2025年湘教新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学上册月考试卷75考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、设m，x∈R，M=x2+2m2，N=mx+m2-1；则M，N的关系为（）

A.M＞N

B.M＜N

C.M≥N

D.M≤N

2、化简+--=（）

A.

B.

C.

D.

3、下列各函数中，最小值为的是（）A.B.C.D.4、若函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）A．B．．CD．5、等差数列中，A.120B.150C.180D.2006、【题文】已知集合则（）A.B.C.D.7、给出下列三个结论：

①命题“若m>0则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数根，则0”.

②若为假命题；则p,q均为假命题.

③若命题则¬p:∀x∈R,x2+x+1≥0

其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.38、已知为第三象限角，则所在的象限是（）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限角9、直线y=k（x-1）+2恒过定点（）A.（-1，2）B.（1，2）C.（2，-1）D.（2，1）评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、如果某一循环变量的初始值为-100，终值为190，循环时每次循环变量的值增加10，则该循环变量一共循环的次数是____．11、指数函数满足则实数的取值范围是____.12、【题文】已知函数f(x)＝x∈[－1，8]，函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]，若存在x∈[－1，8]，使f(x)＝g(x)成立，则实数a的取值范围是________．13、【题文】已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是____，左视图的面积是____.14、【题文】记函数的定义域为A，则中有____个元素。15、已知数列{an}中，an=-4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1（n≥2），且b1=2，则|b1|+|b2|++|bn|=______．16、设0＜a＜1，则三数：a、aa、a的大小顺序是______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)17、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．20、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．21、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．22、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．25、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、计算题(共3题，共24分)26、（2009•庐阳区校级自主招生）如图所示的方格纸中，有△ABC和半径为2的⊙P，点A、B、C、P均在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．每个小方格都是边长为1的正方形，将△ABC沿水平方向向左平移____单位时，⊙P与直线AC相切．27、方程组的解为____．28、（模拟改编）如图；在△ABC中，∠B=36°，D为BC上的一点，AB=AC=BD=1．

（1）求DC的长；

（2）利用此图，求sin18°的精确值．评卷人得分五、作图题(共1题，共6分)29、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分六、解答题(共3题，共12分)30、（12分）袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取一个，有放回的抽取3次，求（1）3个球全是红球的概率；（2）3个球不全相同的概率；（3）3个球颜色全不相同的概率.31、【题文】（本题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）当时，求函数的最小值.

（Ⅱ）若对任意恒成立，求实数的取值范围.32、记函数f(x)=鈭�2m+2msin(x+3娄脨2)鈭�2cos2(x鈭�娄脨2)+1x隆脢[鈭�娄脨2,0]

的最小值为h(m)

．

(1)

求h(m)

(2)

若h(m)=12

求m

及此时f(x)

的最大值．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、A【分析】

由题意，M-N=（x2+2m2）-（mx+m2-1）=（x-）2+m2+1＞0

∴M＞N

故选A．

【解析】【答案】先作差；再进行配方，可得M-N＞0，根据两数大小比较的方法，可得结论．

2、D【分析】

由向量的运算法则可得：

+--

=（+）-（+）

=-=

故选D

【解析】【答案】由向量运算的三角形法则可得+=+=代入式子化简可得．

3、D【分析】试题分析：A．可取时，的最小值不可能是2；B．当时，的最小值不可能是2；C．由的最小值大于2；D．由当且仅当即时等号成立，的最小值为2．故选D．考点：均值不等式的应用．【解析】【答案】D4、D【分析】函数的图像与轴有两个交点就是方程f(x)=0有两个不同的实数根，即【解析】【答案】D5、B【分析】【解析】【答案】B6、B【分析】【解析】分析：由集合M和集合N的公共元素构成集合M∩N，由此利用集合M={x|x2=9}={-3；3}，N={x∈Z|-3≤x＜3}={-3，-2，-1，0，1，2}，能求出M∩N．

解答：解：∵集合M={x|x2=9}={-3；3}；

N={x∈Z|-3≤x＜3}={-3；-2，-1，0，1，2}；

∴M∩N={-3}．

故选B．【解析】【答案】B7、C【分析】【解答】根据题意，由于①命题“若则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程无实数，则0”.故正确。

②若为假命题；则p,q均为假命题.应该是一假即假，故错误。

③若命题则正确，故选C.

【分析】主要是考查了命题的真假，以及命题的否定的运用，属于基础题。8、D【分析】【解答】根据题意，由于为第三象限角则可知所在的象限是第二或第四象限角，故答案为D.9、B【分析】解：∵直线y=k（x-1）+2；即直线y-2=k（x-1）

由直线的点斜式方程可知直线过定点（1；2）

故选B．

化直线的方程为y-2=k（x-1）；由直线的点斜式方程可得．

本题考查直线恒过定点问题，利用点斜式方程是解决问题的关键，属基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】

分析程序中各变量；各语句的作用；

可知：

该程序的循环变量相当于一个等差数列：

首项为：100；公差为：10，最后一项是：190；

求项数n==30

故可知该程序循环了30次。

故答案为：30

【解析】【答案】分析程序中：“循环变量的初始值为-100；终值为190，循环时每次循环变量的值增加10”的作用，再根据流程图的顺序，可知：该程序的该循环变量一共循环的次数．

11、略

【分析】因为指数函数满足0<2a-1<1，解得实数的取值范围是【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】分别作出函数f(x)＝x∈[－1，8]与函数g(x)＝ax＋2，x∈[－1，8]的图象．当直线经过点(－1，1)时，a＝1；当直线经过点(8，4)时，a＝结合图象有a≤或a≥1.【解析】【答案】∪[1，＋∞)13、略

【分析】【解析】由三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图可知，棱锥的侧棱长为以小直角三角形为底，侧棱为高求得体积左视图是边长为1，的直角三角形，故左视图的面积是【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】215、略

【分析】解：q=an-an-1=（-4n+5）-[-4（n-1）+5]=-4，b1=a2=-4×2+5=-3；

所以bn=b1qn-1-3•（-4）n-1，|bn|=|-3•（-4）n-1|=3•4n-1；

所以|b1|+|b2|++|bn|=3+3•4+3•42++3•4n-1=3•=4n-1；

故答案为：4n-1

先由an=-4n+5及q=an-an-1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到bn，进而得到|bn|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|++|bn|．

本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．【解析】4n-116、略

【分析】解：∵0＜a＜1；

∴y=ax是R上的减函数；

∴a＜aa；

∴a＜aa＜1；

∴aa＞a＞a；

故答案为：aa＞a＞a．

利用函数y=ax的单调性比较大小．

本题考查了函数的单调性的应用，属于中档题．【解析】aa＞a＞a三、证明题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．20、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=21、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．22、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=25、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、计算题(共3题，共24分)26、略

【分析】【分析】平移后利用切线的性质作PD⊥A′C′于点D求得PD，再求得PA′的长，进而得出PA-PA′和AA″的长，即可求得平移的距离．【解析】【解答】解：∵A′C′与⊙P相切；

作PD⊥A′C′于点D；

∵半径为2；

∴PD=2；

∵每个小方格都是边长为1的正方形；

∴AB=5，AC=2；

∴cosA==；

∴PA′=PD÷cosA=2÷=；

∴AA′=5-，AA″=5+；

故答案为5-或5+．27、略

【分析】【分析】①+②得到一个关于x的方程，求出x，①-②得到一个关于y的方程，求出y即可．【解析】【解答】解：；

①+②得：2x=6；

∴x=3；

①-②得：2y=8；

∴y=4；

∴方程组的解是．28、略

【分析】【分析】（1）利用已知条件可以证明△ADC∽△BAC；再利用其对应边成比例即可求出CD的长．

（2）作AD的高，可将所求角的值转化在直角三角形中求出．【解析】【解答】解：（1）∵∠B=36°；AB=AC=BD=1；

∴∠C=36°；∠BDA=∠BAD=72°，∠DAC=36°；

∴∠DAC=∠B；∠C=∠C；

∴△ADC∽△BAC；

∴=；

即DC×（DC+1）=1；

∴DC1=，DC2=（舍去）；

∴DC=；

（2）过点B作BE⊥AD，交AD于点E，

∵AB=BD=1；

∴∠ABE=18°，AE=DE=AD

∵∠DAC=∠C；

∴DC=AD=2DE=；

∴sin18°==．五、作图题(共1题，共6分)29、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．六、解答题(共3题，共12分)30、略

【分析】

事件总数为27种设A＝｛全是红球｝，A所包含的基本事件数＝1，P（A）=设B＝｛三个颜色不全相同｝，B所包含的基本事件数＝24，P（A）=设C＝｛三个颜色全不相同｝，C所包含的基本事件数＝6，P（A）=【解析】略【解析】【答案】31、略

【分析】【解析】(I)当时,再根据基本不等式易求出f(x)的