函数的综合应用-2025高考数学一轮复习讲义

第18讲函数的综合应用

知识梳理

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函

数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着

重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题

的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换

形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握

指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、

求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求

导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数=的图象与性质

Z=1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图（1）函数y（x）=W+|x-[+|x-3|,图（2）函数

g（x）=|x|+|x-l|+|x-2|+|.x+1|

⑴当“为奇数时，函数=的图象是一个“v”型，且在“最中间的点”取

Z=1

最小值；

（2）当〃为偶数时，函数=的图象是一个平底型，且在“最中间水平线

Z=1

段”取最小值;

若4(，eN*)为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a中对称，偶数的图象关于直

线左中+尤右中对称.

2

3、若〃尤)为［小〃］上的连续单峰函数,且〃〃［)="哈不为极值点，则当人力变化时,

g(x)=\f{x}-kx-b\的最大值的最小值为:(，)一〃品)|,当且仅当4=0/=〃“)+〃/)

22

时取得.

必考题型全归纳

题型一：函数与数列的综合

例1.(2024•全国•高三专题练习)已知数列{%},满足再=1,2—=加(1+%)5eN*),

设数列{%}的前〃项和为S",则以下结论正确的是()

x

A.%〃+i>nB.xn-2xn+l<xnxn+1

c.25/^7>X„+1+1D.SII+5>2

【答案】B

［解析］.2x„+1=ln(l+x„)(neN*),把下=1代入递推可得：>0,

令f(x)=x-/〃(x+l),X>O,贝！I广(无)=^^>0,y(x)在(0,+8)单调递增，

x+1

.-./(x)>/(0),即当％>0时,恒有加(1+九)<九成立，

>0,2xn+i=ln(l+xn)<xn,:.xn>2xn+l>xn+i,故选项A错误；

又Y24二<3+1,「•选项C错误；

°加(1+%)2%一(2+%〃)历(1+当)2+x2xn

・"2%f%=▼历(1+%)-——=------------2-------------=—+X")］

，0V1,

令)=---ln(l+x),0〈兀,1,则旷=_;^-—T-~~-<0,二.函数y=-^_历(1+%)在(0,

1］上递减，.-^<^(0)=0,

••・(%一2%+1)-覆覆+1<0，故选项5正确；

又由%>2%+1可得%〃+i</，％=1,二.七”总■(当且仅当〃=1时取"="),可得

S”，，1+；+…+J=2—(g)〃T<2,

f故选项。错误,

故选8.

例2.(2024.全国•高三专题练习)已知函数/(x)=e—x-l,数列｛七｝的前〃项和为

S",且满足4=g,%i=/(a“)，则下列有关数列｛外,｝的叙述正确的是()

A.%<|4%-34|B./C.%>1D.5100>26

【答案】A

【解析】由/(x)=/-x-l=x,解得％=0或%=%,

由零点存在性定理得工二%w(L2),

「•当〃〃时，〃〃+1-。〃=a"一2。〃一1<。，数列单调递减，

q=—<X。，/.%=/(q)<q=—<XQ同理,生<%=f(%)V—，

22F2

迭代下去，可得<…<q=；,数列单调递减，

故选项5和选项C都错误；

11_

=

3^0<cin<<...<%e?---1<1.7-1.5—0.2,

5100<99%+4=20.3,故D错误；

对于A,14%—34|>|3x0.5-4x0.21=0.7,

而。5<%<0.2<0,7,

•••%<|4%—3。11,故A正确.

故选A.

例3.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(%)=/-数列｛4｝的前〃项和为

S",且满足％=；,=/(%),则下列有关数列｛七｝的叙述正确的是()

A.B.4<%C.S100<26D.a5>\4a2-3a1|

【答案】C

【解析】对于A选项，«2=^-i-l=e^-|<^|7-|=1,故A错误；

an

对于5选项，由/..x+1知，an+l=f(an)=e~--1..0,

故｛%｝为非负数列，又%-

设g(x)=ex-2x-l(x>0),贝!]g<x)=e'-2,

易知g(x)在[0,历2)单调递减，在(加2,”)上单调递增，

所以-；<1-2加2=<g(0)=0,

^0<0]=!</«2,所以/_%<0,从而”,+1_%<0,

所以｛"J为递减数列，且源女“；，故8错误；

对于C选项，

1

寸

B有

〃><

因为数列｛%｝为递减数列，当,4-

11”

011-26

4-4-4

3100=4+〃2+%+―-+%00<5+1++..+

131

故。正确；对于Z)选项，因为GV]，而|4出-34|=|4%-耳〉],故。错误.故选C.

变式1.(2024・全国•高三专题练习)已知数列｛%｝满足：%>0,且

*=3d+i—2%+]5wN*),下列说法正确的是()

n-l

3

A.若〃i=5,则。〃>an+\B.若q=2,则421+

a+a<2aa

C.x53D.|0“+2一。"1|2~n\

【答案】B

【解析】C=3d+「2%+](〃£N*),故—1=3。〃+:-2an+i-1,

(4+1)(〃〃-1)=(34+i+1)(。用—1).

故。〃+1〉0且3。n+\+1>。,于是(4-1)与(。〃+1-1)同号,

即⑷-1)(%-1)>0.

对选项A：若q=；,贝!|q-l=-；<0,则

一。3=2。4a1-1)<0,所以。〃<〃〃+1，错误；

对选项B：4=2,%-1=1>0,则a“-l>0,即见>1,

于是4一喙i=2〃〃+i（%il）>0,即〃〃>4+1，数列｛〃〃｝单调递减,。〃<%=2,

/\+13

4*2%,7（q+]-%）<0,故427（--”“）+2%,即3a+.7,

CL,,—1+13

a+1X4-1）=（3。向+1）（。川-1）,故矢nT=”，

anT乜+1+1/

故,故％，正确；

_______93x—1

对选项C：考虑函数〃尤）=，3炉_2彳,X>§,于卜）=色22

函数单调递增，结合V=x的图像，如图所示：

由图可知当%>。时，数列｛%-%｝递减，

a1-a2+a2—a3>a3—a4+a4—a5,所以q一生〉/一生，即〃1+〃5>2〃3，不正确；

2

对选项D：设%+i=x,则M=《3X-2x,an+2———.力,

a2

\n+2-an+]\>^-\an+l-an\,即l+J'x7>y-|^-73x-2x|,

等价于2+2后，9/一6犬>2,1+3/（3^-1）,化简得/—2x+]V0,

而尤2-2元+140显然不恒成立，不正确；

故选：B.

变式2.（2024.陕西渭南.统考二模）已知函数/（x）=sinx+lnx,将的所有极值

点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛%｝,对于VneN.,则下列说法中正确的是（）

A.rm<xn<（M+1）KB.xn+l-xn<

(2〃-1)兀，是递增数列D.+也产

C.数列尤“一

2

【答案】D

【解析】的极值点为广（力=cosx+J在（0,+e）上的变号零点.

即为函数丁=8$%与函数y=-L图像在（0,+e）交点的横坐标.

X

1

又注意至（J%£（O,"1-00）时，—<0,女EN时，COS（7l+2kjl）=—1<—

X71+2^71

JTJI

左eN*,%61]u]-；+2左n，5+2左1时，cosx>0.

据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.

TT|

尸(；+2E)=------->0

A选项，注意到女EN时,

——+2fai

2

]

My+2">0

，(兀+2左r)=-1+-------<0,3兀

1)兀+2%兀—+2k工

2、

结合图像可知当〃=2左-1,左eN*,x“e兀，〃兀c((〃-1)JI,何.

7

当〃=2Z,%£N*,七£（〃一1）兀，］〃一（J五口（（〃一1）五，心）•故A错误;

53

B选项，由图像可知毛>5兀，/v万兀，则出一%>兀，故B错误；

C选项，X.一汽如表示两点（斗,0）与卜-g1n,o间距离，由图像可知，

(2H-1)TT

随着〃的增大，两点间距离越来越近，即无“一为递减数列，故C错误;

2

4n1

D选项，由A选项分析可知，x2ne^（2«-1）Jt,~nj,〃eN*,

'（4n-1）11

又结合图像可知，当Xe%,2口时’cosx>-：,即此时掰^）>0,

/''（4w-1）、

得了（x）在%，2"上单调递增，

\）

则/区）<d（4J）1=_i+in（4”］）兀,故D正确.

故选：D

变式3.（2024.上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）无穷数列｛%｝满足：

0<%<1,且对任意的正整数"，均有e'”=（3-q）e"”，则下列说法正确的是（）

A.数列｛%｝为严格减数列B.存在正整数%使得4<。

C.数列｛%｝中存在某一项为最大项D.存在正整数小使得%

【答案】D

【解析】因为6%=（3-%）的>0,所以3-g>。，所以％<3,

由e*=（3-q,）e°"可得片口=（3-,则。用一%=In（3—%）,

贝值％=4+ln（3-q），

设函数/（x）=%+1口（3—%）,。<%<3,

1x-2

小）=1+=—

当0<x<2时，r（x）>0,当2Vx<3时，/（琼<0,

所以/（x）在（0,2）单调递增，（2,3）单调递减，

所以所（x）S/（2）=2,

因为0<4<1,所以％=/（2c（0,2）g=/⑷€（0,2）,…

以此类推，对任意〃eN*,0<a“<2,故B错误；

所以%=/（«„）=an+ln（3-a„）>a„,故A错误；

因为。用>4,所以数列｛%｝中不存在某一项为最大项，C错误;

因为0<q<l,所以〃2=/(q)=%+ln(3-q)〉ln3>l,

34

a3=/(%)=%+1口(3-d!2)>l+ln2>—>—,

4

所以存在正整数”使得D正确.

题型二：函数与不等式的综合

例4.(2024.全国•高三专题练习)关于X的不等式@-1)9999一29999“99996+1,解集为

【答案】［一1,—)

【解析】由题设，(x-l)99"-(2x)9999<x+l,而y=/99在R上递增，

当x-l>2x即X<_1时，(X-1)9999_(2x)99">0>x+l,原不等式不成立；

当x—lV2x即x2T时，(X-1)9"9-(2；<)9999WOWX+I,原不等式恒成立.

综上，解集为［-I,—).

故答案为：［-1,+00)

例5.(2024•全国•高三专题练习)意大利数学家斐波那契(1175年~1250年)以兔子繁

殖数量为例，引人数列：11,2,3,5,8,…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，

即%+2=4+1+%©N*),故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为

1研卜_研

.设〃是不等式log2［(l+0)"一(1一非)"+5的正整数

解，则"的最小值为.

【答案】8

［解析］由logja+6)"一(1一6)［>〃+5,log2［(1+A/5)--(1->/5)"］-77>5,

得log2[(1+6”-(1-6)log?2">5,得log2(1+国-(1-3

>5'

25

，则数列｛%｝即为斐波那契数列,

25则Y>,，显然数列｛%｝为递增数列且%>。，所以数列｛吊｝亦为递增

数列,

由％=%=1，得〃3=4+〃2=2,〃4=%+。3=3,a5=a3+a4=5,a6=a4+a5=8f

%=%+%=13,%=4+%=21,

因为a；=132=169=204.8,d=2F=441>与=204.8,

所以

使得片>q成立的〃的最小值为8.

故答案为：8.

例6.(2024・辽宁•高三校考阶段练习)已知函数〃尤)=—+x+2,若不等式

2"+1

/(八4"+1)+/(机-2，)25对任意的％>0恒成立，则实数加的最小值为

【答案】1二1

2

［解析］因为f(x)+f(-x)=—？―+无+2+｝一尤+2=5,

2+12+1

所以小)图象关于点(0,1)对称，

2

2xln2_4A+(2-ln2)2v+l

又/'(x)=l->0,

所以/(x)在R上单调递增,

f(m-4x+1)+f[m-2')>5等价于f(m-4x+l)+/(m-2")>f(m-2x)+f(2x-tn),

即/(m-4'+l)>f(2'-㈤恒成立，

2X-1

所以m4+122”一〃7,即m2------(x>0)恒成立，

4X+1

令2—1=八。0),可得加2而37rMz—,

f_11

而不如二“酝，当且仅当，=四时取等号，

t

所以机21二L即实数加的最小值为避二1.

22

故答案为：变二L

2

变式4.(2024.全国.模拟预测)己知函数，(x)是定义域为R的函数，

/(2+x)+/(-x)=0,对任意X1,XjG^+oo)(Xj<x2),均有/(%)-〃西)>0,已知a,b

(aw9为关于X的方程/一2尤+产-3=0的两个解，则关于f的不等式

/(a)+/S)+/(r)>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】由/(2+x)+/(—x)=0,得/⑴=0且函数关于点(1,0)对称.

由对任意为，x2e[l,+oo)(xj<x2),均有/(%)-/(%)>。，

可知函数人尤)在[1,+⑹上单调递增.

又因为函数〃尤)的定义域为R,

所以函数/'(尤)在R上单调递增.

因为a,b(a4)为关于x的方程/一2》+产-3=0的两个解，

所以A=4—4卜2-3)>0,解得一2</<2,

且a+Z?=2,即b=2—a.

又〃2+x)+〃r)=0,

令x=-a，贝+/(6)=。，

则由75)+/伍)+〃。>0,得/«)>0"⑴,

所以/>1.

综上，/的取值范围是。,2).

故选：D.

题型三：函数中的创新题

例7.(2024・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨

利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数小，«,函数八%)在

无=0处的切,川阶帕德近似定义为：=…+””,且满足：/(0)=7?(0),

1+4%+・一+3

尸(O)=R(O),尸(0)=R'(0)…，/叱〃)(0)=郑加+〃)(0).已知f(x)=ln(%+l)在％=0处的

15阶帕德近似为做户为.注：

广⑴=[:(切',广(尤)=[/〃(切',广＞Q)=[尸⑴]'J⑸(尤)=上⑷⑶],…

⑴求实数。，b的值;

⑵求证：(x+b)f1>1：

£

(3)求不等式[1+<e<[+1J+2的解集，其中e=2.71828….

【解析】⑴因为如)二黑’所以叱⑴二湍广R'(x)=

“…x+D'则i)=士，…)=-岛,

由题意知，/'(。)="(0),/〃(O)=R"(O),

a=l

所以,解得a=l,b=~-

—lab-112

(2)由(1)知，BPilE+—^In+—^>1,

令"1+L则，>0且

x

即证te(O,l)U(l,y)时才

记。⑺=ln好处D?e(0,l)U(l,+»),

贝|]°()=：一4(if

>0,

(f+l)2f(r+l)2

所以在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递增,

当te（O,l）时9。）<必1）=0,即mt〈坐即^成立,

当/w（l,”）时。。）>0（1）=0,即即^^ylnt>l成立,

综上可得7e（0,1）U（1,+助时养。.Et>1,

所以（x+g]ln[l+J>l成立，即（。份/&）>1成立.

（3）由题意知，欲使得不等式[i+_L[<e<“+rp成立,

贝！J至少有1+—>0,即％>0或x<-L

x

首先考虑e<[l+L]=,该不等式等价于山（1+工]=>1，BP^+1jln^l+|j>l,

又由（2）知（x+gjln（l+成立，

所以使得e<[1+成立的x的取值范围是（9,-1）u（0,"）,

再考虑[1+<e,该不等式等价于xln11+]<1,

记/z(x)=lnx-x+l,xe(O,l)|J(l,+co),

ii_r

贝|J，(X)=——1=----,所以当。〈九vl时/z'(x)>0,x〉l时"(%)<0,

XX

所以可无)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以⑴=0,即lnx<x-l,XG(O,1)0(1,+^),

所以+,xe(-co,-l)u(0,+Go),

当x£(0,+oo)时由In[1H—]<—,可知xln(ld—)<1成立，

当xe(y,—l)时由ln[l+J<]可知xln(l+J<1不成立，

所以使得(1+1J<e成立的x的取值范围是(0,+s),

综上可得不等式11+1|<e<［l+［?的解集为(0,+s).

例8.(2024.上海黄浦・上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数y=/(x)和

y=g(%)的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数y=/(x)和y=g(%)具有C

关系.

⑴判断函数/("=1暇(犷)和g")=bg广是否具有C关系；

⑵若函数=小E和g(x)=f-1不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若函数/⑺二肥''和8(力="而11武相<0)在区间(0,兀)上具有C关系，求实数机的

取值范围.

【解析】(1)与g(x)是具有C关系，理由如下：

根据定义，若〃x)与g(x)具有C关系，则在〃x)与g(x)的定义域的交集上存在

x,使得/(x)+g(x)=0,

因为〃x)=log2(8x2),g(x)=bg：x,x>0,

2

所以f(尤)+g(x)=log2(8x)+log工x=log28+log,尤2-log2x=log?x+3,

2

令”x)+g(x)=0,BPlog2x+3=0,解得x=J,

o

所以“X)与g(x)具有C关系.

(2)令0(x)=/(%)+g(x),

因为〃尤)=qjx_l,g(x)=-x-l,所以0(x)=ajx-l-尤-1(x21),

令/=，¥-1(/20),贝！Ix=『+1,故y=e(x)=a，一(广+1)—1=一厂+〃一2,

因为“X)与g(x)不具有C关系，所以夕(X)在［0,+8)上恒为负或恒为正，

又因为>=-/+af-2开口向下，所以y=-r+S-2在［0,+8)上恒为负，即

-产+成-2<0在［0,+力上恒成立，

当/=0时，-产+必-2=-2<0显然成立;

2

当方>0时，〃</+-在［0,+8）上恒成立，

因为1+222、层=2忘，当且仅当f=2,即/=应时，等号成立，

tvtt

所以=2叵,所以a<2及，

\t7min

综上：a<2近，即ae（T»,20）.

（3）因为/（x）=xe，和g（x）=znsinx（祖<0）,

h（x）=f（x）+g（x）,则/z（x）=xex4-msinx,

因为与g⑴在（0,兀）上具有C关系，所以”x）在（0㈤上存在零点，

因为“（X）=（%+V）ex+mcosx,

当一14根<0且%£（0,兀）时，因为（％+l）eX>l,|mcosj;|<|m|<l,所以/z'（x）>0,

所以.龙）在（0,7i）上单调递增,则h（x）>h（0）=0,

此时可无）在（0,兀）上不存在零点，不满足题意；

当机<一1时，显然当XG|■，兀卜寸，h\x）>0,

当［时，因为“（X）在（0,1］上单调递增，且

〃（0）=1+m<0,〃号|=1+1户>0,

故/?（尤）在（0,2上存在唯一零点，设为a,则〃'（a）=o,

所以当xe（0,a）"（尤）<0；当>0；又当xe时，h\x）>0,

所以万⑺在（00）上单调递减，在（。㈤上单调递增，〃⑺在（0㈤上存在唯一极小值

点a,

因为〃（0）=0,所以/z（a）<0,

又因为6（兀）=温>0,所以/z（x）在（0,兀）上存在唯一零点。,

所以函数“X）与g（x）在（0㈤上具有C关系,

综上：m<-l,即机e（-8,-l）.

例9.（2024・重庆•高三统考阶段练习）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是

平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y=+其

中c为参数.当c=l时，该方程就是双曲余弦函数cosh（x）==C,类似的我们有双曲正

弦函数sinh（力=上3^.

⑴从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数丫=8$11（2%）+$抽（彳）的最小值;

①[cosh(x)丁-[sinh⑺丁=1；

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2%)=[cosh(x)]2+[sinh⑺了.

71

⑵求证：VxG—匹Icosh(cosx)>sinh(sinx).

【解析】（1）证明：选①,

(.—x(x-x/lx.-2x.c.2x,^-2%。

[cosh(%)了一[sinh(%)T-e+eHe—e'e+e+2e+e—2

2x_-2xex-e-x)(ex+e-x

选②,sinh(2x)=-----------=2x=2sinh(x)cosh(x)?

2^2

选③，cosh(2x)=--—=/；—j+---j=[cosh(x)T+[sinh⑴了.

2x.-2xx_-xx_-x

y=cosh(2x)+sinh(x)=------------1-----------------，令"sinh(x)=-----------，

因为函数y=5、y=-1-均为R上的增函数，故函数y=sinh(x)也为R上的增函

数，

故f=sinh(x)=e*；*eR,则+；2,所以c°sh(2x)=2r+1,

所以y=2尸+/+1=2。+工］当且仅当f=-；时取“=”，

(4)884

7

所以y=cosh(2x)+sinh(x)的最小值为了.

O

ncosx.-cosxsinx_-sinx

(2)证明：Vxe一匹Z，cosh(cosx)>sinh(sinx)<x>-------------->--------------

o,、e入cosx+.e八一cosx、>e/sinx—e八一sinx，

当［］时，cosx-cosx所以疝工《尸山"

xe-1,0e+e>0)sin^<o<-sinx,0

所以esinv-e-sinx<0,所以ecosx+>esinx-e-sinv成立；

当xe(0,3时，^1lj0<%<|-x<p且正弦函数y=sinx在］。,三|上为增函数，

cosx=sin^-x^>sinx,所以e。。“2占加*,-e-s,nx<0<e-cosx,

所以e8sx+e-ss*>e”""-e-sinj:成立，

兀

综上，Vxe-7r，彳，cosh(cosx)>sinh(sinx).

变式5.(2024・广东深圳•高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动

点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔，简

单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数/(x),存在一个点%,使得/(飞)=不，那么

我们称该函数为“不动点”函数，而称％为该函数的一个不动点.现新定义：若可满足

/(x0)=-x0,则称不为“X)的次不动点.

⑴判断函数/■(q=/-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说

明理由

(2)已知函数g(x)=；尤+1,若。是g(x)的次不动点，求实数。的值：

(3)若函数力⑺=1阻(4,一力2')在［0』上仅有一个不动点和一个次不动点,求实数b

2

的取值范围.

【解析】(1)依题意，设不为“X)的不动点，即〃飞)=不，于是得x：-2=x。，解得

%=2或%=-I,

所以，(勾二%2-2是“不动点”函数，不动点是2和-1.

(2)因g(%)=+1是“次不动点”函数，依题意有g(a)=-〃，即;〃+l=-。，显然

2

〃W0,解得。=-§，

2

所以实数，的值是-

(3)设S〃分别是函数Mx)=l°gj4'j2)在［0局上的不动点和次不动点，且“〃

唯一，

由万㈣=7〃得：㈣(”一"2")=根，即4-2"=(权"，整理得：b=2m-^,

令。(根)=2"-5，显然函数夕("2)在［0,1］上单调递增，则。(叫曲=0(0)=0,

77

???1=，

^()max=^)7则。^^了，

,,,,

由力(，)=f得：log1(4-^-2)=-n,即4"_。.2"=2",整理得：b=T-i,

2

令M(〃)=2"—1,显然函数"(〃)在［0,1］上单调递增，M(n)min=M(0)=0,

“(")max="(1)=1，则04>41,

综上得：0041,

所以实数人的取值范围［0,1］.

题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)

例10.(2024•浙江绍兴.高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数

/(X)=|X3-6X2+<7X+Z?|,对于任意的实数a,b,总存在~e［0,3］,使得机成立，

则当机取最大值时，a+b=(.)

A.7B.4C.-4D.-7

【答案】A

【解析】由/⑺+-6d+OY4-Z?|,得=卜3—6%2+9x—［(9—«)x—Z?］|,

设g(x)=d-6冗2+9x,则g>(x)=3x2-12x+9=3(x-l)(x-3),

g(%)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减,

g(0)=g(3)=0,

设/z(x)=(9-a)x—b,

画出函数的图像如图

对任意的实数a,b,总存在5«0,3],使得〃/”加成立,

等价于求以外最大值中的最小值，

由图像可知当a=9,〃=-2时，加取得最大值2,此时a+Z?=7,

故选：A

4

例11.（2024・湖北.高三校联考阶段练习）设函数/（尤）=x+—-奴-6,若对任意的实数

X

a,6,总存在方式1,3]使得/机成立，则实数机的最大值为（）

A.-1B.0C.8-46口.1

3

【答案】C

【解析】由已知得利＜[〃尤）1nli11K

设构造函数g（x）=¥+X尤满足g6=g⑶，即4+彳=：+3彳，解得彳=《,

x33

则/(尤)=g++无1],

,令〃(x)=§+4JX+〃,

则函数“X）可以理解为函数g（x）=3+：x与函数/?（x）=[+a]x+b在横坐标相等时，纵

坐标的竖直距离，

Vg（l）=g（3）=^,且g（x）,+3=2j土步半（当且仅当x=g时取等号），

DXJyXJJ

若设直线4的方程为、=^,直线4的方程为旷=半，由此可知当a+g=o,直线

=6位于直线4和直线4中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故

1680

8-4^3

Jr

max3

2

所以实数加的最大值为jg.

故选：C.

4

例12.(2024•全国•高三专题练习)设函数〃司=(-依，若对任意的正实数。，总存在

x°e[l,4],使得相，则实数机的取值范围为()

A.(-oo,0]B.(-8』C.(-8,2]D.(-8,3]

【答案】D

【解析】对任意的正实数。，总存在%e[l,4],使得了(%)励om/(X)0m,xe[l,4].

4

令〃(%)=——砒，\-a>0,「.函数〃(%)在%£口，4]单调递减，

x

••M(-^)max=U(1)=4-"，"(九)min=〃(4)=1—4tZ.

①a.4时，0..4-«>1-4«,贝I/(九/稣=4a-1..15.

②4>a>l时，4—a>0>l—4匹4—a+1—4a=5—5a<0,则/(尤)111ax=4。-1>3.

(3)—<<2,,1f4—a>0>l—4a,4—a+1—4。=5—5a.0,贝！J/(x)max=4—a.3.

@0<④:时，4—a>l—4a>0f则/(XLax=4-a>丁.

44

综上①②③④可得：/«max>3,即么3.

实数机的取值范围为(-8,3].

故选：D.

Y—2

变式6.(2024•全国•高三专题练习)已知函数〃x)=-7-〃尤-匕，若对任意的实数0,

b,总存在使得/"(%)..相成立，则实数机的取值范围是()

A.1一00，；B.1一8，；C.100，：D.(ro/]

【答案】B

【解析】由存在尤°e[T，2],使得了(%)..利成立，故相W/(x)1mx,

又对任意的实数。，b,则机4"(X)maxLin，

二二I-冰-b=士|-3+加可看作横坐标相同时，函数gQ)=七|

与函数〃(X)=◎+/?图象上的纵向距离的最大值中的最小值，

又g(T)=-3,g(2)=。，作示意图如图所示：

设4(-1,-3),8(2,0),则直线的方程4：了=尤-2,设/?：y=x+相与g(x)相切,

jr—2

则----=x+m,得力2+(加+i)x+2(m+1)=0,有A=(根+1产-8(m+1)=0,

x+2

得加=一1或根=7,由图知，切点。(0,—1),则/2：y=%-1,

当直线人(1)与4，，2平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，

函数g(%)与以X)图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，

此时/z(x)=x-|,[/(x)max]min=|-1-(-|)|=1)故机wg.

故选：B

变式7.(2024・高一课时练习)已知函数〃x)=ax+[+b(a,beR),当无e；,2时，设

〃x)的最大值为“(。力)，则加(4力)的最小值为()

A.一B.—C.-D.1

842

【答案】B

【解析】函数/(x)=ax+g+匕(a,6eR),当xe[；,2]时，/(丈)的最大值为M(a,6),

可得M(a,6)>/(2)=|2a+b+^\,M(a,b)>/(1)=\^a+b+2\,

M(a,b)>f(T)^a+b+l\,

i2211124

可得—M(a,Z?)+—A/(a,0)+M(a,。)>—a+-b+-\+\-a+—b+—\+\a+b+1

33336333

芝乙+4+L儿+马+3

-cz-ft-1=-,

3363332

即2MgM即有则M(“,力的最小值为

故选：B

变式8.(2024.江西宜春•校联考模拟预测)己知函数〃x)=Inx+,-G-b(a,beR),且

X

2

x0eri,e>],满足lnxo+'=e-l,当尤e-,x0时，设函数〃x)的最大值为M(a,6),则

LxoLe

M(a,6)的最小值为()

3—eie—1e—2

A.———B.-C.----D.----

2222

【答案】D

[11Y-]

【解析】设g(x)=lnx+1(x>0),则g[x)=----5=—