

21—8左2

,A=24公+64/>0,

：.%1+.丫22=-1-+---2--7/，”/必=-]-+-2-%-27

UUULUUU

由5C=ZM得,

2

故有3+%=1，即=1,

l+lk1

解得.字

方法三：设由题意知直线/的方程为产区+1(1)，所以彳［，。］

所以线段AS的中点为“卜］,与，

因为4(0,1),

\2k2)

.「+无21■+%1UUlUUUIU

又因为3c=£)4，所以点M也是CD的中点,

22k'2

江+日=1①

84

联立方程组

豆+贵=1②

184

①-②得x；_x；+炉一式=0,即(百一%)(%+%)

842

G+x?)।X-%

所以

2玉一%2

又因为左1sA

，所以-+左义1=0,

2k

解得』与

18.(l)y=ex-e-l

(2)答案见解析

⑶(Fl]

答案第12页，共16页

【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；

（2）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可求解；

（3）由参变分离得，。4—一成:1+-恒成立,设

X

g）=Xe'*l+x2,x＞0,贝|].4〃（初2利用导数求出〃⑴.即可.

【详解】（1）f（x）=（x-l）er-or2-l,

当〃=0时，/（x）=（x-l）ex-1J'（x）=XQX,

当x=l时，/（l）=-l，r（l）=e,

函数〃%）在x=l处的切线方程为》=叱-e-1.

（2）函数/（%）的定义域为R,广⑺=xex-2ax=x^x-2a）,

①当aWO时，/一2。＞0恒成立，令广（x）=O,则％=0,

若/'（%）＞。,无＞。：若[（%）＜0,无＜。，

所以“X）在（-8，。）单调递减，在（。，+。）单调递增；

②当a＞0时，/'（%）=x（e*-2。）=%长"一冽2。））,

令f（x）=0,则x=0,x=In（2。）,

（i）当ln（2o）＜0,即0＜a＜g时，

若f（x）＞0,x＜In（2a）x＞0：若八x）v0』n（2a）vxv。，

所以〃%）在（-s/n（2a））上递增，在（ln（2a）,0）上递减，在（0,+。）上递增.

（ii）当ln（2a）=0,即〃=;时，/'（九）之0恒成立，在R上递增.

（iii）当ln（2a）＞0,即时，若/或%＞ln（2a）：

若「⑺v0,0vxvln（2a）,

所以〃元）在（3,。）上递增，在（0」n（2a））上递减，在（in（2a）,+8）上递增，

综上所述，当aWO时，〃x）在（-0。）单调递减，在（。,+⑹单调递增；

答案第13页，共16页

当0<a<；时，/⑺在（3,ln（2a））上递增，在（ln（2a）,0）上递减，在（0,+句上递增；

当时，"X）在R上递增；

当时，〃尤）在（-«,。）上递增，在（0,In（2a））上递减，在但（2可,+8）上递增.

（3）由得xe*-Inx-x+f一12以2恒成立

因为x>0,即/4尤/一Inr-1+/恒成立.

设〃（力=士蛆3七旦,x>0,则aW〃（xUn,

因为xe，=e