高考数学一轮专项复习讲义-集合（北师大版）

§1.1集合

【课标要求】1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2理解元素与集合的属于关系，理解

集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、

集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.集合与元素

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号且或生表示.

(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.

(4)常见数集的记法

集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集正实数集

符号NN+（或N*）ZQRR+

2.集合的基本关系

(1)子集：一般地，对于两个集合/与2,如果集合/中的任何一个元素都属于集合2,那么

称集合/是集合3的子集，记作2(或3?4).

(2)真子集：对于两个集合4与2,如果且/#8,那么称集合/是集合3的真子集，

记作/夙或BA).

(3)相等：对于两个集合4与3,如果集合/是集合3的子集，且集合2也是集合/的子集,

那么称集合A与集合B相等，记作A3

(4)空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作0.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的

真子集.

3.集合的基本运算

表示

集合语言图形语言记法

运

并集

交集且xeg}4n§

补集（小£U,且X庄4}CpA

【常用结论】

I.若集合4有个元素，则集合/有2"个子集，2"—1个真子集.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.AC\B=A^A^B,AUB=A^BQA.

4.C5)=(0以)U(CuB),CM/U8)=(C必)D(CuB).

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J"或"X")

(1)集合任6叫工3=打，用列举法表示为{-1,0,1}.(X)

(2){x[y=x2+1)={j[y=x2+1}={(x,y)[y=x2+l}.(X)

(3)若16{炉，x},则x=-l或x=l.(X)

(4)对任意集合/,B,都有(NC8)£(/U8).(V)

2.设集合N={x|3Wx<7},5={x|2<x<10),贝iJ(CR/)C3等于()

A.{x[2<xW3}

B.{x|7<x<10}

C.{x|2<x<3或7Wx<10}

D.{x[2<xW3或7cx<10}

答案C

解析因为CiU={x|x<3或x27},5={x|2<x<10},所以(C近)C8={x[2<x<3或7Wx<10}.

3.已知集合4={1,3,a2},5={1,a+2},若NU3=N,则实数a=.

答案2

解析因为所以8=4所以a+2G4当a+2=3,即。=1时，A=[1,3,1},不满

足集合中元素的互异性，不符合题意；当a+2=a2时，a=-1(舍去)或a=2,此时N={1,3,4},

B={1,4},符合题意.综上，实数。=2.

4.已知集合/={x|0<x<a},B={x\0<x<2},若36/,则实数a的取值范围为.

答案[2,+°0)

解析因为3=/,所以利用数轴分析法(如图)，可知。，2.

_JB

02ax

■探究核心题型

题型一集合的含义与表示

例1(1)(2023•长春模拟)已知集合4={(%,y)\x2+y2=4},B={(x,y)\x+y=Q},则NC8的

子集个数为()

A.1B.2C.3D.4

答案D

解析集合/={(x,y)H+y2=4}表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆上的所有点，

集合8={(x,y)|x+y=0}表示直线x+y=0上的所有点，

因为直线x+y=0经过圆心(0,0),

所以直线与圆相交，

所以NA8的元素个数为2,

则/A3的子集个数为4.

(2)已知集合/={0,机，m2~3m+2],且2昼/,则实数机的值为()

A.2B.3C.0D.-2

答案B

解析因为集合/={0,加，仅2—3m+2},且

贝l|加=2或〃於一3机+2=2,解得{0,2,3}.

当加=0时，集合/中的元素不满足互异性；

当.=2时，加2—3加+2=0,集合N中的元素不满足互异性；

当加=3时，A={0,3,2},符合题意.

综上所述，m=3.

思维升华解决集合含义问题的关键点

(1)一是确定构成集合的元素.

(2)确定元素的限制条件.

(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题.

跟踪训练1(1)(2023•苏州模拟)设集合/={1,2,3},5={4,5},C^{x+y\x^A,y^B},则C

中元素的个数为()

A.3B.4C.5D.6

答案B

解析因为集合/={1,2,3},B={4,5},C={x+y\x^A,y^B},所以C={5,6,7,8}.即C中

元素的个数为4.

b'

⑵若含有3个实数的集合既可表示成?J,又可表示成{标，a+b,0},则/024+62024

答案1

解析因为I'a)={a2,a+b,O},

显然aWO,所以2=0,即6=0；

a

此时两集合分别是{a,1,0},{a,层,0},

则层=1,解得“=1或a=-1.

当a=l时，不满足互异性，故舍去；

当a=—1时，满足题意.

所以02024+62024=(—1)2024+()2024=1.

题型二集合间的基本关系

例2(1)(2023•海口质检)已知集合/={x|x>5},S={x|l-log2X<0},贝(1()

A.AQBB.B^A

C.AQB=0D.NU3=R

答案A

解析因为集合/={x|x>5},集合3={x|l—log加<0}={x|x>2},

所以N=8

(2)已知集合/={x|x<-1或x23},3={x|ax+lW0},若BUN,则实数。的取值范围是()

，1

B.L3」

C.(一8,-1)U[O,+8)

D.L--3-oJlu(0,1)

答案A

解析；B=A,

二・①若5=0,即办+lWO无解，此时4=0,满足题意.

②若BW0,即办+1W0有解，

当a>0时，可得xW-l,要使3・4

a

a>09

则需要,,解得；

----<-1,0<a<l

.a

当。<0时，可得X2一1,要使2=/,

a

a<09

则需要.I.解得一!Wa<0,

刃，3

a

综上，实数°的取值范围是[r_3i'IJ.

思维升华（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则

易造成漏解.

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转

化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

跟踪训练2（1）已知集合M={刈/=11一上,xGR},N={x\x=m2,m^M},则集合“，N

的关系是（）

A.MNB.NM

C.MQCRND.NJCRM

答案B

解析因为A/={x[v=\U—/,XGR}={X|—1WXW1},N={x\x=m2,mGA/}={x|0WxW1},

所以NM.

（2）设集合N={x|—l〈x+lW6},B={x\m-l<x<2m+l],当xWZ时，集合/的非空真子集

的个数为;当8=/时，实数加的取值范围是.

答案254{创加W—2或一1W加W2}

解析易得4={x|—2WxW5}.

若x£Z,则4={-2,—1,0,1,2,345},即4中含有8个元素，

：.A的非空真子集的个数为28—2=254.

①当加一122冽+1,即加W—2时，B—0,B^A；

②当加>—2时，B—{x\m—l<x<2m+1}0,

Z77—1—2

因此，要使36/,则需•‘解得一1WWW2.

2m+lW5,

综上所述，7〃的取值范围是—2或一lWmW2}.

题型三集合的基本运算

命题点1集合的运算

例3⑴（2022•新高考全国I）若集合M={x|J<4},N={x|3x》l},则等于（）

l[]】Wx<2|

A.{x|0^x<2}B.Ul3J

*|-^x<16.

C.{x|3^x<16}D.Ul3.

答案D

解析因为M={x\^x<4},

所以{x|0Wx<16}；

因为N={x|3x》l},

|1^1I

所以N=hl3..

“.|[Wx<16-

所以MCN=kl3J.

⑵(多选)已知M,N均为实数集R的子集，且NC(CRV)=0,则下列结论中正确的是()

A.A/H(CRN)=0

B.A/U(CRN)=R

C.(CRA/)U(CRAQ=CRM

D.(CRAf)n(CRAO=CRM

答案BD

解析V2vn(cRM=0,:.NQM,

如图，若N是M的真子集，则MC(CRN)W0,故A错误；

由NUM可得MU(CRN)=R,故B正确；

由NUM可得CRN?CRM,故C错误，D正确.

命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)

例4(1)(多选)已知N={x|N+x—6=0},B={x\mx+l=Q},且则加的值可能为

()

A.11B.lC.0D.—1

332

答案BCD

解析由题意知/={x,2+x—6=0},

由N+x—6=0,解得工=2或工=—3,

所以N={2,—3},

因为NU8=N,所以8=4

当2=0时，m=0,满足题意；

_1

当3W0时，B=\mJ,

——=2或一，=一3,

mm

解得机=一鼻或

综上，加=0或一L或1.

23

(2)(2024•本溪模拟)设集合4={小<层},B^{x\x>a},若NA(CRB)=N,则实数a的取值范围

为()

A.[0,1]B.[0,1)

C.(0,1)D.(一8,0]U[l,+8)

答案A

解析因为8={x|x>a},

所以CRB={x\x^a},

又/C(CRB)=4,所以/=CRB,

又N={x|x<q2},所以MW。,

解得OWaWl,即实数。的取值范围为[0,1].

思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；

如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.

跟踪训练3(1)(多选)已知集合/={x|N—2x>0},B^{x\l<x<3},贝版)

A.(CiU)U5={x|0^x<3}

B.(CR^)ns={x|l<x<2}

C.^A5={x|2<x<3}

D.NC5是{x|2<x<5}的真子集

答案ACD

解析由N—2x>0,得x<0或x>2,

所以/={x|x<0或x>2],

所以C谩={x|0WxW2},

对于A,因为2={x|lvx<3},

所以(CRX)U8={X[0WX<3},所以A正确;

对于B,因为3={x|14<3},

所以(CR/)A8={X|1<XW2},所以B错误；

对于C,因为/={x|x<0或x>2},B={x|l<x<3},

所以Nn3={x|2vx<3},所以C正确；

对于D,因为/nB={x|2<x<3},

所以/AB是{x|2<x<5}的真子集，所以D正确.

(2)已知集合/,3满足/={x|x>l},2={x|x<a—l},若/门3=0,则实数a的取值范围为

A.(—8,i]B.(—8,2]

C.[1,+8)D.[2,+8)

答案B

解析因为集合/,8满足/={x|x>l},B=[x\x<a~\},且/C8=0,

则4-1乏1,解得aW2.

题型四集合的新定义问题

例5(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对

抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识

证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，

是G上的一个代数运算，即对所有的a,b6G,有如果G的运算还满足：①Va,

b,cGG,有(cr6>c=a-(6-c)；e^G,使得VaGG,We-a—ae—a；③VaGG,3b^G,

使a-b=ba=e,则称G关于“，’构成一个群.则下列说法正确的有()

A.G={-1,0,1}关于数的乘法构成群

B.G=^X~k''GZ'"",'U{x|x=m,mGZ,加力0}关于数的乘法构成群

C.实数集关于数的加法构成群

D.G^{m+^2n\m,〃GZ}关于数的加法构成群

答案CD

解析对于A,若G={—1,0,1},则对所有的a,b^G,有。-1}=G,

满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1,

但当a=0时，不存在6£G,使得Q・b=〃q=e=l,即③不成立，故A错误；

11Q

对于B,因为a=—£G,且b=3£G,但X3=—庄G,故B错误；

222

对于C,若6=区，则对所有的a,b£R,有o+b£R,

满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0,

VQ£R,3b——Q£R,使。+6=6+〃=0,即③成立，故C正确；

对于D,若6={冽+/川冽，〃£Z},

则对所有的〃=加1+啦m,b=m2+也"2£G,

有o+b=(冽1+加2)+A/^(〃I+〃2)£G,Va,b,c^G,(〃+b)+c=Q+(b+c)成立，即①成立，

当a=b=0时，a+也b=0,满足②的e=0,即②成立，

Va=m-\-^2nG,3b=—m—也〃£G,使。+6=/?+〃=0,即③成立，故D正确.

思维升华集合新定义问题的“三定”

(1)定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素.

(2)定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合的运算问题转化为集合的交集、并集或补

集的基本运算问题，或转化为数的有关运算问题.

(3)定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素.

跟踪训练4(多选)设/为非空实数集，若对任意x,y^A,都有x+y^A,x-y^A,且xyd/,

则称N为封闭集.下列叙述中，正确的为()

A.集合N={—2,—1,0,1,2}为封闭集

B.集合4={川〃=2左,后WZ}为封闭集

C.封闭集一定是无限集

D.若/为封闭集，则一定有06/

答案BD

解析对于A,在集合/={-2,—1,0,1,2}中,

—2—2=—4不在集合/中，.•.集合/不是封闭集，故A错误；

对于B,集合/={川〃=2左，后GZ},

设x,y^A,则x=2左1,y=2kz,ki,

.,.x+y=2(左1+依)6/,x—y—2(k\—ki)G4,xy—^k\ki^A,

集合/={川〃=2左，左eZ}为封闭集，故B正确；

对于C,封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；

对于D,若/为封闭集，则取x=y,得X—y=oe/,故D正确.

课时精练

I胃知识过关

一、单项选择题

1.(2022•全国乙卷)设全集。={1,2,3,4,5},集合M满足C曲={1,3},则()

A.2GMB.3GMC.4庄MD.5生M

答案A

解析由题意知M={2,4,5}.

2.(2023・新高考全国I)已知集合〃={一2,-1,0,1,2},A^={x|x2-x-6>0},则MHN等于

()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}

C.{-2}D.{2}

答案C

解析方法一因为N={x|x2—X—620}=(-8,-2]U[3,+°°),

而Af={-2,—1,0,1,2},

所以A/riN={-2}.

方法二因为M={-2,—1,0,1,2},将一2,—1,0,1,2代入不等式N—x—620,只有一2

使不等式成立，

所以A/riN={-2}.

3.(2024•南京模拟)集合/={xGN|l<x<4}的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

答案B

解析N={xGN|l<x<4}={2,3},故子集个数为22=4.

4.已知全集U,若集合/和集合8都是。的非空子集，且满足则下列集合中表

示空集的是()

A.(CMA8B.AHB

C.(CMC(CuB)D.NC(CuB)

答案D

解析由Venn图表示集合U,A,2如图，

由图可得(CM)C3=CBA,ACiB=A,(CM)n(CuB)=CuB,NC(C/)=0.

5.(2024・绵阳模拟)已知/={1,4,m2},B={1,m},若36/,则加等于()

A.0或4B.1或4

C.0D.4

答案A

解析：BUN且/={1,4,m2},8={i,加},

.,.加=4或m=m2,

当加=4时，^={1,4,16},5={1,4}>满足题意；

当加=加2时，得加=0或加=1,

当机=0时，A=[1,4,0),3={1,0},满足题意；

当加=1时，代入集合中，不满足集合的互异性.

综上，机可取0,4.

6.已知M,N均为R的子集，若存在x使得xGM,且x生CRN,贝!1()

A.MCN力0B.MXN

C.NJMD.M=N

答案A

解析因为x生CRN,所以XGN,又因为xdM,所以xGAfflN,故MCNW0,故A正确；

由于题目条件是存在x,所以不能确定集合M,N之间的包含关系，故B,C,D错误.

7.已知全集U=R,集合4={x|0WxW2},3={X|N—x>0},则图中的阴影部分表示的集合为

u

AB

A.(—8,l]u(2,+°°)B.(—8,0)U(l,2)

C.[1,2)D.(1,2]

答案A

解析B—{x\x2—x>0}={x|x<0或x>l},由题意可知阴影部分对应的集合为C

忒4AB)C(4U2),所以NCB={x|l<xW2},AUB=R,即CMNC3)={x|xW1或x>2},所以

cMNn8)n(NU8)=(—8,i]u(2,+°°).

8.设集合/={1,3,5,7},若非空集合/同时满足：①♦=/；②⑷Wmin(4)(其中⑷表示/中元

素的个数，min(/)表示集合/中最小的元素)，称集合/为/的一个“好子集”，则/的所有

“好子集”的个数为()

A.7B.8C.9D.10

答案B

解析当⑷=1时，即集合/中元素的个数为1时，/的可能情况为{1},{3},{5},{7}；

当⑷=2时,即集合，中元素的个数为2时，4的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7}；

当⑷=3时，即集合N中元素的个数为3时，/的可能情况为{3,5,7},

综上所述，/的所有“好子集”的个数为8.

二、多项选择题

9.已知/为全集，集合乂NJI,若MJN,贝IJ()

A.MUN=NB.MCN=N

C.CiND.(CiN)CiM=0

答案AD

解析因为MEN,则MUN=N,MCN=M,则A正确，B错误；

又/为全集，集合NJI,贝11CiN,(CiN)CM=0,C错误，D正确.

10.已知集合/=",2=1},B-{x\ax—1},且则实数a的取值可以是()

A.-1B.0C.1D.2

答案ABC

解析/=",2=1}={-1,1},集合B表示关于X的方程办=1的解集，

因为NU8=4所以8=4

当。=0时方程办=1无解，此时5=0,符合题意；

当3={1}时，a=l；当2={—1}时，一0=1,解得a=-1,

综上可得0=0或土1.

三、填空题

11.已知集合4={0y)\x,ydN+，y^x},B={(x,_y)|x+y=8},则/A3中元素的个数为

答案4

解析根据题意，/C3的元素是x+y=8上满足x,yGN+且的点，即点(1,7),(2,6),

(3,5),(4,4).

12.已知集合4={1,2,3},B={mA,5},且/U8中的所有元素的和为12,则加=.

答案一3

解析当加=1或%=2或〃?=3时，^U5={1,2,3,4,5},

所有元素的和为15,不符合题意；

当加。1且且〃zN3时，/U2={1,2,3,m,4,5},

由题意得1+2+3+加+4+5=12,所以加=—3.

13.高三某班共有55人，其中有14人参加了球类比赛，16人参加了田径比赛，4人既参加

了球类比赛，又参加了田径比赛，则该班这两项比赛都没有参加的人数是.

答案29

解析由题意画出Venn图，如图所示，

由Venn图知，参加比赛的人数为26,

所以该班这两项比赛都没有参加的人数是29.

14.对于任意两集合N,B,定义N—3={x|xGN且x庄团，记/=

{x\x^0],3={x|y=lg(9—N)},贝,A*B=.

答案{x|—3<x<0}{x|—3<x<0或x\3}

解析由题意得/={x|x，0},B={x]—3<x<3},所以/—3={x|x23},3—/={x|-3<x<0}.因

此A*B={x|x23}U{x\—3<x<0}={x|—3<x<0或x23}.

能力拓展

15.(多选)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金

从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论

建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被