2025年外研版三年级起点高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、设A={0，1，2，4}，下列对应法则能构成A到B的映射的是（）

A.f：x→x3-1

B.f：x→（x-1）2

C.f：x→2x-1

D.f：x→2

2、【题文】若函数则（其中为自然对数的底数）（）A.B.C.D.3、【题文】设则（）A.B.C.D.4、【题文】如图是一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为（）A.6B.12C.24D.35、【题文】一个正四棱台的上、下底面边长分别为高为且侧面积等于两底面积之和，则下列关系正确的是A.B.C.D.6、函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）A.（0，1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）D.（﹣1，1）7、若sin（α+）=且α∈（），则cosα=（）A.-B.C.D.-评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)8、【题文】函数的定义域为则函数的定义域为__________________________9、【题文】（本小题满分14分）

f(x)是定义在R上的奇函数，且当时，

（1）求函数的周期（2）求函数在的表达式（3）求10、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若向量=a100+a101且A、B、C三点共线（该直线不过点O），则S200等于____．11、某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在A处获悉后，测得该货轮在北偏东45°方向距离为10海里的C处，并测得货轮正沿北偏东105°的方向、以每小时9海里的速度向附近的小岛靠拢．我海军护卫舰立即以每小时21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是______小时．12、已知a、b是不相等的两个正数，在a、b之间插入两组数x1，x2，xn和y1，y2，yn（n∈N﹢，且n≥2），使得a，x1，x2，xn，b成等差数列，a，y1，y2，yn，b成等比数列，则下列四个式子中，一定成立的是______．（填上你认为正确的所有式子的序号）

①②=③=④＞．13、将鈭�300鈭�

化为弧度为______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)14、已知f（x）=x2|x-a|为定义在R上的偶函数；a为实常数；

（1）求a的值；

（2）若已知g（x）为定义在R上的奇函数；判断并证明函数y=f（x）•g（x）的奇偶性．

15、一个均匀的正四面体面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为．(1)记求的概率；(2)若方程至少有一根就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．16、（本小题满分14分）函数（1）求的周期；（2）求在上的减区间；（3）若求的值17、已知f（x）=logax；其反函数为g（x）．

（1）解关于x的方程f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；

（2）设F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；若F（x）有最小值，试求其表达式h（m）；

（3）求h（m）的最大值．18、已知二次函数f（x）满足不等式f（x）＜5x-2的解集是（1，2），且f（x）的图象过点（-1，-1）．记函数g（x）=．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；并画出g（x）的图象；

（Ⅱ）求关于x的方程2g2（x）-5g（x）+2=0不同的根的个数．19、已知圆C：x2+y2-4x-6y+12=0；点A（3，5）．

（1）求过点A的圆的切线方程；

（2）O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S．评卷人得分四、作图题(共1题，共10分)20、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

评卷人得分五、证明题(共2题，共4分)21、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．评卷人得分六、综合题(共2题，共12分)23、如图1；△ABC与△EFA为等腰直角三角形，AC与AE重合，AB=EF=9，∠BAC=∠AEF=90°，固定△ABC，将△EFA绕点A顺时针旋转，当AF边与AB边重合时，旋转中止．不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设AE；AF（或它们的延长线）分别交BC（或它的延长线）于G、H点，如图2．

（1）问：在图2中，始终与△AGC相似的三角形有____及____；

（2）设CG=x；BH=y，GH=z，求：

①y关于x的函数关系式；

②z关于x的函数关系式；（只要求根据第（1）问的结论说明理由）

（3）直接写出：当x为何值时，AG=AH．24、已知函数y1=px+q和y2=ax2+bx+c的图象交于A（1，-1）和B（3，1）两点，抛物线y2与x轴交点的横坐标为x1，x2，且|x1-x2|=2．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）设y2与y轴交点为C，求△ABC的面积．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

当x=4时，x3-1=63；在B集合中没有元素和它对应，故A不能构成；

当x=4时，（x-1）2=9；在B集合中没有元素和它对应，故B不能构成；

当x=2时；2x=4，在B集合中没有元素和它对应，故D不能构成；

根据映射的定义知只有C符合要求；

故选C．

【解析】【答案】根据所给的两个集合；对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与它对应，从集合A中取一个特殊的元素4，进行检验，去掉两个答案，去掉元素2，去掉一个不合题意的，得到结果．

2、C【分析】【解析】

试题分析：依题意可得故选C.

考点：分段函数.【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】此题考查对数式和指数式的比较大小；对数式和指数式的比较大小都有三种类型；对数式分别是：（1）底数相同；真数不同：利用对数函数的单调性或作差比较；（2）底数不同；真数相同：利用对数函数图像或作商比较；（3）底数和真数都不相同：利用对数函数图像或和特殊值比较；指数式分别是：1）底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性或作商比较；（2）底数不同，指数相同：利用指数函数图像或作商比较；（3）底数和指数都不相同：利用指数函数图像或和特殊值比较；

所以。

选A【解析】【答案】A4、C【分析】【解析】由三视图可知该几何体是正三棱柱，其中高为4，底面正三角形的高为则其底面边长为2，所以该几何体的侧面积为故选C【解析】【答案】C5、A【分析】【解析】略【解析】【答案】A6、A【分析】【解答】解：函数f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）的导数为。

f′（x）=2x﹣

令f′（x）＜0；解得0＜x＜1．

即有单调减区间为（0；1）．

故选A．

【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．7、D【分析】【解答】解：∵

则cos

∴cosα=cos[（α+）﹣]=cos（α+）cos+sin（α+）sin

=

故选：D．

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+），再利用两角差的余弦公式求得cosα的值．二、填空题(共6题，共12分)8、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以所以的定义域为

考点：复合函数的定义域。

点评：本题考查复合函数定义域的求法，解题的关键是理解复合函数的定义，属基础题.【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】解：因为所以

==

所以周期T="4"4分。

(2)任取则所以

因为是奇函数，所以即9分。

（3）因为周期为4，=

在中令得==14分10、100【分析】【解答】解：由题意可知：向量=a100+a101

又∵A；B、C三点共线；

则a100+a101=1；

等差数列前n项的和为Sn=

∴S200===100；

故答案为100．

【分析】先根据向量的共线定理求出a100与a101的关系，再根据等差数列前n项和公式便可求出S200的值．11、略

【分析】解：（1）设靠近渔船所需的时间为t小时；那么AB=21t（海里），BC=9t（海里）．

根据余弦定理可得：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos120°

即（21t）2=100+（9t）2-2×10×9t×（-）

化简得：36t2-9t-10=0

解得：t=或t=-（不合题意舍去）

故答案为：．

可先根据题意；画出图形，得出∠ACB=120°，已知了海军护卫舰和货轮的速度，可设时间，并用时间表示出AB，BC的长，已知了AC的长为10，可根据余弦定理来求出时间的值．

本题主要考查了解直角三角形中方向角的应用问题，画对图形是解题的关键．【解析】12、略

【分析】解：依题意可知，a，x1，x2，，xn，b成等差数列，则x1+x2++xn=

∵x1+xn=a+b

∴成立；故①正确；

∴=

∴②成立。

当a=y1=y2==yn=b时，当a，y1，y2，，yn，b不相等时，

故③④不正确；

故答案为：①②

先根据等差数列的性质和均值不等式可判断①②正确；再由等比数列的性质可判断③④不正确．

本题以数列为载体，考查数列与不等式的综合，主要考查等差数列的性质、等比数列的性质和均值不等式的知识．考查综合运用能力．【解析】①②13、略

【分析】解：鈭�300鈭�隆脕娄脨180=鈭�53娄脨

．

故答案为：鈭�53娄脨

本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以娄脨180

．

本题考查弧度与角度的互化，角度化为弧度用度数乘以娄脨180

弧度化为角度用度数乘以180蟺

正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则．【解析】鈭�53娄脨

三、解答题(共6题，共12分)14、略

【分析】

（1）∵f（x）为偶函数；∴f（-a）=f（a）；

即a2|2a|=0；∴a=0．．

（2）记h（x）=f（x）•g（x）

则h（-x）=f（-x）•g（-x）

∴h（x）为奇函数．

【解析】【答案】（1）利用函数的奇偶性确定a的值；

（2）利用奇偶性的性质判断y=f（x）•g（x）的奇偶性．

15、略

【分析】试题分析：（1）由于要将均匀的面上分别涂有1、2、3、4四个数字的正四面体随机投掷两次，故基本事件共有4×4=16个，然后求出时，基本事件的个数，代入古典概型公式即可得到结果；（2）分类讨论方程根分别为1，2，3，5时，基本事件的个数，然后代入古典概型公式即可得到结果．(1)因为是投掷两次，因此基本事件共有16个，当时，的所有取值为(1,3)，(3,1)，所以．(2)①若方程一根为则即不成立．②若方程一根为则即所以．③若方程一根为则即所以．④若方程一根为则即所以．综合①②③④知，的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，所以，“漂亮方程”共有3个，方程为“漂亮方程”的概率为．考点：1．创新能力；2．古典概型．【解析】【答案】(1)(2)．16、略

【分析】

（1）T=（2）[]；（3）【解析】本试题主要是考查了三角函数的图像与性质的综合运用。以及三角恒等变换的运用。（1）因为利用正弦函数的周期公式得到第一问。；（2）先求的单调见区间，然后分析在时，的单调情况。（3）根据的值，可以得到关于的关系式，然后求解角的正弦值和余弦值，最后借助于二倍角的正切公式得到。【解析】

（1）2分T=3分（2）[]5分（3）8分11分14分【解析】【答案】17、略

【分析】

（1）根据函数式子得出∴

（2）得出h（m）=2运用基本不等式求解即可；

（3）化简得出h（m）=2=2

利用m≥2（m=1时等号成立）即可得出答案．

本题考综合考查了函数的性质，运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是运算化简，考查了计算能力．【解析】解；f（x）=logax，其反函数为g（x）=ax；

（1）∵f（x-1）=f（a-x）-f（5-x）；

∴loga（x-1）=loga（a-x）-loga（5-x）；

∴

∵x2-7x+5+a=0；

∴x=

∵x＞1；x＜5，x＜a；

∴x=

（2）∵设F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；

∴设F（x）=（2m-1）ax+（-）a-x；

设F（x）=（2m-1）g（x）+（-）g（-x）；

∴h（m）=2

（3）h（m）=2=2

∵m≥2（m=1时等号成立）

∴-（m+）≤-2=

∴h（m）的最大值为2=．18、略

【分析】

（Ⅰ）由已知可设f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2；且a＞0，将（-1，-1）代入可得f（x）的解析式，进而可得g（x）的解析式，画出g（x）的图象；

（Ⅱ）设t=g（x），则方程2g2（x）-5g（x）+2=0可化为：2t2-5t+2=0；结合（I）中图象，可得答案．

本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，分段函数的应用，数形结合思想，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）＜5x-2的解集是（1；2）；

故可设f（x）=a（x-1）（x-2）+5x-2；且a＞0；

又因为f（x）的图象过点（-1；-1）；

所以a=1

所以f（x）=（x-1）（x-2）+5x-2=x2+2x．（4分）

则g（x）=．其图象如下图所示：（8分）

（Ⅱ）设t=g（x），则方程2g2（x）-5g（x）+2=0可化为：2t2-5t+2=0；

解得：t=或t=2

即g（x）=或g（x）=2；

由（I）图象可知方程g（x）=有4个不同根；

方程g（x）=2有2个不同根．

从而所求方程共有6个不同的根．（12分）19、略

【分析】

（1）先把圆转化为标准方程求出圆心和半径；再设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，然后可得切线方程．

（2）先求OA的长度；再求直线AO的方程，再求C到OA的距离，然后求出三角形AOC的面积．

本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，是基础题．【解析】解：（1）因为圆C：x2+y2-4x-6y+12=0⇒（x-2）2+（y-3）2=1．

所以圆心为（2；3），半径为1．

当切线的斜率存在时；

设切线的斜率为k；则切线方程为kx-y-3k+5=0；

所以=1；

所以k=所以切线方程为：3x-4y+11=0；

而点（3；5）在圆外，所以过点（3，5）做圆的切线应有两条；

当切线的斜率不存在时；

另一条切线方程为：x=3．

（2）|AO|==

经过A点的直线l的方程为：5x-3y=0；

故d=

故S=d|AO|=四、作图题(共1题，共10分)20、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．五、证明题(共2题，共4分)21、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．六、综合题(共2题，共12分)23、略

【分析】【分析】（1）△HGA；△HAB，求出∠H=∠GAC，∠AGC=∠AGC，即可推出△AGC∽△HGA；根据∠B=∠ACG=45°，∠GAC=∠H推出△AGC∽△HAB即可；

（2）①根据∵△AGC∽△HAB，得出=，求出y=；②在Rt△BAC中，由勾股定理求出BC=9；代入GH=BH-（BC-GC）求出即可；

（3）由△HGA∽△HAB得出HB=AB=9，由△HGA∽△GCA得出AC=CG=9，推