高考数学一轮专项复习知识清单-解三角形及其应用（含解析）

解三角形及其应用

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

维构建・M里蓿身永绐

^^理）~（急,熹■表一

「（正、余弦定理与变形）-

Yc,-J+b。-2zi>co3C)

■〔内角和定理）-QD型01三角形

睡02余芟定第三角形

Y皿/一玲=sinC)避03判后匍维的形状

港04三匐阶辨的个数

|~<。知识点一正、余弦定理及应用）型05三角形的面积及应用

辘06三匍阱涉行问题

例07解三角形中的是鳏圉问题

-<解三角形中的常用结论）一

辘08三角形的中线"、角平分线

壁09多三角形或睢花的解三角形

a=bcmC-ccnB

&=ocosC-tecsJ

t=ftcosJ-oc<»3

隹角形<Hfe形人至---^J>3c»o>6c»sin.4>Mna）

■（三角形常用面积公式）

在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视

线方的叫做仰角，目标视或在水平视线方的叫做俯角

凝01测镂语问题

。知识点二解三角形的实际应用云扇从某点的指方向线3g时针方向到目标方向线之间辘02测量角度问题

的夹角叫做方位角，方便角型范围是0‘更至0,翅03测量角囱司题

AS西域定亩古蕨受蒜■向丽成的角，品辞出瀛）蕨后）

口识盘点・置幅讣触

知识点1正、余弦定理及应用

1、正、余弦定理与变形

定理正弦定理余弦定理

az=b2+c2-26ccosA；

内容a=b=c=2Rb2=c2+a2-2cacosB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC

b2+c2~a2

cosA=------------；

⑴〃=2Rsin4,b=2RsinB,c=27?sinC；2bc

(2)a:b:c=sinA:sin5：sinC；c2+a2~b2

变形cosB=------------；

a±lac

⑶一^—=q=2R

222

sin4+sin5+sinCsin4万a+b~c

cosC=------------

lab

【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理.在根据另一边所对角的正弦值确定

角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角

和定理去考虑问题.

2、解三角形中的常用结论

(1)三角形内角和定理：在△/BC中，/+2+。=兀；变形：.

222

(2)三角形中的三角函数关系

①sin(/+3)=sinC；②cos(/+B)=—cosC；③sincos，④cossing.

(3)三角形中的射影定理：在△48C中，a=bcosC+ccosB；6=acosC+ccos/；c=6cosN+acos8.

(4)三角形中的大角对大边：在△4BC中，/>3oa>6Qsin/>sinR

3、三角形常用面积公式

(1)S=$九(队表示边。上的高)；

(2)S=1a6sinC=】acsin5=16csinN；

222

(3)S=$(a+6+c)&为内切圆半径).

知识点2解三角形的实际应用

名称意义图形表示

/目标

在目标视线与水平视线所成的角中，目标/视线

铅5角水平

仰角与俯角视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视垂

线y角视线

\目标

线在水平视线下方的叫做俯角

视线

从某点的指北方向线起按顺时针方向到北］

.35。卷

方位角目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位

rr

角。的范围是0°W0<360。

例：⑴北偏东a：(2)南偏西a：

正北或正南方向线与目标方向线所成的

方向角北t北f

锐角，通常表达为北(南)偏东(西)

【注意】(1)方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不

同描述.

(2)将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果

是否符合实际情况.

■点突破・看分•必检

重难点01解三角形中的最值范围问题

1、三角形中的最值、范围问题的解题策略

(1)定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角

或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围.

（2）构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示.

（3）求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值.

2、求解三角形中的最值、范围问题的注意点

（1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的

范围时可以利用余弦定理进行转化.

（2）注意题目中的隐含条件，如/+3+。=兀，0<A<TI,b-c<a<b+c,三角形中大边对大角等.

类型1角或三角函数值的最值范围

【典例11（23-24高三下•山西•模拟预测）钝角“3C中，角C的对边分别为",b,c,若acosB=csin/,

则sinA+后sinB的最大值是.

【答案】f

4

【解析】因为〃cos5=csin/,由正弦定理得sin4cos3=sinCsinZ,

JTjr

又因为/£（0,兀），可得sin/wO,所以sinC=cosB,则。=不一5或C=—+3.

22

当C='-B时，可得/=（与是钝角三角形矛盾，所以C4+B,

„.71

0<A<—

2

TTTTTT

由〈一,则4=——2B>0,可得0<B<一,

224

A+B+C=TI

所以sin/+V2sinB=sin（5+C）+>/2sinB=cos2B+>/2sinB

（万J?

——2sin2B+sinB-\-1=-2sinB-+一,

I4J4

5

所以当sinB=——时，sin4+e~sin5的最大值为了.

44

【典例2】⑵-24高三下•福建厦门三模）记锐角AA8C的内角/,8,C的对边分别为a,b,c.若2cosc=3-，,

ab

则8的取值范围是.

7171

【答案】

652

【解析】因为2cosc=迎-多，所以2a6cosc=362一下,

ab

由余弦定理可得：2abeosC=〃2+b2-c2，

可得〃=/-；c2,在锐角“Be中，由余弦定理可得:

a2+c2-b2c，

cosB=

2aca

22122

222a+a——c>c

a+b>c22

因为，即,BP2a>

b1+C1>a2所以:<5

a2--c2+c2>a2

2

-3c32_V3

所以cosB=—，所以Be

4a4732

类型2边或周长的最值范围

【典例1］（23-24高三下•江苏・月考）在“3C中，内角4瓦。的对边分别为。，小。，已知/-/=四.

（1）若B=60。求C的大小；

（2）若“3C为锐角三角形，求2的取值范围.

a

【答案】（1）90°；（2）（收词

【解析】（1）由题意，在“8。中，b2-a2=ac.>

由余弦定理得，a2+c2-2ac-cosB=b2

••Q?+。之一2〃c•cosB-Q?=ac，♦♦c—2QCOS5=a，

・・・/+5+C=180。，

sin（/+B）-2sirt4cos5=sin4=cos/sinS-siiL4cos3=sirU,

/.sin（5-^）=sin4：.B-A=A^LB-A+A=TI（舍），:.B=2A

V5=60°,.•.力=30。，:.C=1SO-A-B=9O°.

（2）由题意及（1）得，在“5C中，B=2A,

sinBsin2Z

由正弦定理得，-=2cos4,

asiMsirU

•.•A/8C为锐角三角形,

：.-0<2A<^解得：?</<£,

264

IT

0<兀一/—24<—

2

/.V2<2cos/<V3，

.b_

a

A

【典例2］（23-24高三下•安徽淮北•二模）记AABC的内角4瓦C的对边分别为。也c,已知c-6=2csin2-

（1）试判断“3C的形状;

（2）若c=l,求"Be周长的最大值.

【答案】（1）“3C是直角三角形；（2）V2+1

__,,.,.—.2A一/口.2/c-bb,、，1-cos/c-b

【解析】（1）ic-Z>=2csm--,可得5111-^=1；—,所以---=--

222c22c

呜-等K，所以cosN=g

又由余弦定理得匕/4'可得力+〃♦

所以

所以力5C是直角三角形

（2）由（1）知，是直角三角形，且c=l,可得。=sin/,6=cos4,

所以“SC周长为l+sin4+cos4=1+V^sin[/+：）,

._,、r.（c兀、__-i,兀I7T3兀

因为/^［。，万卜可付Zl=/+1'匕'彳

所以，当/=?时，即“8c为等腰直角三角形，周长有最大值为夜+1.

类型3三角形面积的最值范围

【典例1］（23-24高三下•广东茂名•一模）在AJBC中，内角4民。的对边分别是且

6sin（8+C）=asin~~~~

⑴求B的大小;

（2）若。是/C边的中点，且班＞=2,求23C面积的最大值.

【答案】（1）Y；⑵述

33

【解析】（1）・.・/+8+。=兀，.,.siiL4=sin（5+C）,/.bsv^A=（2sin71=acos^-,

D

/.由正弦定理可得sin5siii4=siiL4cos—,

2

•・•sin^=2sin-cos-,2sin-cos-siiL4=siiL4cos-,

22222

•••43e(0,兀),siM/O,cos-^O,.'.sin---,即巨=乌，即3=2；

222263

,/?

依题意，，

(2)S△AtKsLC=—2acsinB=——4ac

\BA+Bc\=^BD\,p+sc|=4,(BA+BC^=16,

即a2+c2+2acxcos—=16,

3

即02+/+*=1623",当且仅当a=c=逋时，等号成立，

3

即acV?,.•.A/BC面积的最大值为工=

32323

【典例2](23-24高三下•湖北武汉•二模)在“8C中，角4民C的对边分别为a,6,c,已知

(2a-c)cosB-bcosC=0.

(1)求3；

(2)已知6=追，求;”+2c的最大值.

【答案】(1)5=p(2)

【解析】(1)V(2a-c^cosB-bcosC=0,

由正弦定理得(2sinZ—sinC)cos8—sinBcosC=0,

2cos5sin/-cos5sinC-sin5cosc=0,即2cos5sin4=sin5cosC+cos5sinC,

所以2cosBsin4=sin(8+C)=sin4,

V^e(0,7i),「.sin力wO,・・・cos5=；,

7T

VO<5<71,・・・5=§；

a_c_b_y/i_

(2)由正弦定理,得sinZsinCsinB由,

~T

1..A•\271.I

—〃+2c=sin/+4sme=sin4+4sm------A

2I3J

=sin/+2^3cos/+2sin/=3sin/+26cosA=V2Tsin(/+0),

又<与，。为锐角，JHsin(/+o)的最大值为"'，

A+2c的最大值为V21.

重难点02解三角形角平分线的应用

如图，在△48C中，4D平分NB4C,角4、B,C所对的边分别问a,b,c

(1)利用角度的倍数关系：^BAC=2NB4D=7./.CAD

(2)内角平分线定理：AD为ZL4BC的内角NBAC的平分线，则繁=含

说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就

可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。

(3)等面积法：因为SAABD+SAACD=SAABC，所以.力Ds讥5+.力Ds讥S=16csiTVl,

所以(b+c)AD=2bccosg,整理的：AD=(角平分线长公式)

2b+c

【典例1](23-24高三下•江西•模拟预测)在“3C中，内角4瓦。所对的边分别为。,6,c,其外接圆的半

径为26，且6cosc=a+——csiitS.

3

(1)求角B；

(2)若的角平分线交/C于点。,3。=若，点£在线段/C上，EC=2EA,求△BDE的面积.

【答案】⑴人争⑵东

【解析】(1)因为6cosc=〃+——csinS,

3

由正弦定理可得sin5cosc=sinJ!+sinCsirtS,

3

又Z=7i—(g+C),所以sin5cosc=sm(5+C)+-^-sinCsin5

所以sin5cosc=sinBcosC+cosBsinC-----sinCsinfi,

3

A

即sinCcos5+——sinCsin5=0,

3

VCG(O,TI),故sinCwO,

c-DE

cosB+——sinB=0,即tanB=-VJ，

3

又5£（0,兀），则8=彳.

27r

（2）由（1）可知，B=—,又外接圆的半径为2百;

由正弦定理可知刍=46,所以b=4百sin§=6,

sinB3

1兀

因为8。是NABC的平分线，故ZCBD=NABD=-ZABC=-

23

又BD=，由S"BC=S^BCD+S&ABD,

—acsin-=—a-V3sin—+—c-V3sin—,即4。=百(4+。).①

232323v7

2兀

由余弦定理可知，b2=a1+c2-26zccos—,即(q+cp-=36.②

由①②可知a=c=2jj.所以3OJ./C,

又；EC=2AE,则DE=1,

所以^^BDE=—X1X

ADUIL22

【典例2】（23・24高三下•河北沧州•模拟预测）在中，角4,5,。的对边分别为a,b,c,已知〃之=c[c+b）.

（1）求证：3+3。=兀；

（2）若的角平分线交4C于点。，且。=12,6=7,求AD的长.

【答案】（1）证明见解析；（2）4指.

【解析】（1）在。中，由余弦定理/=c?+6?-2c6cos4及=。（。+，），

得b?一2cbcosA=bc,即6-2ccosA=c,

由正弦定理，Wsin5-2sinCcosA=sinC,

BPsinC=sin(C+力)-2sinCcos4=sin/cosC-cos4sinC=sin(Z-C),

由0＜C＜兀，得sin(Z—C)=sinC〉O,则0＜/—。＜/＜兀，

因此。=4—C,即N=2C,则2。+3+。=兀，

所以B+3C=兀.

(2)由/=c(c+b),得122=C(C+7),由C〉0,得C=9.

,口ABsinZADBsinZBDC_BC

在N4BD,△BCD中,由正弦定理,得——二--------

ADsin/ABDsinZCBD~~CD

QI?

贝匕万=厂而’解得3=3,从而OC=4'

A

D

8

又cosZADB+cosZCDB=0,

由余弦定理，得先*ZL。,

解得AD=4几,

2x38。2x45。

所以3。的长为4而.

重难点03解三角形中线的应用

1、中线长定理：在AABC中，4D是边BC上的中线，则力B2+4。2=2（B£）2+人。2）

【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中

2、向量法：AD2—（b2+c2+2bccosA）

【点睛】适用于已知中线求面积（已知各的值也适用）.

【典例1]（23-24高三下•山西•三模）在中，内角4民。所对的边分别为“ec.已知

27r

/==24,A/3C的外接圆半径尺=2百,。是边/C的中点，则8。长为（）

A.V2+1B.2A/3C.672D.国

【答案】D

【解析】由/==A48C的外接圆半径尺=26，得a=2Rsin/=2x28X3=6，

32

由/=〃+/-2〃bcosZ和/+，=24得。6=12,

又[：+：=24,解得—c=2百,所以八C=/_?]=,

[be=122<3J6

因为“8C中，。是边NC的中点，所以前=，函+前），

1I-------------2-1I----2---------------------2B

于是函=5J（强+珂2=-晒2+2网l^cosNABC+BC

—5J。2+yf^ca+a2=1712+73x273x6+36=A/21.故选：D.

【典例2]⑵-24高三下•黑龙江哈尔滨•三模）已知“3C的内角A,B,C的对边分别为。也。，且。=6,BC

边上中线长为1,则6c最大值为（）

77I-

A.—B.-C.百D.2G

【答案】A

【解析】由题意得乙4。8+//。。=兀，所以cosN4DB+cosN4DC=0,

/?

又〃=百，且。是5C的中点，所以DB=DC=*

2

7_2

在中，"DB="、B》一；

2AD-BDV3

乙2

在八包C中，cos/®"士Ci='

2AD-CD下）

—7b入2—7c2

所以cosNNDC+cos/4D8==0'

V3V3

227，当且仅当6=c=直取等号，故选：A

gpb+c=-,得2方。＜/+。2=

2242

法技巧・）$裹学露

一、利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：

1、选定理.

（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；

（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；

（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；

（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；

（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；

2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间

的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.

3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并

注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。

【典例1］（23-24高三下•浙江金华三模）在。中，角4瓦。的对边分别为。，b,c若a=5,6=2,

4=60。，则c为（）

A.1B.2C.3D.1或3

【答案】C

【解析】由余弦定理得cos/=少上C二且，

2bc

即2?+c2T⑺_1,即02一2°一3=0,解得C=3或C=-1（舍）.故选：C.

2x2c2

【典例2］（23-24高三下•江苏•二模）设钝角”3C三个内角/,B,C所对应的边分别为a,b,c,若a=2,

6sin/=石，c=3,则b=.

【答案】M

【解析】由余弦定理得，十=鸳

而由6sin4=G,得sin5=

b

因为AASC是钝角三角形，且c>a,故4为锐角，所以cos/=

所以印二展

解得/=7或6?=19,

当/=7时，即6=近，c>b>a,由大边对大角得：最大角为C,

〃+227+4—9

cosC=°°=上3>（）,故c为锐角，不符合题意；

当〃=19时，即。=晒，b>c>a,由大边对大角得：最大角为8,

cos8，+/―J9+479<0,故g是钝角，符合题意.

lea6x2

【典例3](23-24高三下•广东江门•二模)P是AABC内一点，ZABP=45°,ZPBC=ZPCB=ZACP=30°,

则tan/34P=()

【答案】D

【解析】因为N/8P=45°,ZP5C=ZPCB=ZACP=30°,

所以ABAC=180°-(45°+30°+30°+30°)=45°,

设/创尸=a,因为NPBC=NPCB,所以5P=CP.

APsin45°AP_sin30°

在AZBPQZCP中，

由正弦定理可得而=5CP-sin(45o-«)

sin45°_sin30°

即sin45°sin（45°-cr）=sin300sina,

sinasin（45°-a）

V2x/21-口sina1_

a即n73（cosaTina）=