函数的图像-2025高考数学一轮复习讲义

第11讲函数的图像

知识梳理

一、掌握基本初等函数的图像

(1)一次函数；(2)二次函数；(3)反比例函数；(4)指数函数；(5)对数函数；(6)

三角函数.

二、函数图像作法

1、直接画

①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性(或其他对称性)、单调性、周期

性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线(对称轴、渐近线等).

2、图像的变换

(1)平移变换

①函数y=/(x+a)(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿x轴向左平移。个单位得

到的；

②函数y=/(x-a)(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿x轴向右平移。个单位得

到的；

③函数y=/(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿y轴向上平移。个单位得

到的；

④函数y=/(x)+a(a>0)的图像是把函数y=/(x)的图像沿y轴向下平移。个单位得

到的；

(2)对称变换

①函数y=/(x)与函数y=/(-x)的图像关于y轴对称；

函数》=与函数的图像关于x轴对称；

函数7=/(x)与函数y=-/(-x)的图像关于坐标原点(0,0)对称；

②若函数的图像关于直线尤=。对称，则对定义域内的任意尤都有

f{a-x)=f{a+x)或/(x)=/(2a-x)(实质上是图像上关于直线x=a对称的两点连线

的中点横坐标为。，即.(二)+(0+为常数);

2

若函数/(%)的图像关于点(a,b)对称，则对定义域内的任意x都有

f(x)=2b—f(2a-(a-x)=2b-f(a+x)

③了=|/(尤)|的图像是将函数〃x)的图像保留X轴上方的部分不变，将X轴下方的部分

关于x轴对称翻折上来得到的(如图(。)和图(6))所示

@y^/(可)的图像是将函数/(x)的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像

关于y轴对称得到函数了=〃国)左边的图像即函数了=〃国)是一个偶函数(如图(c)所示).

注：|/(x)|的图像先保留〃x)原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对

称图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而“忖)的图像是先保留/(x)在y轴右方的图像，

擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到.这两变换又叫

翻折变换.

⑤函数＞=广1(工)与＞=/(x)的图像关于y=x对称.

(3)伸缩变换

①y=/(x)(N＞0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的纵坐标伸长(4＞1)或缩

短(0＜1)到原来的A倍得到.

®y=/(®x)(®＞0)的图像，可将y=/(x)的图像上的每一点的横坐标伸长或

缩短(。＞1)到原来的上倍得到.

CO

【解题方法总结】

(1)若/(加+%)=/(冽-X)恒成立，则＞=/(%)的图像关于直线1=加对称.

(2)设函数y=/(x)定义在实数集上，则函数y=/(x-w)与N=/S-x)(小＞0)的图

象关于直线x=m对称.

(3)若f(a+x)=f(b-x),对任意XEA恒成立，则》=/(x)的图象关于直线％=

对称.

(4)函数y=/(a+x)与函数＞=f(b-x)的图象关于直线％=对称.

(5)函数=/(%)..与函数y=/(2a-x)的图象关于直线x=a对称.

(6)函数y=/(x)与函数>=26-/(2。-幻的图象关于点(q,6)中心对称.

(7)函数平移遵循自变量“左加右减”，函数值“上加下减”.

必考题型全归纳

题型一：由解析式选图(识图)

【例1】(2024•山东烟台•统考二模)函数了=x(sin尤-sin2x)的部分图象大致为(

【答案】C

【解析】由y=/(x)=x(sin尤-sin2x),

得f(-x)=-x[sin(-x)-sin(-2x)]=-x(-sinx+sin2x)=f(x),

所以/'(X)为偶函数，故排除BD.

当x时，y=/f^=^(sin^-sin7r)=^>0,

排除A.

故选：c.

>='(%-2)2Inf的图像是()

【对点训练1】(2024・重庆•统考模拟预测)函数

1T

【答案】B

【解析】因为y=g(x-2)21nx2,令y=0,则g(x-2)2Inx?=0,

即(x-2『=0,解得X=2,或加工2=0，解得x=±l,

所以当x<0时，函数有1个零点，当x>0时，函数有2个零点，

所以排除AD；

11

当x>0时，y=-(x-2)2Inx2=—(x-2)?x21nx=(x-2)?Inx,

则)=2(x-2)lnx+(I)，当x>2时，J>0,

所以当xe(2,+s)时，y>0,函数单调递增，所以B正确；

故选：B.

【对点训练2】(2024•安徽安庆・安庆市第二中学校考二模)函数/(x)=3^+sin2x的部

【解析】由解析式可得X7士;，〃0)=-1<0,排除A；

观察C、D选项，其图象关于纵轴对称，而-xHUjTinZxw/G）,

说明/（无）不是偶函数，即其函数图象不关于纵轴对称，排除C、D；显然选项B符合题意.

故选：B

【对点训练3】（2024•全国•模拟预测）函数=3、c当2x的大致图像为（）

【答案】B

【解析】因为〃x）=史上警所以〃一》）=含声=/（尤），

，其定义域为R,

所以/'卜）为偶函数，排除选项A,D,

又因为「（）丝?=3cos4,因为44兀旁）,

2=所以cos4<0,所以〃2）<0,排除选项

故选：B.

【解题方法总结】

利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选

项，从而筛选出正确答案

题型二：由图象选表达式

【例2】（2024・四川遂宁・统考二模）数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般

来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图像，则该段乐音对

应的函数解析式可以为（）

B.y=sinx—；sin2x—；sin3x

A.y=sinx+—sin2x+-sin3x

23

1cle1cle

C.y=sinx+—cos2x+-cos3xD.y=cosx+—cos2x+-cos3x

2323

【答案】A

【解析】对于A,函数y=/(x)=sinx+5sin2x+Hsin3x,

因为f(~x)=-sinx-sin2x-sin3x=-/(x),所以函数为奇函数,

▼/小逝1行12页

又/一=—+-+—=-+---->0,故A正确;

U)22623

对于B,函数)=/(x)=sinx--sin2x-jsin3x,

因为/(-x)=-sinx+^sin2x+^sin3x=-/(x),所以函数为奇函数,

V|_j__V2_V|

又/-ry-r0,故B错误;

对于C,函数y=/(x)=sinx+—cos2x+—cos3x,

因为〃0)=L+’=*w0,故C错误；

236

对于D,函数y=/(x)=cosx+；cos2x+gcos3x,

/(0)=l+-+-=-^0,故D错误，

236

故选：A.

【对点训练4】（2024•全国•校联考模拟预测）已知函数/（x）在12,2］上的图像如图所示，则

/（x）的解析式可能是（）

C./(x)=2x2-ewD./(x)=In(x2-2IXI+2)-1

【答案】C

【解析】由题图，知函数的图像关于y轴对称，所以函数/(x)是偶函数，故排除A；

对于B,/(x)=卜；一工一2,无，°,虽然函数“X)为偶函数且在(0,号上单调递减，在f

[x+x-2,x<0\2JV2)

上单调递增，但/(2)=0,与图像不吻合，排除B；

对于D,因为/V)=In[(|x|-I)2+1]-1=〃一无)，所以函数/(x)是偶函数，但/(2)=In2-1<0,

与图像不吻合，排除D；

对于C,函数/(x)为偶函数，图像关于夕轴对称，下面只分析y轴右侧部分.当xe(0,2)时，

/(x)=2x2-ex,f\x)-4x-ex,

令0(x)=4x-e",求导，得d(x)=4-e*.当xe(0,ln4)时，(p\x)>0,f'(x)单调递增，

当xe(ln4,2)时，°(x)<0,/(x)单调递减，所以f'(x)在x=ln4处取得最大值.

又因为八0)<0,r(ln4)>0,八2)>0,所以改°e(0,ln4),使得/'(x0)=0,

当xe(O,Xo)时,f\x)<0,/(x)单调递减，当无«%,2)时,f'(x)>0,/G)单调递增，

/(2)=8-02>0与图像吻合.

故选：C.

【对点训练5】(2024・河北・统考模拟预测)已知函数/(X)的部分图象如图所示，则/(x)的

解析式可能为()

A./(x)=xcosrt(x+l)B.f(x)=(X-1)COS71X

C.f(x)=(x-l)sinjtrD./(x)=x3-2x2+x-l

【答案】B

【解析】对于A选项，/(O)=O,A选项错误；

对于C选项，/(O)=O,C选项错误；

对于D选项,r(x)=3x2-4x+b/'(x)=0有两个不等的实根,故〃尤)有两个极值点，D

选项错误.

对于B选项，/(x)=(x-l)cos7tr,/(0)<0；

当xe［一；,\］,我eZ时，COS7LX>0,x-l<0,止匕时/(x)<0,

当左eZ时，cosme<0,x-l<0,止匕时

当xe左eZ时，cosnx<0,x-1>0,止匕时

依次类推可知/(尤)函数值有正有负；

显然;■⑴不单调；

因为当x=；+L左eZ时〃x)=0,所以〃x)有多个零点；

因为"2)=1J(-2)=-3,所以-2)J⑵〜-2),所以既不是奇函数也

不是偶函数，以上均符合，故B正确.

故选：B.

【对点训练6】(2024・贵州遵义•校考模拟预测)已知函数/(x)在［-4,4］上的大致图象如下

所示，则/(x)的解析式可能为()

c./(x)=|x|-(4-|x|)D./(x)=|x|-silly

【答案】B

【解析】函数图象关于了轴对称，函数为偶函数，选项D中函数满足

/(-x)=I-x|sin(-^)=-|x|sin^-=-/(x),为奇函数，排除D；

又选项C中函数满足/'(2)=4,与图象不符，排除C；

O2X71

选项A中函数满足〃2)JX2X9(1n+C°S丁)=3,与图象不符，排除A,

只有B可选.

故选：B.

【解题方法总结】

1、从定义域值域判断图像位置；

2、从奇偶性判断对称性；

3、从周期性判断循环往复；

4、从单调性判断变化趋势；

5、从特征点排除错误选项.

题型三：表达式含参数的图象问题

【例3】(2024・全国•高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数y=log“(-x),y=?(a>0),

且的图象可能是()

【解析】因为函数y=log〃（-x）的图象与函数y=k）g.x的图象关于J轴对称,

所以函数y=log”（-X）的图象恒过定点故选项A、B错误;

当a>l时，函数y=lQg.X在（0,+e）上单调递增，所以函数y=log"（-X）在（-8,0）上单调递

减,

又夕=巴士（。>1）在（-8,0）和（0,+8）上单调递减，故选项D错误，选项C正确.

故选：C.

【对点训练7】（2024•山东滨州・统考二模）函数/（无）=手竽匚的图象如图所示，则（）

ax-bx+c

A.4>0,b=0,c<0B.a<09b=0,c<0

C.a<0,b<0,。=0D.Q>0,b=0,c>0

【答案】A

【解析】由图象观察可得函数图象关于〉轴对称，即函数为偶函数,

所以/•(一”==/(')得:6=0,故c错误；

axIDJCIc

4

由图象可知/(o)=—<0nc<0,故D错误；

c

因为定义域不连续，所以ax?-6x+c=0有两个根可得A=b2-4ac>0，即。、c异号，。>0,

即B错误，A正确.

故选：A

【对点训练8】(2024•全国•高三专题练习)已知函数y=log”(x+6)(a,6为常数，其中。>0

且a71)的图象如图所示，则下列结论正确的是()

C.a=0.5,b=0.5D.a=2)b=0.5

【答案】D

【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，

所以。>1,排除A,C；

又因为函数过点(0.5,0),

所以6+0.5=1,解得6=0.5.

故选：D

【对点训练9】(2024•全国•高三专题练习)若函数/(另=-4—的部分图象如图所示,

ax"+bx+c

则〃5)=()

【答案】A

【解析】由图象知，办2+法+C=0的两根为2,4,且过点(3,1),

9a+3b+c

所以2x4=9解得。=一2,6=12,。=一16,

a

2]

所以/(%)=

-2工2+12x-16—X2+6x—8

1]_

所以〃5)=

-25+30-83

故选：A

【对点训练10】(2024•全国•高三专题练习)在同一直角坐标系中，函数

【答案】D

【解析】本题通过讨论。的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结

合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.当

0＜。＜1时，函数y过定点(0,1)且单调递减，则函数了=5过定点(0,1)且单调递增，函

数y=logjx+g］过定点(；,0)且单调递减，D选项符合；当a＞1时，函数y=a*过定点(0,1)

且单调递增，则函数了=二过定点(0,1)且单调递减，函数y=过定点(:,0)且单

调递增，各选项均不符合.综上，选D.

【对点训练11】(多选题)(2024•全国•高三专题练习)函数在［-27t,2兀］

上的大致图像可能为()

【答案】ABC

【解析】①当°=0时，/(x)=忖，/(-X卜-奥二一/⑺，函数”X)为奇函数，由X30

sinxsinx

时/(尤)-8,x=±1时/㈤=0等性质可知A选项符合题意；

②当"0时，令g(x)=ln|x|,/z(x)=-ax,作出两函数的大致图象，

由图象可知在(-1,0)内必有一交点，记横坐标为％,此时/(%)=0,故排除D选项;

当一2兀时，g(x)-A(x)>0,%0<%<0时，g(x)-A(x)<0,

若在（0,2兀）内无交点，则g（x）-〃（尤）＜0在（0,2兀）恒成立，则在x）图象如C选项所示,故C

选项符合题意；

若在（0,2兀）内有两交点，同理得B选项符合题意.

故选：ABC.

【解题方法总结】

根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数嘉的运算性质，二次函数的图

象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题

的能力，以及分类讨论思想的应用.

题型四：函数图象应用题

【例4】（2024•北京•高三专题练习）高为H、满缸水量为%的鱼缸的轴截面如图所示，现底

部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为力时水的体积为V,则函数v=/（〃）的大

致图像是

【解析】根据题意知，函数的自变量为水深〃，函数值为鱼缸中水的体积，所以当〃=0时,

体积v=0,所以函数图像过原点，故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速

度是先慢后快再慢的，故选B.

【对点训练12](2024•四川成都•高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)如图为某无人

机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度/(无)(单位：米/分钟)与时间x(单位：分钟)

的关系.若定义“速度差函数”v(x)为无人机在时间段[。,司内的最大速度与最小速度的差,

则v(x)的图像为()

【答案】C

【解析】由题意可得，当xe[0,6]时，无人机做匀加速运动，V(x)=60+—x,“速度差函

皿/、40

数"v(x)=^x；

当尤e[6,10]时，无人机做匀速运动，%(无)=140,“速度差函数"(无)=80；

当xe[10,12]时，无人机做匀加速运动，%(x)=40+10x,“速度差函数“v(x)=-20+10x；

当xe[12,15]时，无人机做匀减速运动，“速度差函数"(x)=100,结合选项C满足“速度差

函数”解析式,

故选：C.

【对点训练13](2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)青花瓷，又称白地青花瓷，

常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速

注水，则水的高度了与时间x的函数图像大致是()

I

【答案】c

【解析】由图可知该青花瓷上、下细，中间粗，则在匀速注水的过程中，水的高度先一直增

高，且开始时水的高度增高的速度越来越慢，到达瓷瓶最粗处之后，水的高度增高的速度越

来越快，直到注满水，结合选项所给图像，只有先慢后快的趋势的C选项符合.

故选：C

【对点训练14】（2024•全国•高三专题练习）列车从A地出发直达500km外的8地，途中要

经过离A地300km的。地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离了

（单位：km）与行驶时间单位：h）的函数图象为（）

【解析】由题可知列车的运行速度为翠=100km/h,

・•.列车到达C地的时间为出=3h,

100

故当f=3时，y=0.

故选：C.

【对点训练15］（2024•全国•高三专题练习）如图，正△/BC的边长为2,点。为边的

中点，点P沿着边NC,C8运动到点3,记函数/（x）=|P5|2-\PA^,则y=/

（x）的图象大致为（）

【解析】根据题意，f（x）=|尸砰-|别2,ZADP=x.

JT

在区间（0,-）上，尸在边NC上，|尸3|＞|aI，则/（X）＞0,排除C；

JT

在区间（,，兀）上，尸在边3C上，|尸。＜|我|,则/（X）＜0,排除5,

7T

又由当X/+X2=7T时，有/'（X/）=-f（%2）,f（X）的图象关于点（,，0）对称，排除D,

故选：A

【对点训练16］（2024•全国•高三专题练习）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该

容器盛水的高度〃关于注水时间，的函数图象大致是（）

【解析】设圆锥尸。底面圆半径入高〃，注水时间为/时水面与轴尸。交于点。'，水面半

径/O'=x,此时水面高度尸O'=〃，如图:

丁

\O'\-x'A

V

由垂直于圆锥轴的截面性质知，,知》=二・〃，则注入水的体积为

rHH

展为”=%曰.犷人焉.人

令水匀速注入的速度为V,则注水时间为/时的水的体积为忆=力，

于…"=»1/n—江山,

Ttr

0<Z<^

所以盛水的高度/?与注水时间/的函数关系式是〃=?J

万厂3V

>0,函数图象是曲线且是上升的，随"直的增加，函数〃值增加的幅度减

小，即图象是先陡再缓,

A选项的图象与其图象大致一样，B,C,D三个选项与其图象都不同.

故选：A

【解题方法总结】

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;

(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.

题型五：函数图象的变换

【例5】(2024•广西玉林•统考模拟预测)已知图1对应的函数为V=/(x),则图2对应的函

数是()

A.了=/(一|刈)B.y=f(-x)c.y=/(|x|)D.y=-/(-x)

【答案】A

【解析】根据函数图象知，当xWO时，所求函数图象与已知函数相同,

当x>o时，所求函数图象与x<o时图象关于y轴对称,

即所求函数为偶函数且XW0时与y=/(x)相同，故BD不符合要求,

当xVO时，>=/(一|x|)=〃x),J=/(|x|)=/(-x),故A正确，C错误.

故选：A.

【对点训练17](2024•全国•高三专题练习)己知函数/(x)的图象的一部分如下左图，则如

下右图的函数图象所对应的函数解析式()

【答案】C

【解析】

y=/(x)ty=f(-x)ty=/(i-x)->y=/(i-2x)

①关于y轴对称②向右平移1个单位③纵坐标不变，横坐标变为原来的一半

故选：C.

-14x40),

K)<x<l)，则下列图

【答案】D

【解析】当-l《xWO时，/(x)=-2x,表示一条线段，且线段经过(T,2)和(0,0)两点.

当0<x<l时，八x)=6,表示一段曲线.函数/'(x)的图象如图所示.

〃x-l)的图象可由/(无)的图象向右平移一个单位长度得到，故A正确；〃-x)的图象可

由/(x)的图象关于V轴对称后得到，故B正确；由于〃x)的值域为[0,2],故〃x)=|〃到，

故|/(x)|的图象与/'(x)的图象完全相同，故C正确；很明显D中/(忖)的图象不正确.

故选：D.

【对点训练19](2024•全国•高三专题练习)函数〃x)=ln(l-x)向右平移1个单位，再向上

平移2个单位的大致图像为()

【解析】先作出函数/（x）=ln（l-无）的图像，再向右平移1个单位，再向上平移2个单位得

【解题方法总结】

熟悉函数三种变换：（1）平移变换；（2）对称变换；（3）伸缩变换.

题型六：函数图像的综合应用

【例6】(2024•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)若关于x的方程/=。忖恰有两个

不同的实数解，则实数.

【答案】e

【解析】

如图，显然a>0.

当xWO时，由单调性得，方程e*=-依有且仅有一解.

因此当x>0时，方程也恰有一解.

即>="为函数v=e、的切线，

歹'二e"，

令V=Q得x=lna,

故当％=Ina时，QX=ax

得="Ina，即a=alna

从而a=e.

故答案为：e

【对点训练20](2024・天津和平・统考三模)已知函数/(x)=X(xwa),若关于尤的方

X—U

程/(/(X))=2恰有三个不相等的实数解，则实数a的取值集合为.

【答案】肘

【解析】/(x)=|*|=|l+且|(xwa),

x—ax-a

当a=0时，/(x)=l(x0),

此时/■(/(尤))=2无解，不满足题意；

当a<0时，设/=/(x),

则了=/(。与夕=2的图象大致如下,

此时方程“X)=%J(x)=J均无解，

即方程y(7(x))=2无解，不满足题意；

当。＞0时，设机=/(x),则y=与y=2的图象大致如下,

则则/(加)=2对应的2个根为0＜m1Va＜啊,

若方程/(/(尤))=2恰有三个不相等的实数解，

则＞=吗/=加2与函数＞=/(x)的图象共有3个不同的交点，

①当0＜。＜1时，＞=/与函数/(X)的图象共有2个交点，如图所示,

则啊=1,所以辔=2,解得a.

②当。=1时，＞=叫与函数/(x)的图象共有2个交点,

所以歹=牡与函数/(X)的图象只有1个交点,

则加2=1,与啊＞。矛盾，不合题意;

③当。＞1时，＞=加2与函数/(X)的图象共有2个交点，如图所示,

所以V=叫与函数/(X)的图象只有1个交点，

则叫=1,所以4=2,解得a=3；

l-a

综上，a的取值集合为gj1,

故答案为：

【对点训练211(2024•河南•校联考模拟预测)定义在R上的函数/(x)满足〃x+l)=2/(