安徽省阜阳市2024-2025学年高三上册第一次月考数学检测试卷（含解析）

安徽省阜阳市2024-2025学年高三上学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．4．已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或75．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（

）A． B． C． D．6．已知角和角以轴的非负半轴为始边，若角和角的终边关于直线对称，则下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．7．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，且，则（

）A． B．C． D．10．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（

）A．平面 B．平面C．四棱锥外接球的表面积为 D．四棱锥的体积为1211．某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（

）

A．抛物线的方程为B．的最小值为C．的最大值为D．若在上，则的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为.13．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为.14．已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是..四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列an满足，.(1)求数列an(2)设，数列的前项和为，求证.16.（本小题15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，．(1)求的面积；(2)求AB边上的高的最大值.17.（本小题15分）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点.(1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.18.（本小题17分）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为.(1)求与的方程；(2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线.（i）求点的坐标.（ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由.19.（本小题17分）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若存在两个极值点.（i）求的取值范围；（ii）证明.安徽省阜阳市2024-2025学年高三上学期第一次月考数学检测试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．【正确答案】C【详解】因为，所以，解得或，故或，又，所以.故选：C2．复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正确答案】D【详解】，其在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.3．已知向量，满足，且，则在上的投影向量是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】由已知，且，则，解得，故在上的投影向量是＝.故选：B.4．已知等差数列的前项和为，则当取得最大值时，的值为（

）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【正确答案】C【详解】，则，由于，所以，则等差数列an令，解得，所以当或6时，取得最大值．故选：C.5．有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天．若每天从4人中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】不妨设4名志愿者分别假设连续参加两天的社区服务，剩下的3人中抽取2人参加服务，共有种方法，所以恰好有1人连续参与两天服务的总数为：种.总的情况数为种.故恰有1人连续参加两天服务的概率为.故选：B.6．已知角和角以轴的非负半轴为始边，若角和角的终边关于直线对称，则下列等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【正确答案】C【详解】设角的终边与单位圆的交点坐标为，由角和角的终边关于直线对称，得角的终边与单位圆的交点坐标为，则，，因此，由角的任意性得ABD不正确，C正确.故选：C7．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】B【详解】解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【详解】当，恒成立，，即恒成立.不妨令，则设，有，，当时，，在上单调递增，有，所以时，，当且仅当时等号成立.故，当且仅当，即时上式取得等号，由对数函数和一次函数的图象和性质可知，方程显然有解，所以，得.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知，且，则（

）A． B．C． D．【正确答案】BD【详解】A选项，因为，两式平方后相加可得，所以，故A错误；D选项，因为，所以，又，故，由于，故，又，所以，故D正确；B选项，，故B正确；C选项，，故，故C错误.故选：BD.10．已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面，，．若点为的中点，则下列说法正确的为（

）A．平面 B．平面C．四棱锥外接球的表面积为 D．四棱锥的体积为12【正确答案】BD【详解】

对于A，因底面为矩形，则，又侧面平面，且侧面平面，平面，故平面,而与不重合，故A错误；对于B，设,连接,因分别是的中点，则,又平面，平面,故得平面，即B正确；对于C，取中点,连接因，则,,因侧面平面，且侧面平面，平面，则平面，易知点为矩形的外接圆圆心，过点作平面,其中点为四棱锥外接球的球心，连接,设球的半径为，在中，，故，又，在直角梯形中，，解得，，故四棱锥外接球的表面积为，故C错误；对于D，因点为的中点，故点到平面的距离等于点到平面的距离的一半，即,故四棱锥的体积为，故D正确.故选：BD.解题思路在于掌握线面垂直、平行的判定和性质，借助于图形进行推理和计算，掌握几何体外接球的常规解法，通过作图、分析列出方程求解即得.11．某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是（

）

A．抛物线的方程为B．的最小值为C．的最大值为D．若在上，则的最小值为【正确答案】ACD【详解】可变形为，表示以为圆心，为半径的圆的上半部分；可变形为，表示以为圆心，为半径的圆的上半部分．对于A选项，抛物线过点，解得，，故A选项正确；对于B选项，抛物线的准线为，过点作，垂足为，

则，则，故B选项不正确；

对于C选项，不妨设，显然离最远的点在上，且，联立，消去整理得，，则，，则，由对称性只考虑情况，在点时，，所以，所以，设，易得在上单调递增，所以的最大值为，故C选项正确；对于D选项，设的中点为，联立，消去整理得，则，，，，，所以，，，最小，即最大，也即最小，又的中点位于圆心的左侧，故当在0,4位置时，最小，最小，所以，故D选项正确.故选：ACD．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．五个好朋友一起自驾外出游玩，他们都选择了同一款旅行包（外观无明显区别），下车时，他们从后备箱中各随机地取一个旅行包，则甲、乙、丙三人都拿错旅行包的概率为.【正确答案】【详解】第一种情况，甲拿了乙或者丙的旅行包，有种情况；第二种情况，甲没有拿乙和丙的旅行包，有种情况.故所求的概率为.故答案为.13．已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则使得不等式成立的的最小值为.【正确答案】13【详解】由.当为奇数时，；当为偶数时，.所以当为奇数时，，由.当为偶数时，，由.又为偶数，所以综上可知：的最小值为13.故1314．已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是..【正确答案】【详解】作函数的图象如下图所示：由图象可知，方程有四个不同的解，且，需满足，则由二次函数的对称性可知，，由对数函数的图象及性质可知，，，，则，，∴，而函数在递减，上递增，当时，，当或4时，，故其取值范围为.故四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列an满足，.(1)求数列an(2)设，数列的前项和为，求证.【正确答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）已知，当时，；当时，，则，显然时，，满足上式，综上，；（2）由上知:，故，易知单调递增，时，，又，即，证毕.16.（本小题15分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，．(1)求的面积；(2)求AB边上的高的最大值.【正确答案】(1)；(2).【详解】（1）在中，由，得，解得，由及正弦定理，得，即，则，而，解得，所以的面积.（2）由余弦定理，得，即，当且仅当时取等号，设h为AB边上的高，则，即，所以AB边上的高的最大值为.17.（本小题15分）如图，在正四棱锥中，各棱长均为，为侧棱上的点，是中点.(1)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值；(2)是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【正确答案】(1)(2)存在，【详解】（1）解：如图所示，设，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，在正方形中，由，可得，又因为，所以，所以，可得，则，因为分别为中点，可得，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设直线与平面所成角为，可得，所以直线与平面所成角的正弦值.（2）解：因为，可得，设，可得，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，若平面，可得，即可得，解得，所以，即存在点，使得平面，此时的值为.18.（本小题17分）已知椭圆与双曲线的焦点与的焦点间的距离为.(1)求与的方程；(2)过坐标轴上的点可以作两条与的公切线.（i）求点的坐标.（ii）当点在轴上时，是否存在过点的直线，使与均有两个交点？若存在，请求出的方程；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)(2)（i）或或或；（ii）不存在，理由见解析【详解】（1）由题意可得，解得.所以.（2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线，联立得，则，即①联立得，则，即②联立①②得，所以公切线为或.公切线的交点即点的坐标，由，解得，由，解得，由，解得，，解得，综上所述：或或或.（ii）当点在轴上时，，假设存在直线与均有两个交点，由（i）知，不等式组无解，所以不存在过点的直线与均有两个交点.19.（本小题17分）已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若存在两个极值点.（i）求的取值范围；（