新湘教版初中数学七年级下册4.5.2《垂线和垂线段》教案

新湘教版初中数学七年级下册《垂线段》教学设计【教学目标】1.掌握点到直线的距离的有关概念，会作出直线外一点到一条直线的垂线，理解垂线段最短的性质。2.经过观察、分析、抽象、概括、画图等数学活动过程，进一步发展思维能力。3.体会数学的应用价值。【教学重点】点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。【教学难点】垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法。【教学方法】观察法、实验操作法、练习法，演示法、合作交流法、分析法，归纳法，讲授法。【教学过程】〖温故知新〗1.垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足2.垂线的性质①在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行②在同一平面内，如果一直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线必垂直于另一条直线.【设计意图】复习垂线及垂线的性质，为学习垂线段打下基础。〖新知探究1〗1.提问：（1）画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？答：画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出无数条。2.提问：（2）经过直线l上一点P画l的垂线a，这样的垂线能画几条？答：过直线上一点P画直线的垂线，能且只能画一条。3.提问：（3）经过直线l外的一点P画l的垂线，这样的垂线能画几条？答：过直线外一点P画直线的垂线，能且只能画一条。4.提问：过一点作直线的垂线，可以画多少条？假如过点P还有一条直线c⊥l，则c∥a，但是c与a有公共点P，这是不可能的。5.小结归纳：垂线的基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。§注意：1）“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外；2）“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.3）过一点画已知线段(或射线)的垂线，就是画这条线段(或射线)所在直线的垂线。【设计意图】通过学生的实践操作，教师的演示，学生之间的交流讨论，归纳出垂线的基本事实，培养学生的实验操作能力、合作交流能力及分析归纳能力。〖新知探究2〗1.垂线段的概念：如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫作P点到直线l的垂线段。2.通过P点的其他直线交l于A、B、C…，线段PA，PB，PC都不是垂线段，称为斜线段。3.提问：垂线与垂线段有何区别和联系？区别：垂线是直线，垂线段是线段；联系：垂线和垂线段都有垂直关系。【设计意图】在作直线垂线的基础上学习垂线段和斜线段，并区分垂线与垂线段的区别，为学习垂线段的性质打下基础。〖新知探究3〗1.提问：观察下图，PA，PB，PO，PC，PD哪条线段最短？1）观看：发现垂线段PO最短；2）用圆规比较：如图，用圆规比较垂线段PO和斜线段PA，PB，PC，PD的长度，可知线段PO最短。2.小结归纳：1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.2）特别规定：线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.例如，在图中，垂线段PO的长度叫做点P到直线l的距离。§xx点到xxx直线的距离→点到直线的垂线段的长度。【设计意图】通过操作演示，比较斜线段与垂线段的长度，让学生理解掌握“垂线段最短”这一基本事实。同时，理解掌握“点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度。〖新知应用1〗1.（1）量出图中点P到直线AB的距离.题析：“点P到直线AB的距离”就是点P到直线AB的垂线段的长度。因此，过点P作直线AB的垂线段PO，再量出PO的长度，就是点P到直线AB的距离。2.（2）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处，问建在哪个位置才最节省水管？为什么？题析:“最节省水管”就是点C到直线l的距离最短，而这个距离就是点C到直线l的垂线段。答：过C引l的垂线，设D为垂足，水泵房应建在D处，因为垂线段最短。3.提问：由（1）、（2）你会发现可以怎样求点到直线的距离？答：求点到直线的距离就是求点到直线的垂线段的长度。§注意：求点到直线的距离可以转化为求点到点的距离。【设计意图】通过实验操作，让理解求“点到直线的距离”就是求“点到直线的垂线段的长度”。〖新知应用2〗例3如图，在三角形ABC中，∠ABC=900，BD⊥AC，垂足为D，AB=5，BC=12，AC=13.求：（1）点A到直线BC的距离；（2）点B到直线AC的距离.题析：求“点A到直线BC的距离”就是求“点A到直线BC的垂线段的长度”——AB的长度；求“点B到直线AC的距离”就是求“点B到直线AC的垂线段的长度”——BD的长度,而BD是三角形ABC的高，因此，可以通过面积求出。解：（1）∵∠ABC=90°，∴AB⊥BC，B为垂足.∴线段AB即为点A到直线BC的垂线段.∵AB=5，∴点A到直线BC的距离为。解：（2）∵BD⊥AC,∴BD的长度就是点B到直线AC的距离。∵S△ABC=eq\f(1,2)AB·BC=eq\f(1,2)AC·BD∴BD=eq\f(AB·BC,AC)=eq\f(5×12,13)=eq\f(60,13)∴点B到直线AC的距离为eq\f(60,13)。【设计意图】通过实例，让学生理解掌握利用“点到直线的距离”解题，特别是利用等面积解题。〖巩固练习〗1.如图，在三角形ABC中，∠A=900，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，求点A到BC的距离，点C到AB的距离.解：过点A作AD⊥BC于点D，则线段AD的长度即为点A到BC的距离∵S△ABC=eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,2)BC·AD∴eq\f(1,2)AB·AC=eq\f(1,2)AD·BC，即：eq\f(1,2)×3×4=eq\f(1,2)×5·AD∴AD=eq\f(12,5),即：点A到BC的距离为eq\f(12,5)。又∵∠A=900，∴BA⊥AC，A为垂足∴线段AC的长度即为点C到直线AB的距离又∵AC=4，∴点C到直线AB的距离为4。【设计意图】通过练习，检查学生对“点到直线的距离”理解解题，特别是利用面积相等解题。2.如图（比例尺：1:5000），公园里有4条纵横交错的人行道，点P是一喷泉，量出P点到4条直线的距离，并求出其实际距离.解：过点P分别作直线a、b、c、d的垂线段PA、PB、PC、PD，分别测量出线段PA、PB、PC、PD的长度，根据PA、PB、PC、PD的长度，分别计算出PA、PB、PC、PD的实际距离。【设计意图】通过练习，检查学生利用“点到直线的距离”解决生活实际问题，培养学生的数学运用能力。3.如图，体育课上应该怎样测量同学们的跳远成绩？答：量绳的一端放在“落足点”，拉紧与起跳板垂直。【设计意图】通过练习，检查学生利用“点到直线的距离”解决生活实际问题，培养学生的数学运用能力。〖挑战平台〗如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示河流与铁路.(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由.解：如图所示:(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿BD走，垂线段最短；(3)沿AC走，垂线段最短.【设计意图】通过练习，让学生利用“点到直线的距离”、“两点之间的距离”解题，让学生区分“点到直线的距离”与“两点之间的距离”之间的区别，培养学生的数学辨析能力。【课后小结】1.画直线的垂线:过一点作已知直线的垂线能且只能画一条。2.垂线段：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（垂线段最短）。3.点到直线的距离：就是点到直线的垂线段的长度。【板书设计】【课后作业】课堂作业：P119习题4.5第5、8题；课后作业：P119习题4.5第6、7题，预习P121~123《平行线之间的距离》。【教学反思】1.亮点：通过学生实验操作，理解垂线的基本事实及对垂线段的