2024-2025学年河北省唐山市丰南区高三上册10月月考数学检测试卷（含解析）

2024-2025学年河北省唐山市丰南区高三上学期10月月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（）A. B. C. D.3.命题的否定为（）A. B.C. D.4.“或”是“幂函数在上是减函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数的部分图象大致为（）．A. B.C. D.6.定义在R上奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（）A. B. C. D.7.函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的范围是（）A. B.C. D.8.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A. B.C D.10.已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（）A.的图象的一条对称轴是直线 B.当时，C.函数有3个零点 D.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是B.若函数有3个零点，则实数的取值范围是C.设函数的3个零点分别是，则的取值范围是D.存在实数，使函数在内有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的单调增区间为_______．13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.14.对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知中，a，b，c分别为角A，B，C对边，.（1）求角C大小；（2）若，且的面积为，求的周长.16.设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）17.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？18.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，（1）求证：//平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．19.已知函数.（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若恰有两个极值点，.（i）求的取值范围；（ii）证明.2024-2025学年河北省唐山市丰南区高三上学期10月月考数学检测试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】解一元二次不等式可求得，再结合集合的特征即可计算得出结果.【详解】解不等式可得，又可得只有当时，的取值分别为在集合中，所以.故选：C2.设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的实部概念得解.【详解】因为，所以复数的实部为，故选：D3.命题的否定为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据命题的否定的定义即可求解.【详解】命题的否定为.故选：B.4.“或”是“幂函数在上是减函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系【详解】因为是幂函数且在上是减函数，故，故，故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，故选：B.5.函数的部分图象大致为（）．A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据题意，得到函数为奇函数，排除B、C，再由时，，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以B、C不符合题意；又由当时，，所以，所以A不符合题意，D符合题意.故选：D.6.定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则a,b,c的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案.【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有，所以在R上单调递增，又因为，所以，又因，，所以，所以即.故选：C.7.函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的范围是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用导数求的取值范围，利用二次函数的性质求的取值范围，依题意有，解不等式得实数a的范围.【详解】函数，因为，，所以f′x≥0，故在上单调递增，所以.又，所以在上也是单调递增，所以.因为对任意的，总存在，使成立，等价于，所以，解得，故实数a的范围是.故选：D.8.若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案.【详解】由可得，即，当时，，不等式在上显然成立；当时，令，则在上恒成立，由，在上，所以在上单调递增，又时，，，所以只需在上恒成立，即恒成立．令，则，即在上单调递增，其中，故，所以此时有．综上，．故选：C．导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是不等式变形为，从而构造进行求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】根据给定条件，利用偶函数定义及函数单调性逐项判断即得.【详解】对于A，函数定义域为，不是偶函数，A不是；对于B，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，B是；对于C，函数定义域为R，，是偶函数，且在上单调递增，C是；对于D，函数定义域为R，而，不是偶函数，D不是.故选：BC10.已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是（）A.图象的一条对称轴是直线 B.当时，C.函数有3个零点 D.【正确答案】ACD【分析】由条件结合奇函数的性质和偶函数的性质列关系式，得对称性判断选项A；由函数单调性判断选项B；利用函数图象交点个数得零点个数判断选项C；由周期性结合对称性求函数值判断选项D；周期性结合函数的性质求函数值的和判断选项D.【详解】对于A：由于是偶函数，因此可以得到，用替换可以得到，则的对称轴为，选项A正确；对于B：当时，显然是一个增函数，此时，因此，选项B错误；对于C：由于是奇函数，因此可以得到，则，因此，故，因此，则，则4是函数的周期.当x∈0,1时，是一个向下凹的曲线，在的下方，容易知道是两者一个交点的横坐标，由于是的对称轴，因此当时，，由于，因此当时，，而4是函数的周期，因此当时，y=fx和无交点.由于，且4是函数的周期，因此，进一步得到，因此，故是奇函数，而也是奇函数，因此当时两者也只有一个交点，显然是它们一个交点的横坐标，故总共有三个交点，即y=gx有三个零点，选项C正确.对于D：由于，因此，有.则，D选项正确.故选：ACD.11.设函数，则下列说法正确的是（）A.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是B.若函数有3个零点，则实数的取值范围是C.设函数的3个零点分别是，则的取值范围是D.存在实数，使函数在内有最小值【正确答案】BC【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，可判定A错误；令，结合指数函数与二次函数的性质，可判定B正确；设函数的3个零点分别是，得到，令，利用导数求得函数的单调性和最值，可判定C正确；当时，函数，根据二次函数的性质，和指数函数的单调性，列出不等式组，可判定D不正确.【详解】对于A中，由函数，要使得在上单调递增，则，即，所以，所以A错误；对于B中，令，当时，可得，若函数有3个零点，则需有一个零点，则；当时，可得，若函数有3个零点，则需有两个不等的负实根，则满足，解得，所以若函数有3个零点，则的取值范围是，所以B正确.对于C中，设函数的3个零点分别是，则，可得，令，可得，则在上单调递减，所以，当趋近于时，趋近于负无穷大，则函数的取值范围为，即的取值范围是，所以C正确；对于D中，当时，函数是开口向下的二次函数，故函数只能在两边端点处取得最小值；当时，函数单调递增，所以，要使函数在内有最小值，即，即，故无解，所以不存在，所以D不正确.故选：BC.方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，则的单调增区间为_______．【正确答案】##【分析】求出函数的导数，再解导函数大于0的不等式即可.【详解】函数的定义域为，求导得，由，得，所以的单调增区间为.故13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数______.【正确答案】【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得.【详解】对于，易知，切线斜率为，切点为0,1；则曲线在处的切线为，显然，设切点，由，解得.故214.对于函数和，设，，若存在使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围为_____________．【正确答案】【分析】首先求出函数的零点，从而得，结合新定义可得，则，从而可知方程在区间上存在实数根，通过分离参数并化简整理得，结合函数的单调性求出值域，从而确定实数的取值范围.【详解】函数是上的单调递增函数，且，据此可知，结合“零点相邻函数”的定义可得，则，据此可知函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，整理可得：，令，则，根据对勾函数的性质，函数在区间上单调递减，在上单调递增，又，，则据此可知实数的取值范围是.故方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，.（1）求角C的大小；（2）若，且的面积为，求的周长.【正确答案】（1）；（2）.【分析】（1）首先根据正弦定理角化边公式得到，再利用余弦定理求解即可.（2）首先根据三角形面积得到，利用余弦定理得到，即可得到三角形的周长.【详解】（1）因为由正弦定理可得，即.由余弦定理知又因，所以；（2），的面积，即，所以，所以，即.所以的周长为.16.设等差数列前n项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．（1）求，的通项公式；（2）设，求数列的前21项的和．（答案可保留指数幂的形式）【正确答案】（1），；（2）.【分析】(1)设等差数列公差d，正项等比数列公比q，根据给定条件列出方程组求解即可作答.(2)利用分组求和方法分别求出等差数列前11个奇数项的和，等比数列前10个偶数项的和即可计算作答.【小问1详解】设等差数列公差为d，正项等比数列公比为q(q>0)，依题意，，解得，所以数列的通项公式为，数列的通项公式为.【小问2详解】由(1)知，，数列是等差数列，首项为2，公差为4，，数列是等比数列，首项为4，公比为4，而，数列的前21项的和：，所以数列的前21项的和为.17.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.（1）求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【正确答案】（1）（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.【小问1详解】当时，，当时,，所以.【小问2详解】当时，,∴当时，，当时,,当且仅当，即时，，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.18.如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，（1）求证：//平面；（2）求平面与平面所成夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，然后用线面平行的判定解决；（2）利用二面角的定义，作出二面角的平面角后进行求解；（3）方法一是利用线面垂直的关系，找到垂线段的长，方法二无需找垂线段长，直接利用等体积法求解【小问1详解】连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且，由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，又平面，平面，于是//