四川省达州市2024-2025学年高二上册第一次月考数学检测试题合集2套（含解析）

四川省达州市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．某中学为了了解500名学生的身高，从中抽取了30名学生的身高进行统计分析，在这个问题中，500名学生身高的全体是（

）A．总体 B．个体 C．从总体中抽取的一个样本 D．样本的容量2．如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（

）

A． B． C． D．3．设，向量，，且，，则（

）A． B． C．3 D．44．有一组样本数据，，，，由这组样本得到新样本数据，，，，其中，则（

）A．，，，的中位数为，则，，，的中位数为B．，，，的平均数为，则，，，的平均数为C．，，，的方差为，则，，，的方差为D．，，，的极差为，则，，，的极差为5．下列说法正确的是（

）A．若，则事件与事件是对立事件B．事件与事件中至少有一个发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率大C．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为D．若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立6．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（

）

A．A，B两个盒子并联后FG段畅通的概率为B．D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为C．C，D，E三个盒子混联后GK段畅通的概率为D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率8．如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则（

）

A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元10．下列说法正确的是（

）A．用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则每个个体被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则这组数据的中位数是5C．已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，则小明成绩是全班数学成绩的第20百分位数D．甲班和乙班各有学生20人、40人，甲班的数学成绩的平均数为80分，方差为2，乙班的数学成绩的平均数为82分，方差为4，那么甲班和乙班这60人的数学成绩的方差是311．如图，在长方体中，点P是底面内的动点，分别为中点，若，则下列说法正确的是（

）

A．最大值为1B．四棱锥的体积和表面积均不变C．若面，则点P轨迹的长为D．在棱上存在一点M，使得面面三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系中，点，点，点，则在方向上的投影向量的坐标为.13．某商场在618大促销活动中，活动规则是：满168元可以参加促销摸奖活动，甲和乙两个箱子各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．顾客首先掷一枚质地均匀的骰子，如果出现点数为1或2，顾客从甲箱子随机摸出一个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子随机摸出一个球，则摸出红球的顾客可以领取奖品，问顾客中奖率为．14．如图，几何体是以正方形ABCD的一边BC所在直线为旋转轴，其余三边旋转90°形成的面所围成的几何体，点G是圆弧的中点，点H是圆弧上的动点，，给出下列四个结论：①不存在点H，使得平面平面CEG；②存在点H，使得平面CEG；③不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于；④存在点H，使得直线DH与平而CEG所成角的正弦值为．其中所有正确结论的序号是．四、解答题（本大题共5小题）15．如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．(1)用向量，，表示向量；(2)求异面直线与所成的角的余弦值．16．第24届冬奥会于2022年2月在北京举行，志愿者的服务工作是冬奥会成功举办的重要保障．某高校承办了北京志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求a，b的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第分位数（分位数精确到0.1）；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值；(3)在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由．18．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．(1)已知．①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．(2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．19．n个有次序的实数，，…，所组成的有序数组称为一个n维向量，其中称为该向量的第i个分量.特别地，对一个n维向量，若，称为n维信号向量.设，，则和的内积定义为，且.(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量；(2)证明：不存在10个两两垂直的10维信号向量；(3)已知k个两两垂直的2024维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都是相同的，求证.

答案1．【正确答案】A根据总体、个体、样本和样本容量的知识选出正确选项.【详解】500名学生身高的全体是总体；每名学生的身高是个体；所抽取的名学生的身高是从总体中抽取的一个样本；是样本容量.故选：A2．【正确答案】B【详解】，则,则.故选：B3．【正确答案】C【分析】根据，，解得，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量，，且由得，由，得解得，所以向量，，所以，所以.故选：C.4．【正确答案】B【详解】对于，数据从小到大排列对应中位数的顺序不变，所以若，，，的中位数为，则，，，的中位数为，故不正确；对于，由平均数的计算方法与性质可知，若，，，的平均数为，则，，，的平均数为，故正确；对于，由方差的性质可知，若，，，的方差为，所以，，，的方差为，故不正确；对于，若原数据为，，，，极差为，当，则新数据为，，，，所以极差为，所以极差为，故不正确.故选.5．【正确答案】D【详解】对于A，举例事件：掷一枚骰子，掷得点数为奇数为事件，则；所掷点数大于为事件，则，，但事件与事件不是对立事件，故A错误；对于B，举例事件：抛一枚硬币，正面向上为事件，反面向上为事件，事件与事件中至少有一个发生的概率为，与中恰有一个发生的概率也为，故B错误；对于C，从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，共有，，，，，，，，种情况，其中能构成三角形的有，，三种情况，所以从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为，故C错误；对于D，若事件，相互独立，则有，又，，所以有；若，互斥，则，所以若，，则事件，相互独立与，互斥不能同时成立，故D正确.故选：D6．【正确答案】D【详解】由题意可得，设，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐标为.故选：D.7．【正确答案】D【详解】对于A，A，B两个盒子并联后FG段畅通的概率为，A错误；对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为，B错误；对于C，由选项B知，GH熔断的概率为，因此C，D，E三个盒子混联后GK段畅通的概率为，C错误；对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为不通的概率为，D正确.故选：D8．【正确答案】D【详解】由条件可知，延长与交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以∥，令，，则有，，根据向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，，．故选：D．9．【正确答案】ACD【详解】由参保险种比例图可知，丁险种参保人数比例，故A正确由参保人数比例图可知，41岁以上参保人数超过总参保人数的不到五成，B错误由不同年龄段人均参保费用图可知，周岁人群人均参保费用最少，但是这类人所占比例为，周岁以上参保人数最少比例为，周岁以上人群人均参保费用,所以18－29周岁人群参保的总费用最少，故C正确．由不同年龄段人均参保费用图可知，人均参保费用不超过5000元,故D正确故选：ACD．10．【正确答案】AB【分析】根据数据的平均数、中位数、百分位数、分层抽样的方差的计算方法逐一分析选项即可.【详解】对A，由古典概型计算公式可得每个个体被抽到的概率是，故正确；对B，已知一组数据1，2，，，8，9的平均数为5，则，即，解得，则数据的中位数为，故正确；对C，已知某班共有45人，小明在一次数学测验中成绩排名为班级第9名，将数学成绩从小到大排列，小明成绩为第36名，又由，则小明成绩的百分位数是80，故错误；对D，由题意得甲班和乙班这60人的数学成绩的平均数为，甲班和乙班这60人的数学成绩的方差为，故错误.故选.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，，当点与点重合时，，即，所以，所以，所以最大值为1，故A正确；

对于B，因为点到底面的距离为，底面面积为，所以四棱锥的体积为，是定值；当点与点重合时，四个侧面都为直角三角形，所以表面积为，

当点为上底面的中心时，连接，则，且，，此时表面积为，所以，故C错误；

对于C，取的中点，的中点，分别连接，可得，因为平面，平面，所以平面，因为平面，平面，所以平面，且，平面，所以平面平面，当时，平面，可得面，则点P轨迹为线段，此时，故C正确；

对于D，以为原点，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，所以，设，则，，，设平面的一个法向量为，所以，，令可得，设平面的一个法向量为，所以，，令可得，由，解得，满足题意，故D正确.

故选：ACD.12．【正确答案】【详解】由条件可得，，所以在方向上的投影向量的坐标为.故13．【正确答案】/0.7【详解】利用概率性质求解14．【正确答案】②③④【详解】由题意可将图形补全为一个正方体，如图所示：以点为坐标原点，,,所在的直线分别为,,轴建立空间直角坐标系，则,,,,,,，设点，其中，对于①，，，设平面，则，即，取x=1，则，可得，设平面，，，则，即，取，则，可得，若平面平面CEG，则，解得，所以存在使得平面平面CEG，故①错误；对于②，，若平面CEG，则，即，即，故，故存在点H，使得平面CEG，故②正确；对于③，，设点H到平面CEG的距离为，则，因为，所以，所以，，所以，所以不存在点H，使得点H到平面CEG的距离大于，故③正确；对于④，，，设直线与平面CEG的所成角为，所以，整理可得，因为函数在时的图象是连续的，且，，所以存在，使得，所以存在点，使得直线与平面CEG的所成角的余弦值为，④正确.故②③④.【方法总结】计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可知：点是的中点，则，所以，；（2）设，，，则，，，，，，所以，又因为，所以，因为，所以，所以，所以异面直线与所成的角的余弦值为.16．【正确答案】(1)；(2)估计平均数为69.5，第分位数为71.7；(3).【分析】（1）根据频率之和为1，及第三、四、五组的频率之和为0.7列出方程组，求出a，b的值；（2）中间值作代表估计出平均数，利用百分位数求解方法进行求解；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型求概率公式.(1)，解得：，所以；(2)，故估计这100名候选者面试成绩的平均数为69.5；前两组志愿者的频率为，前三组志愿者的频率为，所以第分位数落在第三组志愿者中，设第分位数为，则，解得：，故第分位数为71.7(3)第四、第五两组志愿者的频率比为，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为，这5人中选出2人，所有情况有，共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为17．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在；的长为或.【详解】（1）连接，交于点，连接，点是的中点，点是的中点，所以,平面,平面，所以平面；

（2）如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系，即，，，则，设平面的法向量，则，令得，所以平面的法向量，平面的一个法向量为，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为；

（3）由（2）知，，，，，，，，由（2）知平面的法向量，设直线与平面的夹角为，则，整理得，解得或故当时，；当时，，则的长为或．18．【正确答案】(1)①；②证明见解析(2)【详解】（1）①记事件为“至少收到一次0”，则．②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则．记事件为“三次收到的数字之和为2”，则．因为，所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．（2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则．记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则．根据题意可得，即，因为，所以，解得，故的取值范围为．19．【正确答案】(1)，，，；(2)证明见解析；(3)证明见解析【详解】（1）两两垂直的4维信号向量可以为：，，，.（2）假设存在10个两两垂直的10维信号向量，，…，，因为将这10个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设，，因为，所以有5个分量为，设的前5个分量中有r个，则后5个分量中有个，所以，可得，矛盾，所以不存在10个两两垂直的10维信号向量.（3）任取，计算内积，将所有这些内积求和得到S，则，设，，…，的第个分量之和为，则从每个分量的角度考虑，每个分量为S的贡献为，所以，令，所以，所以.四川省达州市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．下列事件是随机事件的是（

）①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体做匀速直线运动；④函数在定义域上是增函数．A．①③ B．①④ C．②④ D．③④2．下列命题正确的是（

）A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行B．若直线与平交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线C．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内3．化简所得的结果是（

）A． B． C． D．4．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（

）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，若，，且，则（

）A． B．C． D．6．如图八面体中，有公共边的两个面称为相邻的面，若从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，这两个邻的概率为（

）A． B． C． D．7．如图，将矩形沿对角线把折起，使移到点，且在平面上的射影恰好在上，则与所成角是（

）A． B． C． D．8．三棱锥中，，平面，，，则和平面所成角的正切值为（

）A．1 B． C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了10次，每次朝上的点数都是6，则下列说法正确的是()A．朝上的点数是6的概率和频率均为1B．若抛掷10000次，则朝上的点数是6的频率约为eq\f(1,6)C．抛掷第11次，朝上的点数一定不是6D．抛掷6000次，朝上的点数为6的次数大约为1000次10．设是两条不同直线，是两个不同平面，有下列命题为真命题的是（

）A．若，则不可能与相交B．若，则不可能与相交C．若，则与一定平行D．若，则与一定垂直11．下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面12．如图，正方体的棱长为1，正方形的中心为，棱，的中点分别为，，则（

）

A．B．C．异面直线与所成角的余弦值为D．点到直线的距离为三、填空题（本大题共4小题）13．若,,,则.14．将一枚均匀的骰子抛两次，则“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是．15．在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则．16．正方体中，M是的中点，则与所成角的余弦值为．

四、解答题（本大题共6小题）17．某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（1）用表中字母列举出所有可能的结果（2）设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.18．如图，四棱锥中，底面，底面中，，，又，，为中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.19．某高校的人学面试中有4道题目，第1题2分，第2题2分，第3题3分，第4题3分，每道题目答对给满分，答错不给分.小明同学答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目答对与否相互独立.(1)求小明同学恰好答对1道题目的概率；(2)若该高校规定学生的面试分数不低于6分则面试成功，求小明同学面试成功的概率.20．已知为空间的一个基底，且，，，．(1)判断四点是否共面；(2)能否以作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示；若不能，请说明理由．21．如图，直三棱柱，底面中，，，，M、N分别是、的中点．(1)求的长；(2)求的值；(3)求证：．22．如图，在以、、、、、为顶点的五面体中，是平行四边形，，平面平面，.（1）求证：；（2）若，，与平面所成角为，求该五面体的体积.

答案1．【正确答案】C【详解】由于①是物理学定律，从而是必然事件；由于根据自由落体的相关理论，自由下落的物体做匀加速直线运动，故③是不可能事件；而明天的天气是不确定的，故②可能发生也可能不发生；函数在定义域上是增函数当且仅当，所以④可能发生也可能不发生.根据随机事件的定义，知是随机事件的是②④.故选：C.2．【正确答案】D【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平交，故A错误；对于B，若直线与平交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；对于C，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；对于D，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故D正确.故选：D.3．【正确答案】C【详解】根据向量减法原则，，而，故.故选：C.4．【正确答案】D【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况.其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为.故选D.5．【正确答案】B【详解】因为，，且，所以，得，所以，所以，所以，故选：B6．【正确答案】A【详解】解：从上半部分的4个面和下半部分的4个面中各随机选取1个面，共有16种取法，其中两个邻的取法有4种，所求概率为.故选：A.7．【正确答案】D【详解】因为在平面上的射影恰好在CD上，所以平面，因为在平面内，所以，又因为CD,与CD在平面内相交，所以，平面，在平面内，所以，、成的角为90°，故选D.8．【正确答案】B【详解】在平面内过作，垂足为，连接，因为，所以是的中点，且，，平面，平面，即是和平面所成的角，，和平面所成角的正切值是，故选B.9．【正确答案】BD【详解】对A，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为eq\f(1,6)，故A错误；对B，因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，频率逐渐趋向于概率的值，而抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为eq\f(1,6)，故B正确；对C，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为eq\f(1,6)，所以抛掷第11次，朝上点数可能是6，也可能不是6，故C错误；对D，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为eq\f(1,6)，抛掷6000次，频率接近eq\f(1,6)，频数大约为1000次，故D正确．10．【正确答案】AB【详解】对于A，若，则或，即不可能与相交，故A正确；对于B，若，则或，即不可能与相交，故B正确；对于C，若，则平行或相交或异面，故C不正确；对于D，若，当，则，故D不正确.故选：AB.11．【正确答案】BCD【详解】对于A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，故A正确；对于B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，故B错误；对于C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，故C错误；对于D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，故D错误．故选BCD.12．【正确答案】ABD【详解】故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，，选项A正确；，所以根据三角函数两角正余弦关系解得：，选项B正确；，选项C错误；点到直线的距离为：，而所以选项D正确；故选：ABD.13．【正确答案】【详解】,故,所以.故答案为:.14．【正确答案】【详解】将一枚均匀的骰子抛两次，共有36种不同的结果；其中，第一次所抛点数比第二次所抛点数大的结果有15种不同的结果，由古典概型概率公式可得“第一次所抛点数比第二次所抛点数大”的概率是,故答案为.15．【正确答案】【详解】法一：由题意，，，因为，，共面，所以存在实数唯一实数对，使得，即，所以，解得．法二：由，，共面得四点共面，则根据四点共面的充要条件可得，，即．故答案为.16．【正确答案】/【详解】在正方体右侧作出一个全等的正方体，连接，如图，

易知，所以四边形是平行四边形，则，所以是与所成角的平面角或补角，不妨设正方体的棱长为，则在正方体中，，在中，，在中，，所以在中，，所以与所成角的余弦