14.2 三角形的内角和（第1课时）（教学课件）-2023-2024学年七年级数学下册同步课堂（沪教版）

14.2三角形的内角和（第1课时）2023-2024学年沪教版七年级下册数学课件问1：三角形的三边之间有何关系？三角形任意两边的和大于第三边.问2：三角形的三个内角之间有怎么样的数量关系呢？三角形的三个内角和等于180°.猜想：？∠A+∠B+∠C=180°.？等边三角形的三个角分别是多少？三个内角的和为多少？

一副三角尺的两个三角形的三个角分别是多少？三个内角的和是多少？60°+60°+60°=180°90°+60°+30°=180°90°+45°+45°=180°

如何验证三角形的内角和等于180°?

方法二:可裁下它的三个角，拼在一起，构成平角180°方法一:量角器量出三个角并相加，得出结论和为180°测量法想一想拼叠法操作爱动脑筋的小杰从一块三角形纸板裁下它的三个角,拼在一起,如图14-6所示三角形的三个内角和等于180°.证明：∠A+∠B+∠C=180°你有什么办法可以验证呢?把三个角拼在一起试试！把∠B、∠C裁下拼在∠A两旁把∠A、∠B裁下拼在∠C一旁ABCABCABCEFEF三角形的三个内角和等于180°.证明：ABCEFEF1添画的虚线叫做辅助线2理由：过点A作EF∥BA，∴∠B=∠1，∠C=∠2.(两直线平行,内错角相等)又∵∠1+∠BAC+∠2=180°,(平角的意义)∴∠B+∠BAC+∠C=180°.(等量代换)把∠B、∠C裁下拼在∠A两旁∠A+∠B+∠C=180°内错角相等，得EA∥BC、AF∥BC过点A作BC的平行线三角形的三个内角和等于180°.证明：∠A+∠B+∠C=180°ABCEFEF12理由：延长BC到E，过C作CF∥BA，∴∠B=∠1，(两直线平行，同位角相等)∠A=∠2.(两直线平行，内错角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°,(平角的意义)∴∠A+∠B+∠ACB=180°.(等量代换)把∠A、∠B裁下拼在∠C一旁能否采用只剪一个角的方法加以证明？你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？添加辅助线思路：1、构造平角2、构造同旁内角ABCE图2EABCDF图4ANBCTS图6PQRMANBCTS图5PQRM（ABCEDF（（1234（图3）AE）12BCD图1…………在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）.符号语言：三角形的三个内角和等于180°.结论：∠A+∠B+∠C=180°思考1一个三角形的三个内角中最多有几个钝角?几个直角?答：一个钝角；一个直角.例题1

在△ABC中，已知∠B=35°，∠C=55°，求∠A的度数，并判断△ABC的类型.解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）.∵∠B=35°，∠C=55°（已知），∴∠A=180°

∠B

∠C=180°

35°

55°=90°（等式性质）.∴△ABC是直角三角形.

例题2

在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=1︰2︰3，求∠A、∠B、∠C的度数.解：根据题意，可设∠A、∠B、∠C的度数分别为x、2x、3x.即x+2x+3x=180.解得x=30.∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.可设一份为x.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和等于180°）.1.下列各组角中属于同一个三角形内角的是(____)A.80°，80°，20°B.60°，70°，20°C.38°，32°，70°D.35°，126°，100°【解析】解：A、80°+80°+20°=180°，故A符合题意；B、60°+70°+20°=150°≠180°，故B不符合题意；C、38°+32°+70°=140°≠180°，故C不符合题意；D、35°+126°+100°=261°≠180°，故D不符合题意；故选：A．A2.下列叙述正确的有(____)①锐角三角形的三个内角都是锐角②钝角三角形的三个内角都是钝角③三角形的三个内角中最多有一个钝角④钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和⑤三角形中最小的两个内角的和必定大于90°⑥三角形的三个内角至少有两个锐角A.1个B.2个C.3个D.4个B3.已知△ABC中，∠B=81°，那么△ABC是(____)A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能【解析】解：△ABC中，∠B=81°，那么△ABC是可能是锐角三角形，直角三角形，或钝角三角形．故选：D．D

【解析】解：①因为∠A-∠B=∠C，可得∠A=90°，△ABC是直角三角形．②∠A=3∠C，∠B=2∠C，可得∠A=90°，∠B=60°，∠C=30°，△ABC是直角三角形．③∠A=∠B=2∠C，可得∠A=∠B=72°，∠C=36°，△ABC不是直角三角形．①②④

5.在△ABC中，∠A=60°，∠C=88°，则∠B=_____，它是_____三角形；在△ABC中，∠A=34°，∠B=56°，则∠C=_____，它是_____三角形；在△ABC中，∠B=25°，∠C=48°，则∠A=______，它是_____三角形．【解析】解：在△ABC中，∠A=60°，∠C=88°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-88°=32°，∵32°＜60°＜88°，88°＜90°，∴该三角形是锐角三角形；32°锐角90°直角107°钝角在△ABC中，∠A=34°，∠B=56°，∴∠C=180°-34°-56°=90°，∵34°＜56°=90°，90°=90°，∴该三角形是直角三角形；在△ABC中，∠B=25°，∠C=48°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-25°-48°=107°，∵25°＜48°＜107°，107°＞90°，∴该三角形是钝角三角形．故答案为：32°；锐角；90°；直角；107°；钝角．6.若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则△ABC的形状是__________________．【解析】解：设三个内角的度数分别为k°，k°，2k°，则k°+k°+2k°=180°，解得k°=45°，∴2k°=90°，∴这个三角形是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角三角形．等腰直角三角形7.如图，在△ABC中，两个内角∠BAC与∠BCA的角平分线交于点D，若∠B=70°，则∠D=_____度．

1258.如果一个三角形中有一个内角的度数是另外两个内角度数差的2倍，我们就称这个三角形为“奇巧三角形”．已知一个直角三角形是“奇巧三角形”，那么该三角形的最小内角等于______度．

22.59.判断下列各组角度的角是否为同一个三角形的内角：(1)80°，95°，5°；(2)60°，20°，90°；(3)35°，40°，105°；(4)73°，50°，57°．【解析】解：(1)∵80°+95°+5°=180°，∴80°，95°，5°是同一个三角形的内角；(2)∵60°+20°+90°=170°，170°≠180°，∴60°，20°，90°不是同一个三角形的内角；(3)∵35°+40°+105°=180°，∴35°，40°，105°是同一个三角形的内角；(4)∵73°+50°+57°=180°，∴73°，50°，57°是同一个三角形的内角．10.已知△ABC中两个内角的度数，判断△ABC的类型：(1)∠A=30°，∠B=40°；(2)∠B=32°，∠C=58°；(3)∠A=60°，∠C=50°．【解析】解：(1)在△ABC中，∠A=30°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-40°=110°，又∵110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形；(2)在△ABC中，∠B=32°，∠C=58°，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-32°-58°=90°，∴△ABC是直角三角形；(3)在△ABC中，∠A=60°，∠C=50°，∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-50°=70°，又∵50°＜60°＜70°＜90°，∴△ABC是锐角三角形．11.已知在△ABC中，∠A=2∠C，∠B=3∠C，求各内角的度数，并判断△ABC的形状．【解析】解：∵∠A=2∠C，∠B=3∠C，∴2∠C+3∠C+∠C=180°，∴6∠C=180°，解得∠C=30°；∴∠A=2∠C=2×30°=60°，∠B=3∠C=3×30°=90°，∴△ABC是直角三角形．12.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是△ABC的角平分线，∴∠C=75°，∠CAD=30°，∴∠ADB=∠CAD+∠C=105°．13.如图，△ABC中，∠A=2∠B，∠C-∠B=80°，求∠A、∠B、∠C的度数．【解析】解：∵∠C-∠B=80°，∴∠C=∠B+80°，又∵∠A=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B+∠B+∠B+80°=180°，解得∠B=25°，∴∠A=2×25°=50°，∠C=25°+80°=105°．14.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD．请判断△BEC的形状，并说明理由．

∴∠BEC=90°(等式性质)，∴△BEC是直角三角形．15.如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，AE⊥BC，垂足为点E，求∠DAE的度数．

∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=10°．16.(1)在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC=110°，求∠B的度数；(2)如图1，AF和CE分别平分∠BAD和∠BCD．当点D在直线AC上时，∠APC=100°，则∠B的度数；(3)在(2)的基础上，当点D在直线AC外时，如图2：∠ADC=130°，∠APC=100°，求∠B的度数．______【解析】解：(1)如图1中，___∵AF，CE是高，∴∠AFB=∠AEC=90°，∵∠APC=∠AEP+∠PAE，∴∠PAE=110°-90°=20°，∴∠B=90°-∠PAE=90°-20°=70°．(2)如图2中，__∴∠APC=100°