广东中考数学一轮复习：特殊的平行四边形综合检测过关卷（解析版）

专题18特殊的平行四边形综合检测过关卷

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）如图，在菱形438中，ZB=60°,连接AC,若AC=6,则菱形ABC。的周长为（）

A.24B.30C.18V3D.36V3

【答案】4

【分析】先根据菱形的性质证明AB=BC=CD=AD,在根据已知条件证明△ABC是等边三角形，求出

AB=BC=AC=6,从而求出菱形周长即可.

【解答】解：••,四边形ABCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD,

VZB=60°,

AABC是等边三角形，

：.AB=BC=AC=6,

：.AB=BC=CD=AD=6,

菱形4BCD的周长为：

AB+BC+CD+AD

=6+6+6+6

=24,

故选：A.

2.（3分）如图，四边形A3CZ）是平行四边形，下列说法不正确的是（）

A.当AC=5Z）时，四边形A3CD是矩形

B.当时，四边形A8CD是菱形

C.当AC平分NBA。时，四边形A8CD是菱形

D.当/0AB=90°时，四边形ABCD是正方形

【答案】。

【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一个角是直角

的平行四边形是矩形，对角线平分对角的平行四边形是菱形判断即可.

【解答】解：A、:四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,

二四边形ABC。是矩形，正确，故本选项错误；

B、四边形A8CD是平行四边形，AC±BD,

，四边形4BCZ）是菱形，正确，故本选项错误；

C、•.,四边形A8CD是平行四边形，AC平分/8A。，

四边形ABC。是菱形，正确，故本选项错误；

D、四边形ABC。是平行四边形，ZDAB=90a,

四边形ABCD是矩形，错误，故本选项正确；

故选：D.

3.（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC,8。交于点。，ZAOB=60°,AC=4,则边AB长为（）

AD

BC

A.V3B.V2C.1D.2

【答案】。

【分析】根据矩形的性质得出OA=OB,进而利用等边三角形的判定和性质解答即可.

【解答】解：：四边形4BCD是矩形，AC=4,

1

A0A=OB=jAC=2,

VZAOB=60°,

•••△A05是等边三角形，

.\AB=0A=0B=2,

故选：D.

4.（3分）由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A,B,C都

在格点上，/。=60°,则tan/A8C=（

AC

OB

V3V311

A.—B.—C.-D.-

2323

【答案】4

【分析】如图，连接E4、EC,先证明/A£C=90°,E、C、8共线，再根据tan/4BC=饯，求出AE、

DD

EB即可解决问题.

【解答】解：如图，连接屈4,EC,

设菱形的边长为a,由题意得/AEb=30°,ZBEF=60°,

.".AE=y[3a,EB=2a,

：.ZAEC=9Q°,

NACE=ZACG=ZBCG=60°,

AZ£CB=180°,

：.E、C、8共线，

在RtAA£B中，tanZABC=普=照=堂.

EB2a2

故选:A.

5.（3分）己知菱形的周长为40,一条对角线长为12,则这个菱形的面积为（）

A.40B.47C.96D.190

【答案】C

【分析】根据菱形的性质，四条边相等且对角线互相平分且互相垂直，由勾股定理得出BO的长，进而

得其对角线BD的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可.

【解答】解：如图：四边形ABCD是菱形，对角线AC与8。相交于点。

••,菱形的周长为40,

：.AB=BC=CD=AD=10,

:一条对角线的长为12,当AC=12,

：.AO=CO=6,

在RtAAOB中，BO=V102-62=8,

：.BD=2BO=16,

1

斐形的面积=1AC-B£>=96,

6.（3分）如图中的大长方形都是由边长为1的小正方形组成，其中每个正方形的顶点称之为格点，若4、

3、C三点均在格点上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数有（）

5个C.6个D.7个

【答案】D

【分析】分/A为顶角和为顶角判定即可.

【解答】解：当/A为顶角时，符合的点有一个C6；C1，

当为顶角时，符合的点有五个Cl,C2,C3，C4,C5,

7.（3分）如图是由6块直角三角形拼成的矩形其中①②③④是四个全等的三角形,则非=（）

43

A.-B.—C.V2D.V3

32

【答案】C

【分析】先设直角三角形①中短直角边为m长直角边为6,分别表示出A3即可解答.

【解答】解：如图:

•・•①②③④是四个全等的三角形，

.'.AF=a-b,DF=a+b,

：.AB2^a1+b2,AD^AFi+DF2^(a-Z?)2+(a+Z?)?=2(次+庐)，

.AD22(a2+b2)

——=—=2,

AB2a2+b2

.也_

••—v2,

AB

故选：C.

8.(3分)如图，菱形A8CD的对角线交于点0,E为边的中点，若菱形的周长为24,则0E的长是()

A.1B.20C.3D.4

【答案】C

【分析】直接利用菱形的性质得出其边长以及对角线关系，进而利用直角三角形的性质得出OE的长.

【解答】解：：菱形A8CD的周长为24,

1

4B-X

-424=6,AC上BD,

：.ZAOB=90°,

,IE为AB边中点，

1i

/.OE=^AB=1x6=3.

故选：C.

9.(3分)如图，在矩形ABC。中，点瓜产是C。的三等分点，AFLBE,垂足为贝!jtanNE4尸的值是

()

【答案】C

【分析】先根据矩形的性质证得△AO/和△8色全等，得出NAf7)=N3EC,于是得到再证

MFEF1

4ABMs/\FEM,得出一=—=一，最后根据锐角三角函数的定义即可求出tanZEAF的值.

MABA3

【解答】解：E、尸是8的三等分点，

：.DE=EF=FC,

：.DF=CE,

・・•四边形A5CD为矩形，

:・AD=BC,ZD=ZC=90°,AB//CD,AB=CD=3EF,

在△AD尸和△BCE中，

AD=BC

Z-D=zC,

IDF=CE

：.AADF(SAS),

，NAFD=NBEC,

：.ME=MF,

设ME=MF=x,

\9AB//CD,

・•・LABMsXFEM,

.MFEF1

MA~BA~3

.\MA=3x,

VAF±BE,

/.ZAME=90°,

.,.,tan/口/人EA口F=M诲E=荻x=w1，

故选：C.

10.（3分）下列说法正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相平分且相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

【答案】B

【分析】一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，由此可判断A不符合题意；对角线互相平分的四

边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，由此可证明对角线互相平分且相等的四边形是矩

形，可判断8符合题意；对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，由此可判断C不符合题意；对角线互

相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，由此可证明对角线互相垂直平分

的四边形是菱形，可判断O不符合题意，于是得到问题的答案.

【解答】解：•••对角线相等的四边形不一定是平行四边形，

.*.A不符合题意；

对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，

对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

符合题意；

•••对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，

；.C不符合题意；

.对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，

对角线互相垂直平分的四边形是菱形，

对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，

不符合题意,

故选：B.

填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）如图，四边形ABCD是菱形，连接AC,2。交于点0,过点A作交BC于点E,若

AC=4,BD=6,则BE的长度为史”

-13'

13

【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求得边长AB,等面积法求得AE,在中，勾股定理即

可求解.

【解答】解：：四边形ABCD是菱形，AC=4,BD=6,

：.AO=2,80=3,AB=BC,AC±BD,

在Rt/XABO中，AB=>JAO2+0B2=V13,

1

，.，S^ABC=jAC,BD=AE,BC,

-1___

nX4x612V13

「A七一知一13'

，……,5V13

故答案为：----

13

12.（3分）如图，正方形ABC。内有一点E,连接BE,DE,ZAED=90°,过点B作交CD

37^

于G,过点D作。尸〃BE交BG于足若。G=l,CG=2,则BE的长是

一13一

BC

……3V65

【答案】-----

13

【分析】延长交于延长交2G于N,证四边形MBGZ）是平行四边形得BM=DG=1,进

而得CD=AB=AD=3,AM=2,在RtAlDM中由勾股定理求出DM,再利用三角形的面积公式求出AE,

进而再求出DE，然后证△BAN和△ADE全等得AN=DE,BN=AE,继而可求出EN,最后在RtABEN

中由勾股定理可求出BE.

【解答】解：延长DE交于延长交BG于N,如图所示：

.四边形ABC。为正方形，

；.AB=BC=CD=DA,AB//CD,ZBAD^9Q°,

'：BG//DE,

四边形MBGD是平行四边形，

BM=DG=\,

"：DG=\,CG=2,

:.CD=DG+CG=3,

：.AB=AD=3,

J.AM^AB-BM=2,

在RtZ\ADM中，AM=2,AD=3,

由勾股定理得：DM=y/AD2+AM2=V13,

11

由三角形的面积公式得：SAADM=^AE-DM=^AM-AD,

.“厂AM-AD6V13

・・AE=-^r=^-'

：.DE=ylAD2-AE2=

9：ZBAD=90°,ZAED=90°,

：.ZBAN^-ZDAE=90°,ZADE+ZDAE=90°,

・•・NBAN=ZADE,

•:BG〃DE,ZAED=90°,

：.ZANB=90°,

AZANB=ZAED=90°,

在和△AOE中，

乙BAN=A.ADE

乙ANB=Z-AED=90。，

AB=AD

：./\BAN^/\ADE(AAS),

..AN—DE=—,BN=AE=—^—,

•674/79同6场3T

..EN=AN-AE=-----jy-=-13~

在RSEN中，BN=^^-,EN=3713

13

由勾股定理得：BE=ZEN?+BN2=当普.

3V65

故答案为：----.

13

13.（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的顶点A,B,C在坐标轴上，若点8的坐标为（-1,

0),ZBC£>=120°,则点。的坐标为(2,g)

【分析】根据直角三角形的性质得出OB,OA的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可.

【解答】解：：菱形ABC。，ZBC£>=120°,

ZABC=60°,

'：B(-1,0),

：.OB=\,OA=V3,AB=2,

：.A(0,A/3),

：.BC=AD=2,

：.OC=BC-OB=2-1=1,

：.C(1,0),D(2,V3),

故答案为：(2,V3).

14.（3分）如图，在矩形A5CD中，点E为54延长线上一点，/为CE的中点，以8为圆心，8厂长为半

径的圆弧过AD与CE的交点G,连接3G.若AB=4,CE=10,则AG=3.

【分析】由直角三角形的性质可求8尸=5,由勾股定理可求解.

【解答】解：：四边形ABCD是矩形，

/.ZBAC=90°,

VC£=10,尸为CE的中点，

：.BF=|C£=5,

：.BF=BG=5,

：.AG=yjBG2-AB2="5-16=3,

故答案为：3.

15.（3分）在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，。是的中点，且A、B、C的坐标分

别为（5,0）,（5,4）,（-5,4）,点尸是BC上的动点，当△OOP是腰长为5的等腰三角形时，则点尸

【答案】（-2,4）或（-3,4）或（3,4）.

【分析】根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论.

【解答】解：如图，

,：A.B、C的坐标分别为（5,0）,（5,4）,（-5,4）,

：.OD=OA=5,AB=CD=4,

•••四边形A8CD是矩形,

.\ZC=ZCDO=90°,

设BC与y轴交于E,

当DP=D0=5,

；.CP=V52-42=3,

：.PE=2,

：.P(-2,4),

当0D=0P=5时，PE=V52-42=3,

：.P（-3.4）或（3,4）,

综上所述，点P的坐标为（-2,4）或（-3,4）或（3,4）,

故答案为：（-2,4）或（-3,4）或（3,4）.

三.解答题（共8小题，满分57分）

16.（7分）下面是多媒体上的一道试题：

如图，在菱形A8CQ中，过点8作BE_LC£）于点E,点/在边上，AF=CE,连接8。，DF.求证:

四边形8FDE是矩形.

小星和小红分别给出了自己的思路.

小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；

小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证.

（1）请你选择一位同学的思路，并进行证明；

（2）若BD=2底BE=4,求8C的长.

【答案】（1）见解析过程;

(2)5.

【分析】(1)小星的思路.先证明四边形8尸。£是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；

小红的思路.由“S4S”可证八4。/也△C8E,可得/AfD=/CE8=90°,然后利用“有三个角是直角

的四边形是矩形”即可得证；

(2)由勾股定理可求BC的长.

【解答】解：(1)选择小星的思路.

证明：：四边形A3。是菱形，

：.AB=CD,AB//CD.

•；AF=CE,

：.BF=DE,

...四边形DFBE是平行四边形.

,：CDLBE,

：.ZBED=90°,

四边形是矩形；

选择小红的思路.

证明：\•四边形A8CQ是菱形，

：.AD=BC,ZA=ZC.

,:AF=CE,

:.△ADFaCBE(.SAS),

：.ZAFD=ZCEB=90°,

：.ZDFB=90°.

'：CD//AB,

:./FBE=/CEB=90°,

：./DFB=/FBE=/BED=90°,

四边形。尸BE是矩形；

(2)在RtABDE中，OE=y/BD2-BE2=J(2A/5)2-42=2,

:四边形ABC。是菱形，

：.BC=CD,

：.CE=CD-DE=BC-2.

在RtZXBCE中，BC1=CE1+BEr,

：.BC1=（BC-2）2+42,

解得BC=5.

：.BC的长为5.

17.（7分）如图，四边形CEDF,/CED=/EDF=/DFC=/FCE=90°,CE=DE=DF=CF,A是边

OE上一点，过点C作BC,AC交。尸延长线于点区

（1）求证：BD=AE+CE；

（2）设△ACE三边分别为纵b、c,利用此图证明勾股定理.

【答案】（1）答案见解答过程；

（2）答案见解答过程.

【分析】（1）先证△CBE和△C4E全等得BF=A£,然后根据CE=O/可得出结论；

（2）由（1）可知△CBfg/XCAE,贝ISACBF=S&CAE,BC=AC=C,BF=AE=a,进而得四边形ACBO

的面积=正方形CEDF的面积，即一4c•BC+$4Z>B£）=CE2,而。A£>=”-b,BD=a+b,

22

据此勾股定理得以证明.

【解答】（1）证明：如图所示：

；/CED=NEDF=NDFC=NFCE=90°,BC±AC,

.,.Zl+Z3=90°,Z2+Z3=90°,ZCFB=90°,

.\Z1=Z2,ZCEA=ZCFB=90°,

在△CBF和△C4E中,

rzi=z2

\^CEA=乙CFB=90。，

(CF=CE

:.LCBF冬ACAE(AAS),

：.BF=AE,

又；CE=DF,

：.BD=BF+DF=CE+AE.

(2)证明：由(1)可知：ACBF咨ACAE,

工SACBF=SACAE,BC=AC=C,BF=AE=a,

：.四边形ACBD的面积=正方形CEDF的面积，

11,

：.-AC-BC+^AD'BD=CE2,

22

即AC'BC+AD'BD=2CE2,

*.*DF=CE=DE=a,

.\AD=DE-AE=a-b,BD=CE+AE=a+b,

BPc2+(a-b)(6/+Z?)=2*，

整理得：〃=次+庐.

18.(7分)如图，矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABC。的边A。，BC上，顶点凡X在菱形ABCZ)

的对角线3。上.

(1)求证：BG=DE；

(2)若E为4。中点，AB=2,求用的长.

(2)2.

【分析】(1)先根据矩形的性质得出石//=八7,EH//FG,再证明△2G尸也即可得证；

(2)连接EG,根据矩形的性质得出EG=F",先证明四边形A2GE是平行四边形，即可得出EG,进而

求出FH.

【解答】(1)证明•・,四边形EbGH是矩形,

:・EH=FG,EH//FG,

：.ZGFH=ZEHF,

VZBFG=180°-ZGFH,NDHE=180°-NEHF,

：.ZBFG=ZDHE,

•・•四边形ABC。是菱形，

：.AD//BC,

：.ZGBF=ZEDH,

在/和△OEH中，

ZBFG=乙DHE

乙GBF=乙EDH,

VEH=FG

:ABGF%ADEH(A4S),

：.BG=DE；

(2)解：连接EG,

・・•四边形ABC。是菱形，

：.AD=BC,AD//BC,

YE为AD中点，

：.AE=ED,

■:BG=DE,

：.AE=BGfAE//BG,

・・・四边形ABGE是平行四边形,

：.AB=EG,

・・•四边形EbGH是矩形,

：.EG=FH,AB=2,

：.FH=2.

19.(7分)已知，A。是的角平分线，DE//AC交AB于点E,N)尸〃AS交AC于点尸.求证：四边形

/是菱形.

【分析】先根据题中已知条件判定四边形AEZ)尸是平行四边形，然后再推出一组邻边相等.

【解答】证明：-：DE//AC,DF//AB,

四边形AED尸是平行四边形，ZEDA=ZFAD,

是△ABC的角平分线，/.ZEAD=ZFAD,

：.ZEAD=ZEDA,

：.EA=ED,

，四边形AE。尸为菱形.

20.(7分)如图，在△A8C中，ZABC=90°,80为△ABC的中线.BE//DC,BE=DC,连接CE.

(1)求证：四边形BDCE为菱形；

(2)连接。E,若/ACB=60°,BC=4,求DE的长.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)先证明四边形为平行四边形，由直角三角形的性质可得2£»=CD,可得结论；

(2)由菱形的性质可得£＞。=。£,BCLDE,OC=2,由直角三角形的性质可求。。的长，即可求解.

【解答】(1)证明：'JBE//AC,BE=DC,

:.四边形BDCE为平行四边形，

VZABC=90°,为AC边上的中线,

1

：.BD=CD=^AC,

四边形BDCE为菱形;

1

：.0C=^BC=2,Z.COD=90°,DE=2DO,

：.ZACB=60°,

.../EDC=90°-ZACB=30°,

；.£>C=2OC=4,DO=V3OC=2V3,

：.DE=2DO=4A/3.

21.(7分)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、2D相交于点。，点£、尸分别在A&AD±.,

AE^AF,连接EF,S.AC1EF.

(1)求证：四边形4BCZ)是菱形；

(2)连接OE,若点E是A8的中点，OE=遮,OB=2OA,求四边形ABC£)的面积.

【答案】见试题解答内容

【分析】(1)由平行四边形的性质得/C4O=/ACB,再证/8AC=ND4C,得BA=BC,即可得出结论；

(2)由菱形的性质得。4=OC,OB=OD=BD=2,ACLBD,由直角三角形斜边上的中线性质得AB=

WE,然后根据勾股定理和菱形面积公式即可得出结论.

【解答】⑴证明：/，

/AEF=NAFE,

\'AC±EF,

：.ZBAC=ZDAC,

四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

：.ZBAC=ZBCA,

：.BA=BC,

平行四边形ABCD是菱形；

(2)解：：四边形ABC。是菱形，

：.OA^OC,OB=OD,ACLBD,

.*.N4OB=90°,

■:点E是AB的中点，

：.AB=20E=2A/5,

\'0B=20A,

23

.•.在RtZXAOB中，OA2+O52=AB2,gp0/12+4OA2=(2V5),

AOA=2,02=4,

：.AC=4,BD=8,

11

:.S菱形ABCD=2AC'BD=]X4x8=16.

22.(8分)如图，己知：在四边形ABPC中，ZACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点。，交AB于

点E,且CF//AE.

(1)求证：四边形BECP是菱形；

(2)当44=45°时，四边形8ECP是正方形；

(3)在(2)的条件下，若AC=4,则四边形ABFC的面积为12.

(2)45；