广西河池市校联体2024-2025学年高二年级上册联考（12月） 数学试题（含解析）

广西河池市校联体2024-2025学年高二上学期联考（12月

）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知抛物线。:必=4x的焦点为尸，抛物线上的点M（2,2板）到焦点厂的距离为

（）

A.1B.2C.3D.4

2.已知直线4：x-y-l=0，：x-y+l=0,贝I"与人的距离为（）

A.1B.2C.y]2D.2>/2

3.若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点（0,2）,c=3,则该椭圆的标准方程为（

）

x2y2.x2j^2x2x2y2

9413449413

4.已知两个向量2=（1,-1,2）,B=（2,x,y）,且Z//B，则％+歹的值为（）

A.2B.4C.6D.8

5.已知直线％-即+2=0平分圆。：炉+3_1）2=i的周长，则。=（）

A.2B.4C.6D.8

22

6.已知抛物线产=6的准线经过双曲线,珠=1（6/0）的一个焦点，则该双曲线

的渐近线方程为（）

I八

A.y=±-xB.y=±2xC.y=±—%D.y=±V3x

23

7.在直四棱柱中，底面/BCD为等腰梯形，

AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=AlA=4,£为棱441的中点，则8月到平面ED耳的

n3厢

\J.-----------

10101010

22

8.已知双曲线C:土-匕=1的左、右焦点分别为不、月，A5是双曲线上关于原

97

点对称的两点，并且|/同=2°,则V/8片的面积等于（）

A.6B.7C.8D.9

二、多选题（本大题共1小题）

9.已知直线4：x+ay+l=o,l2:（a-l）x+_v+fl=0,则下列说法正确的是（）

A.当。=1时，直线4的倾斜角为135。B.当时，a=；

c.若〃〃2，则。=-1D.直线4始终过定点（-1,0）

三、单选题（本大题共1小题）

10.如图，正方体/BCD-4452的棱长为1，M是4G上的中点，以下说法正确

的是（）

A.4c的面积是定值力B.与痂同向的单位向量是

2

（46"逅）

「豆干三1

C.9与前夹角的余弦值为逅

D.平面/吕。的一个法向量是（1,L-D

6

四、多选题（本大题共1小题）

11.己知椭圆C:f1,耳，鸟上分别为它的左右焦点，点/,6分别为它的左

右顶点，已知定点N（4,4）,点〃是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）

A.存在4个点〃，使得居=90°B.直线M4与直线MB斜率乘积为定值

_25

~~9

C.西1+西1有最小值三18D.IMVI+I孙I|的I取值范围为[4技L14]

五、填空题（本大题共3小题）

12.已知直线，过点（1,2）,倾斜角为45。，则直线，的纵截距为

13.已知圆x2+y2-2x+6y=/-10（r>0）与直线x-y+l=O相切，则厂=

22

14.双曲线c：土-2L=i的离心率为_______.

m3m

六、解答题(本大题共5小题)

15.已知V/8C的顶点分别为A(2,2),8(4,-2),C(-6,2).

(1)求3C边的中线所在直线的方程；

(2)求8C边的垂直平分线所在直线的方程.

22

16.已知椭圆C：三+A=l(a>6>0),〃为椭圆上一点，片，耳分别为它的左右焦

点，〃到不，月距离之和为4,离心率e=".

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线Ay=x-l与椭圆交于46两点，求|力团的长以及三角形力四面积.

17.如图，在四棱锥尸-/BCD中，侧棱尸4,底面/BCD,ABX.BC,且P/=2,

AB=BC=也,AD=CD=45,E为尸C中点.

R

⑴求点C到平面£4。的距离；

(2)求平面P8C与平面E4D夹角的正弦值.

22

18.己知圆G：x~+y+2x—Ay+1=0,圆C2:x+y~—4x—5=0.

(1)证明两圆相交，并求两圆公共弦长；

(2)已知过点(0,1)的直线，与圆G交于46两点，且求直线，的斜率.

19.设抛物线C:/=2px(p>0)的焦点为尸，已知点尸到圆氏(x+曰+V=1上一点

的距离的最大值为2.

(1)求抛物线C的方程；

22

(2)已知耳凡是双曲线上-匕=1左右焦点，过右焦点月的直线/与C交于M,N两点

22一

.证明：纳区=坦臣.

参考答案

1.【答案】C

【详解】解：由焦半径公式得：|MW=x°+5=2+l=3.

故选：C.

2.【答案】C

-1-1厂

【详解】由题意得，4与4的距离d=%4=后,

VI2+12

故选：C

3.【答案】B

【详解】椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点（0,2）,所以6=2,

又c=3,贝ij/=/+。2=4+9=13,

22

所以椭圆方程为二+匕=1,

134

故选：B.

4.【答案】A

【详解】因为£//5，所以:=5=9，解得无=-2/=4,

所以x+y=2.

故选：A.

5.【答案】A

【详解】由/+3-1）2=1,可得圆心为（0,1）,

因为直线》-以+2=0平分圆/+（”1）2=1的周长，

所以直线过圆的圆心，则0-。+2=0,解得。=2.

故选：A

6.【答案】D

【详解】已知抛物线/=16x的准线为x=-4,

22

所以双曲线,-a=1（6/°）的一个焦点为（一4°），

所以4+6?=4"解得/=12,

22

所以双曲线,-3=1的渐近线方程为＞=±屈.

故选：D.

7.【答案】B

【详解】底面移制为等腰梯形，AB//CD,AD=DC=BC=2,AB=4,

如图，在底面/员初中，过点2作。48,垂足为〃，

以2为坐标原点，分别以而，反,两所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标

系D-xyz.

则。(0,0,0),5(6,3,0)中(右,3,4),颐白,-1,2),

可得函=(6,3,4),反=(6,-1,2),丽=(0,0,4),

n-DBX=A/3X+3y+4z=0

设平面ED目的法向量为方=(x,y,z),贝°

n-DE=Gx-y+2z=0

令y=C,贝！Jz=-2/x=5,

可得平面EDBX的一个法向量为力=(5,6,-2⑹,

设BB,到平面£处的夹角为，©[(J,

可得3。=加―而夕=场,所以3月到平面EDq的夹角余弦值为我.

1010

故选：B.

8.【答案】B

【详解】由双曲线的对称性以及A,8是双曲线上关于原点对称的两点可知，A,

B,。三点共线，

连接""AF2,BF、,BF2,|/@=2C=|片闾，则四边形";8月为矩形，

所以瓦"忸胤=|/闾，

22

由双曲线。：土-匕=1可得。=3,

97

则c=y/a2+b2=J9+7=4，

所以|郎=闺阊=2c=8,所以|必「+忸周2=।阴2=,

又设国-忸/=||/用-|盟|=2a=6,

所以|盟「+|明「-2|4酬明|=36,解得|期||母;|=14,

所以凡郎/媪忸用=7.

故选：B.

9.【答案】ABD

【详解】对于A,当。=1时，直线/］：x+y+l=O,斜率左=一1,则倾斜角为135。，故

A正确；

对于B,4,右等价于。-1+。=。，解得。=g，故B正确；

对于C,若〃4,贝壮(。一1)一1=。且。N。一1,故“=上好，故C错误；

2

对于D,/|：x+即+1=0,当y=0时x=-l,所以直线4恒过(-1,0),故D正确.

故选：ABD.

10.【答案】C

【详解】对A：••・M在4G上且4GP/C,

到的距离等于4G到nc的距离，则为定值1,

.•.S,=-X1XV2=—,故A选项错误；

1V/MW/4IUC22

对B：因为建立不同的空间直角坐标系，与商同向的单位向量的表示方法会不同

,所以B选项错误；

同理，D选项也不对.

如图所示建系，A1,0,0),B(l,1,0),,0(0,0,0),(1,1,1),MQ1,11

C,

---------ri

D：..........L-JCfe

4111_______K

■工B

对c：方=(0,1,0),加=&q,i],

7~7377T7\_AB-DM_2_&

cos(A.B.——►----►—.——一,故C选项正确;

\AB\\DM\lx/16

故选：c

11.【答案】AD

22

【详解】对于A中，由椭圆C：二+2=1,可得。=5/=3,c=4,

259

由6<c<。，以。为圆心，6月为直径的圆，与椭圆。有4个交点,

所以存在4个点〃，使得/£峥=90。，A选项正确;

2225

对于B中，设物x,y),则工+匕=1,且4-5,0),3(5,0),可得f-25=-工/,

2599

119

kk_yy_y_y_

则也•切B-3•三一4石--五为定值，所以B选项错误.

—y

9

对于C中，由椭圆的定义，可得I孙|+现名|=10,

则占+占（叼+肛）=12+修+叫

VI111217

\MF}\\MF2\|A^|J101\MF\

\MFA\MFSIIII

当且仅当扁=今昌时，即|姐|=|孙1=5时等号成立，所以C选项错误.

?11|"户2|

对于D中，由点儿在椭圆外，设直线屿,入百与椭圆相交于乂,乂，

如图所示，则（|跖V|+|M%=|N闿+|N]N|=|g|="（4+4）2+42=4后,

因为|N同=4,且|MV|+|町|=2。+|〃乂|一悭段=10+|〃乂|-四局,

可知即|出|-|5|<4,当〃与外重合时，等号成立,

所以（|MV|+|M|L=10+同时一回闻=10+|"|=14,

所以|ACV|+|孙|e[46,14],所以D选项正确.

故选：AD.

12.【答案】1

【详解】由题意知，斜率为tan45°=l,则直线方程为尸2=x-l,令即x=O,〉=l,

直线1的纵截距为1.

故答案为：1.

13.【答案】巫

2

【详解】由已知圆的标准方程为(x-l)2+5+3)2=/&>0),

所以圆心为(1,-3),半径为「，

|1-(-3)+1|5V2

依题意，厂

5V2

故答案为:

2

14.【答案】2或38

3

=加力2=3优，所以0=止于=2.

【详解】当加>0,a2

y/m

y/-m-3m2A/3

当加<0,/=-3m,b1=

3

故答案为：2或空.

3

15.【答案】(l)2x-3y+2=0

(2)5x-2y+5=0.

【详解】(1)设8C中点的坐标为。(%,%),贝|%="=一1,%=二一=0,所

以。(-1,0),

3C边的中线/。过点42,2),D(-l,0)两点,

,2-02

所以《二E

3

7

所以4。所在直线方程为V-0=§(x+l),

即2x-3y+2=0；

(2)因为BC的斜率左=--=——=——f

-6-4105

所以5C的垂直平分线的斜率左=：,

所以5C的垂直平分线所在直线的方程为歹-0=g(x+l),

即5x-2y+5=0.

丫2

16.【答案】⑴土+歹2=1；

4

⑵字+

【详解】(1)依题意，2a=4,则。=2,由离心率6=",得e

2a2

得6=1,

所以椭圆C的方程为主+/=1.

4-

y=x-l

o

⑵由，X22消去V得5X2-8X=0,解得天=0,超=9,

——+y-=15

14'

7

则弦长|481=71+1-|XI-X2|=容；

|0-0-1|

原点。到直线，：V=xT距离为：d=

#+（-1）22

所以三角形4。6面积：S=-\AB[d=-x^x^=-

2112525

4

17.【答案】⑴§

⑵叵

9

【详解】(1)设AC与BD交点、为O,连接。E,贝IJOE〃0/,所以平面43CQ

所以OC,OD,OE三条直线两两互相垂直，

以OC,OD,OE所在的直线分别为1,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

Oxyz,

由题意知OA=1,OD=2,

则/(—1,0,0),5(0,-1,0),C(l,0,0),Z)(o,2,0),尸(一1,0,2),£(0,0,1),

通=(1,2,0),通=0,0,1),

设平面反4〃的法向量为元=(xij”zj,

[h万-A.D通=二2++2Kz='。0’可取M/IT、，

AC-n44

又就二(2,0,0),则点。到平面瓦!〃的距离：d=

\n\J4+1+43，

(2)PD=(1,2,-2),石=(1,2,0),PS=(1,-1,-2),5C=(1,1,0),

设平面加，的法向量为应=(工2，%/2),

,►

m•PB=x7-y7-2Z9=0(、

则-222,可取加=(1,-M),

m・BC=/+%=0

———玩•五—1_V3

所以COS加,〃=I_||=~f=一7==-，

网,同<3xV99

所以平面用C与平面以2夹角的余弦值为如，

9

所以平面用C与平面£42夹角的正弦值为叵.

9

18.【答案】(1)证明见解析，呸叵

13

⑵1-拒或i+VL

【详解】(1)如图：

圆。1化成标准方程为(彳+1)2+(了-2)2=4,圆心G(-l,2),半径4=2,

圆G化成标准方程为(X-2『+/=9,圆心G(2,0),半径々=3,

由比一马|=I<IGGI=/4=JE<苒+^=5,所以两圆相交，

两圆方程作差得(x?+/+2x-4y+1)-(厂+/一4x-5)=6x-4y+6=0.

即公共弦所在直线的方程为3x-2y+3=0.

|3x(-l)-2x2+3|4A/B

圆£的圆心到公共弦所在直线的距