第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）（A4版-教师版）-2025年高中数学一轮复习

第五章：平面向量与解三角形（模块综合调研卷）

（19题新高考新结构）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知向量值与B能作为平面向量的一组基底，若：+应与伏+1/+B共线（后eR）,则左的值是（）

A—1+A/5D—1+y/5r—1—y/5n1+y/5

2222

【答案】B

【分析】引入参数4,由平面向量基本定理建立方程组即可求解.

【详解】若。+左，与化+1）。+石共线，贝I]设Z+届=2[0+1）汀+3]=40+1》+历,

因为向量方与B能作为平面向量的一组基底，

所以[；一：（，+1），所以〃+"1=0,解得3=T士".

故选：B.

2.设的内角A,B,。的对边分别为。，b,c,已知。=9乃=8,0=5,则的外接圆的面积为

()

225125123113

A.71B.71C.71D.——兀

111166

【答案】A

【分析】由余弦定理先求出cos。，结合同角平方关系求出sin。，再由正弦定理求出外接圆半径为R,即可

得解.

【详解】因为。=9,b=8,c=5,

a2+Z?2-c281+64-255

所以cosC=

2ab2x9x86

所以sinC=Jl-cos2c=—

6

设的外接圆半径为R,

1

D_c_5_15V11225

则2sinCVil11，则“5C的外接圆的面积S=TIR2=1-兀.

亍

故选：A.

3.已知单位向量限B满足（3-孙1=3,则与B的夹角为（）

7T7T2兀57r

A.—B.—C.—D.—

6336

【答案】D

【分析】根据题意结合数量积的运算律可得展B=进而可得B-2可=6，（12斗（结合夹角

公式分析求解.

【详解】由题意可知：|«|=|%1,

/rr\ppprpri_i

因为（4一6）4=〃2—4・6=1—4・6=—,解得屐6=—,

（Xr2rrrr।广

贝“4-26）X-a2-Aa-b+Ab2=3,即忸-2々二43,

/rrxrrrr3

\a-2byb=a-b-2b2=~—,

/rA「3

,rra—2b2/Q

可得cos（/ar—2b,bx\=-vy----芍.灯=――—=--A--,

'/*2用Z）|V3xl2

且«-26,小［0,兀］,所以"23与5的夹角为?

故选：D.

4.在中，48=2,BC=近,ZBAC=U0°,D是BC边一点、,AD是2切C的角平分线，则=

（）

2

A.-B.1C.2D.石r-

【答案】A

【分析】由余弦定理得到/C=l,由正弦定理和3C=不得50=也，求出cos448C=辿，进而得到

314

sinZABC=叵,在△/四中，由正弦定理得到答案.

14

AB、AC2-BC2

【详解】在“8C中，由余弦定理得cos/R4C=

2AB•AC

即看浮==，解得4=1或-3（舍去）,

ABBD

在△45。中，由正弦定理得

sinZADBsinZBAD

2

ACCD

在△ZCZ）中,由正弦定理得

sinZADCsinZCAD

其中4。5+4。。=180。，/BAD=/CAD=60。，

所以sinZ.ADB=sin/ADC，sinABAD=sinNCAD，

ABBD2

故+h前=

CD1

又BC=J7,所以BZ）=马自,

3

AB-+BC1-AC2_4+7-1_5币

在“BC中，由余弦定理得cos//8C

2AB-BC_2x2xV7-k

在△/加中,由正弦定理得谷=丹

AD2

即3解得

V21-V3

142

故选：A

5.在zUBC中，内角A,B,C所对的边分别为。也c.已知（36-。倒2+，一叫=2仍ccosC.贝！JtanZ=

（）

A.V2B.2A/2C.V3D.2A/3

【答案】B

【分析】先利用余弦定理，然后利用正弦定理化简即可.

【详解】，因为cos/="C一"，nb2+c2-a2=2bcsA

2bcCO

又因为（36-°）仅2+/一/）=2abccosC

得（3b-c）2bccosA=2abccosC

整理得（3b-c）cosA=acosC

由正弦定理可得3sinBcosA-sinCcosZ=sin/cosC

得3sinBcosZ=sinCcos/+sin/cosC

得3sin5cos/=sin（4+C）=sin5,因为sinBwO

3

所以cos/=—

3

所以tan/="4=叵亘=2百

cosAcosA

故选:B

6.在“3C中，角/、B、C所对的边为0、b、c若与="叱，则。BC的形状是（）

ctanC

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得.

sin5

【详解】在。8C中，由与=处”及正弦定理得组二=B零，而sinN>0,sin8>0,

c2tanCsin2csmC

cosC

整理得sin5cos5=sinCeosC,即sin25=sin2C,而0<B<兀,0<C<兀，

jr

则0<23<2私0<2C<2%,因此2B=2C或23+2。=?!,即3=C或3+C=—,

2

所以是等腰三角形或直角三角形.

故选：C

7.已知或“为单位向量，且怩-5*7,则电司+归_2a的最小值为（）

A.2B.2A/3C.4D.6

【答案】B

【分析］由忸一5可=7,得=力可得归_*收由|2@_小,_24恒一斗忸一咋拓一25卜2

当等号成立时可得最小值.

【详解】痴/为单位向量，有同=|+同=1,得方=7=,2=1，

由忻一5可=7,得（37-5盯=9片-303Z+25b2=49,

有16=—上，所以比b=臼，

23

1"一画==，企-2a.B+铲=V5,

|K|=|c|=l,b,c=c,b,有归_2a=忸_目,

贝I」四一同+6_2a=恒一矶+bfe-c|>\la-2b卜21，

当且仅当2a-己与涕-己方向相反时"="成立，

如取Q=（i,o）1十5,号卜二夕春时，可使"="成立.

4

所以（团_司+归一2矶=2占.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

本题关键点是由已知条件得归-24=|23-3,这样就能得到|21-己|+归-23=21-[+,在-？上忻-2m.

7

8.已知&45C的内角4£。的对边分别为Q,4。,且cos/=—.M为N45C内部的一点，且

8

aMA+bMB+cMC=Q^=xAB+yAC,贝＞Jx+＞的最大值为（）

4551

A.—B.-C.-D.-

5462

【答案】A

【分析】把已知等式中册瓦流向量用方，就，而表示后可求得x，＞,由余弦定理得a,6,c的关系，求出

二的最值，再由不等式性质得结论.

b+c

[i¥WlaMA+bMB+cMC=Q>

aAM=bMB+cMC=b（AB-AM）+cC4C-AM），

----*b—"c—0-----.—►

/.AM=--—AB+---AC,XAM=xAB+yAC,

a+b+ca+b+c

b+c1

.-.=^-,y=^—x+y=----------=-----------

Xa+b+cQ+]

a+b+ca+b+c

b+c

715

由余弦定理得〃2=b2+c2-2bccosA=b2+c2——be—（b+c）2-----be,

44

由丝且（当且仅当b=c时取等号），得Q22（b+c）2—"乂把包=如贮,

44416

14

•，--—%1,5，即x+y的最大值是

b+c4:+15

4

故选：A.

【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查余弦定理及基本不等式求最值.解题关键是由平面向量基本定

理把阳y用c表示出来.

二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知向量0,B的夹角为:，且同=1,|可=2,贝I]（）

A.（a-b）laB.\a+b\=41

C.忸+可=国D.Z在B的方向上的投影向量为日3

5

【答案】AB

【分析】根据向量的数量积、向量的模、向量的垂直和投影向量的运算性质，对各个选项逐一判定即可.

［详解］a-b=|a||z)|cosj=lx2x-^=1,(彳-B"=同一万=1-1=0,故A正确；

归+.2=同，麻+2限3=1+4+2=7,所以忖+可=屿，故B正确；

忸+,=4同，麻+碗3=4+4+4=12,所以忸+可=28，

又因为网=4,所以忸+小国，故C错误；

a-bb1p

日在不上的投影向量为WW=zb，故D错误；

故选：AB.

10.在锐角△A8C中，内角Z,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2asin5,则()

A.45边上的高为晟

11

B.--------1--------为定值

tanAtanB

sinC

C.的最小值为2

cosAcosB

D.若tanC=3,则/+/=

5

【答案】ABD

【分析】对A,根据45边上的高为asin5求解即可；对B,由正弦定理结合三角恒等变换化简即可；对C,

由正弦定理结合三角恒等变换化简，结合B中一L+—匚=2,再根据基本不等式求解即可；对D,根据

tanAtanB

三角形内角关系，结合两角和差的正切公式与正弦定理判断即可.

【详解】对A,45边上的高为asinB,由题意asinB=E，故A正确;

2

对B,由正弦定理。=2asin5即sinC=sin(4+5)=2sinZsin5,

故sinAcosB+cos/sin5=2sin4sinB,

,COSBCOSAc口门11

又锐角/BC,故———+-——=2,即----+-----=2,故B正确；

sinBsinAtanAtan5

sinC_sin(4+B)_sin/cosByos/sinB_

C,--------------=---------------------------------------------=tantanb,

cos4cos5cos4cos5cos4cos3

又---1—!=2,故tanA+tanB=—(tanA+tan8)f----1--------

tanAtanB2'\tanAtanB

1(tanBtan4、1A_ianB""tanA八tan5tan4

=-2+-------+------->-2+2J------x-------=2,当且仅当

21tanAtanB)21'tanAtanB,tan4tan5

6

7T7T

即tan/=tan5=l时取等号，此时Z=8=—,C=—,与锐角矛盾，故C错误;

42

对D,tanC=tan［兀一（4+5）］=-tan（/+B）=3,

tanA+tanB八11

即an-----------=-3,又------F----=2,即tanA+tanB=2tanAtanB，

1-tan/tanBtanAtanB

,,2tanAtanB，八-上八，，

故-----------二-3,解得tan/tan5=3,tanA+tanB=6.

1-tanAtanB

则tan/（6—tan"）=3,即tan?Z-6tan/+3=0,解得tan/=3土布.

故tan%=3+灰，tan5=3—述，或tanZ=3-V^,tan5=3+\/6.

不妨设tanA=3+4^,tanB=3-a,

..3+V6

则sin/=

3JF

.2,15+676,2_15-676sin/sinB=

故sinA=------产,smB=------尸,20

16+6V616-6V6

故sin?Z+sin?5=生加©n4inB,由正弦定理而+b。="^-ab，故D正确.

55

故选：ABD

IL"奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形

四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：己知〃是“3C内一点，△BMC,

AAMC,A/MB的面积分别为必，SB,Sc,^.SA-MA+SB-MB+SC-MC^Q.以下命题正确的有（）

A.若S/:S§:Sc=1:1:1,则M为△4V7C的重心

B.若M为。8C的内心，贝U8C-疝+NC•砺+48•荻=0

C.若/历1C=45。，ZABC=60°,M为小BC的外心，则邑：：$c=6：2：1

D.若m为AA8C的垂心，3MA+4MB+5MC=Q^贝!lcos=-在

6

【答案】ABD

【分析】A选项，MA+MB+MC=0,作出辅助线，得到A,M,。三点共线，同理可得M为AABC的重

心；B选项，设内切圆半径为厂，将面积公式代入得到BC.祝5+4C-祕+/3•就=0；C选项，设外接圆

半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到邑：S-：$c=3:4:5,作出辅助

线，由面积关系得到线段比，设〃。=加，MF=n,ME=5t,表示出NW,BM,MC,结合三角函数得

7

到机=""，%=叵的进而求出余弦值；

33

【详解】对A选项，因为邑：SR£=1一」，所以疝+症+标=0，

取3c的中点。，则蕨+就=沟方，所以2砺=一而，

故A,",。三点共线，且|儿训=2|九研，

同理，取48中点E,/C中点尸，可得B,M,尸三点共线，C,M,E三点共线,

所以“为“8C的重心，A正确；

对B选项，若“为AASC的内心，可设内切圆半径为「，

贝1|邑=3207,SB=^AC-r,Sc=^AB-r,

所以』8c•厂・必+L/C〃•砺+1力8.广研=6,

222

BPBC-MA+AC-MB+AB-MC=O>B正确；

对C选项，若/A4c=45。，ZABC=60°,M为443c的外心，则乙4cB=75。，

设“BC的外接圆半径为K,故/BMC=2NA4c=90。，乙4MC=2//BC=120。,

ZAMB=2ZACB=150°,

222

故邑=1及2$历90。=:&,SB=-Rsml2O°=—R,Sc=^7?sinl50°=1,

22B2424

所以与：邑：&=2：8：1，C错误；

对D选项，若“为“BC的垂心，3MA+4MB+5MC=O^

则Sj/：然=3:4:5,

如图，AD1BC,CE1AB,BF.LAC,相交于点M,

又邑ABC=SA+SB+SC,

S31

=—=7>即W：A»=3:1,

、《ABC124

8

S41

—^-=—=-,即MF:8M=1:2,

、AABC123

S5

—^c-=—,即Affi:MC=5:7,

^AABC12

设MD=m,MF=n,ME=5t,则AM=3加，BM=2n,MC=1t,

nm

因为NC4D=NC3F,sin/CAD=——,sinZCBF=——

3m2n

Hin娓

所以犷牙即m=--n

3

V6/7

3〃_#，贝llcos/NA/S=cos（兀一/BA®）=------，D正确;

cosZBMD=—

2n2n66

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查向量与四心关系应用，关键是利用三角形的几何关系及向量数量积及向量

线性表示逐项判断.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知平面向量)=(1,加)，3=(—2,1),5二(%2),若方_LB，b//c^则加+〃=.

【答案】-2

【分析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出参数计算即可.

【详解】因为2=(1,加)方=(一2,1)为，8,所以1x(—2)+lx加=0,加=2,

因为5=(〃,2),8=(-2,1)?//8,所以lx〃=2x(-2)/=-4,

所以机+〃=2-4=-2.

故答案为：-2.

13.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了一种求三角形面积的方法"三斜求积术"，即在中,

角4,B,C所对的边分别为a,b,c,则"BC的面积为S=]g(田。/+尸2]若

伍-b)sin/=伍+c)(sinC-sin8),且^ABC的外接圆的半径为半，则^ABC面积的最大值为.

【答案】G

9

【分析】先将g-6)sin/=伍+c)(sinC-sinB)化简得C=m，再由均值不等式得MV4,最后代入面积共

公式即可得出答案.

【详解】因为("b)sin/=0+c)(sinC-sin3),

所以由正弦定理得("6"=(6+c)(c-6),

所以/+/一/=讪,

所以由余弦定理得cosC="2+'—°?=L

2ab2

而Cw(O,%),

所以c=g,

c=2R=2x拽,

所以

sinC3

所以c=3Ix3=2,

32

由。22=aba23+b2-4=ab>lab—4,

所以abV4,当且仅当〃=Z)=2时取等号，

故AABC面积的最大值为百.

故答案为：百

14.已知/、B、C是半径为1的圆上的三个不同的点，且|刘卜6,则方.就的最小值是.

【答案】

2

【分析】根据题意，由正弦定理可得sinC="，然后分8=]兀-/与3=巴-/讨论，再由平面向量数量积

233

的定义展开，结合三角恒等变换公式代入计算，即可得到结果.

【详解】由正弦定理可得二J=—匕=2/，所以正=_也=2，

sinCsinBsinCsinB

所以sinC=且，且Ce(O,兀)，则C=g或1兀，

23J

2兀

贝ljg=—兀一/或5二—A,

33

当B=g兀-4时，6=2sin5=2sin■兀一,

所以ABAC=becosA=>/3x2sin[—7r-^|xCOSA

10

、

=2A/3x——cosA-\——sinAcosA

{22

=3cos24+6sin4cos4

3(l+cos2/)百.c“

22

=V3sm^+-1^+I,IJll]2^+je,

当2/+f=1■兀时，即/=(兀时，在.左(取得最小值|■一百;

32122

当8=；—4时，6=2sinB=2sin[1-4],

所以=becosA=VJx2sin[g-4)xcos4

=2A/3x^-cosA--sinjeosA

122J

=3cos2A-sinAcosA

3(l+cos24)百.一

=--------------sin2A

22

=一氐出(2/-1+之八、。则2/一六]4,1，

则方•就无最值；

综上所述，万.就的最小值是g-G

故答案为：|-6

四、解答题(本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分,

19题17分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.在“8C中，角4B,C所对的边分别为。，b,c,设向量成=囚114,、氏3+60》)，

712兀

方=(cos4cos/-sirL4),/(4)=丽•亢，Ae

6'T

⑴求函数/(/)的最大值;

(2)若/(/)=0,a=#>,sinS+sinC=9，求AABC的面积.

【答案】⑴6

(2)且

4

11

【分析】(1)由向量数量积的坐标运算得了(/),利用降幕公式和辅助角公式化简，利用正弦函数的性质求

最大值；

⑵/⑷=0解得4由sin5+sinC=Xi^用正弦定理边化角得6+c=n，再结合余弦定理求得历=1,

面积公式求^ABC的面积.

【详解】(1)/(A)=m-fi=2sinAcosA+(^3sinA+V3cos^)(cosA-sinA)

=sin2A+V3(cos2^-sin2^)=sin24+geos24=2sin^2^+.

因为/壬,闿，月亍以+岑,

63333

所以当2/+1=],即/=己时，/(/)有最大值2xg=6；

(2)因为/(/)=0,所以2sin，/+])=0,所以2/+^=左&左eZ,

因为/e,所以』=5,

633

_b_=_^=_a_=^_=2bc

由正弦定理sin8sinCsin/拒,所以sm8=3,sinC=-,

---/乙

2

又因为sinB+sinC=,所以2+£=得b+c=&,

2222

由余弦定理有：a2=b2+c2-2bccosA,即3=(b+c)?-36。，所以历=1,

所以S*=$csiiU=：xlx号=*.

16.记zUBC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知史W=l+sin4

tan5

⑴若/=3,求C；

asinB+bsin/

⑵求的取值范围.

2bcos2

【答案】(1)。=5

⑵(0,1)

【分析】(。先由题给条件求得/=8=《’进而求得0=年

(2)先利用正弦定理和题给条件求得/=]-28和0<2<：,再构造函数y=2/-J,等</<1,求得此函

数值域即为我怒浮的取值范围

12

【详解】(1)由4=8,您4=l+sin/

tan8

可得c0s'=1+sin/,则cos2Z=(1+sin^4)sinA

tan/''

整理得2sin2/+sin/-1=0，解之得sin/=1或sin/=-1

2

又0<Z</则4=/,则8=卜贝UC=W

2663

(2)A,5为AASC的内角，则l+sinZ〉0

则由"]=l+sin/,可得q>0,则45均为锐角

tanBtanB

cos2-4---si.n2—411-t+an一4

八cosAA?9?

tanB=----------=-------y------------------------J

1+sin4z-

(sin—AFcos—A■)21[―+tan/—

D八兀c兀/兀t-f.ln兀/八八

又0<B<一,0<-------<—,则5=--------,0<B<

242442

则/=]一23,则sin/=sin]^-2Bj=cos2B

因为asinB=bsin力，

osinB+bsinZ2bsinA2bcosIB2cos2B-1„1

--------------------=-----------=-------------=--------------=2cosB--------

2bcosB2bcosB2bcosBcos8cos8

令，=cos8[0<8<：),则<t<\

/\i—

又/⑺=2/」在半,1单调递增，入马=0,/(1)=1

?I2J2

可得0<2"：<1,则2cosB-金万的取值范围为(0,1),

asmB+bsmA

则的取值范围为(0,1)

2bcos5

cosCcosA+cosB

17.在锐角-BC中，内角42,C的对边分别为a,6,c,且满足:

acosB+bcosAa+b

(1)求角。的大小；

(2)若c=3,角A与角8的内角平分线相交于点。，求△48。面积的取值范围.

【答案】(呜

【分析】(1)根据正弦边化角，并结合恒等变换得sin(C-/)=sin(3-C),再结合题意得2C=/+3,进而

根据内角和定理得答案;

13

（2）由题，结合（1）得乙4D8=M，设=则=工-a,进而根据锐角三角形得=<a<；,

33124

在△48。中，由正弦定理得4。=2百sin[g-a],进而

SA枚八=—AD-ABsma=—x3x2^/3sinf--6/^1sincrsin^2z+^|-^^-,再根据三角函数性质求范围即

223

可.

cosCcosA+cosB

【详解】（1）解：因为

acosB+bcos/a+b

cosCcosA+cos5cosCcosC_cosA+cosB

sirUcos5+sinBcosAsin/+sin5sin(4+8)sinCsinA+smB

所以sinCcosN+sinCcosS=sin/cosC+sinBcosC,

所以sinCeos/-sin/cosC=sinBcosC—sinCcosB,BPsin(C-74)=sin(5-C),

因为在锐角ATIBC中，C—4£[―5，万]8—Cw

所以C—4=5—C,即2C=4+B,

因为Z+5+C=7l,

TT

所以3c=/+8+C=TI,解得C=]

所以c=1

jr

(2)解：因为C=g,角A与角3的内角平分线相交于点。,

所以/DAB=-ZCAB,ZDBA=-ZABC,

22

所以ZDAB+ZDBA=1zC45+；N4BC=1(7i-C)=j

2兀

所以NNOB后，

jr

设ZDAB=a,则Z-ABD=----a,

3

因为&45C为锐角三角形，

LL八c兀八c兀c兀hT\/口兀兀

所0<2a<一,0<5=兀----2a<一,解得一<a<—

232124

3sin

4RAD得今工

所以,在△/3O中,由正弦定理而N而3

sin乙48。.2兀

sm—

3

兀

所以，△4BZ）面积工幺助=—AD•ABsiner=—x3x2^3sin——asma

223

14

TT

因为Ce所以2a+±e

6

所以，△NBD面积的取值范围是(上至，竺

18.记AA8C的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知------—

a-cosCsinC

(1)若bwc,证明：a2=b+c;

2

(2)若8=2C,证明：2c>b>个.

【答案】⑴见详解；

(2)见详解.

【分析】(1)根据正余弦定理角化边，整理即可;

(2)根据正弦定理推得b=2ccosC,即可得到b<2c.通过分析，可得。=.1,以及c=『J,代入

2cosC-12cosC

a2=b+c,整理可得到b=12cos。J—1—Y,令"2cosC,构造方=〃/)=与=一求导得到

U+2cosCjUcosC-lJt3+t2-t-}

f3在(1,2］上单调递减.进而得到/⑺>/⑵=：.

【详解】(1)证明：由正弦定理可得，<=三，所以吗=2,

sinBsinCsinCc

由余弦定理及其推论可得，cosgJ+c"_*cosC=a2—~,

laclab

a2+c2-b2

。-----------h

所以，由已知可得，——,2”，

lab

即2a2(Z,-c)=2(ft2-c2)=2(Z>+c)(Z)-c),

15

因为bwc,所以/=b+c.

(2)证明：由已知得，sin5=sin2C=2sinCcosC,

bc

又由正弦定理二」一可得，6=2ccosC,

sinBsinC

因为cosC<l,所以b<2c.

b+c

由(1)知，a2=b+c9则。=----

a

又由正弦定理号可得,

sinAsinBsinC

sin5+sinCsinS+sinCsin5+sinC2sinCeosC+sinC

sin4sin(B+C)sinBcosC+cosBsinC2sinCcosCcosC+(2cos2C-ljsinC

sinC(2cosC+1)1

^4cos2C-1)sinC2cosc—1'

又b=2ccosC,贝ij。=------

2cosC

]

将。=以及c二『J代入/We可得,

2cosC-12cosC

117b7,1+2cosc

--------=b+--------=b\---------

2cosC-1)2cosCI2cosC

2coscY1V_(2coscY1

整理可得,b=l+2cosCJbcosC-lJ-U+2cosCJbcosC-l

兀1

因为，B=2C,A+B+C=TI,所以0<C<一,贝lj—<cosC<l.

32

令,=2cosC,则b=f(t)

3727+1

所以，当1〈/<2,/'⑺<0恒成立，所以;■⑺在。,2）上单调递减.

79

所以，/（?）>/（2）=--即

综上所述，2c>b>j2.

19.若“BC内一点P满足NP4B=NPBC=/PC4=e,则称点尸为AJBC的布洛卡点，。为08C的布洛

卡角.如图，已知“3C中，BC=a,AC=b,4B=c,点P为的布洛卡点，。为“3C的布洛卡角.

16

(1)若6=c,且满足仪=6，求的大小.

PA

(2)若“BC为锐角三角形.

(i)证明：—1―=——!——+——!——+——-——

tan。tanABACtan/.ABCtan/4cB

(ii)若可平分证明：b2=ac.

【答案】⑴B

6

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【分析】(1)先判断APCB与胡相似，进而得到.=任，应用余弦定理求出cosN/BC的值即可;

(2)(i)在。8C内，三次应用余弦定理以及三角形的面积公式得：

a1+b2+c2

------------------1-------------------1------------------，针对8分别在AP/B、APBC和VPC/内，三次应用余弦定

tanNBACtan/ABCtanZ.ACB4s4Rc

理以及三角形的面积公式，且S..c=S/0B+S/BC+这表示出三角形的面积，由余弦定理