数理统计课件：正态总体参数的置信区间

正态总体参数的置信区间枢轴量法的基本要点:在参数点估计的基础上去构造参数的置信区间.主要思想是：点估计是基于样本获得的最可能接近参数真值的估计量，围绕点估计值构造的区间估计包含参数真实值的可能性会大一些.4.2.1枢轴量法求参数μ

的置信水平为1-

α的置信区间.例4.2.1设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，其中µ是未知参数，σ>0已知.下面通过一个例子来说明基于点估计构造置信区间的方法.解:~N(0,1)标准化选μ的一个良好的点估计(UMVUE)寻找一个待估参数μ和估计量的函数有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.要求：其分布已知，且与待估参数μ

无关.对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.对给定的置信水平1-

α使其中uα/2为标准正态分布的上α/2分位数.不等式等价变形得到因此，参数μ的置信水平为1-

α的置信区间为

枢轴量法构造置信区间的步骤如下第一步：找待估参数

的一个良好点估计T(X1,X2,…,Xn)

.上例中的点估计是第二步：构造T(X1,X2,…,Xn)

和

的函数

G(T，

)

，满足(1)表达式G(T，

)与待估参数

有关(2)

G(T，

)的分布与待估参数

无关上例中且U~N(0，1).第三步：对给定的0<

<1，确定两个常数a,b，使解括号中的不等式得到即步骤2中构造的函数G(T(X1,X2,…,Xn)

，

)

被称为枢轴量.上述构造置信区间的方法称为枢轴量法.因此是参数

的置信水平为1-

的置信区间.定义4.2.1：令G(X1,X2,…,Xn,

)

是样本X1,X2,…,Xn和参数

的一个可测函数，当且仅当G(X1,X2,…,Xn,

)

的分布不依赖于参数

时，G(X1,X2,…,Xn,

)被称为枢轴量.使用枢轴量法构造置信区间注意以下几点.1.枢轴量通常不是一个统计量，但是其分布已知.2.如果被估计量为参数

的函数g(

)

，g(

)是定义在参数空间

Θ上的单调增函数，假设已知参数

的置信区间为，

则

g(

)的置信区间为.如果

g(

)是定义在参数空间

Θ上的单调减函数，

则

g(

)的置信区间为.3.上述枢轴量方法中，最关键在于构造枢轴量.由于一个“好”

的点估计量落在被估计量附近处的概率比较大，尽量用好的

估计量构造置信区间，使得置信区间有更好的精度.4.经常选取a,b满足.这是一种习惯做法，此时，置信区间不一定是最短的.5.上面的方法对于置信上限和置信下限也适用.

选取常数a(或b)，使得由此可以构造参数

的函数g

(

)的置信上限或置信下限.4.2.2单个正态总体均值的置信区间正态分布

N(μ,σ2)是常用的分布.寻求它的两个参数

μ

和

σ2

的置信区间是实际中常遇到的问题,下面分几种情况加以讨论.设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体

N(μ,σ2)

的样本.记分别为样本均值和样本方差.下面，我们分两种情况来讨论正态总体均值参数置信区间的构造方法.一σ2已知，求参数μ

的置信区间这个问题已经在例4.2.1进行了讨论.σ2已知情况下，参数μ

的置信水平为1-α的置信区间为置信区间的长度为说明：2.置信区间的中心是样本均值；1.ln越小，置信区间提供的信息越精确；3.样本容量n给定的情况下，

2

越大，则ln越大，精度越低.因为总体方差越大，随机影响越大，参数µ的估计变得不容易了.说明：5.样本容量n越大，置信区间越短，精度越高；4.

减小α

的值，标准正态分布的分位数uα/2增大，

区间的置信水平1−α增加，但是区间长度也随之

增加，区间精度降低.

因此，置信区间长度越长，精度越低.

6.给定置信水平置信水平1−α，可以利用上述关系来确定合适的样本容量.置信水平1−α固定，要使区间长度其中l0为给定的常数,则其中[x]表示实数x的整数部分.例4.2.2假设某流水线生产的某型号电容元器件的容量服从正态分布，N(μ,0.052),通过简单随机采样获得下面一组样本的观察值(单位：µF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.试求参数μ的置信水平为95%的置信区间.如果希望获得的区间估计的长度不超过0.05，还应该增加多少样本观察值?解:由于1-α=0.95，σ=0.05，n=6查表得uα/2=u0.025(5)=1.96代入数据计算得到μ的置信水平为95％的置信区间为上述区间估计的长度为0.08>0.05.要达到区间长度不大于0.05的要求，就需要增加样本容量，即所以，如果让区间估计长度不超过0.05就需要再增加10个观察值.不是统计量二σ2未知，求参数μ

的置信区间方差σ2已知，均值μ

的置信区间为方差σ2未知想法：用样本标准差S代替总体标准差

.包含了未知参数

不能作为枢轴变量

由抽样分布定理知：由于T的表达式与μ

有关，而T的分布与μ无关，因此取T作为枢轴量.

对给定的置信水平1-α

,确定分位数tα/2(n-1)使即不等式等价变形得到其中

tα/2(n-1)

是自由度n-1的t分布的上𝛼/2分位数.μ

的置信水平为1-α的置信区间为解:由于1-α=0.95，n=6查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.571代入数据计算得到μ的置信水平为95％的置信区间为例4.2.3假设某流水线生产的某型号电容元器件的容量服从正态分布，N(μ,σ2),通过简单随机采样获得下面一组样本的观察值(单位：µF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.试求参数μ的置信水平为95%的置信区间.例4.2.4根据长期经验知道某式枪弹底火壳二台高X服从正态分布N(

,

2)，现在随机抽取底火壳20个，测得二台高X的结果(单位：mm)为4.964.954.924.944.964.944.974.964.974.97

5.014.974.985.014.974.984.994.985.005.00(1)当

2=0.0172已知时，求底火壳二台高X的均值

的置信水平为95%的置信区间.(2)当

2未知时，求底火壳二台高X的均值

的置信水平为95%的置信区间.解：(1)因为

2已知，因此底火壳二台高X的均值

的置信区间为计算得易知

n=20代入上式得到

的置信区间为[4.964,4.979]这就是说，我们有95%的把握断定区间[4.968,4.979]包含底火壳二台高X的均值EX.查表得(2)当

2未知时，均值

的置信水平为95%的置信区间为查表得计算得代入上式得到

的置信区间为[4.96,4.983]说明：从上面两个例子可以看出，当σ2未知时，参数

的区间估计相对会变长，精度会降低.解：选方差σ2的一个良好的点估计为(UMVUE)且表达式与σ2有关，但其分布与σ2

无关，因此，取其作为枢轴量.一

μ

已知，求参数σ2

的置信区间设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体

N(μ,σ2)

的样本，其中均值μ

已知，求方差σ2的置信水平为1-α的置信区间.4.2.3单个正态总体方差的置信区间对给定的置信水平1-α

,取c1和

c2满足满足上式的

c1和

c2

有无穷对，其中有一对c1和

c2

使得区间长度最短.但是这样一对

c1和

c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.一般令c1和

c2满足其中从中解得即为参数σ2置信水平为1-α的一个置信区间.解：例4.2.5假设某流水线生产某品牌的罐装橙汁，按照要求罐装橙汁量的均值为350ml并且服从正态分布，为了评估该流水线生产的产品的一致性，通过简单随机抽样获得下面的观察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.试求该流水线生产产品方差σ2的置信水平为95%的置信区间.由于n=10，μ=350查表得因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：σ2的置信水平为1-α的一个置信区间.取枢轴量对给定的置信水平1-α

,确定分位数使从中解得二

μ

未知，求参数σ2

的置信区间

2的一个良好的点估计为S2(UMVUE).且知：选取两个常数均值μ

未知，标准差σ

的置信水平1-α

的置信区间为均值μ

未知，方差σ2

的置信水平1-α

的置信区间为解：例4.2.6假设某流水线生产某品牌的罐装橙汁，按照要求罐装橙汁量服从正态分布，但是均值未知，为了评估该流水线生产的产品的一致性，通过简单随机抽样获得下面的观察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.试求该流水线生产产品方差σ2的置信水平为95%的置信区间.由于n=10，μ=350查表得因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：σ2的置信水平为1-α的置信区间为待估参数其它参数枢轴量及分布置信区间μσ2已知σ2未知σ2μ未知μ已知单个正态总体未知参数的置信区间(置信水平为1-α)在实际应用中，我们经常会碰到对两个正态总体的均值或者方差进行比较的问题.比如比较工艺改进之后生产线的产量是否有提升(均值比较)比较两个流水线生产的产品质量波动大小(方差比较).我们分四种情况讨论均值差µ2-µ1的置信水平为1−α的置信区间.设X1,X2,…,Xm是来自正态总体N(μ1,σ12)的样本，Y1,Y2

,…,Yn是来自正态总体N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立分别表示两个样本的样本均值和样本方差4.2.4两个正态总体均值差的置信区间由正态分布的性质可得由于

2−

1一个良好的点估计为且有一

12,

22均已知，求μ2-μ1的置信区间取T作为枢轴量对于置信水平1−α，选择分位数为

uα/2，可得将其标准化后得：可将上式等价转化为均值差

2−

1的置信水平为1−α的单侧置信上、下限为因此，均值差

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为易知由于σ2未知，可用样本方差S2代替.？相互独立二

12=

22=

2未知，求μ2-μ1的置信区间可得其中取T作为枢轴量对于置信水平1−α，选择分位数tα/2(m+n−2)，有枢轴量因此，均值差

2−

1的置信水平1−α的置信区间为均值差

2−

1的置信水平为1−α的单侧置信上、下限为令Zi=Yi

Xi，i=1,2,…,n，则且Z1,Z2,…,Zn独立同分布，故

Z1,Z2,…,Zn可视为从总体

中抽取的样本，令则三

12，

22

不相等且未知，但m=n，求μ2-μ1的置信区间作为枢轴量.类似于单正态总体时，均值的区间估计方法，得

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为均值差

2−

1的一个置信水平为1−α的单侧置信上、下限为一般地，这个方法在m=n很大时使用，较小时不常用.四

12，

22

未知，且不相等，

m，n也不相等，求μ2-μ1的置信区间著名的Behrens-Fisher问题.这是Behrens在1929年从实际应用中提出的问题，它的几种特殊情况已经得到解决.但一般情况没有简单、精确的解法.Fisher首先研究了这个问题，并对一般情况给出近似的解法例4.2.7在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为仪器设备的测量方差为σ2=0.0225已知.试分析两个路线上的电压差的置信水平为95%的置信区间.第一条路线40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二条路线61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，这个问题是一个方差已知的均值差置信区间的构造问题.两个样本的样本容量n=m=5.均值差

2−

1的置信水平1−α的置信区间为通过计算及查表可以获得令X1,X2,…,X5表示第一条路线的样本来自正态分布N(μ1,0.152)，Y1,Y2

,…,Y5

表示第二条路线的样本来自正态分布N(μ2,0.152)，代入数据计算得到例4.2.8在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为仪器设备的测量方差未知.试分析两个路线上的电压差的置信水平为95%的置信区间.第一条路线40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二条路线61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，这个问题是一个方差未知但相等的均值差置信区间的构造问题.均值差

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为通过计算及查表可以获得代入数据计算得到待估参数条件枢轴量及其分布置信区间

2−

1未知但m=n两个正态总体均值差的置信区间(置信水平为1-α)在实际中，我们也经常会碰到比较两个总体方差的问题.例如，流水线设备进行升级换代以后，生产的产品指标的一致性之间的差异比较问题.同样，在方差比置信区间的构造问题中，均值是讨厌参数，我们也需要分情况来进行讨论.我们分两种情况讨论方差比σ12/σ22的置信水平为1−α的置信区间.设X1,X2,…,Xm是来自正态总体N(μ1,σ12)的样本，Y1,Y2

,…,Yn是来自正态总体N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立分别表示两个样本的样本均值和样本方差4.2.5两个正态总体方差比的置信区间记和显然由于和相互独立，因此一

均值

1和

2均已知，求σ12/σ22

的置信区间.由于F的表达式与

12/

22有关，但是其分布与

12/

22无关.取F作为枢轴量.对于给定置信水平1-α,找c1和c2使得满足上式的c1和c2有无穷对，其中有一对c1和c2