广东省东莞市2024-2025学年高二年级上册七校联考数学试题（含答案）

东莞市2024—2025学年第一学期七校联考试卷

高二数学

满分150分，考试时间120分钟

一、单选题：共8小题，每小题5分.在每小题只有一项是符合题目要求.

1.在平面直角坐标系。町中，直线x-百y-1=0的倾斜角等于（）

a兀c兀­2兀一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

2.若向量Z=（l,-1,2）,S=（2,l,-3）,则忖+［卜（）

A.V7B.2逝C.3D.372

3.在V/3C中，已知4（3,2,6）,8（5,4,0）,C（0,7,l）,点。为线段的中点，则边上的

中线CD的长为（）

A.6B.472C.V42D.7

4.已知圆G：x?+/一2%一4歹一4=0与圆G：x?+/+4x-10y+4=0相交于48两点，

则两圆公共弦所在直线的方程为（）

A.3、一3y一4=0B.3x-3y+4=0C.x+y-3=QD.x+j+3=0

-1

5.设椭圆加产+即2=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为5,则此椭圆的

方程为（）

A.B会1B.y2+?=1C.fl+―D./十91

6.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑

料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双

曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到

的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6®cm,下底直径为

9后cm,喉部（中间最细处）的直径为8cm,则该塔筒的高为（

A.18cmB.18V2cm

-27n27V2

C.—cmD.------cm

2

7.如图①，在中，48=28。=6,/48。=90。,£,尸分别为45,4。上的点，EF//BC,

AE=2EB.如图②，将△/£/沿EE折起，当四棱锥N-3C在的体积最大时，点E到平面

NCF的距离为()

4逐B,巫

AA.-----

33

C.V6D.—

2

22

8.已知椭圆q邑+与=1(“>6>0)与圆。2：代+歹2=此若在椭圆&上存在点P,过尸作圆的

ab

切线PZ,PB,切点为Z,8使得乙8尸/=三,则椭圆G的离心率的取值范围是()

A/八11R「1△、rVsn,AVs

A・(0,-]D.C・r[亍，n1)D・(0,--]

二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.

9.已知圆C：(x-1)2+3-2)2=25,直线/：(2加+l)x+(〃?+l)y-7%-4=0.则以下命题正确的有

()

A.直线/恒过定点(3,0)B.y轴被圆C截得的弦长为46

C.直线/与圆C恒相交D.直线/被圆。截得弦长最长时，/的方程为x+2y-5=0

10.已知耳工为双曲线C:二-/=1的两个焦点，尸为双曲线C上任意一点，则()

3

A.|^|-|^|=273B.双曲线C的离心率为孚

C.双曲线C的渐近线方程为广土gxD.阿+丽2卜

11.如图，在棱长为1的正方体N3CD-4耳G2中，M,N分别是48,4D的中点，尸为线

段G2上的动点，则下列说法正确的是()

A.用C一定是异面直线

B.存在点尸，使得MV，尸M

C.直线桥与平面BCC4所成角的正切值的最大值为石

D.过/,N,尸三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为更

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量1=(2,1,1),^=(0,-1,-1),若0+宓)//0-二)，则丸=.

13.已知点尸(6,%)在焦点为歹的抛物线C:/=29(夕＞0)上，若户用=T，则。=.

14.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨

匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数4(入＞0,且401),那么点

P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到2(2,0),B(-2,0)的距离比为©,则点P

到直线2：2"%-y-"=0的距离的最大值是.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知两直线4:x+y+2=0和4：3x—2y+l=0的交点为？.

(1)直线/过点。且与直线x+3y+1=0平行，求直线I的一般式方程；

(2)圆C过点(1,0)且与4相切于点。，求圆C的一般方程.

16.(15分)

如图，平行六面体中，CB1BD,NGC£)=45。，ZQCB=60°,

CC、=CB=BD=\.

⑴以向量｛怎，而,后力为基底表示向量嬴，求对角线的长度；

(2)求异面直线与DA所成角的余弦值.

17.(15分)

己知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上，且椭圆C经过点(0,1),长轴长为2VL

(1)求椭圆C的标准方程;

⑵过点M(LO)且斜率为1的直线/与椭圆C交于43两点，求弦长|/身；

⑶若直线/与椭圆相交于两点，且弦。的中点为尸1，£|,求直线/的方程.

18.(17分)

在三棱锥尸-43C中，平面尸平面NBC,AP/C为等腰直角三角形，PAIPC,

ACLBC,BC=2AC=4,〃为的中点.

(1)求证：AC1PM；

(2)求平面CPA与平面PAB所成角的余弦值；

PN

(3)在线段所上是否存在点N使得平面CAW，平面P/8?若存在，求出诟的值，若不

存在，说明理由.

19.（17分）

22

已知/,5分别是双曲线C：二-==15>0/>0)的左、右顶点，点尸(2"n)是双曲线C

ab

上的一点，直线尸4口的斜率分别为3上2，且左/2=14s1=4.

(1)求双曲线C的方程；

(2)已知过点(4,0)的直线/:%=叩+4,交C的左，右两支于。，£两点(异于Z,B).

(i)求机的取值范围；

(ii)设直线与直线BE交于点0,求证：点0在定直线上.

东莞市2024—2025学年第一学期七校联考试卷

高二数学试卷答案

选择题：

题号1234567891011

答案ADABCDBCCDBDAD

填空题：

12.-113.314.372+2^/3

15【解】（1）直线/与直线x+3y+l=0平行，故设直线/为x+3y+G=0,（1分）

fx+y+2=0[x--1

联立方程组2\1C，（2分）解得,•（3分）

[3x-2y+l=0[_v=-1

直线4:x+y+2=0和：3x-2y+l=0的交点

又直线/过点P,贝卜1-3+C=0,解得£=4,（4分）

即直线/的方程为无+3了+4=0.（5分）

（2）设所求圆的标准方程为（x-%+（y-b）2"分）

/i：x+y+2=0的斜率为-1,故直线CP的斜率为1,（7分）

1

a=——

（-1-4+（-1-6）2=/6

由题意可得＜（1-4+（0-与2=/,（9分）解得＜b=-y,（11分）

6

叱=1

225

、Q+1r=——

18

故所求圆的方程为（X+：：+]＞+：]=K.（12分）

114

化为一般式：x2+y2+-x+-y--^O.（13分）

16【解】⑴以向量｛3，而，而｝为基底，则有方=方+而+嬴=而+而+五，（2分）

因为匿=5。=1,CBLBD,以三角形BCD为等腰直角三角形，所以CD=亚，（3分）

又因为CG=CB=I，^C.CB=60°,所以三角形GC8为边长为1的等边三角形，（4分）

氤2=（CB+CD+五）2=而2+而2+五2+2而而+2CB-~cc1+2五-CD（5分）

B1B

=1+1+2+2xlxV2x^^+2xlxlx—+2xlxV2x--=9,（6分）

222

所以|相|=3,（7分）所以《41=3,即对角线C4的长度为3.（8分）

（2）因为函（=+而+近，|而|=3,

DA=CB，\DA\=\CB\=1，（9分）

所以嬴-DA=~CAI-CB=（CB+~CD+五）-CB=CB2+~CDCB+CCI-CB（11分）

历15

=1+V2xlx——+lxlx—=—,（12分）

222

所以cos<而,51>—DA=-（14分）

ICXd.\DA\6

即异面直线C4与D4所成角的余弦值为3.（15分）

O

22

17【解】（1）由题意设椭圆C的方程为讶+==l（a>6>0）,

因为椭圆经过点（0,1）所以6=1（1分）

又因为长轴长为20,a=^2（3分）

丫2

所以椭圆C的标准方程为三+y=L（4分）

（2）由已知设直线/的方程为>=xT,设/«,%）,5（x4,y4）.

丫2

将直线歹=%—1代入土+/=1,（5分）得3——4x=0,（6分）

2

（3）法一：设。（西,弘）,。（马,%）,则C。中点是尸,

于是”！=；,21^匹=；,（10分）即匹+/=必+%=1,（11分）

22

由于C,。在椭圆上，故羡+疗=1,5+尺=1,（12分）

两式相减得到生学+7；-贤=0,即①+@占一%）+（必+%）（%-％）=0，（13分）

22

故支3+（）=0,显然玉+马70,于是"2=一1=Q。，（14分）

2占一/2

故直线CD的方程是>-：=一3卜一g],整理得2x+4y-3=0（15分）

丫2

经检验，直线2x+4y-3=0与双曲线三+/=1有两个交点，合乎题意.（未检验，不扣分）

法二：①当直线/的斜率不存在时，C。的中点在x轴上，不符合题意.（10分）

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为>-g=k（x-g）,（11分）

设。区,必）,。区%）,则CZ）中点是于是五士三=，，即玉+%2=1,（12分）

122yz22

X221

—+V=1

2,化简得（2左2+1）——（2左2—2左）x+（g左2—左—g）=o,（13分）

联立

T=")

7k21

由于A>0,根据韦达定理，V+x=,=1解得k=-7（14分）

1222F+12

故直线CD的方程是=整理得2x+4y-3=0（15分）

18【解】（1）若。为/C中点，连接A©、PD,又M为AB的中点VD//5C,（1分）

由NC_L5C,则MD_LNC,（2分）

又△PNC为等腰直角三角形，

PA1PC,有尸（3分）

由MDcPD=。，贝I|/C_L面尸MD,（4分）

：PA/u面尸MD,AACLPM.（5分）

（2）由（1）可构建以。为原点，752,屈，而为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系,

A(l,0,0),5(-1,4,0),C(-l,0,0),P(0,0,1),(6分)

则CP=(1,0,1),4P=(—1,0,1),BP=(1,-4,1),(7分)

若“=（x,y,z）为面尸48的一个法向量,

AP-n=-x+z=0一1

则,令z=l,即〃=(1,展1)，(8分)

BP-n—x-4y+z-0

若々=（苞,必/1）为面尸4C的一个法向量,

AP.a=一工］+4=0―

则—►，令必=1，即々=(0,1,0),（9分）

。产•%=玉+4=0

.♦Jcos〃”a

则平面CP4与平面尸所成角的余弦值为L（11分）

3

PN

（3）若存在N使得平面CNM±平面PAB,目...-A0W4W1,

PBf

则2,44,1-㈤,M(0,2,0),(12分)C2V-(1-2,42,1-A),C"=(1,2,0),(13分)

若碗=（a,b,c）是面CNM的一个法向量,

GV-m=(l-A)fl+42Z>+(l-2)c=0洛^)，(14分)

则,令6=1,则机=(-2,1,

CM-m=a+2b-G1—X

-----12-621

m-n=-2-\1---------=0,(15分)可得4=一.(16分)

21-29

PN1

，存在N使得平面CMW_L平面尸28,此时再■=§（17分）

19【解】（1）由题意可知4一/0）,8（。,0）,因为|/*=2。=4,所以。=2.（1分）

n_n2_n2

因为P（2行,〃），（2分）得为=16，

'2-2A/2+22拒-2-（262_4-4

又因为尸（2立〃）在双曲线上，则写匚1=1,（3分）

所以/=16.（4分）

22

所以双曲线C的方程为工-匕=1.（5分）