2024-2025学年山西省太原市高二上册10月月考数学阶段检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年山西省太原市高二上学期10月月考数学阶段检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．2．如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用向量，，表示向量，设，则x，y，z的值分别为（

）A． B．C． D．3．已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（

）A．B．C． D．4．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．6．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．已知AC，BD为圆O：的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形ABCD的面积的最大值为()A．4 B． C．5 D．8．正四面体的棱长为，是它内切球的直径，为正四面体表面上的动点，的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知圆与直线，下列选项正确的是（

）A．直线与圆必相交B．直线与圆不一定相交C．直线与圆相交且所截最短弦长为D．直线与圆可以相切10．下面四个结论正确的是（

）A．已知向量，，则在上的投影向量为B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线11．已知圆C：，以下四个命题表述正确的是（

）A．若圆与圆C恰有3条公切线，则B．圆与圆C的公共弦所在直线为C．直线与圆C恒有两个公共点D．点为轴上一个动点，过点作圆C的两条切线，切点分别为，且的中点为，若定点，则的最大值为6三、填空题（本大题共3小题）12．已知直线：，：，若，则实数.13．已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为.14．在中，顶点，点在直线上，点在轴上，则周长的最小值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知，.(1)若()∥()，求x，y的值；(2)若，且，求x的值.16．已知直线与直线的交点为．(1)求点关于直线的对称点；(2)求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程．17．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点.(1)求点M到直线的距离；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.18．已知圆，直线过点．(1)求圆的圆心坐标和半径；(2)若直线与圆相切，求直线的方程；(3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程.19．已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作．定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，为线段上一点.(1)求的值。(2)若为的中点，求二面角的正弦值；(3)若为线段上一点，且满足，求．

答案1．【正确答案】D【详解】由直线，可得直线的斜率，设其倾斜角为，可得，所以.故选：D.2．【正确答案】C【详解】由题设，结合，得，故选：C3．【正确答案】A【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为，设半径为，由题意得，即解得，故圆为.故选：A.4．【正确答案】D【详解】由题意得且，解得.故选：D5．【正确答案】D【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率，由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即，当时，而，则；当，得，所以l的倾斜角的取值范围为.故选：D6．【正确答案】B，则点到直线的距离为：.7．【正确答案】C【详解】设圆心O到AC、BD的距离分别为、，则．四边形ABCD的面积为：，当且仅当时取等号，故选C．8．【正确答案】D【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，则在上，连接，则.因为正四面体的棱长为3，所以，所以，设内切球的半径为，则，，解得，是它内切球的直径，此时，，，因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为，所以的最大值为.故选：D9．【正确答案】AC【分析】求出直线经过定点，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案.【详解】解：直线过定点，又，所以点在圆内，所以直线与圆必相交，所以A正确，B，D错误，因为圆心与点间的距离为，圆半径为2.所以最短弦长为，故C正确，

故选：AC.10．【正确答案】ABC【详解】A选项，向量，，则在上的投影向量为，故A选项正确；B选项，因为，所以四点共面，故正确；C选项，因为是空间的一组基底，，所以两向量之间也不共线，所以也是空间的一组基底，故C选项正确；D选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，，则直线或，错误.故选ABC.【方法总结】注意空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x,y,z∈R),则“x+y+z=1”是“P,A,B11．【正确答案】BCD【详解】A：由题意得：的圆心为，半径为，该圆与圆有3条公切线，则两圆外切，所以，解得，故A错误；B：两圆的圆心分别为，半径分别为和2，则，所以两圆相交，与相减得：，故圆与圆C的公共弦所在直线为，故B正确；C：变形为，令，解得，即直线恒过点，由于，点在圆M内，所以与圆M恒有两个公共点，故C正确；D：如图，圆，半径为2，则圆C与y轴相切，切点为原点，即为，易知直线恒过点，又为的中点，则，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心为，半径为1，又，所以MN的最大值为，故D正确.故选：BCD12．【正确答案】3【详解】故3.13．【正确答案】14．【正确答案】【详解】设关于直线的对称点为，关于轴的对称点为，与的交点即为，与轴的交点即为.如图，两点之间线段最短可知，的长即为周长的最小值.设，则解得即，关于轴的对称点为，故周长的最小值为.故答案为.15．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）∵，，∴，.又()∥()，∴，解得，.（2）由，得，∴，∴，即，∴，解得.16．【正确答案】(1)(2)，【详解】（1）当，时，有，.所以两直线的交点为.由于关于直线对称，故直线和直线垂直.而直线即的斜率为，从而直线的斜率为.再由知直线的方程为，即.将与联立，得，.从而直线和直线的交点为，由于关于直线对称，故是的中点.最后由，即知.（2）若是一条经过的直线，则由于，知到的距离不超过.若有一条经过的直线，满足到的距离为，则由，知和垂直.而直线的斜率，故的斜率为.再由经过，即知的方程为，即.综上，点到经过点的直线距离的最大值为，当距离最大时，直线的方程为.17．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以，因为平面，平面，所以且，所以可建立如图所示以B为原点的空间直角坐标系，则由题，所以，所以，所以，又，故点M到直线的距离为.（2）因为，，，平面，所以平面，故是平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则，所以，令，则，设平面与平面所成夹角为，所以，所以平面与平面所成夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)圆心为，半径为2；(2)或；(3)，或【详解】（1）由可得：所以圆心的圆心坐标为，半径为2；（2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意；②若直线斜率存在，设直线的方程为y=kx−1，即，由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2，即，解得，所求直线的方程是或；（3）方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为，则圆心到直的距离，又∵三角形CPQ面积，当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2，由，有，或，此时直线方程为，或．方法二：，当时，取最大值2，此时点到的距离为，设：，由，解得或，故所求直线的方程为或.19．【正确答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题意，底面为矩形，，底面，，,.(2)以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.，,又为的中点，则，，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，则.故平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，且，则，故.故二面角的正弦值为.（3）由（1）可得，由题意，设，，则则，由可知，，且，由，则，解得；则，则解得，，则，又，解得.2024-2025学年山西省太原市高二上学期10月月考数学阶段检测试卷（二）一、单选题（本大题共8小题）1．若直线的倾斜角为，则（

）．A．0 B． C． D．不存在2．已知向量，若，则（

）A． B．C． D．3．已知直线与直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（

）A． B． C． D．5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，,

D，E分别为SO，SB的中点，点C是底面圆周上一点（不同于A,B）且，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．7．已知两点，，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．8．已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．已知，是一组“共轭线对”，则，的夹角的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．下列说法中不正确的是（

）A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B．若直线过点，且它的倾斜角为45°，则这条直线必过点C．过，两点的直线的方程为D．直线在轴上的截距为210．在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（

）A．B．向量与的夹角的余弦值为C．点关于轴的对称点坐标为D．向量在上的投影向量为11．如图，在三棱锥中，，，，为的中点，点是棱上一动点，则下列结论正确的是（

）A．三棱锥的表面积为B．若为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为C．若与平面所成角的正弦值为，则二面角的正弦值为D．的取值范围为三、填空题（本大题共3小题）12．已知点在平面上，点是空间内任意一点，且，则的值为．13．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为.14．在棱长为1的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点（含边界），若且与平面所成的角最大时，线段的长度为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点．(1)求边上的中线的一般式方程；(2)求经过点且与直线垂直的直线方程．16．已知，，且.(1)求.(2)求与夹角的余弦值.17．已知直线.（1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程.18．已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，E、F、M、O分别是、、、AD的中点，平面．(1)求证：；(2)求点B到平面EFM的距离；(3)在线段上是否存在点N，使得直线与平面EFM所成角的正弦值为？若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由．19．已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．(1)若为的1阶等距平面且1阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；(2)已知为的4阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧．是否存在，使的4阶等距集为，其中点到的距离为？若存在，求平面与夹角的余弦值；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】C【详解】因为，为一常数，故直线的倾斜角为，故选：C2．【正确答案】B【分析】根据空间向量共线的坐标表示，求出的值.【详解】向量，且，所以，解得.故选B.3．【正确答案】C【详解】当时，由，解得，所以可以推出，当时，直线，直线，有，即可以推出，所以“”是“”的充要条件，故选：C.4．【正确答案】A【详解】连接，因为，分别是的中点，所以，故．故选：A5．【正确答案】A【详解】由题设，构造如下图示的空间直角坐标系，则，所以，则.所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为.故选：A6．【正确答案】B【详解】，则点到直线的距离为：.故选：B7．【正确答案】D【详解】由，得到，所以直线过定点，又，，所以，，又直线与线段有公共点，结合图象可知，，

故选：D.8．【正确答案】B【详解】设直线的斜率为，则直线的斜率为，两直线的夹角为，则，当且仅当，即时取等号，又，所以，故选：B.9．【正确答案】ACD【详解】对于A，当倾斜角为锐角，斜率为正；当倾斜角为钝角时，斜率为负，故A错误；对于B，直线方程为，即，显然在直线上，故B正确；对于C，当或时不能使用两点式写方程，故C错误；对于D，直线，令，，则直线在轴上的截距为，故D错误.故选：ACD.10．【正确答案】BD【详解】记，，对于A，，故A错误；对于B，，，，设与的夹角为，则，故B正确；对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误；对于D，在上的投影向量为，D正确．故选：BD．11．【正确答案】ABD【详解】连结OB.在三棱锥中，，，.所以,,且,.所以，所以.又因为，所以面ABC.可以以O为原点，以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.则，，，，，所以,,,.对于A：在三棱锥中，，，，所以底面三角形为直角三角形，其面积为；为边长为2的等边三角形，所以面积为；和为腰长为2，底边为的等腰三角形，所以面积均为；所以三棱锥的表面积为.故A正确；对于B：为棱的中点，所以,所以,.所以异面直线与所成角的余弦值为.故B正确；对于C：点是棱上一动点，不妨设，（）.所以.设为面PAM的一个法向量，则，不妨设y=1，则.因为与平面所成角的正弦值为，所以，解得：取，则显然，面PAC的一个法向量为.设二面角的平面角为，所以，所以.故C错误；对于D:如图示，把平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面.当M与B重合时，；当M与C重合时，最大；连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短可知，当M位于M1时，最小.此时，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范围为.故D正确.故选：ABD12．【正确答案】【详解】因为点在平面上，由空间向量基本定理知，，得到，即，又，所以，解得，故答案为.13．【正确答案】【详解】∵直线的方向向量,∴直线的斜率，又∵直线过点∴由点斜式可得：,即，故答案为.14．【正确答案】/【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设，则，，设平面的一个法向量为，则，即取，则.在正方体中，可得平面，且平面，所以，则，所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆弧，其圆心角为，则，则，即，又，设与平面所成的角为，所以，又，当且仅当时，等号成立，所以，即时，与平面所成的角最大，即，所以.故答案为.1、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；2、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；3、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在，同时，用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导思想是解答此类问题的关键.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，，所以的中点，又，所以边上的中线的方程为，整理得到，故边上的中线的一般式方程为.（2）因为直线的斜率为，又，所以经过点且与直线垂直的直线方程为，整理得到.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）根据题意由可得，即，解得；所以，因此，即.（2）易知，且；所以，即与夹角的余弦值为.17．【正确答案】（1）；（2）最小值是4，方程为．【详解】（1