2024-2025学年广东省五校高三上册10月联考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年广东省五校高三上学期10月联考数学检测试题说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.下列函数为奇函数的是（）A B. C. D.3.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（）A. B. C. D.5.已知，且，则函数的图象一定经过（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限6.设，，，则（）A. B. C. D.7.已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（）A. B. C. D.8.设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（）A B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.只有1个零点 B.在单调递增C.曲线在点处切线的斜率为 D.是偶函数10.若x，y满足，则（）A. B.C. D.11.若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（）A B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则______．13.设f(x)是定义域为的奇函数，且.若，则_______14.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．16.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的最大值和最小值．17.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.18.已知函数.（1）讨论单调性；（2）当时，证明.19.已知函数，，其中为实数.（1）求的极值；（2）若有4个零点，求的取值范围.2024-2025学年广东省五校高三上学期10月联考数学检测试题说明：本试题共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】首先分别求解出、两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可.【详解】由于，故，，，即，故，因此，即.故选：C2.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据函数奇偶性的定义逐个判断即可.【详解】对于A，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数，故A错误；对于B，定义域为，因为，所以此函数为偶函数，故B错误；对于C，定义域为0,+∞所以此函数为非奇非偶函数，故C错误；对于D，定义域为，因为，所以此函数为奇函数，故D正确.故选：D.3.已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.4.已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】化简即可得对称中心.【详解】因为，所以函数的图象关于点对称.故选：C5.已知，且，则函数的图象一定经过（）A.一、二象限 B.一、三象限 C.二、四象限 D.三、四象限【正确答案】D【分析】由函数过点，分类可解.【详解】当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限；则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D6.设，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】构造函数，利用导数探讨单调性并比较，再利用对数函数单调性比较大小即得.【详解】当时，令，求导得，则函数在上单调递增，有，即有，因此，显然，所以.故选：D7.已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解.【详解】由，得到，令，则，对称轴，当时，取得最大值，最大值为，当时，取得最小值，最小值为，所以的最大值和最小值分别是，，故选：B.8.设函数，若方程有个不同的实根，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】令，将问题转化为与有个不同的交点；结合导数可求得单调性，由此可得的图象，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】令；方程有个不同的实根等价于与有个不同的交点；当时，，则当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；则可得图象如下图所示，由图象可知：当时，与有个不同的交点；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.思路点睛：本题考查根据方程根的个数求解参数范围的问题，解题基本思路是将问题转化为两函数图象交点个数的问题，作出函数图象，采用数形结合的方式确定参数范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数，则（）A.只有1个零点 B.单调递增C.曲线在点处切线的斜率为 D.是偶函数【正确答案】ABC【分析】利用导数与函数的单调性间的关系，求出的单调区间，即可判断出选项B的正误；选项A，由，再结合函数的单调性，即可判断出选项A的正误；选项C，利用导数的几何意义，即可求解；选项D，利用函数奇偶性的判断方法，即可求解.【详解】易知定义域为，又，令，则在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，又，所以时，gx<0，时，gx即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以选项B正确，对于选项A，因，所以只有1个零点，故选项A正确，对于选项C，因为，所以曲线y=fx在点处切线的斜率为，故选项C正确，对于选项D，因为函数定义域为，不关于原点对称，所以非奇非偶函数，故选项D错误，故选：ABC.10若x，y满足，则（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．11.若正实数，满足，则下列不等式中可能成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】AC【分析】依题意可得，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，再令，利用导数说明，即，从而得到，当且仅当时取等号，即可判断.【详解】解：因为，所以，因为，所以，则，令，，则，所以在上单调递增，由，可得，令，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则，即当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，又，所以，当且仅当时取等号，当时或，结合与的图象也可得到所以或.

故选：AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知，，则______．【正确答案】##【分析】根据同角的平方关系求出，结合诱导公式计算即可求解.【详解】因为，所以，所以.故13.设f(x)是定义域为的奇函数，且.若，则_______【正确答案】【分析】求得的周期性，利用函数周期性结合已知条件，求函数值即可.【详解】因为是定义域为的奇函数，则，则，故是的周期，故.故答案为.14.已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.【正确答案】【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，，因此，即，解得，所以不等式的解集为.故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【详解】试题分析：（Ⅰ)先利用二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求周期（Ⅱ)，在（Ⅰ)的基础上，利用正弦函数性质求最值试题解析：（Ⅰ)（1)的最小正周期为；（2)，当时，取得最小值为：考点：二倍角公式、配角公式16.已知函数，．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的最大值和最小值．【正确答案】（1）（2）最大值为6，最小值为【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解；（2）利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值.【小问1详解】由题意知，，则，又，所以切点为，所以曲线在点处的切线方程为，即.【小问2详解】，令或，所以在上单调递减，在上单调递增，故在上的极大值为，极小值为，又，所以在上的最大值为6，最小值为.17.在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的概率．（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【正确答案】（1）（2）见解析【详解】（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，计算即得(II)由题意知X可取的值为.利用超几何分布概率计算公式得X的分布列为X01234P进一步计算X的数学期望.试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件为M，则(II)由题意知X可取的值为.则因此X的分布列为X01234PX的数学期望是=【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.18.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明.【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在(0,+∞)单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1，利用导数易得，即得证.【详解】（1）的定义域为（0，+），.若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.若a＜0，则当时，时；当x∈时，.故f（x）在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.所以等价于，即.设g（x）=lnx-x+1，则.当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.利用导数证明不等式的常见类型及