广东省八校联盟2024-2025学年高一上学期教学质量检测数学试卷（二）【含答案解析】

广东省八校联盟2024~2025学年度第一学期高二教学质量检测（二）数学注意事项：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置.3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效.4．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.5．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】确定斜率，由斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线的倾斜角为，则，所以，又，所以．故选：A．2.已知直线和互相垂直，则实数（）A.2 B. C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根据直线垂直的判定列方程求参数.【详解】因为直线和互相垂直，所以，解得．故选：B3.圆与圆的公共弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先两圆相减求公共弦所在直线方程，再代入弦长公式，即可求解.【详解】圆与圆，相减得，圆心到直线的距离，，则公共弦长为．故选：C．4.在三棱锥中，为的中点，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】连接，根据空间向量的运算法则，即可求解.【详解】连接，根据向量的运算法则，可得．故选：B．5.已知离心率为2的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（）A.21 B.19 C.13 D.11【答案】B【解析】【分析】根据离心率公式，以及椭圆和双曲线的焦点公式，即可求解.【详解】由条件可知，，则，解得，所以．故选：B．6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与相交于，两点，若的面积是面积的3倍，则（）A.或 B.或 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意转化为焦点到直线的距离比值问题，再验证直线与双曲线有2个交点，即可求解.【详解】依题意，双曲线的左、右焦点分别为，，设到直线的距离为，到直线的距离为，则，，因为的面积是面积的3倍，所以，即，解得或，联立方程组，整理得，则，解得，所以．故选：D．7.设是椭圆上的一点，，为焦点，，则的面积为（）A. B. C. D.16【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理，求，再代入三角形面积公式，即可求解.【详解】为椭圆上的一点，，为焦点，，，，可得，即，，设，，则有，，，，．的面积．故选：C．8.是双曲线的右支上一点，、分别是圆和上的点，则的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值.【详解】双曲线中，如图所示：，，，设左、右焦点为，，，，，，三点共线且在之间时取等号，，则，共线且在之间时取等号，所以.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A.存在实数，使得曲线为圆B.若曲线C为椭圆，则C.若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则D.当曲线C是椭圆时，曲线C的焦距为定值【答案】AC【解析】【分析】按圆和圆锥曲线的标准方程逐项判断即可.【详解】A正确：曲线C为圆即；B错误：C为椭圆C正确：C为焦点在x轴上的双曲线，D错误：C是椭圆，此时焦距，不是定值.故选：AC10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若非零向量，，满足，，则B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面C.若空间向量，，则在上的投影向量为D.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或【答案】BCD【解析】【分析】根据，的方向不确定判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据投影向量定义判断C；利用，可得从而判断D．【详解】对于A，非零向量，，满足，，，的方向不确定，则，不一定平行，故A错误；对于B，，，故，，，四点共面，故B正确；对于C，因为，，所以在上的投影向量为，故C正确；对于D，因为直线的方向向量为，平面的法向量为，所以，所以，则或，故D正确．故选：BCD．11.在棱长为的正方体中，、分别为棱、的中点，为线段上的一个动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.存在点，使得平面平面C.当时，直线与所成角的余弦值为D.当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为【答案】ABD【解析】【分析】利用锥体体积公式可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BC选项；【详解】对于A选项，因为平面平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，又，的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故A正确；以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图1所示的空间直角坐标系，则A2,0,0、、、、、，、、，对于B项，，，，，，设，其中，则．设平面的法向量为，由，令，可得．设平面的法向量为，由，令，可得．若平面平面，则，则，解得，故B正确；对于C选项，当时，，．设直线与所成的角为，则，即直线与所成角的余弦值为，故C错误；对于D项，如图2，当为的中点时，、，，．设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可；④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，若三向量共面，则实数_____.【答案】1【解析】【分析】由题意存在，使得，代入坐标，列方程组计算，即得解.【详解】由题意，三向量共面，故存在，使得，即，故，解得.故答案为：113.若圆与圆没有公共点，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，若两个圆有公共点，得到不等式组，求出，进而求出两圆没有公共点时的的取值范围.【详解】圆，圆心，半径为1，圆，圆心，半径为1，若两个圆有公共点，则，解得，若两个圆没有公共点，则实数的取值范围为或．故答案为：14.过点作斜率为的直线与椭圆相交于，，若是线段的中点，则椭圆的离心率为________．【答案】【解析】【分析】利用椭圆点差法，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设Ax1,y1，B是线段中点，，，过点M1,1作斜率为直线与椭圆相交于，两点，是线段的中点，①②两式相减可得，又所以，，，．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.【答案】（1）（2）圆与圆相交.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.，圆方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径.圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16.已知圆．（1）若直线经过点,且与圆相切,求直线的方程；（2）设点,点在圆上,为线段的中点,求的轨迹的长度．【答案】（1）x=-1或（2）【解析】【分析】（1）易判断点A在圆,因此切线方程有两条,分直线的斜率不存在和直线斜率存在讨论即可；（2）利用相关点法求出的轨迹方程，进而可求的轨迹的长度.【小问1详解】圆C的标准方程为:,点在圆外,故过点A且与圆C相切的直线有2条，①当直线的斜率不存在时,圆心到直线的距离直线与圆C相切.(2)当直线的斜率存在时,可设直线,即圆心C到直线的距离,由题意,解得,此时,即,终上所述,直线的方程为x=-1或.【小问2详解】设因为为DE的中点,所以,点E在圆C上,即，即，所以点的轨迹是以为圆心,32为半径的圆,的轨迹的长度为.17.由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.（1）求证：平面；（2）若二面角的正切值为，求平面与平面夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）法一：将几何体补成四棱柱，得到四边形为平行四边形，故，得到线面平行；法二：得到两两垂直，建立空间直角直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到，得到结论；（2）设，作出辅助线，找到二面角的平面角为，根据正切值得到方程，求出，求出平面的法向量，得到平面与平面夹角的余弦值，求出答案；【小问1详解】法一：将几何体补成四棱柱，因为，，所以四边形为平行四边形，所以，，又，故，，故四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面.法二：∵四边形是菱形，∴⊥，又平面，平面，∴，，故两两垂直，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，其中，则，设，由得，由得，则，设平面的法向量为，则，取，得，，又平面，平面【小问2详解】设，取的中点，则，又四边形是菱形，，因为平面，平面，所以，因为，平面，故面，因为平面，则，因为且，所以四边形为平行四边形，故，所以，又，故四边形为平行四边形，故，，故.所以为二面角的平面角.则，其中，故，故，设平面的法向量为，则取，得，，平面与平面夹角的余弦值为，平面与平面夹角为.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程；（2）设Ax1,y【小问1详解】由题意，知，解得，故双曲线的方程为．【小问2详解】设Ax则，两式相减，得，整理得．因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率，故直线的方程为，即．经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为.19.已知椭圆经过，两点．（1）求椭圆的方程；（2）斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，且点不在上，，过点作轴的垂线，交直线于点，与椭圆的另一个交点为，记的面积为，的面积为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆上点列方程求椭圆参数，即可得方程；