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文档简介

1.1集合的概念

思维导图

定义

集合的概念,列举法

表示法。/

------1描述法

元素与集合的关系-----

------------------不属于

自然数集

正整数集

常用数集d整数集

有理数集

1实数集

新课标要求

1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系。

2.针对具体问题,能够在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合。

知识梳理

一、元素与集合的概念

1.元素:一般地,把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.

2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合,常用大写拉丁字母A,B,C...表示.

3.集合相等:指构成两个集合的元素是一样的.

4.集合中元素的特性:给定的集合,它的元素必须是确定的、互不相同的,无序的.

二、元素与集合的关系

1.属于:如果a是集合A的元素,就说a属于集合A,记作aeA.

2.不属于:如果a不是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作aeA.

三、常见的数集及符号表示

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

四、集合的表示法

1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.

2.描述法:一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组

成的集合表示为{xeP(x)},这种表示集合的方法称为描述法.

名师导学

知识点1集合的概念

「氧於二鼠曷募④云葡跖瓶A菽三襦兼一.

|(1)确定性:负责判断这组元素是否能构成集合.

|(2)互异性:负责判断构成集合的元素的个数.

1(3)无序性:表示只要一个集合的元素确定,则这个集合也随之确定,与元素之间的排列顺

I序无关.

[而71,茄石氏前法筱翦甄高二跻旅弟不前客焉!而以国凝各的17”下

A.与1非常接近的全体实数

B.北大附中云南实验学校2020-2021学年度第二学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.高一年级很有才华的老师

【答案】B

【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性,但ACD中的元素不确定,故不能构成集合,

ACD错误;

B中的元素满足集合中元素的特点,可以构成集合,B正确.

故选:B.

【变式训练1-1】(2021•广东•广州外国语学校高一阶段练习)下列说法中正确的是()

A.与定点48等距离的点不能构成集合

B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5

C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是二ABC的三边长,贝kA5c不可能是等

边三角形

D.高中学生中的游泳能手能构成集合

【答案】C

【解析】解:对于A:与定点A,8等距离的点在线段AB的中垂线上,故可以组成集合,

即A错误;

对于B:由集合元素的互异性可知,由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4,故B

错误;

对于C:因为集合的元素具有互异性,所以a,b,c互不相等,故,ABC不可能是等边三角

形,即C正确;

对于D:游泳能手模棱两可,不具有确定性,故D错误;

故选:C

【变式训练1-2](2021•福建•厦门市国祺中学高一期中)下列能构成集合的是()

A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生D.数学必修第一册课本中所有的难题

【答案】C

【解析】构成集合的元素具有确定性,

选项ABD中没有明确标准,不符合集合定义,选项C正确.

故选:C.

【变式训练1-3】(多选)(2021•广东•揭阳华侨高中高一阶段练习)给出下列说法,其中正

确的有()

A.中国的所有直辖市可以构成一个集合;

B.高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合;

C.正偶数的全体可以构成一个集合;

D.大于20n且小于2016的所有整数不能构成集合.

【答案】AC

【解析】中国的所有直辖市可以构成一个集合,A正确;

高一(1)班较胖的同学不具有确定性,不能构成集合,B错误;

正偶数的全体可以构成一个集合,C正确;

大于2011且小于2016的所有整数能构成集合,D错误.

故选:AC.

知识点2元素与集合的关系

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法:集合中的元素是直接给出的.

(2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的

特征即可.

【例2-1】(2021•浙江•金华市曙光学校高一阶段练习)给出下列关系:①;GR;②6GQ;

③一3题;④-否WN,其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】;是实数,①正确;石是无理数,②错误;一3是整数,③错误;一石是无理数,

④正确.

所以正确的个数为2.

故选:B.

【例2-2】(2021•广东•揭阳华侨高中高一阶段练习)下列元素与集合的关系判断正确的是

()

A.OENB.兀GQC.&WQD.-1?Z

【答案】A

【解析】0是自然数,石血是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可

知,只有A正确;

故选:A

【变式训练2-1】(2022•北京大兴•高一期末)已知集合4={刈尤=2上"eZ},则()

A.-IGAB.I"C.-^2eAD.2eA

【答案】D

【解析】由集合A={x|x=2泊LeZ},即集合A是所有的偶数构成的集合.

所以TeA,"A,-5/2gA,2eA

故选:D

【变式训练2-2】(2022•全国•高一课时练习)用“e”或“0”填空.

1N;-3Z;V2Q;下R.

【答案】任w任e

知识点3集合的表示法(重点)

II

|(1)求出集合的元素.

(2)把元素——列举出来,且相同元素只能列举一次.

j(3)用花括号括起来.

卜注意:二元方程组的解集,函数图象上的点构成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的;

|形式,元素与元素之间用“,”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.

2利用描述法表示集合的关注点

|(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{xGR|x<l}不能写成{x<l}.

12)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{xdZ|x=2左},左GZ,这种表达方式就不符合,

|要求,需将AGZ也写进花括号内,即{xGZ|x=2瓦kU].

(3)不能出现未被说明的字母.

*4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程;

船一2工+1=0的实数解集可表示为{xdR*—2x+l=0},也可写成{4?-2犬+1=0}.

【例3-1】(2021•全国•高一课前预习)用列举法表示下列集合:

(1)不大于10的非负偶数组成的集合;

(2)方程/=2尤的所有实数解组成的集合;

(3)直线y=2x+l与y轴的交点所组成的集合;

(4)由所有正整数构成的集合.

【解】(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于。的意思,所以不大于10

的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10).

(2)方程无2=2尤的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.

(3)将尤=0代入y=2x+l,得y=l,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(。,1)}.

(4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,

【例3-2】(2021•全国•高一课时练习)用描述法表示下列集合.

(1)小于5的正有理数组成的集合:;

(2)平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合:;

(3)偶数集:;

(4)抛物线>=/一3x+2上的所有点组成的集合:.

[答案】{xeQ|0<x<5}{(x,y)|y=x}{x|x=2",〃eZ}=/-3元+2}

【解析】(1)由描述可得:集合为{xeQ[O<x<5}.

(2)第一、三象限角平分线上的所有点都在y=x上,故集合为{(x,y)|y=x}.

(3)由偶数可表示为x=2",”eZ,故集合为{x|尤=2〃,“eZ}.

(4)由描述知:集合为{(羽丫)2=/-3元+2}.

故答案为:{尤eQ[0<x<5},{(X,y)|y=x},{x|x=2〃,〃eZ},{(x,y)“=_?-3x+2}.

【变式训练3-1】(2021•贵州•六盘水红桥学校高一期中)集合{尤eZ|0<x<5}用列举法表示

正确的是()

A.{1,2,3,4}B.{0,123,4}

C.{0,123,4,5}D.{123,4,5}

【答案】A

【解析】”2且0<》<5,小所有可能的取值为1,2,3,4,.-.{xeZ|0<x<5}={l,2,3,4).

故选:A.

【变式训练3-2】(2021•湖北•武汉市钢城第四中学高一阶段练习)表示方程/+*-6=0的

根的集合,用列举法可以表示为,用描述法可表示为.

【答案】{2,-3}(X|X2+X-6=0}(答案不唯一)

【解析】由%2+%_6=0,得(兀一2)(%+3)=0,解得%=2,或%=—3,

所以方程根的集合用列举法可以表示为{2,-3},

用描述法可表示为{小2+x-6=。}(答案不唯一)

故答案为:{2,-3},{X\X2+X-6=0\(答案不唯一)

【变式训练3-3】(2021•江苏•高一课时练习)若用描述法表示所有负偶数构成的集合则

M=.

【答案】{x|x=-2",〃eN*}

【解析】所有负偶数构成的集合M

则Af={x|x=-In,neN*\,

故答案为:{x|x=-2〃,〃eN*}.

【变式训练3-4】(2021•全国•高一课时练习)用列举法表示下列集合:

(1)^x\^—eZ,xeZ^;

(2){(x,y)|y=3x,xGN且lWx<5}.

【解】(1)因为白eZ,无eZ,所以|2-目是6的因数,

贝!]12—H=1,2,3,6,即x=l,3,4,0,—1,5,—4,8.

所以原集合可用列举法表示为{—4,-1,0,1,3,4,5,8);

⑵因为xGN且1方<5,所以无=1,2,3,4,

其对应的y的值分别为3,6,9,12.

所以原集合可用列举法表示为{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)).

【变式训练3-5】(2021•全国•高一课时练习)选择适当的方法表示下列集合:

(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A;

⑵所有正奇数组成的集合B;

(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C;

⑷直角坐标平面上,抛物线y=/上的点组成的集合D

【解析】⑴不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17,用列举法表示:

A={2,3,5,7,11,13,17};

(2)所有正奇数有无数个,用描述法表示:3={x|x=2左+l#eN};

(3)绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示:C={-3,-2,-1,0,1,2,3};

(4)直角坐标平面上,抛物线y=f上的点,用描述法表示:D={(x,^)|y=x2}.

知识点4集合性质的应用(难点、易错点)

斤而将,券'盔'获祺一墓冥屉菽薮硫薮注"善,家’

;(i)策略:根据集合中元素的确定性,可以解出参数的所有可能值,再根据集合中元素的互

!异性对求得的参数值进行检验.

|(2)注意点:利用集合中元素的互异性解题时,要注意分类讨论思想的应用.

【例4-1](2021•山东聊城一中高一期中)若。<1,3,后},则a的可能取值有()

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【解析】a=0,则ae{l,3,0},符合题设;

。=1时,显然不满足集合中元素的互异性,不合题设;

"=3时,则ae{l,3,9},符合题设;

〃=0或〃=3均可以.

故选:C

【例4-2](2021•江苏•高一课时练习)若xeR,贝可3,x,£-2.x)中的元素x应满足什么条件?

【解】根据集合中元素的互异性可得:

"3

<2

X-2x^3f解得xw3且无w—1且xwO,

X2-2x^x

所以工应满足且Xw—l且%wO.

【变式训练4-1】(2021•福建福州•高一期中)若“+2e{l,3,a",则a的值为()

A.-1或1或2B.-1或1C.-1或2D.2

【答案】D

【解析】因为a+2e{l,3,/},

所以a+2=l或3或

当。+2=1时,即。=-1,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性,舍去;

当a+2=3时,即。=1,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性,舍去;

当a+2=/时,解得a=2或。=-1(舍去),此时集合中元素为1,3,4,符合题意.

故选:D

【变式训练4-2】(2021•江苏扬州•高一期中)已知集合4={。,1,片-5°+6},若2eA,则实

数”的值构成的集合为.

【答案】{2,4}

【解析】因为集合4={。,1,/一5〃+6},且2eA

所以2=。或2="-5a+6

(1)当。=2时,此时储-5a+6=0,A={2,L。}符合题意.

(2)当2=4。-5。+6时,解得。=1或。=4

当。=1时,与集合元素的互相性矛盾,舍去;

当°=4时,A={2,1,4}符合题意.

综上可知实数”的值构成的集合为{2,4}

故答案为:{2,4}

【变式训练4-3】(2021•重庆•万州纯阳中学校高一阶段练习)已知集合4={2,/+1,片_@,

B=1O,7,<22-tz-51,且5eA,求集合3.

【解】根据题意,当片+1=5时,。=±2.若。=2,则片_°=2,根据互异性可知,a=2不

满足题意;若a=-2,贝储-°=6,此时A={2,5,6},B={0,7,l}.

而当“2-a=5时,集合3中/-a-5=O,根据互异性可知,不满足题意.

综上,8={0,7,1}.

名师导练

A组-[应知应会]

1.(2021•湖南•怀化五中高一期中)下面给出的四类对象中,构成集合的是()

A.某班视力较好的同学B.长寿的人

C.n的近似值D.倒数等于它本身的数

【答案】D

【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义,故不能构成集合;

对于B,长寿也不是一个明确的定义,故不能构成集合;

对于C,万的近似值没有明确近似到小数点后面几位,

不是明确的定义,故不能构成集合;

对于D,倒数等于自身的数很明确,只有1和-1,故可以构成集合;

故选:D.

2.(2021•湖南•衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习)下列关系中正确的个数是()

①geZ,②友eR,③OeN*,④乃

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①geZ错误②0eR正确③OeN*错误④万任。正确

故选:B

3.(2021•湖北•车城高中高一阶段练习)由3-2%1可组成含3个元素的集合,则实数

”的取值可以是()

A.1B.-IC.0D.-3

【答案】C

a?w3-2a

【解析】由元素的互异性可得,解得awl且aw-3且aw-1.

3—2aw1

故选:C.

4.(2021•辽宁•大连八中高一阶段练习)集合A=卜eN|y=号,yeN,的元素个数为()

A.4B.5C.10D.12

【答案】A

【解析】由题意,集合A=[xeN|y=3,yeN:中的元素满足

x是自然数,且y是自然数,

由此可得x=0,1,3,9;

此时y的值分别为:4,3,2,1,

符合条件的x共有4个,

故选:A.

5.(2021•全国•高一课时练习)集合{xeN|x-4<l}用列举法表示为()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,123,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】Vx-4<1,

x<5.

又,

・・・{%£N卜-4v1}={0,1,2,3,4}.

故选:A

12x+y=0

6.(多选)(2021•全国•高一课时练习)下列正确表示方程组°八的解集的是()

[x—y+3=0

[x--11

A.(-1,2)B.(x,y)[=2C-{T,2}D.{(-1,2))

【答案】BD

2x+y=0

【解析】由,解得

x-y+3=0

x=—1

所以该方程组的解集为(X,y)1=2或{(—L2)}.

故选BD.

7.(2021•全国•高一课时练习)以下各组对象不能组成集合的是(用题号填空).

①中国古代四大发明②地球上的小河流

③方程V-l=0的实数解④周长为10cm的三角形

⑤接近于。的数

【答案】②⑤

【解析】①中国古代四大发明是造纸术,指南针,火药和印刷术,是确定的,能构成集合;

②地球上的小河流,不确定,不能构成集合;

③方程/-1=0的实数解是1或-1,是确定的,能构成集合;

④周长为10cm的三角形,是确定的,能构成集合;

⑤接近于0的数,不确定,不能构成集合.

故答案为:②⑤

8.(2022•湖南•高一课时练习)用符号“e”和“走”填空:

(1)1N;(2)1Z;(3)-2R;

⑷"Q+;(5)32N;(6)00.

【答案】任任e任w任

【解析】由N,Z一R,Q+,0所表示的集合,由元素与集合的关系可判断

(1)任(2)任(3)£(4)金(5)e(6)金.

故答案为:(1)金(2)电(3)£(4)任(5)£(6)任.

9.(2022•广东揭阳•高一期末)若3w{l,2“},则实数".

【答案】|3

【解析】因为3e{l,2a},

所以2a=3,解得

2

3

故答案为:—.

2

10.(20如全国•高一课时练习)集合A={y|y=x2-l,\x\<2,xeZ]可用列举法表示为,

集合2={(工y),=/一1,闵W2,xeZ}可用列举法表示为.

【答案】{-1,0,3}{(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3))

【解析】由丁=炉-1,忖42,xeZ,知x可取的值为0,±1,±2,

当%=0时,丁二-1,当元=±1时,)=。,当%=±2时,y=3,

所以集合A={—1,0,3};

由题知集合3表示点集,

所以3={(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)}.

故答案为:{-1,0,3},{(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3)}.

11.(2021•全国•高一课时练习)已知集合尸中的元素x满足:xeN,且2Vx<。,aeN.若

集合P中恰有三个元素,贝壮=,集合尸中的元素是.

【答案】63,4,5

【解析】因为xeN,2<x<a,aeN,且集合P中恰有三个元素,所以。=6,

此时集合尸中的元素是3,4,5.

故答案为:6;3,4.5

12.(2022•湖南•高一课时练习)判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合,指出是有

限集还是无限集;若不能构成集合,试说明理由.

(1)北京各区县的名称;

⑵尾数是5的自然数;

⑶我们班身高大于1.7m的同学.

【解】(1)因为北京各区县的名称是确定的,故北京各区县的名称能构成集合;因为北京各

区县是有限的,故该集合为有限集;

(2)因为尾数是5的自然数是确定的,故尾数是5的自然数能构成集合;因为尾数是5的自

然数是无限的,故该集合为无限集;

(3)因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的,故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合;

因为我们班身高大于L7m的同学是有限的,故该集合为有限集.

13.(2021•江苏•高一课时练习)用适当的方法表示下列集合:

(1)方程/+2n-15=0的根的集合;

(2)不等式4x—3v5的解集

【解】(1)由x?+2x-15=0可得%=—5或尤=3

所以方程12+2%-15=0的根的集合为{-5,3}

(2)由4x-3v5可得X<2

所以不等式4x-3<5的解集为何彳<2}

B组-[素养提升]

1.(2022•湖南•益阳市箴言中学高一开学考试)已知集合”={(%曰区,〉€双*户+><2},则

M中元素的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

(尤=]

【解析】因为x,〉eN*旦x+yW2,所以即集合中只有一个元素(LD.

U=1

故选:A.

2.(2021•江苏•常州市第一中学高一期中)已知集合4=卜+1,"+4”-9,2021},若TeA,

则实数。的值为().

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【解析】A=^a+l,a2+4a-9,2021^,且YeA,.,.T=a+1或T=a2+4a-9

⑴、当T=/+4a-9即。=-5或a=l,

①、当。=一5时,a+l=—4,a2+4a-9=-4-止匕时A={T,-4,2021},不满足集合元素的互

异性,故舍去;

②、当。=1时,<7+1=2,°2+4。-9=-4,此时A={2,T,2021},符合题意;

⑵、当a+l=—4即。=一5时,此时A={-4,7,2021},不满足集合元素的互异性,故舍去;

综上所述:实数。的值为1.

故选:B

3.(多选)(2021•江苏常州•高一期中)已知集合4=卜|龙=机+6",〃?,"€2},则下列说法

中正确的是()

A.0eA但(1-2有)2eA

B.若玉=见+6%,々=〃4+6%,其中犯,"1,色,%eZ,则玉

C.若占=见+也4,々=7%+也%,其中eZ,则占feA

D.若玉=町+百4,%2=%,其中班,々,网,%£Z,则;

【答案】BC

【解析】(1一26『=13-46,故机=13,〃=Y,所以(1—26)2£A,A错误;

玉±々=吗+6々土(和+6%)=(叫土%)+6(%±%),其中叫土机?£Z,±n2GZ,故

石±%wA,B正确;

G

菁•%=(g+6勺>(叫+6%)=叫叫+34%+(叫%+吗%)6,其中rr\m2+34%Z,

m{n2+m2nxGZ,故项・%2£4,C正确;

因为OwA,若々=%+也4=0,此时,无意义,故一LwA,D错误.

•^2

故选:BC

4.(多选)(2021•福建•泉州科技中学高一阶段练习)已知x,y,z为非零实数,代数式

R+舌+・+国的值所组成的集合是跖则下列判断正确的是()

因IX|z|"Z

A.B.2GMC.-4?MD.41M

【答案】CD

【解析】当%,y,z均为负数时,击+弓+3+应1=-4;

国3IW孙Z

一xyz\xyz\八

当羽y,z两负一正时,p-r+j—।+p-7+------=0;

国3|z|xyz

,「xyz|乎|八

当羽y,z两正一负时,p-r+j—y+p|+------=0;

凶IX|z|xyz

xyzxyzl

当九,y,z均为正数时,pF+j—।+pr+------=4;

H3|z|xyz

AM={-4,0,4},A、B错误,C、D正确.

故选:CD

5.(2021•全国•高一课时练习)若〃、b、xeR且〃、b丰0,集合B=[jx='",则

用列举法可表示为.

【答案】{-2,0,2}

[解析]当“<0/<0时,彳=告+4=_1_1=_2,

\a\b

当avO,Z?>0时,x=―rH—=-1+1=0,

\a\b

当a>O,Z?vO时,x—-r+-~~-=1-1=0,

\a\b

当a>0,Z?>0时,x-~r+-~-=1+1=2,

\a\b

所以用列举法可表示为{-2,0,2).

故答案为:{-20,2}.

6.(2021•全国•高一课时练习)已知集合人=卜入2_3%+2=。}.

(1)若集合A中只有一个元素,则实数〃的值及该元素分别为;

(2)若集合A中至多有一个元素,贝匹的取值范围是.

7Q4Q、

【答案】。♦或{〃|。27或〃=0}

3X38

【解析】(1)、"4=卜|依2-3X+2=。}

当a=0时,A={尤卜3x+2=0}=]g},集合A中只有一个元素,符合题意;

当。片0,因为A中只有一个元素,则方程62一3彳+2=0有两个相等的实

根./.A=(—3)2—8^=0集合A中只有一个

4

元素符合题意;

综上所述,当〃=。时,集合A中只有一个元素《2;当。=三9时,集合A中只有一个元素工4.

3X3

a00,9

4/\2.,.〃〉一

(2)、若集合A=0,则方程依2-3x+2=0无解,

A=(-3y-8a<0,8

由(1)可知当。=0时,集合A中只有一个元素怖2;当〃=三Q时,集合A中只有一个元素工4.

383

综上所述:。的取值范围是或。=0}.

O

故答案为:。弓2或)9弓4;{a\aQ>^a=0、}.

3o3o

7.(2021•江苏•高一专题练习)已知集合A的元素全为实数,且满足:若。eA,则手eA.

\-a

(1)若。=-3,求出A中其他所有元素;

(2)0是不是集合A中的元素?请你设计一个实数a

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