2024-2025学年江西省赣州市于都县高三上册第一次月考试数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江西省赣州市于都县高三上学期第一次月考试数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A B. C. D.2.已知复数，则（）A. B. C. D.3.若正数x，y满足，则的最小值是（）A.6 B. C. D.4.记为等差数列的前项和．若，则（）A.25 B.22 C.20 D.155.在平行四边形中，，，若，则（）A. B. C. D.16.已知，则（）A.1 B.0 C. D.7.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“”的否定是“”B.在上单调递减C.若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点D.若是奇函数，则8.若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（）A. B.0,+∞ C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（）A. B. C. D.10.函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（）A.B.为图象的一条对称轴C.可以等于5D.的最小值为211.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A B. C. D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12已知向量．若，则______．13.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为________.14.已知数列an通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称轴；（Ⅱ）求函数在的最值及相应的值.16.已知数列是递增数列，其前项和满足.（1）证明：等差数列；（2）记，数列的前项和为，求.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，．求二面角的大小．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．19.设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i），（ii）；（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．2024-2025学年江西省赣州市于都县高三上学期第一次月考试数学检测试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.【详解】因为，且注意到，从而.故选：A.2.已知复数，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据复数乘法求的代数形式，再由模的公式求结论.【详解】因为，所以，故选：C.3.若正数x，y满足，则的最小值是（）A.6 B. C. D.【正确答案】C【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】因为正数x，y满足，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为故选：C4.记为等差数列的前项和．若，则（）A.25 B.22 C.20 D.15【正确答案】C【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，，即,又，解得：，所以．故选：C.方法二：，，所以，，从而，于是，所以．故选：C.5.在平行四边形中，，，若，则（）A. B. C. D.1【正确答案】B【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出.【详解】由题意如图所示：因为，所以，所以，故选：B.6.已知，则（）A.1 B.0 C. D.【正确答案】D【分析】把两个已知等式两边平方相加，结合两角差的余弦公式可求得结果.【详解】已知，则有，，两式相加得，则，所以.故选：D.7.给出下列四个命题，其中正确命题为（）A.“”的否定是“”B.在上单调递减C.若为的导函数的一个零点，则为函数的一个极值点D.若奇函数，则【正确答案】B【分析】根据含有一个量词命题的否定可判断A错误，由幂函数性质可得B正确，利用极值点与导函数零点的关系可判断C错误，若可判断D错误.【详解】对于A，易知“”的否定是“”，所以A错误；对于B，由幂函数性质可知在上单调递减，可得B正确；对于C，若，则；显然是的一个零点，但在上单调递增，没有极值点，所以C错误；对于D，若奇函数，不妨取，不满足，即D错误；故选：B8.若函数满足对恒成立，则不等式的解集为（）A. B.0,+∞ C. D.【正确答案】C【分析】由可得，即可得关于对称，结合二次函数的单调性即可得解.【详解】由，则，即，故关于对称，又，则由二次函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，故对，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集为.故选：C.关键点点睛：本题关键点在于借助结合复合函数求导法则得到，从而得到的对称轴.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.设a，b，c，d为实数，且，则下列不等式正确的有（）A. B. C. D.【正确答案】AD【分析】根据不等式的相关性质可得A,D项正确；通过举反例可说明B,C项错误.【详解】对于A，由和不等式性质可得，故A正确；对于B，因，若取，，，，则，，所以，故B错误；对于C，因，若取，，，，则，，所以，故C错误；对于D，因为，则，又因则，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正确．故选：AD．10.函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（）A.B.为图象的一条对称轴C.可以等于5D.的最小值为2【正确答案】BD【分析】根据题意，求得函数，结合三角函数的图象变换，以及三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】由函数图象，可得，所以，所以，解得，又由函数的图象过点，且，当时，可得，所以，解得，因为，可得；当时，可得，所以，解得，因为，不存在，舍去，综上可得，，，所以，所以A不正确，B正确；又因为，所以是函数的一条对称轴，所以B正确；将函数的图象向右平移个单位后，得到，因为在上单调递减，则满足．解得，当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．当时，，又因为，所以，所以D正确．故选：BD.11.已知函数，的定义域均为，为的导函数，且，，若为奇函数，则（）A. B. C. D.【正确答案】ABD【分析】根据题意分析可知为偶函数，，且的周期为8，利用赋值法结合题意逐项分析判断.【详解】已知函数，的定义域均为，因为，，可得，又因为为奇函数，则，可得，即为偶函数，则，即，可得，所以，可知的周期为8.对于选项A：因为，令，则，，可得，，故A正确；对于选项B：因为，令，可得，故B正确；对于选项C：因为，且为偶函数，则，令，可得，又因为，令，则，，可得，可得，但由题设条件无法推出，故C错误；对于选项D：因为的周期为8，故，故D正确；故选：ABD.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量．若，则______．【正确答案】2【分析】根据向量的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】由题意得，解得.故2.13.已知某扇形的圆心角为120°，弧长为，则此扇形的面积为________.【正确答案】【分析】利用弧长公式求出半径，再利用扇形面积公式求解即可【详解】设扇形的半径为R，∵扇形的圆心角为，弧长为，∴，解得：R=，∴扇形的面积=.故答案为.14.已知数列an的通项公式为，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【正确答案】【分析】借助裂项相消法可得，即可得恒成立，构造函数，结合导数判断单调性进而即得.【详解】由，则，故，由，可得，即，设，则恒成立，故在0,+∞单调递减，当时，，即当时，，故.故答案为.关键点睛：本题关键在于得到恒成立后，构造函数，结合导数讨论函数单调性，从而得到的范围.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和对称轴；（Ⅱ）求函数在的最值及相应的值.【正确答案】（Ⅰ）周期为，对称轴方程为；（Ⅱ）当时，有最大值2；当时，有最小值【分析】（Ⅰ）化简得到，得到周期和对称轴.（Ⅱ）当时，，得到值域.【详解】（Ⅰ），故函数的最小正周期为，函数的对称轴方程满足，即.（Ⅱ），当时，，因此当时，有最大值2；当时，有最小值.本题考查了三角函数的周期，对称轴，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.16.已知数列是递增数列，其前项和满足.（1）证明：是等差数列；（2）记，数列的前项和为，求.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据退一相减法，结合等差数列定义可证；（2）根据等差数列可得与，再利用分组求和的方程求得.【小问1详解】当时，，解得，当时，，则，即，即又数列an所以，故，即，所以数列an是以为首项，为公差的等差数列；【小问2详解】由（1）得，所以，则.17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点．（1）求证：平面；（2）若，，．求二面角的大小．【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）添加适当辅助线，证明出四边形为平行四边形，再通过线线平行证明线面平行；（2）由线面垂直得出线线垂直，再证明为正三角形，得出，建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角．【小问1详解】证明：如图，取中点，连接，，在中，，分别为，的中点，所以且，在菱形中，因为且，所以，，所以四边形平行四边形，所以，又因为平面，且平面，所以平面．【小问2详解】解：因为平面，，，平面，所以，，．连接，因为，，且，（或者证所以，在菱形中，，即为正三角形，又因为为中点，所以，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为且．又因为为正三角形且，所以，则，，，则，，由平面，可得平面的法向量为，设平面的法向量为，则，取，可得，，所以，所以，所以二面角的大小为．18.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，．【正确答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.19.设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：（i），（ii）；（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．【正确答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数，证明见解析.（2）（3）【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，再求谷点，证明函数是否为含谷函数；（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围；（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值.【小问1详解】函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.【小问2详解】由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，令，所以，设，所以，由可知恒成立，所以在区间上单调递增，若满足谷点，则有，解得，故m