高考数学一轮专项练习卷：基本不等式（原卷版+解析版）

基本不等式（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01基本不等式的内容辨析

♦题型02利用基本不等式比较大小

♦题型03利用基本不等式求最值

♦题型04条件等式求最值

♦题型05基本不等式“1”的妙用

♦题型06对勾函数、类对勾函数求最值

♦题型07基本不等式在其他模块的应用

♦题型08高考新考法一以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式

♦题型09高考新考法一新定义基本不等式压轴题

♦题型01基本不等式的内容辨析

1.（21-22高一下•广东深圳•期末）下列不等式恒成立的是（）

ba

A.-+->2B

ab-y2J

C.a+b>2小洲D.a2+b2>-lab

2.（2022高一•全国•专题练习）已知0,6为实数，且则下列命题错误的是（）

A.右〃〉0,b>0,贝!J>4abB.右>4ab,则a〉0,b>0

22

C.右“1b,贝！]>y[abD.若O+b>,则Q1b

22

3.（22-23高一上・江苏常州•阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（）

A.a2+b2>2ab(a,beR)B.ab<eR)

C.啜N2(ab*0)D.Vx2+2+.(xGR)的最小值为2

7abVx2+2

♦题型02利用基本不等式比较大小

4.（2023・河南开封•三模）已知。＞0,b＞0,且。+6=1,/b,则下列不等式成立的是（）

A.+y/b<V2<---1--rB.yfu+y[b<----1——<-\/2

T2b2a2b

C.----1—r<5/2<-\[u+y[bD.-+<4a+4b<V2

T2bT2

5.（21-22高三上•河南•阶段练习）已知关于尤的方程|log2x|=f。＞。）有两个实根加，〃（加＞〃），则下列不

等式中正确的有.（填写所有正确结论的序号）

①加2+〃222后何一九）；②加2+〃2«2近■-麓）

@m2-n2>2V2（m-n^•@m2-n2<2y/2（m—n）.

♦题型03利用基本不等式求最值

6.（23-24高一上・重庆・期末）函数y=3x+5（x>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3亚D.2月

7.（23-24高一上•北京•阶段练习）已知。>0,则。+工+1的最小值为（）

a

A.2B.3C.4D.5

8.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）函数>=/+1屋（/>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

♦题型04条件等式求最值

9.（23-24高三上•湖北武汉•期末）已知正数。，。满足。+26=1,贝1J（）

A.ab>—B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

10.（23・24高三上•江苏连云港•阶段练习）若a>0,b>0,且Q+6=/,则2a+Z）的最小值为（）

A.3+2后B.2+2亚C.6D.3-272

♦题型05基本不等式“1”的妙用

12

11.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知正实数x,歹满足一十—=1,贝IJ2盯-3x的最小值为（）

xy

A.8B.9C.10D.11

71

12.（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）已知实数a>l,b>0,满足。+6=3,则T+：的最小值为（）

a-1b

A3+2收口3+2后小3+4拒3+4贬

•LJ••D.

4224

♦题型06对勾函数、类对勾函数求最值

13.⑵23高三全国•专题练习）函数尸x+3（x>2）取得最小值时的x值为——

Y2+3

14.（2023高三・全国・专题练习）函数/（%）=7^+1的最小值为

Vx+2

（22-23高三上•江苏南通•期中）已知正实数x,y满足了+了=加，函数=[+的最小

15.

值为Q|,则实数加取值的集合为.

♦题型07基本不等式在其他模块的应用

16.（23-24高三下•北京顺义•阶段练习）若数列｛4｝为等比数列，贝犷。331”是“4+%22”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

17.（22-23高三上•宁夏石嘴山•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.当％>0且xwl时，lnx+^—22

Inx

（兀14

B.当0,彳时，sinx+——的最小值为4

I2」smx

C.当x>0时，xH—22

x

D.当abwO时，—।—22

ab

18.（2024•广东湛江•一模）已知。6〉0,/+仍+2/=1,则/+2/的最小值为（）

A8-2V2n2V2「3n7-2V2

A•----------IJ,------L.LJ.---------

7348

19.（23-24高三下•广东广州•阶段练习）已知正实数。,6满足a+2b=l,则夜+2”的取值范围是（）

A.（1,V2）B.（0,1）C.（1,V3]D.（0,目

20.（23-24高一上•山西太原•阶段练习）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边

长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式

S=Jp（p/（i）（p_c）求得,其中〃为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现

有一个三角形的边长满足。=6,b+c=8,则此三角形面积的最大值为（）

A.3>/7B.8C.477D.9G

21.（2023•浙江杭州•二模）已知。>1,b>\,log2y[a=log64,则<26的最小值为（）

A.4B.8C.16D.32

22.（2023・江苏常州•一模）设z为复数，i为虚数单位，关于x的方程/+7丫+1=0有实数根，则复数z的模

目的范围是（）

A.[2,+oo）B.[忘+8）C.[4,+oo）D.[8,+oo）

23.（2024•河北沧州•模拟预测）已知抛物线7：/=2.（。>0）的焦点为R直线/交抛物线T于43两点，

....\MN\

M为线段的中点，过点M作抛物线7的准线的垂线，垂足为N,若=则谒的最大值为（）

A.1B.—C.vD.-

223

24.（20-21高三北京•强基计戈，在"BC中，角HCC的对边长分别为a,6,c,且，+c=12,6c=a2_i4a+85,

则“3C的周长为（）

A.17B.18C.19D.前三个选项都不对

41

25.（2024•河南•三模）在中，角4民。的对边分别为。也。，若a+b+c=2,则——7+一的最小值

a+bc

为.

26.（2023・上海静安•二模）已知函数/（x）=（^（a>0）为偶函数，则函数/⑴的值域为.

27.（22-23高三上•云南曲靖•阶段练习）已知b>0,直线/x+y+1=0与仆一仅？+2b+3=0互相垂直，贝！］

的最小值为.

28.（2024・湖南•二模）若锐角满足3cos（a+£）=costzcos£,贝Utan（a+?）的最小值为（）

A.2V2B.2A/3C.2A/5D.2显

29.（2023・河南开封•模拟预测）在三棱锥尸-/3C中，P4_L平面/8C,AB1AC,PA=1,AB+AC=4,当

三棱锥的体积最大时，三棱锥P-/3C外接球的体积为.

30.（20-21高三下•浙江•阶段练习）己知抛物线/=2"的焦点为尸，若点A,B是该抛物线上的点，|万|=6,

AFBF=Q，线段⑷?的中点M在抛物线的准线上的射影为N,则|加|的最大值为.

♦题型08高考新考法一以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式

31.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量少（单位：平方米）的计算公式是

用=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方

米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

32.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单价分别

为机元和〃元（加3〃），甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20

件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为外,%，则（）

A.%=%B.C.D.%,〃2的大小无法确定

33.（2024•广东湛江•二模）当x>0,y>0时，苫上N历.这个基本不等式可以推广为当x,y>0时，

Ax+/iy>xAy^,其中％+4=1且4〉0,0.考虑取等号的条件，进而可得当时，4%+〃歹志％2yz.

用这个式子估计而可以这样操作：1OH」X1O+LX9=H,则多。3.167.用这样的方法，可得

2226

V28的近似值为（）

A.3.033B.3.035C.3.037D.3.039

34.（22-23高三上•安徽合肥・期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世

西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也

称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径N8上，且。尸，N8,设NC=a,BC=b,

则该图形可以完成的无字证明为（）

A.>Q,b>0)B.a2+b2>2yfab(a>0,ft>0)

O1__

a+b<

C.——<yfab(6/>0,6>0)D.(a>0,b>0)

a+b

35.（2023・安徽池州•模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根

垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题•我们

把地球表面抽象为平面a,悬杆抽象为线段N8（或直线/上两点A,B）,则上述问题可以转化为如下的数学

模型：如图1,一条直线/垂直于一个平面a,直线/有两点A,3位于平面a的同侧，求平面上一点C,使

得最大•建立如图2所示的平面直角坐标系•设A,B两点的坐标分别为（0,a）,（0,6）（0<6<a）,设

点C的坐标为（G。），当N/C3最大时，。=（）

A.2abB.abC.2\[abD.4ab

♦题型09高考新考法一新定义基本不等式压轴题

36.（23-24高二下•广东江门•阶段练习）青岛胶东国际机场的显著特点之一是弯曲曲线的运用，衡量曲线弯

曲程度的重要指标是曲率.考察图所示的光滑曲线C：N=/（x）上的曲线段前，其弧长为加，当动点从/

沿曲线段筋运动到B点时，A点的切线。也随着转动到B点的切线。，记这两条切线之间的夹角为（它

等于4的倾斜角与。的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固

定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K=丁为曲线段蕊的平均曲率；显然当8越接近/,即

△s'

加越小，K就越能精确刻画曲线。在点/处的弯曲程度，因此定义曲线>=在点（xj（x））处的曲率计

（1）求单位圆上圆心角为60。的圆弧的平均曲率;

⑵已知函数/（x）=工（X>0）,求曲线y=/（x）的曲率的最大值;

232xx2

⑶已知函数g(x)=6xInx-2ax-9x,h(x)=2xe-4e+ax,aGf0,—

，若g（x）,〃（x）曲率为0时％的最小值

分别为项户2,求证：—>e?.

e"2

02模拟精练

一、单选题

1.（2024・甘肃定西•一模）V+N+5的最小值为（）

X

A.2万B.3币C.4aD.54

2.（2024・全国•模拟预测）已知a=lg2,6=lg5,则下列不等式中不感义的是（）

A.0<ab<1B.2o-i>—C.y[a+y[b>V2D.-i—>4

2ab

3.（2024・全国•模拟预测）已知等比数列｛叫满足。5%。7=-27,则%&+有（）

A.最小值-9B.最大值18C.最小值27D.最大值-81

4.（2024•陕西西安•模拟预测）下列说法错误的是（）

A.若正实数〃力满足。+6=1,则工+工有最小值4

ab

B.若正实数满足a+26=l,则2"+4呛2挺

C.-='x~+3+仁=的最小值为勺8

Vx+33

D.若贝!Ja6+l<a+6

5.（2024•浙江嘉兴•二模）若正数满足——29+2=0,则％+>的最小值是（）

A.V6B.—C.2A/2D.2

2

6.（2024•黑龙江•二模）"不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直

的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据,

以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板,且这块四边形木板的一个内角。满足cosa=1,

则这块四边形木板周长的最大值为（）

C.D.

33

7.（2024•全国•模拟预测）如图所示，在“"中，M为线段BC的中点，G为线段上一点，AG=2GM>

_._k,41

过点的直线分别交直线于尸，。两点.设尸（）（）则----+---^的

G45,/C48=xNx>0,AC=yAQy>0f--

•A*"T乙y"T1

最小值为（）

42

8.（2024•天津・二模）已知抛物线/=2/（0>0）的焦点为尸，抛物线上的点M（4,%）到厂的距离为6,双

22

曲线左十=l（a>0,6>0）的左焦点片在抛物线的准线上,过点与向双曲线的渐近线作垂线，垂足为H,

则反与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（）.

A.2B.V3C.V5D.3

二、多选题

112

9.（2024・河南信阳•一模）已知正数也〃满足一+—=22,贝!]（）

mn

I3〃

A.mn>—B.m2+n2>2C.m+n^—D.3m,ne（0,+oo）,（-------2

222mnmH

10.（2024•全国•模拟预测）若实数e6满足3/+3/+4"=5,则下列结论正确的是（）

,2

A.ab<1B.abN—

5

c.a2+b2>2D.-y[2<a+b<y[2

11.（2024•浙江•二模）已知正实数。，b,c,且a>b>c,x,y,z为自然数，贝|满足—+>+->0

a-bb-cc-a

恒成立的x,y,z可以是（）

A.x-1,y=l,z=4B.x-1,y=2,z=5

C.x=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

三、填空题

12.（2024•陕西咸阳•二模）已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,a,b,12,14,18,20,

且总体的平均值为10.则工+」的最小值为_____________.

ab

13.（2024•内蒙古赤峰•模拟预测）《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到

大的顺序排成一列，即2,5,8,11,……，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的前"项和为S,,则7上v一+27^的最小值

n

为.

14.(2024•江西上饶•一模)若函数/(尤卜/-3尔+6》在区间0,3)上单调递增，则。的取值范围为

四、解答题

15.(2024•全国•模拟预测)记“SC的内角所对边分别为。也。，已知6(385。-1)=。(1一3四$3).

(1)证明:b+c=3a；

(2)求cosZ的最小值.

c+cosC

16.(2023・全国•模拟预测)在中，角4丛。所对的边分别为。也〜已知一亚”—=2^.

cosB-cosCsin^4-smB

⑴求c；

(2)若“3C外接圆的半径为与，求AABC的面积最大值.

22万

17.(2024・四川•模拟预测)已知椭圆C:=+[=l(a>6>0)的左、右焦点分别为耳、耳，离心率为.点

ab2

M在直线x=-3(yw0)上运动，且直线MFX的斜率与直线MF2的斜率之商为2.

⑴求C的方程；

(2)若点/、3在椭圆C上，。为坐标原点，且求“05面积的最小值.

18.(2024•辽宁・模拟预测)(1)利用双曲线定义证明：方程孙=1表示的曲线是焦点在直线>=x上的双曲

线，记为曲线C；

(2)设点在曲线C上，B(xj)在曲线G上，且满足，,求。方程;

%=x+—y

(3)点尸在G上，过点尸的直线/与G的渐近线交于w，N两点，且满足那=崩，求AMON(。为坐

标原点)的面积.

19.(2024・江苏盐城•模拟预测)根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数z=/(x,y)在约束条件g(x,y)

的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数〃x/")=〃x/)+Xg(x,y),其中4为拉格朗日系数.分

别对〃尤)")中的部分求导，并使之为0,得到三个方程组，如下：

乙(X/,㈤=/(X/)+.£(x,y)=0

<Ly(x,y,A)=fy(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程组，得出解(x,y),就是二元函数z=/(x,y)在约束条件g(x,y)

Lz(x,y,X)=g(x,y)=0

的可能极值点.尤力的值代入到了(XJ)中即为极值.

补充说明：【例】求函数/■(尤/)=/+孙+/关于变量X的导数.即：将变量V当做常数，即：工(x,y)=2x+y,

下标加上x,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的4,4表示分别对尤进行求

导.

⑴求函数/'(x/)=V必+2中+刈2关于变量y的导数并求当尤=1处的导数值.

(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数满足g(x,y)=4/+/+盯-1=0,求/(X,y)=2x+y的最大值.

(3)①若x，-z为实数，且x+y+z=l,证明：/+V+z22g.

11

②设“〉b〉c〉O,求2〃9———10tzc+25c9的最小值.

aba(a-b)

基本不等式（九大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01基本不等式的内容辨析

♦题型02利用基本不等式比较大小

♦题型03利用基本不等式求最值

♦题型04条件等式求最值

♦题型05基本不等式“1”的妙用

♦题型06对勾函数'类对勾函数求最值

♦题型07基本不等式在其他模块的应用

♦题型08高考新考法一以生活情境、传统文化等为背景考查基本不等式

♦题型09高考新考法一新定义基本不等式压轴题

♦题型01基本不等式的内容辨析

1.（21-22高一下•广东深圳•期末）下列不等式恒成立的是（）

.ba（a+b\

ab（2J

C.a+b>2^ab^D.a2+b2>—2ab

【答案】D

【分析】利用特殊值判断A、C,利用重要不等式判断B,作差可判断D；

【解析】解：对于A：若。=1、b=T时2+£=一2,故A错误；

ab

对于B：因为所以/+6222a人所以"+了“"",即［审］当且仅当时

取等号，故B错误；

对于C：若。=-1、6=-1时，a+b=-2<2yJ\ab\=2,故C错误；

对于D：因为（a+b）2>0,所以/+62+2〃620,BPa2+b2>-2ab,当且仅当a=b时取等号，故D正确；

故选：D

2.（2022高一•全国•专题练习）已知〃，b为实数，且Q»wO,则下列命题错送的是（）

A.若〃>0,Z?>0,则〃+”B.若♦+”,贝！J〃>0,b>0

22

C.若a1b,则“+>>>[abD.若"^＞屈，则Mb

22

【答案】C

【分析】对于A,利用基本不等式判断，对于B,由已知结合完全平方式判断，对于C,举例判断，对于D,

利用基本不等式判断

【解析】对于A,由基本不等式可知当。＞0,6＞0时，个2痴，当且仅当。=6时取等号，所以A正确,

对于B,因为,a-b^0,所以［a®〉。，且（&-新『20,所以。＞0,b＞0,当且仅当。=6

时取等号，所以B正确，

对于C,若。=-1,6=-4,则"+'=SC=2,所以C错误，

22

对于D,因为学〉痴，a-b^0,所以旦a+b-2友＞0,所以0＞0力＞0,（夜-”丁＞（）,

所以。＞0,6＞0且/b,所以D正确，

故选：C

3.（22-23高一上•江苏常州•阶段练习）下列说法，其中一定正确的是（）

B.ab<（.；b）2（Q,bGR）

A.a'+b2>2ab（a,beR）

C.罕^22（曲片0）卡+春0,对的最小值为2

D

7ab

【答案】B

【分析】利用重要不等式判断A、B、利用特殊值判断C,利用对勾函数的性质判断D.

【解析】对于A：因为。,6eR,所以/+〃22附，当且仅当。=6时取等号，故A错误;

对于B：因为。2+/±2仍，所以。2+〃+2仍24",所以:+"+2,仍士仍,

4

即［等］~ab，当且仅当“=6时取等号，故B正确;

对于C：当。=6=-1时，满足而。0,但是竿^=-2＜2,故C错误;

7ab

对于D：令:斤石之后，因为y=f+；在［亚，+8）上单调递增,

所以+V2+-^==3：,

当且仅当1=也，即x=0时取等号,

的最小值为辿,

即J*+2H—,故D错误;

6+22

故选：B

♦题型02利用基本不等式比较大小

4.（2023・河南开封•三模）已知a>0,b>0,且a+b=l,a1b,则下列不等式成立的是（）

A.4a+4b<V2<—+—ry[a+4b<-4-^-<V2

2a2bT2b

11

C.----1—r<V2<yfu+y[bD.<y/a+4b<<2

T2b

【答案】A

【分析】使用基本不等式求解，注意等号成立条件.

【解析】（&+指）2=。+6+ly/ab=1+2-^ab<\+a+b=2

•・・/b,・,•等号不成立，故G+行；

!S'

a1b,.,.等号不成立，故矛•+>>也,

综上,G++

故选：A.

5.（21-22高三上•河南•阶段练习）已知关于x的方程|现2司=4>0）有两个实根凶，〃（冽「"）,则下列不

等式中正确的有.（填写所有正确结论的序号）

①加2+〃222近（加一九）；②加2+〃242后（加一〃）

（3）m2-n2>2V2（m-n^；（4）m2-n2<2y/2（m-n）.

【答案】①

【分析】解方程|log2、|=，得到加=2乙n=2Lmn=l,再利用作差法和基本不等式得解.

【解析】因为|10g2x|=%,所以log?、=或10g2%=T，

所以％=2'或x=2-,

因为关于X的方程|log2%|=，。>0）有两个实根加，n（m>n）,

所以加=2‘，n=2，,mn=2Z-2z=2°=1

对于①②，加之+n2—2V2(m—w)=(m-n)2+2mn—2^2(m-n)

=(m-H)2+2-2>/2=(m-n)2一2后(加一〃)+2=(m-n-y/2)2>0,

所以后何—〃），所以①正确，②错误.

对于③④，_^2—2\/2（m-n）=（m-^）（m+H-2/2）,

因为加〉〃，，加一〃>0.

m+n-2y/2=2,+2-,-2A/2>2"2T-2收=2-20，

所以加之-/N2母（m-n）或者/-〃242y/2（rn-n）.

所以③④错误.

故答案为：①

♦题型03利用基本不等式求最值

6.（23-24高一上•重庆•期末）函数y=3x+：（x>0）的最小值是（）

A.4B.5C.3亚D.2A/3

【答案】D

【分析】利用基本不等式即可得解.

【解析】因为x>0,

所以>=3》+工22、3》,=26，

X\X

1A

当且仅当3%=—,即％=叱时，等号成立.

X3

贝i]y=3x+g（x>0）的最小值是.

故选：D.

7.（23-24高一上•北京•阶段练习）已知0>0,则。+工+1的最小值为（）

a

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】用基本不等式求解即可.

【解析】因为。>0,

所以a+L+1匙2«"+1=3,当且仅当即。=1时取等号；

a\aa

故选：B

8.（23-24高三上•陕西西安•阶段练习）函数〉=X2+京、12>5）的最小值为（）

A.2B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】由基本不等式即可求解.

【解析】由->5可得一-5>0,

当且仅当/-5=二二，即》=新时等号成立，

x-5

故选:D

♦题型04条件等式求最值

9.（23-24高三上•湖北武汉•期末）已知正数。，6满足。+26=1,则（）

1111

A.ab>—B.ab>—C.0<ab<—D.0<ab<—

8888

【答案】C

【分析】根据基本不等式直接计算即可.

【解析】由题意得，a>Q,b>Q,则。6>0,a+26=122^F,即0<仍4：,

O

当且仅当a=26,即。=1,6=；时等号成立.

故选:C

10.（23-24高三上•江苏连云港•阶段练习）若a>0,b>0,且a+b=a6,则2a+6的最小值为（

A.3+2夜B.2+2亚C.6D.3-2后

【答案】A

【分析】利用基本不等式"1"的妙用求出最小值.

［解析］a>0,b>0,由a+b=ab得,+'=1,

ab

故20+6=（2“+加［+j=2+1。g>3+^^-=3+j

当且仅当学=2,即“=1+也/=1+后时，等号成立，

ba2

故2a+b的最小值为3+2也.

故选：A

♦题型05基本不等式“1”的妙用

12

11.（2024•黑龙江哈尔滨•二模）已知正实数%,>满足一+—=1,则2盯-3x的最小值为（）

xy

A.8B.9C.10D.11

【答案】B

【分析】利用基本不等式计算即可.

【解析】易知(+：=1=2x+y=盯，JjjlJ2xy-3x=2(2x+y)-3x=a+2y>］｝\

=5+^+—>5+2

-=9,

xy

当且仅当上=一，即x=y=3时取得等号.

xy

故选：B

?1

12.（23-24高三下•江苏扬州•开学考试）已知实数。>1,b>0,满足a+6=3,则1的最小值为（）

a-1b

“3+2后D3+2后「3+4拒、3+472

A.----------D.---------------C.----------U.----------

4224

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用基本不等式"1〃的妙用求解即得.

【解析】实数。>1,b>0,由“+6=3,得（〃一1）+6=2,

hU211［、7”21.1__2ba-1.1_/2ba-1.3+2亚

因止匕--7+工=彳［(r〃/-1)+们(----+-r)=-(3+------+――)^-(3+2------——=

a—1b2a—1b2a—1b2\a—\b2

当且仅当々=F，即。-1=缶=4-2也时取等号，

a-\b

所以二"7+4的最小值为3+2后.

a-1b2

故选：B

♦题型06对勾函数、类对勾函数求最值

13.（2023高三•全国•专题练习）函数丫=彳+三（x>2）取得最小值时的x值为

,尤+1------------

【答案】2

【分析】令x+l=f（之3）,则有1（。=/+；-1在［3,+8）上单调递增，当/=3时，即可求解.

【解析】依题意，

55

y=x-\--------=x+1H---------l（x>2）,

x+1x+1

设工+1=，伦3）.因为〃）=，+；—1在⑶+8）上单调递增，

所以当f=3,即x=2时，y=x+=7（x22）取得最小值.

x+1

故答案为：2.

八3

14.(2023高三・全国•专题练习)函数/(x)=/+1的最小值为

G+2

【答案】±2+1

2

【分析】先对函数进行化简，然后利用对勾函数的单调性可求出一(X)有最小值.

22

%+3x+2+1I-----1

1=2

【解析】/(X)/2+1=-/X2c+L

Vx+2vx22+2+V+2+V/Px++22

令t=Nx2+2，00，+8),

则函数/(x)可转化为g(t)=/+；+1,/G[/，+oo),令“(t)=/+；(企行)，

1a6

则由"G)在[亚，+8)上单调递增可知，u(t)>V2=—，

V22

则g⑺2迪+1,

2

所以函数/G)的最小值为孚+1；

故答案为：逑+1.

2

15.(22-23高三上•江苏南通・期中)已知正实数x,y满足x+y=/M,函数/"/)=[+；，了+一)的最小值

为三9,则实数加取值的集合为.

【答案】{&}

【分析】根据基本不等式求得孙的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果.

21]

【解析】m=x+y>2,y[xy,/(x,y)=封+1+1+面=盯+口+2,

(加21

令中=t,?e0,—,g(z)=f+-+2

2

当?却时，g(0min=4,与已知矛盾；

当?<1时，g⑴在0,?单调递减，

解得加=&或-0(舍去),

的取值集合｛&｝.

故答案为：｛0｝.

♦题型07基本不等式在其他模块的应用

16.（23-24高三下•北京顺义•阶段练习）若数列｛4｝为等比数列，则"4对"是"％+出±2"的（）

A.充分不必要条件B.