2025年外研版三年级起点高二数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高二数学上册月考试卷20考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、等比数列{an}中，a1、a99为方程x2-10x+16=0的两根，则a20•a50•a80的值为（）

A.32

B.64

C.256

D.±64

2、已知向量不共线，=k+（k∈R），=﹣如果∥那么（）A.k=﹣1且与反向B.k=1且与反向C.k=﹣1且与同向D.k=1且与同向3、【题文】如图是某程序的流程图；则其输出结果为()

A.B.C.D.4、【题文】是第四象限角，=A.B.－C.D.－5、设函数则实数a的取值范围是（）A.（-∞，-3）B.（1，+∞）C.（-3，1）D.（-∞，-3）∪（1，+∞）6、从2008名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2008人中剔除8人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2008人中，每人入选的概率（）A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为D.都相等，且为评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)7、函数的最大值____．8、在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是____.9、抛物线的焦点坐标是.10、【题文】设1＝a1≤a2≤≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等。

比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．11、【题文】已知整数对的序列如下：（1；1），（1，2），（2，1），（1，3）；

（2；2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5）；

（2，4），则第57个数对是____12、【题文】若正数满足则的取值范围是13、【题文】函数最小值是____．14、△ABC的顶点A（-5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是______．15、从装有编号为1，2，3，，n+1的n+1个球的口袋中取出m个球（0＜m≤n，m，n∈N），共有种取法．在这种取法中，不取1号球有C种取法：必取1号球有种取法．所以+=即+=成立，试根据上述思想，则有当1≤k≤m≤n，k，m，n∈N时，++++=______．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

18、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）19、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）20、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)21、已知动点到的距离比它到轴的距离多一个单位．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作曲线的切线求切线的方程，并求出与曲线及轴所围成图形的面积．22、已知函数（Ⅰ）若有两个极值点，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数.23、【题文】已知中，分别是角所对的边。

（1）用文字叙述并证明余弦定理；

（2）若24、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若求边c的值及△ABC的面积．评卷人得分五、计算题(共3题，共18分)25、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．26、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．27、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共4题，共28分)28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．31、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、D【分析】

由题意可得a1•a99=16，故a40•a60=a502=a1•a99=16；

∴a50=±4

则a40a50a60=a503=±64；

故选D．

【解析】【答案】由题意可得a1•a99=16，故a40•a60=a502=a1•a99=16，故有则a40a50a60=a503；进而可得答案．

2、A【分析】试题分析：由已知易知而因此解得所以答案选A.考点：向量的位置关系【解析】【答案】A3、C【分析】【解析】

试题分析：不满足条件进入循环体；

第1次循环：不满足条件再次进入循环；

第2次循环：不满足条件再次进入循环；

第3次循环：不满足条件再次进入循环；

第n次循环：要想结束循环，需要即n=2011，所以此时输出的S为

考点：程序框图。

点评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。一般的时候，如果循环次数较少，我们可以一一写出，若循环次数较多，我们需要寻找规律。【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】略【解析】【答案】D5、C【分析】解：a＜0时，f（a）＜1即解得a＞-3，所以-3＜a＜0；

a≥0时，解得0≤a＜1

综上可得：-3＜a＜1

故选C

a＜0时，f（a）＜1即a≥0时，分别求解即可．

本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．【解析】【答案】C6、C【分析】解：∵在系统抽样中；若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组；

在剔除过程中；每个个体被剔除的概率相等；

∴每个个体被抽到包括两个过程；一是不被剔除，二是选中，这两个过程是相互独立的；

∴每人入选的概率p=×==

故选C．

在系统抽样中；若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的概率相等，每个个体被抽到包括两个过程，这两个过程是相互独立的．

在系统抽样过程中，为将整个的编号分段（即分成几个部分），要确定分段的间隔，当在系统抽样过程中比值不是整数时，通过从总体中删除一些个体（用简单随机抽样的方法）．【解析】【答案】C二、填空题(共9题，共18分)7、略

【分析】

∵∴可设=sinα，则=cosα，（α∈[0，]

变形为y=3sinα+4cosα=5sin（α+∅），（tan∅=）

当α+∅=时；y有最大值5

故答案为5

【解析】【答案】因为所以可以考虑用三角换元来求最值，设一个为某个角的正弦；则另一个必为同角的余弦，再利用辅助角公式，化一角一函数，最后利用正弦函数的有界性即可求出y的最大值．

8、略

【分析】【解析】试题分析：解建立从平面图形到空间图形的类比，于是作出猜想：S42=S12+S22+S32，故填考点：本题考查了类比推理的运用【解析】【答案】9、略

【分析】抛物线即焦点坐标是（0，－）.【解析】【答案】（0，－）10、略

【分析】【解析】设a2＝t，则1≤t≤q≤t＋1≤q2≤t＋2≤q3，由于t≥1，所以q≥max{t，}，故q的最小值是【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】

试题分析：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n－1个；②在两个数之和为n的n－1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n－1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为n．

又∵1+2++10=55；1+2++11=66

∴第57个数对在第11组之中的第2个数；从而两数之和为12，应为（2，10）；

故答案为（2；10）．

考点：本题主要考查归纳推理；等差数列的求和。

点评：中档题，分析数阵的结构特征，发现规律是：①两个数之和为n的整数对共有n－1个，②在两个数之和为n的n－1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n－1起越来越小。【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】解：因为【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】14、略

【分析】解：如图；△ABC与圆的切点分别为E；F、G；

则有|AE|=|AG|=8；|BF|=|BG|=2，|CE|=|CF|；

所以|CA|-|CB|=8-2=6．

根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为-=1（x＞3）．

故答案为：-=1（x＞3）．

根据图可得：|CA|-|CB|为定值；利用根据双曲线定义，所求轨迹是以A；B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．

本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．【解析】-=1（x＞3）15、略

【分析】解：在Cnm+Cn1•Cnm-1+Cn2•Cnm-2++Ckk•Cnm-k中；

Cnm表示：从装有n个白球；取出m个球的所有情况；

Cn1•Cnm-1表示：从装有n个白球；1个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况；

Cn2•Cnm-2表示：从装有n个白球；2个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况；

Ckk•Cnm-k表示：从装有n个白球；k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况；

故++++表示：从装有n+k球中取出m个球的不同取法数，即．

故答案为：

类比已知可得式子：Cnm+Cn1•Cnm-1+Cn2•Cnm-2++Ckk•Cnm-k中；从第一项到最后一项分别表示：从装有n个白球，k个黑球的袋子里，取出m个球的所有情况取法总数的和，故根据排列组合公式，可得答案．

这个题结合考查了推理和排列组合，处理本题的关键是熟练掌握排列组合公式，明白每一项所表示的含义，再结合已知条件进行分析，最后给出正确的答案【解析】三、作图题(共5题，共10分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

18、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．20、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)21、略

【分析】【解析】试题分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为依题意得：动点M到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线定义知：M的轨迹C是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为：．6分（Ⅱ）∵曲线C的方程可写成：注意到点在曲线C上，过点N的切线斜率为故所求的切线的方程为：即．9分由定积分的几何意义，所求的图形的面积．13分考点：本小题注意考查抛物线标准方程的求解，导数的运算，切线的求解和定积分的计算.【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）切线的方程为：所求的图形的面积为22、略

【分析】【解析】试题分析：（Ⅰ）法1：有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，等价于解得即为所求的实数的取值范围.法2：有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，即方程在上有两个不等的实根，等价于解得即为所求的实数的取值范围.法3：，即方程在上有两个不等的实根，令则其图象对称轴为直线图象恒过点，问题条件等价于的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于（Ⅱ）法1：（1）当时，由得，解得由得，解得从而在上递减，在上递增，因为所以又所以从而又的图象连续不断，故当时，的图象与轴有且仅有一个交点.法2：令考察函数由于所以在上递减，即（2）当时，因为所以则当时，当时，从而在上递减，在上递增,①若则此时的图象与轴无交点.②若则的图象与轴有且仅有一个交点.综上可知，当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点.考点：应用导数研究函数的单调性、极值、图象特征、函数的零点，不等式组的解法。【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）综上可知，当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点.23、略

【分析】【解析】

试题分析：解：(1)三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍；

证明：在三角形ABC中，设是角A,B,C所对的边，由两边平方得：

即：

(2)由余弦定理得：整理得：解得。

考点：余弦定理。

点评：本试题主要是考查了余弦定理的运用，以及向量的数量积的公式的运用，属于基础题。【解析】【答案】（1）三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

（2）结合三角形中的余弦定理可知第三边的值。24、略

【分析】

（1）根据和sin2C+cos2C=1以及角C的范围可得再由两角和的正弦定理可得答案．

（2）因为所以ab=5，a2+b2=（a+b）2-2ab=27．

所以c2=a2+b2-2abcosC=25．则c=5．再由三角形面积公式可求出答案．

本题主要考查向量的点乘运算、余弦定理和三角形的面积公式．向量和三角函数的综合是每年必考题，要给予重视．【解析】解：（Ⅰ）由sin2C+cos2C=1，得．

则=

（Ⅱ）因为则ab=5．

又所以a2+b2=（a+b）2-2ab=27．

所以c2=a2+b2-2abcosC=25．

则c=5．

所以．五、计算题(共3题，共18分)25、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．26、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．27、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则六、综合题(共4题，共28分)28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）29、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．30、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．