2024-2025学年河北省邢台市高三上册第一次联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年河北省邢台市高三上学期第一次联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知数列an，，且，则（

）A． B．2 C．−2 D．3．已知向量，，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．4．已知，，则（

）A． B． C． D．5．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（

）A． B． C． D．6．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．7．已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（

）A．0 B．1 C．-2 D．-18．已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数z满足，则下列说法正确的是（

）A．z的虚部为iB．C．若复数，满足，且，则D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π10．设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（

）A． B．C．为周期函数 D．11．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若∥平面，则动点的轨迹是一条长为的线段B．存在点，使得⊥平面C．三棱锥的最大体积为D．若，且与平面所成的角为，则的最大值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若，则．13．已知点是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于14．若函数在上有两个零点，则m的取值范围是．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）数列满足：，；设(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求的前项和.16.（本小题15分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上（含50）2575100合计65135200(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．18.（本小题17分）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.(1)求的方程；(2)求弦的长（用表示）；(3)若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.19.（本小题17分）已知函数.(1)当时，求函数的极值；(2)若函数有唯一的极值点.①求实数取值范围；②证明.2024-2025学年河北省邢台市高三上学期第一次联考数学检测试题注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知，则（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】由，所以，所以，故选：A2．已知数列an，，且，则（

）A． B．2 C．−2 D．【正确答案】A【详解】根据题意，，则，所以数列an是周期为的数列，则.故选：A3．已知向量，，则在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】向量在向量上的投影向量为.故选：A.4．已知，，则（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】，即，即，即，即，即，即，又，解得：，(舍)，.故选：B.5．据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如⊥‖表示62，＝T表示26，现有6根算筹，据此表示方式任意表示两位数（算筹不剩余且个位不为0），则这个两位数不小于50的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】根据题意可知：一共6根算筹，十位和个位上可用的算筹可以分为一共五类情况；第一类：，即十位用5根算筹，个位用1根算筹，那十位可能是5或者9，个位为1，则两位数为51或者91；第二类：，即十位用4根算筹，个位用2根算筹，那十位可能是4或者8，个位可能为2或者6，故两位数可能42，46，82，86；第三类：，即十位用3根算筹，个位用3根算筹，那么十位可能是3或者7，个位可能为3或者7，故两位数可能是33，37，73，77；第四类：，即十位用2根算筹，个位用4根算筹，那么十位为2或6，个位可能为4或者8，则该两位数为24或者28或者64或者68，第五类：，即十位用1根算筹，个位用5根算筹，那十位是1，个位为5或者9，则两位数为15或者19；综上可知：用6根算筹组成的满足题意的所有的两位数有：15，19，24，28，33，37，42，46，51，64，68，73，77，82，86，91共计16个，则不小于50的有：51，64，68，73，77，82，86，91共计8个，故概率为，故选：B.6．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【正确答案】A【详解】，法一：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，的最小值为.故选：A.法二：，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，的最小值为.故选：A.7．已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（

）A．0 B．1 C．-2 D．-1【正确答案】A【详解】设，由求导得，则直线方程为，即，同理可得直线的方程为，联立直线与直线的方程可得，由点在直线上，得，即故选：A．8．已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】函数的定义域为，，令，可得或（舍），当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，又因为函在内有最小值，故，解得，所以的取值范围是.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知复数z满足，则下列说法正确的是（

）A．z的虚部为iB．C．若复数，满足，且，则D．若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为2π【正确答案】BD【详解】，虚部为1，选项A不正确；，，∴选项B正确；，则，设，则，∴，∴选项C错误；∵，∴在复平面内对应的点是以在复平面内对应的点为圆心，半径的圆，∴在复平面内对应的点构成图形的面积为2π，选项D正确.故选：BD10．设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有(为常数)，，则（

）A． B．C．为周期函数 D．【正确答案】BCD【详解】对于A，在中，且，都是定义在上的奇函数，令得，则，又为单调函数，则有，即，所以，所以，所以A错误；对于B，由，且得，所以B正确；对于C，设，则由，可得，所以，所以，即为周期函数，所以C正确；对于D，由，得，即，所以为等差数列，且，即，故，从而.所以D正确.故选：BCD.11．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是（

）A．若∥平面，则动点的轨迹是一条长为的线段B．存在点，使得⊥平面C．三棱锥的最大体积为D．若，且与平面所成的角为，则的最大值为【正确答案】ACD【详解】对于A中，如图所示，分别在取点，使得，可得，因为，所以，因为平面，平面，所以平面，又由，且平面，平面，所以平面，又因为，且平面，所以平面平面，且平面平面，若平面，则动点的轨迹为线段，且，所以A正确；对于B中，以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设，可得，设是平面的一个法向量，则，取，可得，所以，若平面，则，所以存在，使得，则，所以不存在点，使得平面，所以B错误；对于C中，由，可得，则，所以，所以,要使得三棱锥的体积最大，只需点到平面的距离最大，由，可得点到平面的距离，因为，所以当时，即点与点重合时，可得，所以三棱锥的最大体积为，所以C正确；对于D中，在正方体中，可得平面，且平面，所以，则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，则，所以，即，又由，设与平面所成的角，所以，因为，可得，当且仅当时，等号成立，所以，即时，与平面所成的角最大值，的最大值为，D正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．若，则．【正确答案】240【详解】设，则.令得.故24013．已知点是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于【正确答案】【详解】因为是中点，即是的中位线，则，可得，，又因为，则，，关系则，所以双曲线的离心率是.故答案为.14．若函数在上有两个零点，则m的取值范围是．【正确答案】【详解】令函数，由，得，当，即时，函数单调递增，函数值从增大到，当，即时，函数单调递减，函数值从减小到，由，得，函数有两个零点，即直线与函数在上的图象有两个交点，则，所以m的取值范围是.故四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）数列满足：，；设(1)证明是等比数列，并求的通项公式；(2)求的前项和.【正确答案】(1)证明见解析，(2)【详解】（1）由题意知，则，即，又，则，故是首项为2，公比为2的等比数列，故，即；（2）由于，故.16.（本小题15分）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕.人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列.某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取200人进行调查，得到如下列联表：年龄周平均锻炼时长合计周平均锻炼时间少于4小时周平均锻炼时间不少于4小时50岁以下406010050岁以上（含50）2575100合计65135200(1)试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到0.001；(2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时，用分层随机抽样法抽取5人做进一步访谈，再从这5人中随机抽取3人填写调查问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于4小时的人数为，求的分布列和数学期望.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式及数据：，其中.【正确答案】(1)有关联(2)分布列见解析，【详解】（1）零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联.由列联表中的数据，可得，.根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于.所以50岁以下和50岁以上（含50）周平均锻炼时长有差异.（2）抽取的5人中，周平均锻炼时长少于4小时的有人，不少于4小时的有人，所以所有可能的取值为，所以，，，所以随机变量的分布列为：123随机变量的数学期望17.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

(1)证明：平面平面；(2)若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．(3)点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【详解】（1）由平面，平面，平面，得，，与底面所成角为．所以三角形为等腰直角三角形，．又由四边形是直角梯形，，可知，所以为等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．则有，所以．又因为，，平面，平面．所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因为T是的中点，点M是的中点，所以，．设平面的法向量为，，，则，得，取，则，得平面的一个法向量为，而,所以点P到平面的距离为．（3）设，注意到A0,0,0，所以，所以，设，注意到P0,0,1，所以，因为A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，则当且仅当，即当且仅当，此时，综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面.18.（本小题17分）已知椭圆的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为.(1)求的方程；(2)求弦的长（用表示）；(3)若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值.【正确答案】(1)(2)答案见解析(3)【详解