高中数学复习：集合的概念

1.1集合的概念

思维导图

定义

集合的概念，列举法

表示法。/

------1描述法

元素与集合的关系-----

------------------不属于

自然数集

正整数集

常用数集d整数集

有理数集

1实数集

新课标要求

1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的“属于”关系。

2.针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。

知识梳理

一、元素与集合的概念

1.元素：一般地，把研究对象统称为元素,常用小写的拉丁字母a,b,c…表示.

2.集合:把一些元素组成的总体叫做集合，常用大写拉丁字母A,B,C...表示.

3.集合相等：指构成两个集合的元素是一样的.

4.集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的,无序的.

二、元素与集合的关系

1.属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aeA.

2.不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A,记作aeA.

三、常见的数集及符号表示

名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集

记法NN*或N+ZQR

四、集合的表示法

1.列举法：把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.

2.描述法：一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组

成的集合表示为{xeP(x)},这种表示集合的方法称为描述法.

名师导学

知识点1集合的概念

「氧於二鼠曷募④云葡跖瓶A菽三襦兼一.

|(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合.

|(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数.

1(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺

I序无关.

［而71，茄石氏前法筱翦甄高二跻旅弟不前客焉!而以国凝各的17”下

A.与1非常接近的全体实数

B.北大附中云南实验学校2020-2021学年度第二学期全体高一学生

C.高一年级视力比较好的同学

D.高一年级很有才华的老师

【答案】B

【解析】对于ACD,集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合,

ACD错误；

B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.

故选：B.

【变式训练1-1】(2021•广东•广州外国语学校高一阶段练习)下列说法中正确的是()

A.与定点48等距离的点不能构成集合

B.由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5

C.一个集合中有三个元素a,b,c,其中a,b,c是二ABC的三边长，贝kA5c不可能是等

边三角形

D.高中学生中的游泳能手能构成集合

【答案】C

【解析】解：对于A：与定点A,8等距离的点在线段AB的中垂线上，故可以组成集合，

即A错误；

对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4,故B

错误；

对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a,b,c互不相等，故,ABC不可能是等边三角

形，即C正确；

对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；

故选：C

【变式训练1-2]（2021•福建•厦门市国祺中学高一期中）下列能构成集合的是（）

A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生D.数学必修第一册课本中所有的难题

【答案】C

【解析】构成集合的元素具有确定性，

选项ABD中没有明确标准，不符合集合定义，选项C正确.

故选：C.

【变式训练1-3】（多选）（2021•广东•揭阳华侨高中高一阶段练习）给出下列说法，其中正

确的有（）

A.中国的所有直辖市可以构成一个集合；

B.高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；

C.正偶数的全体可以构成一个集合；

D.大于20n且小于2016的所有整数不能构成集合.

【答案】AC

【解析】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；

高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；

正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；

大于2011且小于2016的所有整数能构成集合，D错误.

故选：AC.

知识点2元素与集合的关系

判断元素和集合关系的两种方法

（1）直接法：集合中的元素是直接给出的.

（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的

特征即可.

【例2-1】（2021•浙江•金华市曙光学校高一阶段练习）给出下列关系：①;GR；②6GQ；

③一3题；④-否WN,其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】；是实数，①正确；石是无理数，②错误；一3是整数，③错误；一石是无理数，

④正确.

所以正确的个数为2.

故选：B.

【例2-2】(2021•广东•揭阳华侨高中高一阶段练习)下列元素与集合的关系判断正确的是

()

A.OENB.兀GQC.&WQD.-1?Z

【答案】A

【解析】0是自然数，石血是无理数，不是有理数，-1是整数，根据元素和集合的关系可

知，只有A正确；

故选：A

【变式训练2-1】(2022•北京大兴•高一期末)已知集合4={刈尤=2上"eZ},则()

A.-IGAB.I"C.-^2eAD.2eA

【答案】D

【解析】由集合A={x|x=2泊LeZ},即集合A是所有的偶数构成的集合.

所以TeA,"A,-5/2gA,2eA

故选：D

【变式训练2-2】(2022•全国•高一课时练习)用“e”或“0”填空.

1N；-3Z；V2Q;下R.

【答案】任w任e

知识点3集合的表示法(重点)

II

|(1)求出集合的元素.

(2)把元素——列举出来，且相同元素只能列举一次.

j(3)用花括号括起来.

卜注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的;

|形式，元素与元素之间用“，”隔开.如{(2,3),(5,-1)}.

2利用描述法表示集合的关注点

|(1)写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{xGR|x<l}不能写成{x<l}.

12)所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{xdZ|x=2左},左GZ,这种表达方式就不符合，

|要求，需将AGZ也写进花括号内，即{xGZ|x=2瓦kU].

(3)不能出现未被说明的字母.

*4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程;

船一2工+1=0的实数解集可表示为{xdR*—2x+l=0},也可写成{4?-2犬+1=0}.

【例3-1】(2021•全国•高一课前预习)用列举法表示下列集合：

(1)不大于10的非负偶数组成的集合；

(2)方程/=2尤的所有实数解组成的集合；

(3)直线y=2x+l与y轴的交点所组成的集合；

(4)由所有正整数构成的集合.

【解】(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于。的意思，所以不大于10

的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10).

(2)方程无2=2尤的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.

(3)将尤=0代入y=2x+l,得y=l,即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(。，1)}.

(4)正整数有1,2,3,…，所求集合为{1,2,3,

【例3-2】(2021•全国•高一课时练习)用描述法表示下列集合.

(1)小于5的正有理数组成的集合：；

(2)平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：；

(3)偶数集：；

(4)抛物线>=/一3x+2上的所有点组成的集合：.

[答案】{xeQ|0<x<5}{(x,y)|y=x}{x|x=2",〃eZ}=/-3元+2}

【解析】(1)由描述可得：集合为{xeQ[O<x<5}.

(2)第一、三象限角平分线上的所有点都在y=x上，故集合为{(x,y)|y=x}.

(3)由偶数可表示为x=2",”eZ,故集合为{x|尤=2〃,“eZ}.

(4)由描述知：集合为{(羽丫)2=/-3元+2}.

故答案为：{尤eQ[0<x<5},{(X,y)|y=x},{x|x=2〃,〃eZ},{(x,y)“=_?-3x+2}.

【变式训练3-1】(2021•贵州•六盘水红桥学校高一期中)集合{尤eZ|0<x<5}用列举法表示

正确的是()

A.{1,2,3,4}B.{0,123,4}

C.{0,123,4,5}D.{123,4,5}

【答案】A

【解析】”2且0<》<5,小所有可能的取值为1，2,3,4,.-.{xeZ|0<x<5}={l,2,3,4).

故选：A.

【变式训练3-2】(2021•湖北•武汉市钢城第四中学高一阶段练习)表示方程/+*-6=0的

根的集合，用列举法可以表示为，用描述法可表示为.

【答案】{2,-3}(X|X2+X-6=0}(答案不唯一)

【解析】由％2+%_6=0,得(兀一2)(%+3)=0,解得％=2,或%=—3,

所以方程根的集合用列举法可以表示为{2,-3},

用描述法可表示为{小2+x-6=。}(答案不唯一)

故答案为:{2,-3},{X\X2+X-6=0\(答案不唯一)

【变式训练3-3】(2021•江苏•高一课时练习)若用描述法表示所有负偶数构成的集合则

M=.

【答案】{x|x=-2",〃eN*}

【解析】所有负偶数构成的集合M

则Af={x|x=-In,neN*\,

故答案为：{x|x=-2〃,〃eN*}.

【变式训练3-4】(2021•全国•高一课时练习)用列举法表示下列集合：

(1)^x\^—eZ,xeZ^；

(2){(x,y)|y=3x,xGN且lWx<5}.

【解】(1)因为白eZ,无eZ,所以|2-目是6的因数，

贝!]12—H=1,2,3,6,即x=l,3,4,0,—1,5,—4,8.

所以原集合可用列举法表示为{—4,-1,0,1,3,4,5,8)；

⑵因为xGN且1方<5,所以无=1,2,3,4,

其对应的y的值分别为3,6,9,12.

所以原集合可用列举法表示为{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12)).

【变式训练3-5】(2021•全国•高一课时练习)选择适当的方法表示下列集合：

(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；

⑵所有正奇数组成的集合B；

(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；

⑷直角坐标平面上，抛物线y=/上的点组成的集合D

【解析】⑴不小于1且不大于17的质数有2,3,5,7,11,13,17,用列举法表示：

A={2,3,5,7,11,13,17}；

（2）所有正奇数有无数个，用描述法表示：3={x|x=2左+l#eN}；

（3）绝对值不大于3的所有整数只有-3,-2,-1,0,1,2,3,用列举法表示：C={-3,-2,-1,0,1,2,3}；

（4）直角坐标平面上，抛物线y=f上的点，用描述法表示：D={（x,^）|y=x2}.

知识点4集合性质的应用（难点、易错点）

斤而将,券'盔'获祺一墓冥屉菽薮硫薮注"善,家’

;（i）策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互

!异性对求得的参数值进行检验.

|（2）注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用.

【例4-1]（2021•山东聊城一中高一期中）若。<1,3,后},则a的可能取值有（）

A.0B.0,1C.0,3D.0,1,3

【答案】C

【解析】a=0,则ae{l,3,0},符合题设；

。=1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；

"=3时，则ae{l,3,9},符合题设；

〃=0或〃=3均可以.

故选：C

【例4-2]（2021•江苏•高一课时练习）若xeR,贝可3,x,£-2.x）中的元素x应满足什么条件？

【解】根据集合中元素的互异性可得：

"3

<2

X-2x^3f解得xw3且无w—1且xwO,

X2-2x^x

所以工应满足且Xw—l且％wO.

【变式训练4-1】（2021•福建福州•高一期中）若“+2e{l,3,a",则a的值为（）

A.-1或1或2B.-1或1C.-1或2D.2

【答案】D

【解析】因为a+2e{l,3,/},

所以a+2=l或3或

当。+2=1时，即。=-1,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去;

当a+2=3时，即。=1,此时集合中元素为1,3,1,不满足集合中元素的互异性，舍去；

当a+2=/时，解得a=2或。=-1（舍去），此时集合中元素为1,3,4,符合题意.

故选：D

【变式训练4-2】（2021•江苏扬州•高一期中）已知集合4={。,1,片-5°+6},若2eA,则实

数”的值构成的集合为.

【答案】{2,4}

【解析】因为集合4={。,1,/一5〃+6},且2eA

所以2=。或2="-5a+6

（1）当。=2时，此时储-5a+6=0,A={2,L。}符合题意.

（2）当2=4。-5。+6时，解得。=1或。=4

当。=1时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；

当°=4时，A={2,1,4}符合题意.

综上可知实数”的值构成的集合为{2,4}

故答案为：{2,4}

【变式训练4-3】（2021•重庆•万州纯阳中学校高一阶段练习）已知集合4={2,/+1,片_@,

B=1O,7,<22-tz-51,且5eA,求集合3.

【解】根据题意，当片+1=5时，。=±2.若。=2,则片_°=2,根据互异性可知，a=2不

满足题意；若a=-2,贝储-°=6,此时A={2,5,6},B={0,7,l}.

而当“2-a=5时，集合3中/-a-5=O,根据互异性可知，不满足题意.

综上，8={0,7,1}.

名师导练

A组-［应知应会］

1.（2021•湖南•怀化五中高一期中）下面给出的四类对象中，构成集合的是（）

A.某班视力较好的同学B.长寿的人

C.n的近似值D.倒数等于它本身的数

【答案】D

【解析】对于A,视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于B,长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于C,万的近似值没有明确近似到小数点后面几位，

不是明确的定义，故不能构成集合;

对于D,倒数等于自身的数很明确，只有1和-1,故可以构成集合；

故选：D.

2.（2021•湖南•衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（）

①geZ,②友eR，③OeN*,④乃

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①geZ错误②0eR正确③OeN*错误④万任。正确

故选：B

3.（2021•湖北•车城高中高一阶段练习）由3-2%1可组成含3个元素的集合，则实数

”的取值可以是（）

A.1B.-IC.0D.-3

【答案】C

a?w3-2a

【解析】由元素的互异性可得,解得awl且aw-3且aw-1.

3—2aw1

故选：C.

4.（2021•辽宁•大连八中高一阶段练习）集合A=卜eN|y=号,yeN，的元素个数为（）

A.4B.5C.10D.12

【答案】A

【解析】由题意，集合A=[xeN|y=3,yeN：中的元素满足

x是自然数，且y是自然数，

由此可得x=0,1,3,9；

此时y的值分别为：4,3,2,1,

符合条件的x共有4个，

故选：A.

5.（2021•全国•高一课时练习）集合{xeN|x-4<l}用列举法表示为（）

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,123,4,5}D.{1,2,3,4,5}

【答案】A

【解析】Vx-4<1,

x<5.

又,

・・・{%£N卜-4v1}={0,1,2,3,4}.

故选：A

12x+y=0

6.(多选)(2021•全国•高一课时练习)下列正确表示方程组°八的解集的是()

[x—y+3=0

[x--11

A.(-1,2)B.(x,y)[=2C-{T，2}D.{(-1,2))

【答案】BD

2x+y=0

【解析】由,解得

x-y+3=0

x=—1

所以该方程组的解集为(X，y)1=2或{(—L2)}.

故选BD.

7.(2021•全国•高一课时练习)以下各组对象不能组成集合的是(用题号填空).

①中国古代四大发明②地球上的小河流

③方程V-l=0的实数解④周长为10cm的三角形

⑤接近于。的数

【答案】②⑤

【解析】①中国古代四大发明是造纸术，指南针，火药和印刷术，是确定的，能构成集合;

②地球上的小河流，不确定，不能构成集合；

③方程/-1=0的实数解是1或-1,是确定的，能构成集合；

④周长为10cm的三角形，是确定的，能构成集合；

⑤接近于0的数，不确定，不能构成集合.

故答案为：②⑤

8.(2022•湖南•高一课时练习)用符号“e”和“走”填空：

(1)1N；(2)1Z；(3)-2R；

⑷"Q+；(5)32N；(6)00.

【答案】任任e任w任

【解析】由N,Z一R,Q+，0所表示的集合，由元素与集合的关系可判断

(1)任(2)任(3)£(4)金(5)e(6)金.

故答案为：(1)金(2)电(3)£(4)任(5)£(6)任.

9.(2022•广东揭阳•高一期末)若3w{l,2“},则实数".

【答案】|3

【解析】因为3e｛l,2a｝,

所以2a=3,解得

2

3

故答案为：—.

2

10.（20如全国•高一课时练习）集合A=｛y|y=x2-l,\x\<2,xeZ］可用列举法表示为,

集合2=｛（工y）,=/一1,闵W2,xeZ｝可用列举法表示为.

【答案】｛-1,0,3｝｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3））

【解析】由丁=炉-1,忖42,xeZ,知x可取的值为0,±1,±2,

当％=0时，丁二-1,当元=±1时，）=。，当％=±2时，y=3,

所以集合A=｛—1,0,3｝；

由题知集合3表示点集，

所以3=｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3）｝.

故答案为：｛-1,0,3｝,｛（-2,3）,（-1,0）,（0,-1）,（1,0）,（2,3）｝.

11.（2021•全国•高一课时练习）已知集合尸中的元素x满足：xeN,且2Vx<。，aeN.若

集合P中恰有三个元素，贝壮=,集合尸中的元素是.

【答案】63,4,5

【解析】因为xeN,2<x<a,aeN,且集合P中恰有三个元素，所以。=6,

此时集合尸中的元素是3,4,5.

故答案为：6；3,4.5

12.（2022•湖南•高一课时练习）判断下列各组对象能否构成集合.若能构成集合，指出是有

限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由.

（1）北京各区县的名称；

⑵尾数是5的自然数；

⑶我们班身高大于1.7m的同学.

【解】（1）因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各

区县是有限的，故该集合为有限集；

（2）因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自

然数是无限的，故该集合为无限集；

（3）因为我们班身高大于1.7m的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m的同学能构成集合;

因为我们班身高大于L7m的同学是有限的，故该集合为有限集.

13.（2021•江苏•高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：

（1）方程/+2n-15=0的根的集合；

（2）不等式4x—3v5的解集

【解】（1）由x?+2x-15=0可得％=—5或尤=3

所以方程12+2%-15=0的根的集合为{-5,3}

（2）由4x-3v5可得X<2

所以不等式4x-3<5的解集为何彳<2}

B组-［素养提升］

1.（2022•湖南•益阳市箴言中学高一开学考试）已知集合”={（%曰区,〉€双*户+><2},则

M中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

（尤=］

【解析】因为x，〉eN*旦x+yW2,所以即集合中只有一个元素（LD.

U=1

故选：A.

2.（2021•江苏•常州市第一中学高一期中）已知集合4=卜+1,"+4”-9,2021},若TeA,

则实数。的值为（）.

A.-5B.1C.5或-1D.-5或1

【答案】B

【解析】A=^a+l,a2+4a-9,2021^,且YeA,.,.T=a+1或T=a2+4a-9

⑴、当T=/+4a-9即。=-5或a=l,

①、当。=一5时，a+l=—4,a2+4a-9=-4-止匕时A={T,-4,2021},不满足集合元素的互

异性，故舍去；

②、当。=1时，<7+1=2,°2+4。-9=-4,此时A={2,T,2021},符合题意；

⑵、当a+l=—4即。=一5时，此时A={-4,7,2021},不满足集合元素的互异性，故舍去；

综上所述：实数。的值为1.

故选：B

3.（多选）（2021•江苏常州•高一期中）已知集合4=卜|龙=机+6",〃?,"€2},则下列说法

中正确的是（）

A.0eA但（1-2有）2eA

B.若玉=见+6%,々=〃4+6%，其中犯，"1，色,％eZ,则玉

C.若占=见+也4,々=7%+也%，其中eZ,则占feA

D.若玉=町+百4,%2=%，其中班,々,网,%£Z,则;

【答案】BC

【解析】（1一26『=13-46，故机=13,〃=Y,所以（1—26）2£A,A错误；

玉±々=吗+6々土（和+6%）=（叫土%）+6（%±%）,其中叫土机？£Z,±n2GZ,故

石±%wA,B正确；

G

菁•％=（g+6勺＞（叫+6%）=叫叫+34%+（叫%+吗％）6,其中rr\m2+34%Z,

m{n2+m2nxGZ,故项・％2£4，C正确；

因为OwA,若々=%+也4=0,此时,无意义，故一LwA,D错误.

•^2

故选：BC

4.（多选）（2021•福建•泉州科技中学高一阶段练习）已知x,y,z为非零实数，代数式

R+舌+・+国的值所组成的集合是跖则下列判断正确的是（）

因IX|z|"Z

A.B.2GMC.-4?MD.41M

【答案】CD

【解析】当％，y，z均为负数时，击+弓+3+应1=-4；

国3IW孙Z

一xyz\xyz\八

当羽y,z两负一正时，p-r+j—।+p-7+------=0；

国3|z|xyz

,「xyz|乎|八

当羽y,z两正一负时，p-r+j—y+p|+------=0；

凶IX|z|xyz

xyzxyzl

当九,y,z均为正数时，pF+j—।+pr+------=4；

H3|z|xyz

AM={-4,0,4},A、B错误，C、D正确.

故选：CD

5.（2021•全国•高一课时练习）若〃、b、xeR且〃、b丰0,集合B=［jx='"，则

用列举法可表示为.

【答案】{-2,0,2}

［解析］当“<0/<0时，彳=告+4=_1_1=_2,

\a\b

当avO,Z?>0时，x=―rH—=-1+1=0,

\a\b

当a>O,Z?vO时，x—-r+-~~-=1-1=0,

\a\b

当a>0,Z?>0时，x-~r+-~-=1+1=2,

\a\b

所以用列举法可表示为｛-2,0,2）.

故答案为：｛-20,2｝.

6.（2021•全国•高一课时练习）已知集合人=卜入2_3%+2=。｝.

（1）若集合A中只有一个元素，则实数〃的值及该元素分别为；

（2）若集合A中至多有一个元素，贝匹的取值范围是.

7Q4Q、

【答案】。♦或｛〃|。27或〃=0｝

3X38

【解析】（1）、"4=卜|依2-3X+2=。｝

当a=0时，A=｛尤卜3x+2=0｝=]g｝,集合A中只有一个元素，符合题意;

当。片0,因为A中只有一个元素，则方程62一3彳+2=0有两个相等的实

根./.A=(—3)2—8^=0集合A中只有一个

4

元素符合题意;

综上所述，当〃=。时，集合A中只有一个元素《2；当。=三9时，集合A中只有一个元素工4.

3X3

a00,9

4/\2.,.〃〉一

（2）、若集合A=0,则方程依2-3x+2=0无解,

A=(-3y-8a<0,8

由（1）可知当。=0时，集合A中只有一个元素怖2；当〃=三Q时，集合A中只有一个元素工4.

383

综上所述：。的取值范围是或。=0｝.

O

故答案为：。弓2或）9弓4；｛a\aQ>^a=0、｝.

3o3o

7.（2021•江苏•高一专题练习）已知集合A的元素全为实数，且满足：若。eA,则手eA.

\-a

（1）若。=-3,求出A中其他所有元素；

（2）0是不是集合A中的元素？请你设计一个实数a