高考数学一轮专项练习卷：函数的基本性质（原卷版+解析版）

函数的基本性质（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01函数的单调性

♦题型02求函数的单调区间

♦题型03利用函数单调性求最值

♦题型04利用函数单调性求参数范围

♦题型05函数的奇偶性

♦题型06函数的奇偶性的应用

♦题型07函数的对称性、周期性及其应用（含难点）

♦题型08利用函数的基本性质比较大小

♦题型01函数的单调性

1.（23-24高三上•河南南阳•阶段练习）已知函数/（无）=工-2.

X

⑴求/（X）的定义域；

（2）用定义法证明：函数〃X）=工-2在（0,+到上是减函数；

⑶求函数〃x）=，-2在区间R,10］上的最大值.

x2

2.（23-24高一上•陕西汉中•期中）已知函数/（力=；7.

（1）试判断函数/（x）在区间（-1,+8）上的单调性，并证明；

（2）求函数/（x）在区间［0,+司上的值城.

3.（23-24高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习）已知函数/（x）=x+2过点（1,2）.

X

（1）判断f（x）在区间（1,+8）上的单调性，并用定义证明；

⑵求函数〃x）在［2,7］上的最大值和最小值.

♦题型02求函数的单调区间

4.（21-22高三上・贵州贵阳•阶段练习）函数〃幻=111（2/-3尤+1）的单调递减区间为（）

A.1一00，'|］B.1-00，!］C.［|，+cojD.（l,+°o）

5.（2023•海南海口•二模）已知偶函数y=f（x+l）在区间［0,+e）上单调递减，则函数）=/卜-1）的单调增

区间是.

♦题型03利用函数单调性求最值

6.（2021•四川泸州•一模）函数/。）=也》+111（2-》）的最大值为.

7.（23-24高三上・河南焦作•阶段练习）已知函数〃x）=x+L再必©：,3,则的最大值为

X_乙_

（）

41-5

A.-B.-C.~D.1

326

8.（2022•山东济南一模）已知函数/（x）=（xl）（2x+ljx2+ax+b）,对任意非零实数无，均满足

=.则/'（T）的值为;函数/⑴的最小值为.

♦题型04利用函数单调性求参数范围

9.（2023•天津河北•一模）设aeR,贝!|“0>一2”是“函数/（力=2/+4办+1在（2,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

_丫2।,。某丫<1

10.（2023•陕西商洛•一模）已知函数"》）=二、：一，是定义在R上的增函数，则。的取值范围是（）

（3-a）x+2,x>1

A.[1,3）B.[1,2]C.[2,3）D.（0,3）

11.（2024•全国•模拟预测）若函数〃x）=4|x-“|+3在区间工+s）上不单调，则。的取值范围是（）

A.[l,+°o）B.（1,+℃）

C.（一%1）D.（-oo,l]

41

12.（2023IWJ二•全国・专题练习）已知函数=—,g（x）=2x+a,若\7不£[5，1],3x2e[2,3],

/（xJBgG），则实数。的取值范围是（）

A.a<\B.a>1C.a<2D.a>2

♦题型05函数的奇偶性

13.（23-24高三上•江苏常州•期末）已知定义在区间上的函数/（x）=言为奇函数.

⑴求函数/（尤）的解析式；

（2）判断并证明函数/'（x）在区间上的单调性.

14.（2022高三•全国•专题练习）设/（力=^+4-2》（尤eR）,其中常数aeR.

⑴判断函数>=/（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）若不等式/（》）>；尤3在区间_,1上有解，求。的取值范围.

15.（23-24高三上•河南周口・期末）已知函数〃尤）=*尚是定义在（-M）上的函数，/（-x）=-/（尤）恒成

⑴确定函数〃x)的解析式，并用定义研究”X)在上的单调性；

⑵解不等式/(x-l)+/(x)<0.

-x+2x,x>0,

16.(23-24高三上•新疆阿克苏•阶段练习)已知奇函数/(%)=03=0,

x2+mx,x<0.

(1)求〃-加)的值;

(2)若函数在区间[-1,片一2]上单调递增，试确定。的取值范围.

♦题型06函数的奇偶性的应用

17.(2024・河北保定•二模)若函数y=/(x)-l是定义在R上的奇函数，则/(-1)+〃0)+/。)=()

A.3B.2C.-2D.-3

18.(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)定义域均为R的函数“X),g(x)满足〃x)=ga-l),且

/(x-l)=g(2-x),则()

A.〃x)是奇函数B./(X)是偶函数

C.g(x)是奇函数D.g(x)是偶函数

19.(2024•陕西西安・模拟预测)已知函数/卜)=“-”(“€«为奇函数，则实数。的值为()

2—1

A.2B.--C.1D.-1

22

20.(23-24高三上・云南楚雄・期末)已知/(无)是定义在R上的奇函数，/(1)=/(3)=0,且〃x)在(0,2)上

单调递减，在(2,+8)上单调递增，则不等式碧■《()的解集为()

A.(-°0,-1]0^0,^0[1,+℃)B.[-3,-l]U^0,^U[l,3]

C.(-℃,-1]00,：]u[3,+co)D.[-3,-l]U0,^U[l,3]

21.(2024・陕西・一模)已知定义在R上的函数/(x),满足(占72)[/(西)-/(马)]<0,且〃x)+〃-x)=0.若

/(1)=-1,则满足"(x-2)区1的x的取值范围是()

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

22.(23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习)函数/(x)在(，》,内)上单调递减，且为奇函数.若/(1)=-2,则满

足-24〃l-x)W2的x的取值范围是()

A.[0,2]B.[-2,0]C.[1,3]D.[-1,1]

♦题型07函数的对称性、周期性及其应用(含难点)

23.(2024・山东济南二模)已知函数〃%)的定义域为区,若/(-力=-/(力,/(1+力=/(1-％),则/(2024)=

()

A.0B.1C.2D.3

24.(2024・四川南充・三模)已知函数/(x)、g(x)的定义域均为R,函数/(x)的图象关于点(-1,-1)对称，

函数g(x+l)的图象关于y轴对称,/(x+2)+g(x+l)=-l,/(-4)=0,则“2030)-g(2017)=()

A.-4B.-3C.3D.4

25.(2024・广东广州•模拟预测)已知函数/(x)的定义域为R,且满足/(x)=-/(2-x)J(x+2)为偶函数,

225

当x«l,2］时，f(x)=ax+b1若/(0)+/(3)=6,则/)

17

D.

~9

26.(23-24高一上・广东广州•期中)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且〃x)+g(2-x)=5,

g(x)-/(x-4)=7.若了=g(x)的图象关于直线x=2对称，g⑵=4,下列说法正确的是()

A.g(2+x)=g(2-x)B.>=8(对图像关于点(3,6)对称

C./⑵=3D.”1)+/⑵+…/(26)=-28

27.(2024•河南•二模)己知函数/(x)是偶函数，对任意xeR,均有/(x)=/(x+2)，当xe[0,l]时，/(x)=l-x,

则函数g(尤)=/(x)-log5(x+1)的零点有个.

28.(23-24高三下•重庆•阶段练习)已知函数/(x)的定义域是R,+=〃x)+〃6-x)=0,

当■时，y(x)=4尤-2尤2,贝|J/(2O24)=.

29.(2023高三・全国•专题练习)设/(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线尤=1对称，对任意毛，

”0,1,都有/(玉+々)=/(占>/(々)，且/(l)=a>0.

⑵证明〃x)是周期函数;

（3）记a=f（2n+—）,求a,.

n2n

30.（2023・浙江绍兴•二模）已知定义在（0,+司上的增函数〃x）满足:对任意的a*e（O,y）都有

/（。6）=/（。）+/他）且"4）=2,函数g（x）满足g（x）+g（4-x）=-2,g（4-x）=g（x+2）.当xe［0,l］时,

g（x）=/（x+l）-l,若g（x）在［0,优］上取得最大值的x值依次为不，4，…，*卜,取得最小值的x值依次为

X；,尤；，…，X，若£［%+8（*）］+£［耳+8（¥）］=21,则加的取值范围为

Z=1Z=1

♦题型08利用函数的基本性质比较大小

31.（23-24高三上•天津蓟州•阶段练习）已知奇函数“X）在R上是增函数，若a=/^og2g］,6=/（log24.1）,

c=/（2°-5）,则a,“。的大小关系为（）

A.a<c<bB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

32.（23-24高一上•陕西西安•期中）定义域为R的函数/（x）满足/（3-x）=/（x+3）,且当％>占>3时，

2））>（）恒成立,设q=/（2x2-x+5）,6=。=/俨+4）,则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>c>a

33.（23-24高三上•福建厦门•期中）已知定义在R上的函数/⑺满足，①/（x+2）=/（无），②/（x-2）为奇

1511

函数，③当xe［0,1）时，/（*）一"“）>o（%产X?）恒成立.则f、〃4）、/的大小关系正确的是

X]-x2

()

15n1511

A.>/(4)>/B.f>/(4)

11151115

C.>/(4)>/D./(4)>/

02模拟精练

一、单选题

1.（2024•山西晋中•三模）下列函数中既是奇函数，又在（0,+。）上单调递减的是（）

A./(x)=2klB./(x)=x3

lnx,x>0,

C./(x)=：-xD./(无)=

-ln(-x),x<0

2.（2024・山东•二模）已知函数/（X）=2X2-F+1在区间［-1,+8）上单调递增,则/⑴的取值范围是（）.

A.[7,+co）B.（7,+oo）

C.（一8,7]D.（一8,7）

3.（2024・山东•二模）已知函数/（x）是偶函数，且该函数的图像经过点M（2,-5）,则下列等式恒成立的是

（）.

A./（-5）=2B./（-5）=-2

C./（-2）=5D.7（-2）=-5

4.（2。24・全国•模拟预测）函数小）=氤行的大致图象是（）

5.（2024・全国•模拟预测）已知函数/■（x）=3i_32r,则满足/（x）+/（8-3x）>0的x的取值范围是（）

A.(-℃,4)B.(-<»,2)C.(2,+00)D.(-2,2)

6.(2024・全国•模拟预测)已知函数是定义在R上的奇函数，且对任意的加<“<0,都有

(%-〃)(/(加)-/(〃))<0,且"-2)=0,贝I]不等式小+1)一/J'一1)10的解集为()

X

A.[-3,-1]U[0,1]B.[-2,2]

C.(-s,-3)U(-2,0)U(2,+WD.[-3,-l]U(0,l]

e"+<Q

7.（2024•湖南岳阳三模）已知函数/Xx）=21，/⑴不存在最小值，则实数。的取值范围是（）

[x+2ax,x>a

A.（-1,0）B.B,+s]C.（-l,0）U（g,+8]D.,O]U（L+S）

8.（2024・浙江绍兴•模拟预测）已知:对于任意的正数XJ,z42弧,若满足x+〉=l,贝U

....----卜J5Y+5y2+z?+10盯—3xz—3yz2k恒成立,那么人的最大值是（）

盯

B.6+巫D-8+平

A.6+yfiC.8+6

2

二、多选题

9.(2021•江西•模拟预测)已知函数〃尤)=」一，则下列叙述正确的是()

x+4

A./(x)的值域为(-8,-4)U(-4,+8)B./(x)在区间(-QO,-4)上单调递增

C./(x)+〃-8-x)=4D.若无e{x|x>-4,xeZ},则/(x)的最小值为-3

10.(2024•江苏南京・二模)已知函数/㈤满足/•(x)/(y)=〃中)+闭+|川,则()

A./(0)=1B.”1)=一1C./⑴是偶函数D.是奇函数

11.(2023•河南・三模)已知函数〃x)=lnx-l——则下列结论正确的是()

X-1

A./(x)在定义域上是增函数

B.〃尤)的值域为R

C./(log20232024)+/(log20242023)=1

b.i

D.若/(h=产一6,«e(O,l),6«0,+s),则

e—1

三、填空题

2

12.(2023・上海嘉定•一模)函数尸2尤一以+5在xe33上的最大值和最小值的乘积为_________

x—1_2_

13.(2024・湖北黄石•三模)设。，beR+，若。+4b=4,则蓝营的最小值为_____，此时。的值为______.

y/ab

14.(2023•云南保山•二模)对于函数/(x),若在其图象上存在两点关于原点对称，则称/(x)为“倒戈函数”,

设函数/(x)=3*+tanx-2〃7+l(〃zeR)是定义在11』上的“倒戈函数”，则实数机的取值范围是.

函数的基本性质（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01函数的单调性

♦题型02求函数的单调区间

♦题型03利用函数单调性求最值

♦题型04利用函数单调性求参数范围

♦题型05函数的奇偶性

♦题型06函数的奇偶性的应用

♦题型07函数的对称性'周期性及其应用（含难点）

♦题型08利用函数的基本性质比较大小

♦题型01函数的单调性

1.（23-24高三上•河南南阳•阶段练习）已知函数/（无）=工-2.

⑴求/（X）的定义域；

⑵用定义法证明：函数=L-2在（0,+功上是减函数；

X

⑶求函数/（X）=L-2在区间[上10]上的最大值.

x2

【答案】⑴（7,0）U（0,+8）;

（2）证明见解析；

（3）0.

【分析】（1）利用函数式有意义求出定义域即得.

（2）利用函数单调性定义推理即得.

（3）利用函数单调性求出最大值.

【解析】（1）函数〃x）=』-2有意义，x/0,

X

所以函数〃x）=工-2的定义域为（-*0）U（0,+8）.

X

（2）e（0,+co）,X]＜工2,•/'（玉）一/（彳2）='-2-4-2）=^—―

X]X2XjX2

因为0＜再＜%,则工2串1＞0,即/（再）-/（%2）＞0，/（7）＞/例2），

所以函数〃x）=」-2在（0,+s）上是减函数.

(3)由(2)知，函数/。)='-2在日,10］上是减函数，

x2

所以=0-

2Y-1

2.(23-24高一上•陕西汉中•期中)已知函数/(切=不立.

⑴试判断函数/(x)在区间(-1,+8)上的单调性，并证明；

(2)求函数/(x)在区间［0,+司上的值城.

【答案】(1)在区间(-1,+8)上单调递增，证明见解析

(2)［-1,2).

【分析】(1)利用定义法证明单调性即可；

(2)由函数的单调性求值域即可.

【解析】(1)易知/(x)=J=2-

x+1x+1

设西广2e(-l,+co),且再<无2，

333(E-马)

则/(国)一/(%2)=

x2+1%1+1(xi+l)(x2+1)

又由一1<再<%2，贝！］再一次2<0，再+1>0,x2+1>0,

所以/(西)-/仁)<0,即“X)在区间(-1,+8)上单调递增;

(2)由上可知函数/(X)在区间［0,+8)上单调递增，则/'(x"f(O)=T,

又〃x)="=2--2,

故/(X)的值域为［T2).

3.(23-24高三上•黑龙江佳木斯•阶段练习)已知函数〃x)=x+2过点(1,2).

(1)判断/(x)在区间(1,+8)上的单调性，并用定义证明；

(2)求函数在［2,7］上的最大值和最小值.

【答案】(l)/(x)在区间(1,+s)上单调递增，证明见解析

⑵最大值为?，最小值为g

【分析】(1)求出函数的表达式，利用单调性定义即可判断函数的单调性;

(2)根据单调性即可得出函数在［2,7］上的最大值和最小值.

【解析】(1)单调递增，由题意证明如下，

由函数〃x)=x+2过点(1,2),有1+§=2,

X1

解得6=1，所以A》)的解析式为：+

X

设V%1，X2£(1，+8)，且可<%2，有

以占)-小2)=，+9-卜+J)”「I)

GX

由再,％2(1，+8),再<X2,得再/一1>°，再~2<0.

则(3一),?%-1)<0,即〃不)</伍).

/⑺在区间(1,+8)上单调递增.

(2)由/(x)在(1,+00)上是增函数，

所以fM在区间［2,7］上的最小值为/(2)=|,最大值为/(7)=y.

♦题型02求函数的单调区间

4.(21-22高三上・贵州贵阳•阶段练习)函数/'(xhlnQW尤+1)的单调递减区间为()

A.1-00，：1B.(一00，：C.1'|，+cojD.(1,+co)

【答案】B

【分析】先求出函数/。)的定义域，再求出函数“=2,一3x+l在所求定义域上的单调区间并结合复合函数

单调性即可作答.

【解析】在函数f(x)=ln(2x2-3x+l)中，由2尤2-3》+1>0得x<g或x>l,则/⑺的定义域为

(-00,-)U(1,+℃),

函数〃=2,_3x+1在S1)上单调递减，在(1,+功上单调递增，又y=In”在〃e(0,内)上单调递增，

于是得〃x)在(-吟》上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

所以函数/(x)的单调递减区间为(-%g).

故选：B

5.(2023•海南海口•二模)已知偶函数y=/(x+l)在区间［0,+旬上单调递减，则函数y=/(x-l)的单调增

区间是.

【答案】(-*2］

【分析】根据偶函数的对称性结合图象平移分析求解.

【解析】因为偶函数了=/(x+l)在区间［0,+e)上单调递减，

所以了=/(x+1)在区间(-叫0］上单调递增，

又因为/(x-l)=/((x-2)+l),则函数/(尤-1)的图象是由函数/(x+1)的图象向右平移2个单位长度得至IJ,

所以函数/(x-l)的单调增区间是(f,2］.

故答案为:(f2］.

【点睛】本题考查函数的性质，要求学生了解函数图象的平移与单调性和奇偶性的综合关系.

♦题型03利用函数单调性求最值

6.(2021・四川泸州•一模)函数〃x)=lnx+ln(2-x)的最大值为.

【答案】0

【解析】由二次函数、对数函数的单调性确定复合函数的单调性，进而求最值即可

【解析】由/(x)=lnx+ln(2-x)=ln［-(x-l)4I］,且0cx<2,

.,.令f(x)=-(尤-I)?+1,/(?)=ln/,即f(x)在0cx<1为单调递增，l<x<2为单调递减，而/⑺为增函数，

.•./(刈在0<》<1上单调递增，l<x<2上单调递减，/(x)max=/(l)=0,

故答案为：0

7.(23-24高三上•河南焦作•阶段练习)已知函数〃x)=x+L%,乙€1,3,则的最大值为

()

415

A.—B.—C.—D.1

326

【答案】A

【分析】根据函数的单调性求出/(x)=x+：的最值，由/(不)-”9)1：1=〃切1_-〃》)„1山即可得结果.

【解析】由"对勾函数”的性质可得〃X)=x+］在1,1上单调递减，在［1,3］上单调递增，

=41）=2，/（x）1mx=max卜出,/（3））*,

所以|/（再）一/d）二=〃X）max-/（X）min=¥-2=g,

故选：A.

8.(2022•山东济南•一模)已知函数〃或=:-1)(2工+11仁+办+4,对任意非零实数x,均满足

〃尤)=H.则的值为;函数小)的最小值为.

9

【答案】0-了

O

【分析】根据给定条件求出待定系数a,b,进而求出/'(X)的解析式，代值计算可得了(-1),变形函数式并

借助二次函数求解最值作答.

【解析】函数/(x)=(xl)(2x+?(x2+ax+6),因对任意非零实数%均满足“尤)=/[-工],

贝”VxeR,x片0,有（f（2x+1，+办+6）=（]工+°）,

XJ_

即（x-1）（2%+l）（x2+办+b）=（-x-l）（x-2）（桁2_+1）,由等式两边展开式最高次项系数得：—b=2,即

b=-2,

当x=l时，b-a+l=0,解得“=-1,经检验得，a=-l,b=-2,=J对任意非零实数x成立,

因此，/(x)=(l)(2x+?([-1)=(J?-1)(2^-3x-2)=(X一1)12(x-)-3

XXXX

11139

(x—)2?-3(X--)=2[(X-T—于9一1

=2xxx48

/1)=0,当即x=t亘时,/(x)min=-|,

所以/(-1)的值为0,函数/(x)的最小值为

O

_,9

故答案为：0；--

O

【点睛】思路点睛：两边是一元高次多项式的等式恒成立问题，可以借助特殊项(如最高次项、常数项等)

及取特值求出待定系数，然后验证即可.

♦题型04利用函数单调性求参数范围

9.(2023・天津河北•一模)设aeR,则"0>-2"是"函数/3=2%2+4办+1在(2,+8)上单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结

果.

【解析】函数/（力=2/+4办+1的对称轴为x=-a,

由函数/（尤）=2/+4办+1在（2,+8）上单调递增可得一a42,即心一2,

所以"a>-2"是"函数/（力=2/+4办+1在（2,+⑹上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A

_丫2।丫<1

10.（2023・陕西商洛•一模）已知函数"》）=二、：一，是定义在R上的增函数，则”的取值范围是（）

（3-a）x+2,x>1

A.[1,3）B.[L2]C.[2,3）D.（0,3）

【答案】B

【分析】由题意可知函数在每一段上为增函数，且在x=l时，一次函数的值不小于二次函数的值，然后解

不等式组可求得结果.

_丫2|-y<1

【解析】因为/（X）=:、二一，是定义在R上的增函数，

（3-4）x+2,x>1

-->1

-2

所以<3-a>0,解得l<a<2.

—1+2。（3—a+2

故选：B

11.（2024・全国•模拟预测）若函数〃x）=4|x-a|+3在区间[1,+网上不单调，则a的取值范围是（）

A.[!,+<»）B.（1,+<»）

C.（-℃,1）D.（-oo,l]

【答案】B

【分析】先分析/*）的单调性，再列不等式即可求解.

【解析】因为函数"x）=4|x-a|+3在（F,a）上单调递减，在（a,+划上单调递增.

又函数在区间口,+◎上不单调，所以。>1,

故选：B.

41

12.(2023高三・全国•专题练习)已知函数/(x)=%+—,g(x)=2x+a,若7再£1,1],却£[2,3],使得

/(xJegG)，则实数。的取值范围是()

A.a<1B.a>1C.a<2D.a>2

【答案】A

【分析】本题的关键是将已知转化为在±eg,1]的最小值不小于g(x)在尤2e[2,3]的最小值，然后解不

等式即可.

42_/11

【解析】由/(X)=X+?得，/'(x)=上v不，当xeH，l]时，f\x)<0,

/(X)在单调递减，.•./⑴=5是函数/⑴的最小值，

当xe[2,3]时，g(x)=2x+a为增函数，g(2)=。+4是函数g(x)的最小值，

又\/再,者时Ze[2,3],使得/(X])》g(x2),

可得/(x)在国的最小值不小于g(x)在乙©[2,3]的最小值，

即5N/+4,解得aVl,

故选：A.

♦题型05函数的奇偶性

13.(23-24高三上•江苏常州•期末)已知定义在(-1,1)区间上的函数了(刈=岩■为奇函数.

⑴求函数/'(X)的解析式；

(2)判断并证明函数/("在区间(-M)上的单调性.

【答案】(1)〃无)=品，(一1<X<1)

(2)函数在区间(-M)上为增函数,证明见解析.

【分析】(1)依题意函数图象必过原点，由此求出。值即得解析式；

(2)运用定义法的步骤证明函数单调性即可.

【解析】(1)由题意知:/(0)=0,即得：。=0,故函数I(x)的解析式为:/(x)=-^,(-l<x<l).

(2)函数=在区间(Tl)上为增函数.理由如下：

任取芯,X?e(-1,1),且*<%’由/(西)-/(%)=言-'

因一1<再<々<1,故国一工2<0，1—玉工2>0，(X1+1)(X2+1)>0,即/(芯)一/(工2)<0，

则/(尤卜P7I在区间(-U)上为增函数.

14.(2022高三・全国・专题练习)设/(切=13+依2_2X(xeR),其中常数aeR.

⑴判断函数了=/(无)的奇偶性，并说明理由；

(2)若不等式在区间1上有解，求。的取值范围.

【答案】(1)答案见解析

陪+力

【分析】(1)根据定义可判断“X)的奇偶性；

12

(2)参变分离后可得。结合双勾函数的单调性可求参数的取值范围.

2x

【解析】(])当4=0时，〃X)=X3-2X,则/(—x)=—J?+2x,

；"(X)=-/(T),即/=/(尤)为奇函数;

当"0时，/(l)=a-l,f(-l)=a+l,

•；/(-1)*±/(1),y=/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

⑵原问题可化为：在区间[川有解，贝。&+彳

11

112

设gG)",%"—，任意石,马6~?1,X]<々,

则g(G-gH)=ga一/)(中「4)

XxX2

因为再,乙e,X1<X2,故石一工2<0,0<再工2<L故国工2—4<0,

g(X1)-g(x2)>0,

故函数g(x)在区间1,1上单调递减，..•%”=1二。〉：

的取值范围是(g,+R

15.(23-24高三上•河南周口•期末)已知函数/(力=笠?是定义在(-1,1)上的函数，〃r)=-/(x)恒成

⑴确定函数〃x)的解析式，并用定义研究〃x)在(-1,1)上的单调性;

(2)解不等式/(x-l)+/(x)<0.

【答案】⑴衿急,函数案(x)在上是增函数

(2)吟

【分析】(I)根据/(0)=0,/(g]=|,待定系数即可求得函数解析式；利用单调性的定义，结合函数解析

式即可判断和证明;

(2)利用函数奇偶性和单调性求解不等式即可.

【解析】(1)根据题意，〃耳=箸!是(T1)上的奇函数，故〃0)=6=0,

〃

/1\1

|2

又/-29r

1--5=丁=『故贝"(尤卜仃，

\27”1,

41

xe(Tl)时，/(-x)=^=/(x),所以〃x)为奇函数，

故小人日^

/(无)=/在上是增函数，理由如下，

设仆力/-言=爷流等,

因为一1<再<X2<1,所以一1<项工2<1，且再一工2<。，贝Ijl一再工2>0,

则/«)-/6)<0,即/(项)</(々)，

所以函数“X)在(-1,1)上是增函数；

(2)/(x-l)+/(x)<0等价于/(xT)<-〃x)=〃r),

又在(T，l)是单调增函数，故可得<T<X<1，

x—1<—X

解得0<x<；,即不等式/(x-l)+/(x)<0的解集为

-x2+2x,x>0,

16.(23-24高三上•新疆阿克苏•阶段练习)已知奇函数/(%)=0)=0,

x2+mx,x<0.

⑴求/(-加)的值;

(2)若函数在区间[一1,片一2]上单调递增，试确定a的取值范围.

【答案】(1)0;

(2)[-V3,-1)U(1,V3].

【分析】([)先根据函数的奇偶性确定加的值，再求函数值即可；

(2)先画出函数的图像，结合图像找到函数的单调递增区间，依题意得到/一2的范围，解不等式即得.

【解析】(])当x<0时，->0,因为是奇函数，

所以〃x)=-/(-幻=-[-(-x)2+2x(r)]=/+2x,

所以加=2.故=/(-2)=(-2)2+2x(-2)=0.

2

-x+2x,x>0,

依题意作出函数〃x)=<0,x=0,的图像如图，

x2+2x,x<0.

因函数/(X)在区间上单调递增，故-,

则有1</43,解得-有Va<-1或1<aV6.

即实数。的取值范围为[-百6].

♦题型06函数的奇偶性的应用

17.(2024•河北保定•二模)若函数了=/(尤)-1是定义在R上的奇函数，则/(-1)+/(0)+〃1)=()

A.3B.2C.-2D.-3

【答案】A

【分析】根据奇函数的性质可得/(x)+/(-x)=2,进而可得〃1)+〃-[)=2,/■(0)=1,即可求解.

【解析】设网x)=/(x)-1,则尸(x)+尸(T)=0,Bp/(x)-l+/(-x)-l=0,

即/(尤)+/(-x)=2,所以〃1)+〃一1)=2.

因为尸(o)=/(o)_l=o,所以"0)=1,/(-l)+/(o)+/(l)=2+l=3.

故选：A

18.(23-24高三下•陕西西安•阶段练习)定义域均为R的函数〃x),g(x)满足〃x)=g(x-l),且

/(x-l)=g(2-x),则()

A.7(x)是奇函数B./(X)是偶函数

C.g(x)是奇函数D.g(x)是偶函数

【答案】D

【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原

函数的对称关系.

【解析】因为/(x-l)=g(2-x),

所以+=+

即/(f)=g(l+x)=g(x+2-l)=/(x+2),

所以/(x)关于直线x=l对称，

因为〃x)=g(xT),

所以g(x)关于x=0对称，即g(x)为偶函数.

故选：D

19.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数为奇函数，则实数。的值为()

2—1

C.1D.-1

【答案】B

【分析】利用奇函数的定义可得.一>内二总1-“‘计算可求”的直

【解析】,(-x)=a

2—i

12、所以“V

得2。=-----1------1

2X-11-2X

故选：B.

20.（23-24高三上・云南楚雄•期末）已知是定义在R上的奇函数，/（1）=/（3）=0,且在（0,2）上

单调递减，在（2,+8）上单调递增，则不等式普2Vo的解集为（）

2x-l

A.（-=0,-1]0^0,-1^0[1,+°0）B.[-3,T]U（O,；）U[1,3]

C.（―°°,—1]U0,—^U[3,+co）D.[―3,—1]U0,—^U[l,3]

【答案】D

【分析】根据题意，先讨论当的情况，结合条件求得不等式，再由其单调性，即可求得时的解

22

集，从而得到结果.

【解析】当x>g时，2x-l>0,则/（x）40,

且"1）=/⑶=0,/（X）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增,

则可得IV尤V3.

因为/（x）是定义在R上的奇函数，所以/'（x）的图象关于原点对称.

当时，2x-l<0,贝l]/（x）20,由已知可得一34x4—1或04x<g.

综上，不等式碧■《（）的解集为[-3,-l]u0,；卜[1,3].

故选：D

21.（2024•陕西*一模）已知定义在R上的函数/⑴，满足（占72）[〃再）-/"2）]<0,且〃x）+〃-x）=0.若

/（1）=-1,则满足"（x-2）/1的x的取值范围是（）

A.[1,3]B.[-2,1]C.[0,4]D.[-1,2]

【答案】A

【分析】由已知条件可得/(X)在(-8,+8)上单调递减，且/⑴为奇函数，将"(尤-2)区1化为

/(I)<f(x-2)</(-I),再利用函数的单调性可求得结果.

【解析】因为定义在R上的函数/⑴，满足(为-3)[〃为)-

所以/(X)在(-00,+00)上单调递减，

因为/(x)+/(-x)=0,所以f(-x)=-f(x),

因为〃D=T，所以〃-1)=一"1)=1，

由"(x-2)区1,得

所以

因为一(X)在(T»,+8)上单调递减，

所以-lWx-241,得14x43,

故选：A.

22.(23-24高三上•辽宁朝阳•阶段练习)函数/(x)在(-«>,E)上单调递减，且为奇函数.若/'(1)=-2,则满

足-241(1-x)W2的x的取值范围是()

A.[0,2]B.[-2,0]C.[1,3]D.[-1,1]

【答案】A

【分析】先根据函数是奇函数将不等式等价变形，再根据函数的单调性列出关于x的不等式即可求解.

【解析】由〃x)为奇函数，得='⑴=2,

所以不等式-24/(1-x)W2等价于/⑴4八1-a"(-1).

又因为〃尤)在(-叫+⑹上单调递减，

所以121-尤上一1,gP0<x<2.

故选：A

♦题型07函数的对称性、周期性及其应用(含难点)

23.(2024・山东济南,二模)已知函数〃无)的定义域为R,若/(一无)=-/(0,/(1+力=/(1一力，贝!|/(2024)=

()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4,然后由周期性和奇函数的性质可得.

【解析】因为/(