《培养学生数学思维深刻性的路径探索》7000字

培养学生数学思维深刻性的路径探索目录TOC\o"1-2"\h\u23211培养学生数学思维深刻性的路径探索 1192401引言 1267702理论基础 2153312.1概念界定 258102.2模型构建 3168123深刻性思维品质的培养策略 485673.1知识的形成：注重概念教学，挖掘思维的深度 4263994.2知识的完善：构建“导图—解题”网，拓宽思维的广度 544794.3知识的拓展：重视一题多变，形成思维的梯度 7248394.4知识的升华：渗透思想文化，形成思维的厚度 7108755总结 929958参考文献 9摘要：数学深刻性思维品质是一切思维品质的基础，反映了学生触及问题的深入程度。数学抽象又是数学学科素养中最重要的素养，是数学最基本的思维方式。它们二者紧密联系，思维的深刻性可以看成是抽象思维特征的一个重要体现。因此，文章从思维的深度、广度、梯度、厚度四个方面进行思考，并提出了与之对应的四条教学策略，探讨了如何在抽象素养观下发展学生思维的方法。关键词：抽象素养；数学思维；四思四行；策略1引言数学学科核心素养是核心素养体系在数学学科中的渗透，反映了我国人才培养的质量以及数学学科的教育水平。它包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象以及数据分析。思维品质一般是指思维的深刻性、广阔性、敏捷性、灵活性、批判性和独创性。这些思维品质反映在数学思维上就形成了数学的思维品质。关于二者的关系，学界普遍认可数学思维品质对数学学科素养具有积极的促进作用。郑毓信认为：“应将思维的发展看成数学核心素养的基本涵义。”[3]张奠宙认为：“数学核心素养可以界定为‘精准智能思维与行为的养成’，如果用一个关键词来概括数学思维的特征，那就是‘精准思维’。”[4]《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也明确指出：“数学学科核心素养是是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现。”[5]由此可见，数学思维品质是数学学科素养的重要组成部分，发展数学思维品质能够有效促进学生数学学科素养的形成。尽管以思维品质促进学科素养的观点在理论上具有可行性，人们也对此进行了大量研究并取得一定研究成果，但是，如何突破实践操作上的困难，在课堂教学活动过程中加以应用，这方面的文章仍旧比较匮乏，并且大多是对思维品质和学科素养两个整体的策略研究。因此，文章从发展学生数学素养的目的出发，考虑到教学实际上就是帮助学生在学习数学的过程中掌握这一学科的关键能力，要做到这一点，学生就需要具备洞悉事物本质的眼光和能力，而这恰恰与思维的深刻性品质和数学抽象能力不谋而合。数学深刻性思维品质是一切思维品质的基础，反映了学生触及问题的深入程度。数学抽象又是数学学科素养中最重要的素养，是数学最基本的思维方式，反映了数学的本质特征。它们二者紧密联系，思维的深刻性可以看成是抽象思维特征的一个重要体现，因此，思维的深刻性是抽象思维能力培养中必须要关注的环节。基于上述分析，文章从思维的深度、思维的广度、思维的梯度以及思维的厚度四个方面进行思考，初步构建了以促进学生思维的深刻性为目的，并最终指向数学抽象素养形成的框架模型，并在此基础上，提出了与之对应的四条教学策略，以期望能够为数学课堂中思维品质的真正落实、核心素养的真正落地提供一条清晰且具有实际操作性的解决路径。2理论基础2.1概念界定数学抽象是学生形成理性思维的先决条件，对提升学生数学思维能力具有重要意义。要理解它，就要先明白何为抽象？何为数学抽象？“抽象”起初是来自拉丁语“abstractio”，表示排除、抽出的意思。《辞海》中将“抽象”定义为：从许多事物中，舍弃个别的、非本质属性，抽象出共同的、本质属性的思维过程。数学抽象作为一种特殊的抽象，它的研究对象是数学中的数量关系和空间形式，类比抽象的产生路径，数学抽象也是一个有舍有得的过程，舍去事物外在之物理属性，得到数学对象之本质规律。因此，数学抽象素养可以理解成培养学生数学抽象能力的素养，这种能力的形成表现为：能够形成数学的概念和法则；能够形成命题和建立模型；能够形成数学基本思想方法；能够形成数学的理论体系等等。数学深刻性思维品质又是一切思维品质的基础。徐利治教授指出：“透视本质的能力是构成创造力的一个因素。”[6]透视本质的能力即是我们通常所说的思维的深刻性，它反映了学生触及问题的深入程度。思维越深刻，越容易脱离常规方法的束缚，理解不同问题、解法之间的本质区别和联系，这样也就能从整体上把握问题本质，促进思维的灵活性、敏捷性、独创性等其他思维品质的合力发展。推动促进“深刻性”思维品质数学抽象素养关于二者之间的关系，史宁中教授曾经指出：“真正的知识是来源于感性的经验、通过直观和抽象而得到的，并且，这种抽象是不能独立于人的思维而存在的。”[7]推动促进“深刻性”思维品质数学抽象素养图SEQ图\*ARABIC12.2模型构建时至今日，我们可以发现有许多看似非常“顺畅”的课堂，学生学习结束后却收获甚微，因为他们的思维仍然止步于表层的认识，得不到深入，长此以往，学生终将如“大浪淘沙”一样，被这个时代所抛弃。因此，发展学生思维的深刻性成为一个必然趋势，教师在教学活动中就要有意识地去培养学生思维的深刻性，如何去培养？文章基于思维的四个“度”，构建了图2的“深刻性——抽象素养”思维模型。深度深度梯度梯度厚度厚度数学概念数学概念广度 广度图SEQ图\*ARABIC2该模型构建了以思维的广度、深度、厚度、梯度为一体的“四位一体”框架模型。首先，以思维的广度铺设形成二维平面，又以思维的深度朝纵向发展形成三维立体结构，然后，在纵深发展过程中，还要保证思维的梯度，实现思维的螺旋上升，同时，融入数学文化，充实思维的厚度。该模型以促进学生思维的深刻性为目的，并最终指向数学抽象素养的形成。在此大框架下，又对如何实现思维四个“度”的问题进行进一步的探索。我们认为，该模型立足一个交点：数学概念。因为数学中的“双基”可以看作是数学思维构建的基础，而绝大部分数学知识本身就是由一些基本概念组合发展而来的，所以，我们将基本的数学概念作为思维发展的原点有其合理性。起点的选择确定了，思维的发展也就有了具体的落脚点，即通过挖掘概念的本质特征实现思维的深度、通过一题多变实现思维的梯度、通过数学知识的网络建构实现思维的广度、通过提炼数学思想方法、体会数学文化魅力实现思维的厚度。3深刻性思维品质的培养策略3.1知识的形成：注重概念教学，挖掘思维的深度学生对概念本质理解的程度决定了学生思维的深浅程度。概念的理解是在对概念内容高度凝练、抽象概括后再重新还原、解剖和分析的过程。可事实上，教师最容易忽视的恰恰也是概念的探索，教学由于时间的限制等因素，教师往往就省略了这个步骤，导致在一开始就没有将概念“是什么”和“为什么”讲清、讲透，这样一来，学生思维得不到深度延伸，学生对概念的理解仍然处于肤浅的认识。因此，教师在教学中需要注意引导学生经历对事物属性经过抽象概括提炼成概念的过程，从类似这样的揭示知识发生过程中促进思维的纵深发展。以高中函数概念生成为例，要理解函数本质，根本上要回答两个问题：一是学生如何从初中函数的变量说过渡到高中函数的对应说，突破认知瓶颈；二是教师如何设计教学帮助学生从集合的角度抽象出函数概念。阶段1回答“为什么要建立函数概念”的问题这个阶段，教师可以结合函数概念的历史发展过程实施教学。古往今来，许多数学家和数学教育家都对函数赋予了自己的见解，教师可以通过相关阅读材料的展示，重现问题发生的情境，让学生循着数学家的足迹去了解函数概念的历史发展脉络，对“为什么”能够心中有数。阶段2回答“怎么建立函数概念”的问题情境图3是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图，表示空气质量指数，表示这一天内的任意时刻。图SEQ图\*ARABIC3问题1你认为这里的是的函数吗？问题2上述情境中有变量吗？有几个变量？变量之间有什么关系？问题3你能用集合的语言去表示这两个变量吗？问题4你能用集合的语言去表示这种对应关系吗？问题5结合刚才对函数本质的概括，你能用自己的话阐述函数概念吗？高中函数的本质是两个数集之间的对应。教师通过生活实例先让学生感知函数自变量和因变量之间的对应关系，然后结合学生刚刚学习过的集合语言对变量及变量之间的关系作出描述，最后顺利建立高中的函数概念。4.2知识的完善：构建“导图—解题”网，拓宽思维的广度从思维的深刻性角度来看，思维面的广度在一定程度上能够促进学生对事物本质的深刻认识。布鲁纳曾经说过：“不论我们教什么，务必使学生理解该学科的结构。”同时，构建数学知识网络也与国际数学教育界所提倡的“联系的观点”不谋而合。数学知识体系作为一个大系统，知识与知识之间有着错综复杂的千丝万缕的联系，如果学生对各知识之间的纵横关系有一个整体性认识，那么，学生在问题解决时也就能够更好的由此及彼，推动思维的深刻性发展。拓宽思维广度，落实到真实的课堂教学活动中，我们认为，首先，教师可以借助外显的思维导图帮助和引导学生建构他们自己的知识结构网，在思维导图的整理过程中，学生通过串点成线、织线成面实现对零散知识的归一，有利于学生形成对知识的整体认识，这是学生的第一次思维发散；但是，它也存在弊端，教学上比较明显的表现为学生“懂而不会”，学生能够侃侃而谈的说起求单调性有几种方法，真正解题时却无从下手。因此，学生头脑中建构的知识框架必须落地生根，通过一题多解、多题一解等教学手段进行检验、强化、拓展，这是第二次思维发散；最后，学生将通过解题训练获得的活动经验纳入已有的知识框架，作为补充与完善。前者是后者的准备基础，后者是前者的深化拓展，但二者对学生思维的广度都有积极的促进作用（如图4）。思维导图思维导图一题多解思维导图第一次发散第二次发散图SEQ图\*ARABIC4现在，以“函数的基本性质”为例，对上述思维的两次发散过程作如下分析：阶段1知“梳”达理，活用思维导图“函数的基本性质”是在学生学习了函数概念后对函数性质的继续研究，是函数概念的延续和拓展，同时，它又为后续指数函数、对数函数、三角函数内容的学习奠定基础。因此，这也从侧面反映出这一节内容绝不是孤立存在的，在教学过程中，教师需要引导学生用思维导图建构起自己的知识网络，对知识进行前后梳理，从而达到有理可依、有理可据。图SEQ图\*ARABIC5“学法指导”思维导图阶段2落地生根，依托一题多解“一题多解”就是以原题为中心，向它蕴含的方方面面进行拓展和深化，揭示数学概念的本质属性和非本质属性[8]。事实上，即使学生面前放着同一道问题，但是，由于学生的数学思维有所差异，思考问题的角度有所侧重，他们采取的解题方法自然有所不同，这也是为什么有的时候学生的奇思妙想会让一道题遍地开花。通过“一题多解”教学方式，不仅能够加深学生对问题的理解和认识，而且能够帮助学生学会全面地观察问题，运用多方经验寻求问题的最优解，提升学生的发散思维能力。例如，对于如下问题：问题已知函数，，求的最小值。这道题的目的是让学生结合单调性求函数的最值问题，学生如果只是凭借思维导图明了证明函数（非复合函数）单调性理论上有三种方法，却不进行实地操作，他不会知道这几种解法在思维上的区别与联系，没有对比，便不会知道解决此类问题的最优方案其实是数形结合法和导数法。方法一（定义法）在定义域内，任取两点、，不妨设，∵，，∴.又∵，但与0的大小无法确定，∴原函数在上的单调性不易判断。∴此方法解题存在较大困难。方法二（导数法）先利用导数方法判断的单调递增区间是，单调递减区间是，再考虑区间的两个端点，可知：当时函数取得最小值。方法三（图像法）借助二次函数图像，通过数形结合可以直观看出原函数在上的单调性，进而容易判断出函数在时有最小值。图SEQ图\*ARABIC6通过一题多解以及生生交流、师生对话等活动，学生实现第二次思维发散，同时，学生也能将解题过程中获得的直接经验纳入进原来的知识结构中去，不仅知道证明函数单调性有几种方法，还知道最优解法是什么，知其然更知其所以然，达到完善知识、发散思维、提升思维的广度的目的。4.3知识的拓展：重视一题多变，形成思维的梯度所谓一题多变，是指通过对问题的条件或者结论进行变更，从而产生多种类型，引导学生从多角度、多层次探究问题的一种教学方式。它从问题题根开始，在学生最近发展区内设置新的问题，然后新知变旧知、旧知促新知，从而使变化了的问题梯度分明、层次清晰。同时，也正是因为这种“多变性”，在解题训练过程中，教师更需要注重培养学生的“应变”能力，包括“变中发现不变”的洞悉问题本质的能力以及“以不变应万变”的解题能力，在变式中实现思维的梯度生长，提升学生对问题的深刻理解。比如，对于下面的变式：问题已知的定义域为，求的取值范围。变式1已知的定义域为，求的取值范围。变式2已知的定义域为，求的取值范围。变式3已知函数定义域为，值域为，求，的值。通过对比和分析，例3和变式1-3变化的是函数的形式，不变的是对任意的，不等式恒成立问题，但变式之间又梯度分明，难度螺旋上升。通过诸如此类的变式训练，学生思维在层次鲜明的基础上又能朝纵深发展。4.4知识的升华：渗透思想文化，形成思维的厚度当数学文化成为滋养数学课堂的沃土，学生感受数学文化魅力的过程就已经开始触及到数学的本质。一堂有意义的数学课只是知识的“输入-输出”必然不够，学生追根溯源的过程是否能够与之产生共鸣才是学生思维走向深刻的关键。更何况，在高考试卷中我们经常能够看见以数学文化为背景的试题，比如毕达哥拉斯研究的形数、斐波那契数列、《九章算术》中“竹九节”“开立方圆”“天池盆测雨”等问题，说明今天的教育也愈发重视学生在数学学科上所表现出来的数学文化素养，因此，教师需要在教学中有意识的渗透数学思想文化，形成思维的厚度，方能保证思维深刻的长盛不衰。以“数系的扩充”为例，学生要深刻理解复数的概念，实现由实数向复数的扩充，关键是要让学生体会虚数单位的形成、发展过程，而数的发展本身就有着丰富的文化内涵，教师如果视而不见，那么最终呈现的教学就是“外强中干”，空有形式，抓不到本质。阶段1提炼问题本质，形成抽象思想问题将10分成两部分，使两者的乘积等于40，则这两个数分别是多少？数学史片段1事实上，这个问题正是16世纪意大利数学家卡丹遇到的问题，当时他正在研究数的拆分。然而，作为一名数学家，他发现这样一个简单的方程没有解。他并不甘心，希望通过自己深入的研究来解决这个问题。“卡当问题”的引入，让学生面临与数学家一样的困难，即方程在实数范围内无解。学生解决问题的关键就是弄清楚现有问题与传统观念的冲突是什么，即提炼问题本质，这个过程实质上就是对问题本质进行抽象概括。阶段2回顾数系扩充，体会数学文化为了解决学生思维上“负数不能开平方”的矛盾，让方程有解，就必须扩充数的范围，于是，使“学生回顾数系扩充历程”这一教学活动就可以顺势展开。问题组问题1在过去的学习过程中有没有遇到过类似的问题？问题2当时又是如何解决这些问题的呢？数学史片段2古希腊毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现无理数的历史。数学史片段3数学家欧拉首先使用表示这个新元素，并取名为虚数单位，但是，他仍认为这个新数过于虚渺，于是，就将英文imaginary的首字母定义为的一个平方根。新元素新元素新元素自然数集新元素新元素新元素自然数集整数集有理数集实数集？添加添加添加添加添加添加？？图SEQ图\*ARABIC7由问题1和问题2，学生思维得到启发，朝着这个方向通过自己的回顾总结、小组交流也能知道：数系的每一次扩充都是通过新元素的引入去回答旧数系不能回答的问题。因此，对于实数集中方程无解问题，引入新元素的过程自然水到渠成。后通过数学史片段的呈现证实数学家也是这样想、这样做的，使学生能够沿着数学家思考问题的方向思考，产生文化共鸣，理解虚数单位的深刻意义。5总结以上我们分析了如何从思维的四“度”入手去提升学生思维的深刻性、发展抽象素养，并给出了四条教学策略作为“四度”思考的实践补充。学生思维深刻性的培养是一个细水流长的过程，作为教师，一定是这个长期工程的主力军。因此，在数学课堂教学环境中，教师教学的着力点应放在如何将数学思维训练渗透在课堂教