湖南省郴州市2024-2025学年高三年级上册第一次模拟考试数学试题（解析版）

郴州市2025届高三第一次教学质量监测试卷

数学

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.设集合2={叱、—l)(x—6)<0},B={x|x2<9},则Zn5=()

A.(6,+8)B,(-3,1)C,(-3,6)D.(1,3)

【答案】D

【解析】

【分析】根据集合解不等式求出取值范围，再根据交集求公共部分求得结果.

【详解】集合Z={N(xT)(x—6)<0},则幺={刈1<%<6},

集合B=x2<91,则8={x[-3<x<3},

・•.4Cl3={%11<x<3},

故选：D.

2.设复数2=上二，则Z的共辗复数亍在复平面内对应点的坐标为()

1+1

A.(0,1)B.(1,0)

C.(-1,0)D.(0,-1)

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，利用复数的乘法及除法运算求出z,再求出其共辗复数对应点的坐标.

1-i(l-i)(l-i)_-2i

【详解】依题意，“下(l+i)(l-i)=T

所以』=i在复平面内对应点的坐标为(0,1).

故选：A

3.设xeR,向量U=B=(x,4),则x=-2是5工3的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

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【解析】

【分析】利用是否推出关系来判断充要关系即可.

【详解】当x=—2时,向量1=(x,-1)=(—2,—1),K=(x,4)=(-2,4),

此时有限B=(—2,—1>(—2,4)=—2x(—2)—1x4=0,所以之工心故是充分条件;

当时,方石=1),(羽4)=/―4=0,解得x=±2,故不是必要条件;

所以x=-2是的充分不必要条件，

故选：B.

3

4.已知sin。+cos/?=5，cosa=smf3,则sin(a-7?)=()

111

A.—B.—C.—E

248

【答案】c

【解析】

3

【分析】sina+cos£=e与cose—sin，=0分别平方相加，得到答案.

【详解】sina+cos/=一两边平方得sina+2sinacos〃+cos，二一①,

又cos。=sin/?,故8$。一5由/?=0,两边平方得

cos2a-2cosasin/?+sin2£=0②,

9

式子①+②得，2+2(sinacos/?-cosasin

aii

故2sin(a_£)=w_2=w，故sin(a—/?)=g.

故选：C

ex+e

5,函数/(x)=「的图象大致为()

In+1-x

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【解析】

【分析】利用定义判断函数奇偶性，并判断在(0,+8)上函数值符号，即可得确定图象.

【详解】由解析式，知/(X)的定义域为(-8,0)11(0,+8),

/(-x)=e-+e-(-X)=_e+e_e+e_〃%)

ln(J(-x)2+1+x)In(jx?+1+x)InA/4-1-x)

所以/(%)为奇函数，

21,

当x>0时，e'+eT〉0，0<Vx+l-x=不—<1,

7X+1+X

则In(Vx2+1-xj<0,

所以，在(0,+oo)卜J(x)<0,

结合各项函数图象，知：C选项满足要求

故选：C

x-2ax+a,x<Q

6.已知函数/(x)=11

在R上单调递减，则。的取值范围是()

——ln(x+l),x>0

lex

A.(-oo,0]B.[-1,0]

c.[-1,1]D.[1,+℃)

【答案】D

【解析】

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【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数

值，从而得到不等式，求出答案.

【详解】显然y=4—ln（x+1）在xe[0,+s）上单调递减,

x2-2ax+a,x<0

要想/(x)=<士-ln(x+1),x>0在R上单调递减,

x=a>0

则八八1一，解得。"

0-0+a>--Ini

e

故选：D

7.已知正方体Z8CD—中，点、E、F满足BE=2EB[，GF=2FDX,则平面AEF截正方体

48CD—481GA形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形

C.四边形D.三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由题意，点E是线段8片上靠近用的三等分点，点尸是线段GA上靠近A的三等分点，作出

截面图形可得结论.

【详解】如图，

因为点E、E满足砺=2函，乎=2西,

点E是线段84上靠近用的三等分点,点F是线段G2上靠近2的三等分点，

延长/£，44与交于点G,连接尸G交因G于X,

延长G£42交于点K,连接NK交于/,连接IF,HE,

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则五边形ZE毋7为所求截面图形.

故选：B.

8.已知/(%)=机6""—Inx(机20),若/(x)有两个零点，则实数机的取值范围为()

A.[o,JB.

a3[D.]j

【答案】A

【解析】

【分析】由同构的思想可知，若/(x)有两个零点，则根泥“优一》111》=0(%>0)有两个解，即机x=lnx有

两解，分离变量求导即可

【详解】解：由题意可知，若/(x)有两个零点，则/(x)=Me”—lnx=0有两个解，

等价于mxemx-xlnx=0(x>0)有两个解，

☆g(7)=/ln/,原式等价于g(mx)=g(lnx)有两个解，

mx

即机x=lnx(x>0)Q=x有两个大于零的解.

解机x=lnx,可得加=电二，令力(％)=皿1(%〉0),

XX

则l(x)=1—2X,当0<x<e时，〃'(x)>0,当％>e时，/(x)<0,

X

所以拉(久)在(0,e)上单调递增，在(e,+e)上单调递减，且力(e)=Lh(x)图像如图：

e

所以当0<%<[时，加=.有两个交点，即/(X)有两个零点.

ex

【点睛】方法点睛：当两个函数可以构造成相同的形式时，常用同构的思想，构造函数，将两个函数看成

自变量不同时的同一函数，若函数有交点，转化为自变量有交点求解.

二、多项选择题(本题共3小题，每小6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

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目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列命题中正确的是()

A.已知随机变量X〜则£(2X+1)=4

B.己知随机变量X〜N。,；)/(x<0)=/(x>2)

C.数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8

D.样本甲中有机件样品，其方差为s；,样本乙中有〃件样品，其方差为s；,则由甲乙组成的总体样本的

mn

万七节差班为------邑2+------

m+nm+n

【答案】ABC

【解析】

【分析】利用二项分布的期望公式及期望性质可判断A,利用正态曲线的对称性可判断B,根据百分位数

的求法可判断C,利用两组数据方差的特征可判断D.

所以£（2X+1）=2£（X）+1=4,故A正确;

对于B,因为随机变量X〜所以/(X<0)=/(X22),故B正确；

对于C,因为7x80%=5.6,所以数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8,故C正确;

对于D,记样本甲，乙的平均数分别为京亍，由甲乙组成的总体样本的平均数为石，

2

则甲乙组成的总体样本的方差为-----^+（J-»）1+——.Js；+（歹一力）2

m+n

故D不正确.

故选：ABC.

10.已知曲线C:x2cos9+rsin9=l,。€(0,兀)，则下列说法正确的是()

A.若cosd=0,则曲线C表示两条直线

B.若cos9>0,则曲线C是椭圆

C.若cos6<0,则曲线C是双曲线

D.若cos9=—sin。，则曲线C的离心率为J5

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【答案】ACD

【解析】

【分析】根据cos。、sin。的取值范围，将曲线化为标准方程，进而进行判断即可.

【详解】由题意，曲线C:x2cos6+rsine=l,夕€（0,兀）,

若cosd=0,则sind=l,此时曲线C:y=±l,表示两条直线，故A正确;

若cosd>0,又。€（0,兀），则sin6>0,

x2

+小=1

曲线C:x2cosd+y2sin9=l,可化为1

cos0sin0

当cos6=sin。时,则曲线C表示圆,

当cosOwsin。时，则曲线C表示椭圆，故B错误;

若cos6<0,又。e（0/）,贝iJsin9>0,则曲线C表示双曲线，故C正确;

若cos。=-sin。，又。e（0,兀）,

所以cos9=-注,sine=^

22

22

则曲线C为-r=~1,

V2V2

则曲线。为等轴双曲线，离心率为血，故D正确.

故选：ACD.

11.在正三棱台/2。-。£尸中，AB=6,DE=2,且等腰梯形所在的侧面与底面48。所成夹角的正切

值均为2,则下列结论正确的有（）

A.正三棱台ABC-。£下的高为4百

52

B.正三棱台QE尸的体积为一

3

C.4。与平面43。所成角的正切值为1

D.正三棱台/8C-OE尸外接球的表面积为"史

3

【答案】BCD

【解析】

【分析】将正棱台补全为一个正棱锥尸-ABC,结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱

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与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.

【详解】将正棱台补全为一个正棱锥尸-4BC,如下图示，

其中a,分别为上下底面的中心，G,H为EF,BC的中点，

易知产〃，BC,AHLBC,则ZPHA为等腰梯形所在的侧面与底面ABC所成夹角，

所以tan〃/^=^=2,而H0,=LAH=LX6X^=^，则。。2=2行，

2

HO2332

PO、DE12A/3r-2A/34X/3

根据棱台上下底面相似，知谷=苗=1,即尸a=&士，故0。=2也-2=乂,A错;

FU?Ab3333

由S'DEF=；x展=BS"=gx6?x?=9百,

所以%C.DEF=；X苧x（百+36+96）=5,B对；

+7UATJ尸。22A/3,

tanZPAH=---=-------广=1

由图知：NP/”为2。与平面48c所成角，则A°22X6X^3，C对；

32

2222

若。为正三棱台ABC-DEF外接球的球心，则其半径04=0D,即O.D+0x0=<92^+（92<9,

令。1。=》，则（^^）2+/=Q百了—工）？，可得X=2百，

44040160TT

所以。=—+12=，，故外接球表面积为4兀x，=-^,D对.

3333

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）

12.已知S“为等差数列｛叫的前〃项和，若M+$7=24,则19a3+&=.

【答案】48

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【解析】

【分析】由等差数列前〃项和的性质以及基本量的运算转化S3+S7,再用表示19%+/1，借助于两

者之间的关系计算结果.

【详解】解：由数列前"项和的性质可知：S3+5=34+7%=104+24d=24,即5%+12d=12,

贝1]19%+孙=20al+48d=4（54+12d）=48.

故答案为：48

13.从数字1,2,3,4中随机取一个数字，第一次取到的数字为迫=1,2,3,4）,再从数字1,…，z,中随

机取一个数字，则第二次取到数字为3的概率是.

7

【答案】-77

48

【解析】

【分析】利用互斥事件加法公式和全概率公式求解即可.

【详解】记事件4为“第一次取到数字『‘，7=123,4,

事件B为“第二次取到的数字为3”，

由题意知4，a，4,4是两两互斥的事件，且4U4U4U4=Q（样本空间），

P（B）=P（B&uBA?UBA3uBAj=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）+P（BA4）

=P（4）P（3|4）+P（4）尸（同4）+尸（4）P（同4）+尸（4）尸（M4）

=—1xOc+—1xcO+1—x1—+1—x—1=7——.

44434448

7

故答案为：——.

48

14.已知抛物线/=4%，从抛物线内一点N（2,J5）发出平行于x轴的光线经过推物线上点8反射后交抛

物线于点C,则V45C的面积为.

【答案】2也

4

【解析】

【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可.

【详解】由抛物线的光学性质知，直线8c与x轴的交点为抛物线的焦点，

/=4x的焦点为（1,0）,故8c与x轴的交点横坐标为1,

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根据题意，画出草图，如下图所示,

令＞=也得X=；,解得8g,、回，又8c过焦点,

所以8c方程为:

即y=_2VLc+2后，联立］，=—20x+2夜，

J=4x

得2/—5X+2=0,解得X=2或X=；,所以C(2「2⑹

:.YABC的AB边上的高为V2-(-2V2)=372,

13

又4B=2——=-,

1122

所以S/BC=-x-x3V2=-^>

"ABC224

故答案为：2y2.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.若锐角V45C中，A、B、C所对的边分别为。、b、c,且V48C的面积为言十/一

(1)求2；

（2）求£的取值范围.

a

71

【答案】（1）-

6

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rvs2⑸

(2)[LJ

【解析】

【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案;

A

（2）由题可得〈色，后由正弦定理可得£=--+—,后由正切函数单调性可得答案.

32a2tanA2

【小问1详解】

由余弦定理，a2+c2-b2=2accosB.又三角形面积为S==acsin5,

2

^--2accosB--acsinB，又由题71，则；

a2+c2-b2)=tan5=5e15=/71

122326

【小问2详解】

Sjr57r

由(1),4+C=——nC=——A,又V45C为锐角三角形,

66

八,兀

0<Z<—

2兀,兀

则=一<%<一.

△571,7132

0<-----A<—

62

由正弦定理：c

a

因y=tanx在xetanA>y/3=>0<------<—♦

tan/3

则*1

--------------F

2tan/

16.如图，在四面体4—8CZ）中,AD=BD=BAC=BC=2,ADLDB,ZCAD=30°f”是

的中点，P是2M的中点，点。在线段NC上，且20=3。。.

c

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(1)证明：尸Q//平面BCD；

(2)求二面角Z—PC—四的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由线面垂直的判定定理可证平面BCD,即可建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐

标运算代入计算，即可证明；

(2)由二面角的向量求法，代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

因为ZQ=G,ZC=2,且NC4D=30。，

22

由余弦定理可得。)2=AC+AD-2AC-AD-COS3Q°，

即C02=22+(G)——2x2Gx券=1，即CD=1,

所以4。2+0)2=2。2,即ZDLCQ,又4DLDB,

且8Z)cC£>=。，平面53,所以40,平面BCD,

又BC=2,BD=C，则=8。2,即5。J_CQ,

以。为原点，分别以万反反，方3为MN/轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系,

则£>(O,O,O),/(O,O,G),5(G,O,O),C(O,I,O),

(也、(

又“是的中点，则/，是瓦勿的中点，则尸一三，

400,0,j2P,0,‘

IJ〔24

第12页供19页

/、

,则q吟乎

且4。=3。。，则

7

/

所以网—,p0,因为4D,平面BCD,取方为平面BCD的一个法向量,

7

,因为尸。。4=0,所以尸QJLD4,

则尸。//平面BCD.

【小问2详解】

(\C\c

V3373

由(1)可知尸z一_Z-，Un,,PC=--,1,--,PM=--,0,—,

2224424

4J77

设平面APC的法向量为访=(x,y,z),

可•应=—旦+”=0

242x=3z

则,解得,取z=2,则＞=2百,》=3,

定.而=_@x+v一3z=0J=Mz

2-4

则平面/PC的一个法向量为应=0,26,2卜

设平面PCM的法向量为元=(a力,c),

PC-n=-—a+b--c=Q

24c=2。

则，解得厂,取。=1,则Z)=J§\c=2,

两.万=—@a+@c=0b=73a

24

则平面PCM的一个法向量为n=(1,V3,2),

设二面角Z-PC-M为。，显然。为锐角,

同同_3+6+4_13_13血

则cos。=|cos(m,n^|二j

m\-\n\-725x78-1072-20'

所以二面角A-PC-M的余弦值为上也

20

17.已知椭圆£的离心率为当，椭圆£上一点尸到左焦点的距离的最小值为8—1.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)已知直线/与椭圆E交于M、N两点，且(WLON,求AOW面积的取值范围.

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尤2

【答案】（1）—+y2=l；

2

⑵浮

【解析】

【分析】（1）设出椭圆E的标准方程，由离心率及最小距离求出见“c即可.

（2）按直线是否垂直于坐标轴分类，求出进而表示出三角形面积，再借助二次函数求

出范围即可.

【小问1详解】

22

依题意，设椭圆£的标准方程为J+\=l（a〉b〉O）,半焦距为

ab

由椭圆£的离心率为e,得9二五王=1,则〃=①力二°,

2。Q2

设尸（%,%）,则需a4/《a,椭圆E的左焦点尸（一c,0）,

a

）2=—Xg+fl>tZ—C>

则|PC|=yj（x+c）"+J/Q=Jxj+2cx+c~+Zr——XQ

00a

当且仅当X。=—。时取等号，因此a—c=a-1，解得b=c=l,a=J5,

所以椭圆£的标准方程为—+/=1.

2-

【小问2详解】

当直线0"不垂直于坐标轴时，直线的斜率存在且不为0,设其方程为>=依（左。0）,

；2+：2=2消去'得，=/，则=止1普

由<

直线。Nu-L,同理3卜"

V2-VF+1

k“2+2，

=^\OM\\ON\=k2+l________k2+l

则△OIW的面积S&OMN

42左2+1.“2+272（P+1）-1-7（^2+1）+1

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1

令二士仅。,1),

TpV+p^+2

，="

当直线OM垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令|。河|=挺,|ON|=1,5

\OMN-2

所以△〃/面积的取值范围是g,*].

(1)当。>0时，试讨论/(X)的单调性；

(2)若函数/(x)有两个不相等的零点为，x2,

(i)求。的取值范围；

(ii)证明：Xi+Xj>4.

【答案】(1)答案见解析；

(2)(i)---<«<0；(ii)证明见解析.

ln2-l

【解析】

【分析】(1)利用导数并讨论参数。的范围研究导数的符号，即可判断单调性；

(2)(i)结合(1)的单调性判断/(2)、/(a)的符号，排除a20,再在。<0的情况下研究/(x)的单调

性和最值，根据零点的个数求参数范围；

(ii)由(i)有0<Xi<2</，分析法将问题化为证明/(4—X])</(芭)，进而构造A(x)=/(4-x)-/(x)

并利用导数研究其符号，即可证结论.

【小问1详解】

由题设尸(x)=Mx—仅+2)=*-伍+2)x+2j(x—2)(x—㈤,且xe(o,+s),

XXX

当0<。<2时,在(0,a)上/'(x)>0,在(a,2)上y(x)<0,在(2,+oo)上/'(x)>0,

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所以,在以山)、(2,+co)上/(x)单调递增，在仅,2)上/(x)单调递减；

当a=2时，在(0,+◎上在(x)20恒成立,故/(x)在(0,+■)上单调递增;

当a>2时，在(0,2)上/'(x)>0,在(2,a)上八x)<0,在(。,+功上/'(x)〉0,

所以，在(0,2)、3+8)上/(x)单调递增，在(2,a)上/(x)单调递减.

【小问2详解】

1,

(i)由/(2)=2ata2+-x22-(a+2)x2=2(ata2-a-l)<0,

若a〉0时，f(tz)=2aIna+5-(a+2)a=—(4Ina-a-4),

44—Q

令y=41na—a-4且a>0,则y'=——1=------,

aa

所以0<a<4时y'〉0,。>4时了'<0,

故y=41na—a-4在(0,4)上递增，在(4,+s)上递减，则j^x=81n2—8<0,

所以/⑷<0,

结合(1)中/(x)的单调性，易知。>0不可能出现两个不相等的零点，

又a=0时，/(x)=g/—2x在(0,+s)上只有一个零点，不满足，

所以a<0,此时，在(0,2)上/'(x)<0,在(2,+⑹上/'(x)〉0,

故在(0,2)上/(x)单调递减,在(2,+8)上/(x)单调递增，则在(x)1nhi=/(2)=2(aln2-a-l),

又x趋向于0或负无穷时，/(x)趋向正无穷，只需g(a)=a(ln2-1)-1<0成立，

显然g(a)在(-吗0)上递减，且当时g(a)=0,

In2-1

所以，[二<。<0时g(a)<0恒成立，即所求范围为[L<a<0；

ta2-lln2-l

(ii)由(i),在丁口一<。<0时，/(x)存在两个不相等的零点七,》2，

不妨令0<X]<2<%,要证西+工2〉4,即证》2〉4-芭，而4-西€(2,4),

由(i)知：在(2,+co)上/(x)单调递增，只需证/(4—xJ</(X2)=/(xJ=0,

由2alnX]+—x^-(a+2)苞=0,贝！Jx；—4玉=2a(再一21nxJ

令〃(x)=/(4-x)-/(x),且0<无<2,

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1919

贝!Jh(x)—2Qln(4-x)+—(4-x)-(a+2)(4-x)-2QInx--x+(a+2)x

=2aln(4一x)-2。Inx-4。+2ax,

所以，在以2)上〃'(x)=—2a••-2)一〉o,即以x)在(0,2)上递增,

x(4-x)

所以〃(T)<〃(2)=2。1112-2。1112-4口+40=0,即/(4-xJ</(xj=/(%)成立，

所以X]+%〉4,得证.

【点睛】关键点点睛：第二问，首先利用第一问及其零点个数将参数范围限定在a<0,进而利用导数研

究其最值求范围，再令0<王<2<々，将问题转化为证/(4-苞)</(王)是关键.

19.已知数列4,:4,…，%(〃N2,〃eN*)是正整数1,2,3,…/的一个全排列，若对每个左e{2,3,…〃}

都有E-久」=2或3,则称4为〃数列

(1)列出所有H数列4的情形；

(2)写出一个满足巴丘=5左(左=1,2,…,405)的”数列4025的通项公式；

(3)在〃数列4o25中，记瓦=%(左=1，2,…,405),若数列{砧是公差为d的等差数列，求证：d=5

或d=-5.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)讨论为,由条件确定的，由此确定%，4，生，可得结论；

(2)由(1)确定4(125的前5项，构造数列满足%+5=%+5,证明此时满足条件，由此确定4O25；

(3)由条件可得d=2x+3y(x,yeZ),(MM=(0,5),(l,4),(2,3),(3,2),(4,l),(5,0),

通过讨论，证明结论.

【小问1详解】

若%=1,则%=3或%=4,

当4=1,%=3时，生=5，4=2，%