高考数学二轮复习专项训练：零点问题（含答案及解析）

2025二轮复习专项训练10

零点问题

［考情分析］在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、

对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现.

【练前疑难讲解】

一、判断零点个数问题

利用导数研究函数的零点

(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于o的情况，

进而判断函数零点个数.

(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的

符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类.

二、由零点个数求参数范围

已知零点个数求参数范围时

(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而

求出参数满足的条件.

(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函

数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，

层层推理得解.

一、单选题

1.(2023,全国•|Wj考真题)函数/'(x)=d+or+2存在3个零点，则”的取值范围是()

A.(-a),-2)B.C.(T,-l)D.(-3,0)

2.(2024・全国•模拟预测)已知函数f(x)=2”一丘—6恰有一个零点七,且b＞上＞0,则与

的取值范围为()

(In2)C'ftl-lln2n2，+C°1JD-(［i-lni2n2，+C°J

二、多选题

3.(23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)已知函数则下列结论正确的是

()

A.函数/■(%)存在三个不同的零点

B.函数/(X)既存在极大值又存在极小值

C.若xe上,+oo）时，/（x）max=-^,贝的最小值为2

D.若方程“x）=Z有两个实根，贝小㈠山图

4.（2024・重庆・一模）已知函数〃x）=e，+V—2d-依，则在（0,+“）有两个不同零点

的充分不必要条件可以是（）

A.e-2<tz<e-lB.e-lva<e

C.evave+1D.e+lvave+2

三、填空题

5.（2024・四川泸州•二模）若函数/（尤）=lnx-Lx+a有零点，则实数。的取值范围

e

是.

6.（2024・全国•模拟预测）已知函数g（x）=x2e£-xe-e“，若方程g（x）=上有三个不同的实

根，则实数上的取值范围是.

四、解答题

7.（2024•浙江杭州・二模）已知函数〃x）=aln（尤+2）-；x2（aeR）.

（1）讨论函数〃尤）的单调性；

⑵若函数有两个极值点，

（回）求实数。的取值范围；

（回）证明：函数有且只有一个零点.

8.（22-23高三上■河北唐山•阶段练习）已知函数/（x）=（x-l）lnx-x2+ox（aeR）.

（1）若函数y=F'（x）有两个零点，求。的取值范围；

（2）设网,无2是函数/（X）的两个极值点，证明：玉+%>2.

【基础保分训练】

一、单选题

1.（23-24高二下•辽宁本溪•期中）若过点（1,。）可以作曲线y=ln（x+l）的两条切线，贝|

A.]n2<b<2B.b>ln2

C.Q<b<ln2D.b>l

2.（22-23高三上•山东济南•期末）已知函数〃%）=煮，关于x的方程

[〃切2-2（a+l）〃尤）+/+2〃=0至少有三个互不相等的实数解，则”的取值范围是（

A.[1,+8）B.（-l,o）u（l,+00）

C.（―1,O）U[1,+oo）D.（―oo,0）U（l,+oo）

3.（23-24高二上•湖南长沙•期末）已知函数〃元）=（x+l）e-，，若函数/（%）有两个零

点，则实数。的取值范围是（）

A.1制B-[°4]C-[I00]D。[hl

二、多选题

4.（24-25高三上•江西九江•开学考试）已知函数“力=2/_3/，贝|（）

A.1是〃尤）的极小值点

B.””的图象关于点&,-£|对称

C.g（x）=/（x）+l有3个零点

D.当0<x<l时，/（x2-l）>/（x-l）

5.（2023•山东德州•模拟预测）已知函数“力=1+6+小",下列结论正确的是（）

A.若函数“X）无极值点，则〃尤）没有零点

B.若函数“力无零点，则外力没有极值点

C.若函数f（元）恰有一个零点，则/'（x）可能恰有一个极值点

D.若函数/（无）有两个零点，则/（%）一定有两个极值点

6.（2023・吉林通化•模拟预测）已知函数〃"=三+3/—9尤-10,下列结论中正确的是

A.尤=1是/'（X）的极小值点

B.〃x）有三个零点

C.曲线y=〃x）与直线>=-12尤-11只有一个公共点

D.函数y=〃x—l）为奇函数

三、填空题

7.（24-25高三上•四川成都・开学考试）设函数〃x）=若〃x）=C有三个

零点项＜%2＜工3，则一+一十工3的取值范围是____.

%]x2

8.（2023・广东广州•一模）若过点（0力）S＞0）只可以作曲线＞=?的一条切线，则6的取值

范围是.

9.（23-24高二下•北京朝阳,期中）已知函数〃尤）=In—依+1恰有两个零点，则实数。的

取值范围是—

四、解答题

10.（24-25高三上•北京•开学考试）已知函数〃x）=（x-l）e'-x2.

（1）求函数的单调区间；

⑵求〃尤）的零点个数.

⑶g（x）=/（x）r”在区间上有两个零点，求机的范围？

11.（22-23高三上•湖北・期末）已知函数/'（x）=（尤-a）lnx-尤+a-3（。eR）.

（1）若a=0,求/（x）的极小值.

⑵讨论函数尸（x）的单调性；

（3）当。=2时，证明：/（x）有且只有2个零点.

12.（23-24高二上,湖南长沙•阶段练习）已知函数/（尤）=f-x+1-ael

⑴当。=—1,求f（x）的单调区间；

⑵若/（无）有三个零点，求。的取值范围.

【能力提升训练】

一、单选题

1.（2023•河北石家庄•一模）已知一“=o在x«0,E）上有两个不相等的实数根，则实

数。的取值范围是（）

C.l,e2eD.l,e^

,、一（％+2）—JTI—1,%W—1

2.（2023・四川成都•二模）已知函数/（X）=2,），若关于元的方程

（2x+2）e~x—m,x>-1

"（x）]2—（疗+3）/（x）+2+3根=0有且仅有4个不同的实数根，则实数加的取值范围

-xex+1,x<0

3.（2024•全国•模拟预测）已知函数"％）=<11八，

inx——,x>0

4

M元）="（犬）于-2硝x）+4（oeR）,若函数g）恰有6个零点，则实数。的取值范围是

（）

A.['|,+00]B.[m,dC.（1,+co）D.（0,+oo）

二、多选题

4.（23-24高二下•山东济宁・期中）已知函数/（x）=d—x+1,则（）

A./（X）有两个极值点

B.“X）有一个零点

C.点（0,1）是曲线y=〃x）的对称中心

D.直线y=2x是曲线y=〃x）的切线

5.（23-24高三下•重庆沙坪坝•阶段练习）已知三次函数”无）=加+/+6+3有三个不同

的零点电,电，芍（％<代<刊）,函数g（x）=/（x）T.则（）

A.3ac<l

B.若占,马，瑞成等差数列,则”（—1,0）5。」）

C.若g（尤）恰有两个不同的零点，则〃=

3a

D.若g（x）有三个不同的零点田2，，3年<才2<4），则片+考+考=/；+[+9

6.（2023•湖南•模拟预测）函数〃尤）=e，（d-x+l）（e为自然对数的底数），则下列选项正

确的有（）

A.函数〃x)的极大值为1

B.函数的图象在点(L〃l))处的切线方程为2e尤-y-e=O

a

C.当八三时，方程〃x)=左恰有2个不等实根

e

D.当时，方程，(耳=左恰有3个不等实根

e

三、填空题

7.(2023•山东济宁•一模)已知函数/'(x)=ajx2-若〃x)=0在|,e上有

解，则的最小值

8.(22-23高三下•重庆沙坪坝•阶段练习)已知函数八%)=。(111%-1)+0+1卜在区间3,63]

上存在零点，则/+〃的最小值为.

9.(23-24高三上•江苏苏州•开学考试)已知函数/(x)=(lnx)2-oxIn%+一有三个不同的

10.(2022•天津・高考真题)已知a,Z?eR,函数/(x)="-asinx,g(x)=b«

⑴求曲线y=/(%)在(0"(0))处的切线方程；

⑵若曲线y=/(%)和y=g(%)有公共点，

(i)当a=0时，求6的取值范围；

(ii)求证：储+/>e

1L(24-25高三上•广东•开学考试)已知函数

/(x)=x2+alnx-(a+2)x,g(x)=xlnx-x-a+l,aGR.

⑴讨论〃元)的单调性;

⑵若g(%)有两个零点，求。的取值范围；

⑶若/(九)+lNg(X)+aliu对任意％之1恒成立，求〃的取值范围.

12.(2023•广东梅州•一模)已知函数=-2ax)lnx+gx2.

⑴当。=1时，求函数“X)的单调区间;

(2)若。＞£,讨论函数“力的零点个数.

2025二轮复习专项训练10

零点问题

［考情分析］在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考查的热点，常以指数函数、

对数函数以及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，难度较大，多以压轴题出现.

【练前疑难讲解】

一、判断零点个数问题

利用导数研究函数的零点

(1)如果函数中没有参数，一阶导数求出函数的极值点，判断极值点大于0、小于o的情况，

进而判断函数零点个数.

(2)如果函数中含有参数，往往一阶导数的正负不好判断，先对参数进行分类，再判断导数的

符号，如果分类也不好判断，那么需要二次求导，判断二阶导数的正负时，也可能需要分类.

二、由零点个数求参数范围

已知零点个数求参数范围时

(1)根据区间上零点的个数估计函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而

求出参数满足的条件.

(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调性，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函

数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，通过多次求导，

层层推理得解.

一、单选题

1.(2023,全国•|Wj考真题)函数/'(x)=d+or+2存在3个零点，则”的取值范围是()

A.(-a),-2)B.C.(T,-l)D.(-3,0)

2.(2024・全国•模拟预测)已知函数f(x)=2”一丘—6恰有一个零点七,且b＞上＞0,则与

的取值范围为()

(In2)C'ftl-lln2n2，+C°1JD-(［i-lni2n2，+C°J

二、多选题

3.(23-24高二下•四川遂宁•阶段练习)已知函数则下列结论正确的是

()

A.函数〃x)存在三个不同的零点

B.函数/(尤)既存在极大值又存在极小值

C.若时，/（x）max=-^,贝!b的最小值为2

D.若方程〃司=上有两个实根，贝1］人（-

4.（2024・重庆・一模）已知函数/'（0=/+/-2彳2—依，则在（0,+8）有两个不同零点

的充分不必要条件可以是（）

A.e-2<a<e-lB.e-lva<e

C.evave+1D.e+lvave+2

三、填空题

5.（2024・四川泸州•二模）若函数/（尤）=lnx-Lx+a有零点，则实数。的取值范围

e

是.

6.（2024・全国•模拟预测）已知函数g（x）=x2e£-xe-e“，若方程g（x）=上有三个不同的实

根，则实数上的取值范围是.

四、解答题

7.（2024•浙江杭州・二模）已知函数〃x）=aln（尤+2）-；x2（aeR）.

（1）讨论函数〃尤）的单调性；

⑵若函数〃x）有两个极值点，

（回）求实数。的取值范围；

（回）证明：函数有且只有一个零点.

8.（22-23高三上■河北唐山•阶段练习）已知函数/（x）=（x-l）lnx-x2+ox（aeR）.

（1）若函数y=F'（x）有两个零点，求。的取值范围；

（2）设网,无2是函数/（X）的两个极值点，证明：玉+%>2.

参考答案:

题号1234

答案BABDBCD

1.B

【分析】写出/''（x）=3/+。，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.

【详解】f(x)=x3+ax+2,贝1]/'0)=3/+。,

若/(X)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则。<0,

令f\x)=3x2+a=0,解得x=-或

?,+8时，f\x)>0,

且当xe

故的极大值为了,极小值为了

2.A

【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及

6〉上>0建立关于毛的不等式，即可得解.

【详解】由/'(同=0可得2*=履+6,要使恰有一个零点，只需函数g(x)=2'的图象

与直线>=丘+6相切.

设切点坐标为伍,2-).由g(x)=2工，可得g<x)=2，ln2,则切线方程为

y-2&=2&ln2•(x-飞),即y=(2而In2)尤+2'°(1—尤0In2),

故需使左=2及ln2,b=2^(1-%ln2).

由b>上>0可得2%。一/山2)>2Mln2,解得/<.

故选：A

3.BD

【分析】求导后，结合广(X)正负可得/'(X)单调性；利用零点存在定理可说明了(X)零点个

数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误.

【详解】/'(X)定义域为R,r(；0=3+'+2=_"-2)《+1),

.•.当xe(-8,-L)52,+8)时，f'(x)<0；当xe(-l,2)时,f'(x)>0；

.•./3)在(-8,-1),(2,+8)上单调递减，在(-1,2)上单调递增；

对于A,/(-l)=-e<0,/(2)=^>0,/(-2)=e2>0,

/⑺在区间(-2,-1)和(-1,2)内各存在一个零点；

当尤>2时，x2+x-l>0,ex>0,・・./(x)>0恒成立;

・••/(久)有且仅有两个不同的零点，A错误；

对于B,由〃尤)单调性可知：的极小值为〃-1)=-e,极大值为〃2)=1,B正

确；

对于C,〃2)=与，，作出图象如下图所示，可知方程=3存在另一个解

ee

若当xeR+e)时，f(x)1rax=",则”民,2],C错误;

对于D,方程/(力=k有两个实根等价于/(x)与y=左有两个不同交点,

作出“X)图象如下图所示,

D正确.

故选：BD.

4.BCD

【分析】将问题转化为+--2x,令g(x)=H+/-2x(x>0),利用导数讨论g。)的

XX

单调性，求出g(x)mm，由/(x)在(0,+8)有2个不同零点的充要条件为a>e-1,从而作出

判断

【详解】因为/(x)=e'+x3-2x2-ax{x>0),

令“无)=0,贝普=《+/一2x,

x

令g(x)=i-x2-2x(尤>0),

x

l、xe*—e'+—2/(e'+2x~)(x—1)

则17b8(X)=-------p-------=------储------，

注意到e*+2x2>0,令g'(x)=0,解得x=l,

所以当x>l时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

贝1J以月血。=g6=e-L且当无趋近于。或+8时，g(x)都趋近于+8，

若/Q)在(0,+e)有2个不同零点的充要条件为函数，=g(x)与'=a图象在第一象限有2

个交点，

所以。>e-1,即/(元)有2个零点的充要条件为a>e-l,

若符合题意，则对应的取值范围为(e-L+e)的真子集，

结合选项可知：A错误，BCD正确；

故选：BCD.

5.[0,+co)

【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需/(x)1mx之0，

即可求出参数的取值范围.

【详解】函数/(x)=lnx-Lx+a的定义域为(。,+8),

e

I]p-X

又广(x)=L-L=—，所以当0<x<e时尸(尤)>0,当x>e时/(刈<0,

xeex

所以/(X)在(o,e)上单调递增，在(e,+口)上单调递减，

所以，(x)1mx=/(e)=a,又xf0时/'CO-x-+8时/(元)-_<»,

又函数/(尤)=lnx-』无+。有零点，所以/'(x)1rax20,即。20,

所以实数。的取值范围是［0,行).

故答案为：［0,+(»)

6.(0,5e2)

【分析】通过求导得出函数的单调性和极值，即可得出有三个实根时实数上的取值范围.

【详解】由题意，

在g(%)=x2ex-xex-ex>g'(x)=e*(x?+x-2),

当g'(x)=0时，解得尤=-2或1,

当g'(x)<0即-2<x<l时,g(x)单调递减,

当g'(x)>0即x<—2,x>l时，g(x)单调递增,

22211

Eg(-2)=(-2)e^-(-2)e-2-e'=5e",g(l)=-e-e=-e,

当M-2,g(尤)=(彳2_彳_1)什0,

方程g(x)=上有三个不同的实根，

S10<k<g(-2)即0<左<5b2,

故答案为：(0,5片2).

【点睛】易错点点点睛：本题考查函数求导，两函数的交点问题，在研究函数的图象时很

容易忽略同-2,g(x)=(x2-x-l)e^0这个条件.

7.⑴答案见解析；

⑵(0)-l<a<0；(0)证明见解析

【分析】(1)求出函数的导函数，再分aV-1、-l<a<0,a20三种情况，分别求出函数

的单调区间；

(2)(0)由(1)直接解得；(回)结合函数的最值与零点存在性定理证明即可.

【详解】(1)函数〃x)=aln(x+2)YgeR)的定义域为(—2,内)，

一(x+1)+〃+1

且「(无)=

2*%+2

当aK-1时，八力4。恒成立，所以/(%)在(-2,+a))单调递减；

当一IvavO时，令/'(x)=。，BP-(x+1)2+«+1=0,解得％=-五+1-1,

%2=+1-1，

因为一IvavO,所以Ova+l<l,则-2<-42+1-1<-1,

所以当工£(—2,-+l—1)时f(x)<0,

当无£(-Ja+1—1,Ja+1-1)时—>0,

当x£(&+1-1,+8)时f\x)<0,

所以/(%)在卜2,-1)上单调递减,在(7a+1-1,Ja+1—1)上单调递增,

在(Ja+1—1,+oo)上单调递减；

当。>0时，此时-J〃+1-1V-2,

所以无£(—2,Ja+1-l)时/r(x)>0,当%£(血+1-1,+8)时/f(x)<0,

所以/(%)在卜2,Ja+1—1)上单调递增,在(Ja+1-1,+8)上单调递减.

综上可得：当a<-l时/(%)在(-2,y)单调递减；

当—1vav0时f(x)在卜2,-Ja+1—lj上单调递减，

在卜Ja+1—1,Ja+1—1)上单调递增，在(Ja+1—1,+8)上单调递减；

当a20时/(%)在卜2,-1)上单调递增，在(，a+1-1,+8)上单调递减.

(2)(0)由(1)可知一IvavO.

(团)由(1)于(%)在卜2,-Ja+1-1)上单调递减,

在(-V^TT-1,V^TT-1)上单调递增，在(&TT-1,+8)上单调递减，

所以/(%)在片而I-1处取得极大值，在％=-而!-1处取得极小值，

又一IvavO,所以Ova+l<l,则1<J〃+1+1<2,

又/(*)极大值=/(Ja+1-1)=Hn(Ja+l+1-1)<0,

所以/（X）在卜，UT,+℃）上没有零点，

444

又一则「<一4,则0<康<厂，-2<e5_2<eT_2，

/4\2

则0<e»-2<4,

\7

/4A/4y

所以/靛-2=4--1e«-2>0,所以〃力在（-2,-而I-1）上存在一个零点，

kJJ

综上可得函数/（X）有且只有一个零点.

8.（1）（2,+oo）

（2）证明过程见解析.

【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行

求解即可；

（2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可.

［详解］（1）/（无）=（尤_］）ln%_x2+依0（无）=］_L+inx_2x+a=0,

该方程有两个不等实木艮，由=l---Flnx—2x+a=0nci=2XH----In尤一1,

XX

所以直线y=a与函数g（x）=2x+：-lnx-1的图象有两个不同交点，

由8（尤）=2尤+，31=8，（）=2-3」=2/-0=»+1甲-1）,

当xe（O,l）时，g［x）<0,g（x）单调递减,

当尤e(l,e)时，g<x)>0,g(x)单调递增,因此g(x)1nhi=g(l)=2,

当XfO时，g(X)f+8,当Xf+co,g(x)f+oo,

如下图所示:

即。的取值范围为(2,+8)；

(2)因为x”尤2是函数〃x)的两个极值点,

所以/'(%)=/(%)=。,由(1)可知：g(xl)=g[x2)=a,不妨设0＜为＜1＜%,

要证明西+苫2>2,只需证明苫2>2-玉，显然2-玉>1,

由(2)可知：当时，g(x)单调递增,所以只需证明g(w)>g(2一%),

而g(%)=g(x2)=。，所以证明g(与)>g(2-菁)即可，

即证明函数〃(x)=g(x)-g(2-x)>0在尤e(O,l)时恒成立，

X,1,1、(c\A\4(1)2](ifT

由"(1)=4%+——Inx------bln(2-x)-4n0(％)=------------------，

尤2—龙/(2—%)

显然当xe(O,l)时,〃(x)<0,因此函数/i(x)=g(x)-g(2-x)单调递减，

所以当0<x<l时，有Mx)>〃⑴=0,所以当。<玉<1时，gG)>g(2—菁)恒成立，因此

命题得以证明.

【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键.

【基础保分训练】

一、单选题

1.(23-24高二下•辽宁本溪•期中)若过点(1⑼可以作曲线y=ln(x+l)的两条切线，贝。

()

A.ln2<Z?<2B.Z?>ln2

C.0<Z?<ln2D.b>l

2.(22-23高三上•山东济南•期末)已知函数了(同=u，关于尤的方程

[/(无)了-2(a+l)/(无)+1+24=0至少有三个互不相等的实数解，则a的取值范围是()

A.[1,+co)B.(-LO)u(l*)

c.(TO)ui)D.1,+co)

3.（23-24高二上•湖南长沙•期末）已知函数/（x）=（x+l）ex-a,若函数/（x）有两个零

点，则实数"的取值范围是（）

A.1别B.6]C.LD.p+oo）

二、多选题

4.（24-25高三上•江西九江•开学考试）己知函数〃x）=2d-3/,则（）

A.1是〃尤）的极小值点

B.的图象关于点对称

C.g（x）=〃x）+l有3个零点

D.当0<x<l时，/（x2-l）>/（x-l）

5.（2023•山东德州•模拟预测）已知函数〃力=，+依+6卜，，下列结论正确的是（）

A.若函数/（尤）无极值点，则/（X）没有零点

B.若函数〃x）无零点，则没有极值点

C.若函数了（尤）恰有一个零点，则F（x）可能恰有一个极值点

D.若函数元）有两个零点，则/（“一定有两个极值点

6.（2023・吉林通化•模拟预测）已知函数〃力=尤3+3/—9尤-10,下列结论中正确的是

（）

A.x=l是的极小值点

B.〃x）有三个零点

C.曲线y=〃x）与直线>=-12尤-11只有一个公共点

D.函数y=F（x—l）为奇函数

三、填空题

7.（24-25高三上•四川成都・开学考试）设函数A》）J"?；:：：；，若〃x）=C有三个

零点玉</<%3，则，+,+%3的取值范围是____.

玉x2

8.（2023・广东广州•一模）若过点（0力）（10）只可以作曲线>=金的一条切线，则匕的取值

范围是.

9.（23-24高二下•北京朝阳•期中）已知函数〃尤）=hr-依+1恰有两个零点，则实数。的

取值范围是—

四、解答题

10.（24-25高三上•北京・开学考试）已知函数〃尤）=（%-1户-日

⑴求函数的单调区间；

⑵求〃尤）的零点个数.

⑶g（x）=/（x）-根在区间上有两个零点，求机的范围？

11.（22-23高三上•湖北•期末）己知函数/'（x）=（尤-a）lnx-尤+a—3（aeR）.

⑴若4=0,求若尤）的极小值.

⑵讨论函数（（X）的单调性；

⑶当。=2时，证明：/（X）有且只有2个零点.

12.（23-24高二上•湖南长沙•阶段练习）已知函数〃司=f-x+1-ael

（1）当。=—1,求f（x）的单调区间；

⑵若/（无）有三个零点，求。的取值范围.

参考答案:

题号123456

答案BCAABADABC

1.B

【分析】设切点点P（r,ln（r+1））,写出切线方程，将点（L。）代入切线方程得

6==+ln（f+l）,此方程有两个不同的解，利用导数求b的范围.

【详解】在曲线y=ln（x+l）上任取一点+y'=-^-,

所以曲线y=ln(x+l)在点尸处的切线方程为y-ln(f+l)=T(xT).

由题意可知，点。力)在直线y-ln(f+l)=21aT)上，可得6=g+ln(f+l),

1_f2

令函数/(^)=^-j+ln(r+l)=y—j-l+ln(r+l),ZG(-1,+o5),

./\—21t—1

则/(')=即+百=许-

当一iw时，r(o<o,此时/■(“单调递减，

当然1时，尸⑺>0,此时〃。单调递增，

所以/⑺皿=/")=ln2.

设Zz(x)=lnx-l+L(x>0),

X

所以"8=:一］=三二

所以当%>1时,h'(x)>0,h(%)在(1,+8)上单调递增,

当0<尤<1时,»(%)<0,五(%)在(0,1)上单调递减,

所以人⑺之硝)二0,

所以InxNl—',

x

2211

所以/(。=---l+ln(r+l)>---1+1----=--,

t+1t+1t+1t+1

当，f—1时，所以〃。一+8,

2

当尤一+8时，-一ojn«+l)f+8,所以

y=/«)的图象如图：

由题意可知，直线>与/(，)的图象有两个交点，则b>ln2.

故选：B

2.C

【分析】画出〃无)图象,解方程［/(x)T—2(Q+1)/(%)+4+2Q=0可得J(%)=a或

/(%)=〃+2,因为。+2>々,根据图象分类讨论,々<0或"=1时,04〃〈1时，a>1时，三种情况

下根的情况即可.

【详解】解:由题知/(%)=京',(%>0且

a(xelnx-e

所以/(司=］「不，

(elnX)

故在(0.1)上,f'(x)<0,/(x)单调递减,

且加YO,

即/⑺=『<0,

在(i,e)上"'⑺<oj(x)单调递减,

在(e,+8)上,f'(x)>0J(x)单调递增，

有〃e)=l,

画图象如下：

由［〃切2-2(。+1)〃尤)+4+2a=0至少有三互不相等的实数解,

即(〃尤)-4("尤)-(a+2))=0至少有三个互不相等的实数解，

即〃x)=a或〃x)=a+2至少有三个互不相等的实数解，

由图可知，当。<0或。=1时,y=〃x)与>=a有一个交点，

即/(x)=a有一个实数解，

此时需要/(力=。+2至少有两个互不相等的实数解，

即&+2>1,解得〃>-1

故一IvavO或。=1;

当0Wa<1时"(X)=。无解，舍；

当a>l时,a+2>3,

此时〃x)=a有两个不等实数解，

/(x)=a+2有两个不等实数解，

共四个不等实数解，满足题意.

综上：-IvavO或々21.

故选:C

3.A

【分析】函数〃尤)有两个零点，即函数g(x)=(x+l)e*的图象与>的图象有两个交

点，由导数判断函数g(x)的单调性、极值，由函数图象的交点个数得。的范围.

【详解】函数〃尤)有两个零点，即函数g(x)=(x+l)e"的图象与>的图象有两个交

点，

函数g(x)的定义域为R，

g,(x)=ex+(x+l)e'=(x+2)ex,

令g'(x)=。，解得尤=-2,

g'(x),g(x)的变化情况如下表:

X-2(-2,+oo)

g'(x)-0+

g(x)单调递减单调递增

e2

所以，函数g(x)在区间(-8,-2)上单调递减，在区间(-2,+⑹上单调递增,

故当x=—2时，有极小值g(-2)=-三，

令g(x)=0,解得％=一1,

当光<一1时，g{x)<0；当)>-1时,g{x)>0,

当尤无限趋向于负无穷大时，g(x)=(x+l)e*=r=无限趋向于0；当x无限趋向于正无

穷大时时，g(x)无限趋向于正无穷大，

由此作出函数g(x)的大致图象：

由图象得：当时，交点为0个；

当。=-■^或a20时，交点为1个；

e

当-±<。<。时，交点为2个.

e

若函数g(x)=(x+l)e"的图象与y=。的图象有两个交点,

则由图可知，实数0的取值范围为1J,。］.

故选：A.

4.AB

【分析】利用导数求函数极值点判断选项A；通过证明/(尤)+/(1-尤)=-1得函数图象的对

称点判断选项B；利用函数单调性判断选项C；利用单调性比较函数值的大小判断选项D.

2

【详解】对于A,函数/(X)=2/_3/,r(x)=6x-6x=6x(x-l),令1f(x)=0,解得

%=0或%=1,

故当工£(0,0)时广(%)>0,当久E(0,1)时，尸(%)<0,当久E(1,+8)时广(%)〉0,

则/(X)在(-8,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

故1是“X)的极小值点，故A正确：

对于B,因为

y(x)+/(l—尤)=2尤3—3尤2+2(1—无)3—3(1—%)2=2_?—3尤2+2—6%+6为2—2尤3_3+6%-3无2=—1

所以“X)的图象关于点\,-£|对称，故B正确；

对于C,g(x)=/(x)+l=2x3-3%2+l,易知g(x)"(x)的单调性一致，而g(l)=O,

故g(x)=/(x)+l至多有2个零点，故C错误；

对于D,当0〈无<1时，—1〈尤2—1〈无一i<o,而在(—1,0)上单调递增，故

f(x2-l)<f(^-l),故D错误.

故选：AB.

5.AD

【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.

若函数f(x)无极值点则，贝l]A=(a+2)2-4(〃+6)40,

此时储-4b+4V0,BPa2-4b<-4,所以/(x)=(/+办+6)e*>0,没有零点，如图①；

若函数/(X)无零点，则有。2-46<0,止匕时片一46+4<4.

当片一仞+4>。时，/'(X)先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；

若函数/(X)恰有一个零点，贝02_伤=0,

此时02一4〃+4=4>0,尸(x)先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图

③；

若函数“X)有两个零点，则/-4)>0,此时笛-4b+4>4>0,/'(X)先正再负再正，

函数先增再减再增，有两个极值点，如图④;

所以AD正确.

故选：AD.

6.ABC

【分析】对于A,利用导数，结合极小值点的定义，可得答案；

对于B,利用导数研究函数的单调性，结合零点的存在性定理，可得答案；

对于C,根据切线的求解方程，利用导数检测，可得直线为函数的切线，结合图象，可得

答案；

对于D,整理函数解析式，利用奇函数的定义，可得答案.

【详解】由函数〃x)=V+3d—9x-10,则求导可得/(X)=3X2+6X-9=3(X+3)(X-1),

令/'(x)=0,解得无=一3或1,可得下表：

(-CO,-3)-3(Tl)1

+0—0+

极大值、极小值

则尤=1是的极小值点，故A正确；

丁(尤)极大=/(一3)=(一3Y+3x(-3)2-9x(-3)-1。=17，

，(龙)板小=/(l)=『+3xl2—9x1-10=75，

/(-5)=(-5)3+3x(-5)2-9x(-5)-10=-15,/(3)=33+3x32-9x3-10=17,

显然函数八%)在(-5,-3),(-3,1),(1,3)分别存在一个零点，即函数〃尤)存在三个零点，故B

正确；

v—3%29%10

)y--12x-H一，消去、可得炉+3尤2+3X+1=0,化简可得(x+厅=0,

则该方程组存在唯一实根x=-l,故C正确；

令g(x)=/(x-1)=(x-1)+3(x-1)—9(x—1)—10=x3—12x+l,

g(-x)=—x3+12x+1—g(x),故D错误.

故选：ABC.

7.pe+1,e2+2

【分析】根据分段函数得出根，再应用指对数转化结合换元法求解即可.

，八.\||lnx|,O<x<e~

【详解】因为,所以为<%<X3

I2-Inx,x>e

—<玉<1<兀2<e<%<e2且1叫+lnx=0,

e2

-cc2c

零满足点一1叫=lnx2=2—ln%3=C(0<C<1),即e=xpe=x2,e~=x3,

故目标式=小+00+62菖，令e-c=f且此[：,1

则上式=；+6+1,，

令y=；+(e2+l)f,贝ljy=-J+e2+l,'e,故y'=-J+e?+1>0

y在内单调递增，贝IJy=；+(e2+l)te(2e+g,e2+2).

故答案为：|^2e+1,e2+2^

8.[

【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为则得切线方程

22

过点(0/)3>0),则6=普，构造函数万⑺哈，

确定函数的单调性及取值情况，即可得6的取值范围.

【详解】解：函数y后的定义域为R,则设切点坐标为

则切线斜率为左=9,故切线方程为：y-飞=上m(x-x°),

e与e与e与、7

又切线过点(。,6)仍>0),则万一兴=三产(一%)=6=9,

设〃(x)=《，则”(x)=x(2-x)=o得,x=o或尤=2,

exeA

贝ij当xe(f,O)时，〃(x)<0,函数/z(x)单调递减,

当xe(O,2)时，砥力>0,函数Jx)单调递增,

当xe(2,y)时，〃(x)<0,函数/z(x)单调递减,

4

所以〃(0)=0,M2)=r，

e

又无->一00时，/l(x)f+co,尤—+8时，力(无)一0,

所以6=另有且只有一个根，且b>0,则匕>《，故6的取值范围是(W，+8

e&e[e

故答案为：

9.(0,1)

1r>y_|_1113y_|_1

【分析】由题意可得了。)=0即。=上山有两个不等的实数解，令g(x)=^求出导

XX

数和单调区间、极值、最值，画出图象，通过图象即可得到结论.

【详解】函数/(X)=Inx-奴+1恰有两个零点等价于"X)=0即a=笠」有两个不等的实

数解，

令gQ)=也担(x>0)

X

当x>l时，g'(无)<0,g(x)在。,内)上单调递减;

当0〈尤<1时，g'(x)>0,g(x)在(0,1)上单调递增;

当x=l时，g'(x)=。，g(x)在x=l处取极大值，极大值为g⑴=1,且极大值也为/(x)的最

大值；

当》=工时，gO)=0,当xf+8时，g(x)-0,

e

画出g(x)的图象如下：

由图可得当0<。<1时，y=g(x)与y=a有两个交点，即方程有两个实数根，函数有

两个零点;

故答案为：(0,1)

10.(l"(x)的单调减区间为：(o,ln2)；单调增区间为：(-8,0),(ln2,+s)

(2)1个

rVe1

⑶『三一"J

【分析】(1)对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可；

(2)结合(1)问的单调性，求出函数/(x)的值域，结合零点存在定理即可求解.

(3)将零点问题转化为函数交点问题，求出了(元)在区间-1,：上的值域即可求解.

【详解】⑴由题可得：/'(x)=xe=2x=xC-2),

令/解得：x=。或x=ln2,

令/(x)<0,解得：0<x<ln2；

令广食)>0,解得：x<0或x>ln2；

所以/(x)的单调减区间为：(0/n2)；单调增区间为：(F,0),(ln2,『)

(2)因为/(x)的单调减区间为：(0,ln2);单调增区间为：(-8,0),(ln2,+s),

由于/(。)=-1<0,则/(无)在(一*0)上无零点；

由于/(ln2)=2(ln2-l)-(ln2)2<0,则/(x)在(0,In2)上无零点；

由于/⑵=e?-4>0,则/(x)在(In2,2)上存在唯一零点；

综上，函数/(x)在R上存在唯一零点.

(3)若g(x)=/(x)-根在区间-1,1上有两个零点，则函数y=/(x)与>=机在区间

-1，；上有两个交点；

由(1)知，/(x)在(-1,0)上单调递增，(0,g)上单调递减;

所以函数y=/(x)与了=根在区间上有两个交点，则一XL3nl<_i,

12」24

即g(x)=/(x)-根在区间-1,1上有两个零点，则力的范围为普-卜1

L」/

11.(1)-4